備戰(zhàn) 2025 浙江高考數(shù)學(xué)模擬卷一

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（考試時(shí)間：120分鐘 試卷滿分：150分）
第I卷（選擇題）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．。
第II卷（非選擇題）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12. 【答案】100 13. 【答案】3e．14. 【答案】105．
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟。
15．（13分）
【解】：（1）由題意得ξ＝2，3，4，5，6，······1分
P（ξ＝2）=3×36×6=14；P（ξ＝3）=2×3×26×6=13；P（ξ＝4）=2×3×1+2×26×6=518；
P（ξ＝5）=2×2×16×6=19；P（ξ＝6）=1×16×6=136．······5分
故所求ξ的分布列為
（2）由題意知η的分布列為
Eη=aa+b+c+2ba+b+c+3ca+b+c=53 ······2分
Dη＝（1-53）2aa+b+c+（2-53）2 ba+b+c+（3-53）2 ca+b+c=59．······3分
得2a-b-4c=0a+4b-11c=0，解得a＝3c，b＝2c，故a：b：c＝3：2：1．······2分
16．（15分）【答案】（1）證明詳情見解答．（2）1717．
【解】：（1）證明：取CE的中點(diǎn)M，連接DM，
因?yàn)樗倪呅蜝CEF是矩形，
所以O(shè)是CF的中點(diǎn)，·····1分
所以O(shè)M∥EF，OM=12EF，·····1分
因?yàn)锳D∥EF，AD=12EF，
所以O(shè)M∥AD，OM＝AD，
所以四邊形ADMO是平行四邊形，·····2分
所以AO∥DM，
又AO?面CDE，DM?面CDE，
所以AO∥面CDE．·····1分
（2）因?yàn)樗倪呅蜛DEF是直角梯形，AD∥EF，AD⊥AF，
所以EF⊥AF，·····1分
因?yàn)樗倪呅蜝CEF是矩形，
所以EF⊥BF，
又AF∩BF＝F，·····2分
所以EF⊥面ABF，
又AB?面ABF，
所以EF⊥AB，·····1分
過點(diǎn)F，作FN⊥AB，連接BE，
又EF∩FN＝F，EF?面NEF，F(xiàn)N?面NEF，
所以AB⊥面NEF，
又NE?面NEF，
所以AB⊥NE，
平面ABF與平面OAB的夾角為平面ABF與平面EAB的夾角，平面角為∠ENF，·····2分
在Rt△ENF中，cs∠ENF=NFNE，
因?yàn)锳F＝BF＝AD=12EF＝2，
所以EF＝4，N為AB的中點(diǎn)，·····2分
因?yàn)锳B＝23，
所以NF=AF2-(AB2)2=22-(232)2=1，NE=16+1=17，
所以cs∠ENF=NFNE=1717，·····2分
所以平面ABF與平面OAB的夾角的余弦值為1717．
17．（15分）
【答案】（1）橢圓E的離心率：e=12；短軸長：23；（2）k1k2=1（過程見解析）．
【解答】：（1）由題意得：a=2b=3c2=a2-b2?a=2b=3c=1，所以離心率e=ca=12，短軸長2b=23．·····2分
（2）如圖：
由y=kx+mx24+y23=1消去y并整理得：（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，……①
由Δ＝0?（8km）2﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）＝0?m2＝4k2+3．·····2分
此時(shí)方程①可化為：m2x2+8kmx+16k2＝0，解得：x=-4km（由條件可知：k、m異號）·····2分
設(shè)P（x0，y0），則x0=-4km，y0=kx0+m=k?(-4km)+m=m2-4k2m=3m．
即P(-4km，3m)，所以k1=3m-4km=-34k．·····2分
因?yàn)閘1∥l2，所以可設(shè)直線l2：y＝kx+n（n≠0，n≠m）．
由y=kx+nx24+y23=1消去y并整理得：（4k2+3）x2+8knx+4n2﹣12＝0，
當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根．
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
則x1+x2=-8kn4k2+3，x1x2=4n2-124k2+3．·····2分
因?yàn)锳，C兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以C（﹣x1，﹣y1），·····2分
