一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.
1. 已知集合，，則的元素個(gè)數(shù)為（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 無(wú)數(shù)
2. 已知z為復(fù)數(shù)，則是的（ ）條件
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分又不必要
3. 函數(shù)的最小正周期為（ ）
A. B. C. D. 2π
4. 若，，，則（ ）
A. B. C. D.
5. 已知向量，滿(mǎn)足，，則與的夾角為（ ）
A. B. C. D.
6. 數(shù)列滿(mǎn)足，則下列，的值能使數(shù)列為周期數(shù)列的是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
7. 將100名學(xué)生隨機(jī)分為10個(gè)小組，每組10名學(xué)生，則學(xué)生甲乙在同一組的概率為（ ）
A. B. C. D.
8 設(shè)，，，則（ ）
A. B. C. D.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 關(guān)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的有（ ）
A. 函數(shù)可能沒(méi)有零點(diǎn)B. 函數(shù)可能有一個(gè)零點(diǎn)
C. 函數(shù)一定是中心對(duì)稱(chēng)圖形D. 函數(shù)可能是軸對(duì)稱(chēng)圖形
10. 已知點(diǎn)M是拋物線與圓的交點(diǎn)，點(diǎn)F為拋物線C的焦點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A. 的最小值為2
B. 圓E與拋物線C至少有兩條公切線
C. 若圓E與拋物線C的準(zhǔn)線相切，則軸
D. 若圓E與拋物線C的準(zhǔn)線交于P，Q兩點(diǎn)，且，則
11. 設(shè)點(diǎn)P為正方體的上底面上一點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的有（ ）
A. 存在點(diǎn)P，使得與平面所成角
B. 存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)A，分別到平面的距離之和等于
C. 存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)A，分別到平面的距離之和等于
D. 存在點(diǎn)P，使得與平面所成角為
第II卷（非選擇題 共92分）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 若函數(shù)在處取得最大值，則__________.
13. 已知：當(dāng)無(wú)窮大時(shí)，的值為，記為.運(yùn)用上述結(jié)論，可得______.
14. 表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，設(shè)，，則__________；__________（用M，N表示）.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15. 在一次聯(lián)考中，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，甲乙兩個(gè)學(xué)?？忌藬?shù)都為1000人，數(shù)學(xué)均分都為94，標(biāo)準(zhǔn)差都為12，并且根據(jù)統(tǒng)計(jì)密度曲線發(fā)現(xiàn)，甲學(xué)校的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)服從正態(tài)分布，乙學(xué)校的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)不服從正態(tài)分布.
（1）甲學(xué)校為關(guān)注基礎(chǔ)薄弱學(xué)生的教學(xué)，準(zhǔn)備從70分及以下的學(xué)生中抽取10人進(jìn)行訪問(wèn)，學(xué)生小A考分為68分，求他被抽到的概率大約為多少；
（2）根據(jù)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)學(xué)校乙得分不低于130分的學(xué)生有25人，得分不高于58分的有1人，試說(shuō)明乙學(xué)校教學(xué)的特點(diǎn)；
參考數(shù)據(jù)：若，則，，.
16. 設(shè)，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，且.
（1）求的長(zhǎng)（用a，b表示）；
（2）若雙曲線的離心率，求證.
17. 設(shè)函數(shù).
（1）求函數(shù)在處的切線方程；
（2）若恒成立，求證：m的最大值與最小值之差大于.
18. 在四棱錐中，，，底面，點(diǎn)O在上，且.
（1）求證：；
（2）若，，點(diǎn)在上，平面，求值；
（3）若，二面角正切值為，求二面角的余弦值.
19. 在數(shù)列中，，，對(duì)滿(mǎn)足的任意正整數(shù)m，n，p，q，都有成立.
（1）若數(shù)列是等比數(shù)列，求a，b滿(mǎn)足的條件；
（2）若，，設(shè).
①求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
②求證：
【全國(guó)1卷】2025屆浙江省高三上學(xué)期新高考研究卷數(shù)學(xué)模擬試題
第I卷（選擇題 共58分）
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.
1. 已知集合，，則的元素個(gè)數(shù)為（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 無(wú)數(shù)
【正確答案】C
【分析】根據(jù)集合的元素類(lèi)型，列方程組求解集即可得元素個(gè)數(shù).
【詳解】因?yàn)榧?，?br>則聯(lián)立，解得或，
故，集合中有2個(gè)元素.
故選：C.
2. 已知z為復(fù)數(shù)，則是的（ ）條件
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分又不必要
【正確答案】C
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，復(fù)數(shù)的模及充要條件的定義即可判斷.
【詳解】設(shè)，則，
所以，
又，
所以，
所以是充要條件.
故選.
3. 函數(shù)的最小正周期為（ ）
A. B. C. D. 2π
【正確答案】B
【分析】先將解析式降冪，轉(zhuǎn)化為含有一個(gè)三角函數(shù)的解析式，即可求得結(jié)果.
【詳解】
，
則周期，
故選：B.
4. 若，，，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】利用條件概率公式和并事件概率性質(zhì)求解即可．
【詳解】由，，可知，，
又，所以，
所以.
故選：D
5. 已知向量，滿(mǎn)足，，則與的夾角為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】掌握平面向量的數(shù)量積.
【詳解】,
,
,
又
,即,
,
,
.
故選：A.
6. 數(shù)列滿(mǎn)足，則下列，的值能使數(shù)列為周期數(shù)列的是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【正確答案】B
【分析】由數(shù)列的周期性定義，逐項(xiàng)代入驗(yàn)證即可；
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，無(wú)周期性，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以數(shù)列是以2為周期的周期數(shù)列，故B正確；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，無(wú)周期性，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，無(wú)周期性，故D錯(cuò)誤；
故選：B.
7. 將100名學(xué)生隨機(jī)分為10個(gè)小組，每組10名學(xué)生，則學(xué)生甲乙在同一組的概率為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】利用