所以：k2=y2+y1x2+x1=kx2+n+kx1+nx2+x1=k+2nx2+x1=k+2n-8kn4k2+3=k-4k2+34k=-34k．·····2分
所以k1＝k2?k1k2=1．········1分
18．（17分）
【答案】（1）0；（2）e；（3）證明見解析．
【解答】解：（1）f′（x）＝lnx，x＞0，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；所以f（x）min＝f（1）＝0．········3分
（2）令g（x）＝y(tǒng)＝f′（x）+ex＝lnx+ex，則g'(x)=1x+e，x＞0，
設(shè)切點(diǎn)為（t，g（t）），則g（t）＝lnt+et，g'(t)=1t+e，······1分
則切線方程為y-(lnt+et)=(1t+e)(x-t)，即y=(1t+e)x+lnt-1，······2分
又y＝ax+b是曲線得切線方程，則a=1t+eb=lnt-1，······1分
則a+b=1t+e+lnt-1，令h(t)=1t+e+lnt-1，t＞0，······1分
則h'(t)=1t-1t2=t-1t2，t＞0，令h′（t）＝0?t＝1，······1分
所以t＞1時(shí)，h′（t）＞0，h（t）為單調(diào)遞增函數(shù)；
0＜t＜1時(shí)，h′（t）＜0，h（t）為單調(diào)遞減函數(shù)；
所以h（t）min＝h（1）＝e，即a+b的最小值為e．······1分
（3）證明：由（1）可知，xlnx＞x﹣1，即lnx≥x-1x，當(dāng)n＝1時(shí)取等號，······1分
令x＝n，（n∈N*，n≥2），則lnn＞n-1n，所以lnnn2-1＞n-1n(n2-1)，······1分
又n-1n(n2-1)=1n(n+1)=1n-1n+1，所以lnnn2-1＞1n-1n+1，······1分
所以ln23＞12-13，ln38＞13-14，?，lnnn2-1＞1n-1n+1，······1分
累加后可得ln23+ln38+?+lnnn2-1＞12-13+13-14+?+1n-1n+1=12-1n+1，······2分
即ln32+ln83+?+lnn2-1n＞12-1n+1．······1分
19．（17分）
【答案】（1）自然數(shù)集N不是數(shù)環(huán)；整數(shù)集Z是數(shù)環(huán)，不是數(shù)域；有理數(shù)集Q、實(shí)數(shù)集R、復(fù)數(shù)集C是數(shù)環(huán)也是數(shù)域．（2）證明過程見解答．（3）證明過程見解答．
【解答】：（1）有理數(shù)集Q、實(shí)數(shù)集R、復(fù)數(shù)集C是數(shù)環(huán)也是數(shù)域；整數(shù)集Z是數(shù)環(huán)，不是數(shù)域；自然數(shù)集N不是數(shù)環(huán)；······3分
（2）證明：當(dāng)x∈M，那么（x﹣x）∈M，所以0∈M；
當(dāng)y∈S，y≠0，所以（y÷y）∈S，所以1∈S．······2分
（3）證明：設(shè)?x1，x2∈A，
所以x2=a2+2b2，x1=a1+2b1，（a1，a2，b1，b2∈Q），······1分
所以x1+x2=a1+a2+2b1+2b2=(a1+a2)+2(b1+b2)，······1分
又因?yàn)閎1，b2，a1，a2，∈Q，因此（b1+b2）∈Q，（a1+a2）∈Q，因此x1+x2∈A，所以滿足條件①；
x1-x2=a1-a2+2b1-2b2=(a1-a2)+2(b1-b2)，······1分
又因?yàn)閎1，b2，a1，a2，∈Q，
因此（b1﹣b2）∈Q，（a1﹣a2）∈Q，······1分
因此x1﹣x2∈A，所以滿足條件②；······1分
x1x2=a1a2+2b1b2+2(a1b2+a2b1)，······1分
又因?yàn)閎1，b2，a1，a2，∈Q，
因此（a1a2+2b1b2）∈Q，（a1b2+a2b1）∈Q，······1分
因此x1x2∈A，所以滿足條件③；······1分
x1÷x2=a1a2-2b1b2+2(a2b1-a1b2)a22-2b22=a1a2-2b1b2a22-2b22+2a2b1-a1b2a22-2b22，······22分
又因?yàn)閎1，b2，a1，a2，∈Q，a2，b2≠0，
因此a1a2-2b1b2a22-2b22∈Q，a2b1-a1b2a22-2b22∈Q，······2分
因此x1÷x2∈A，所以滿足條件④，
綜上所述，A是數(shù)域．
1
2
3
4
5
6
7
8
B
D
B
C
D
B
B
D
9
10
11
ABC
ABC
ABD
ξ
2
3
4
5
6
P
14
13
518
19
136
η
1
2
3
P
aa+b+c
ba+b+c
ca+b+c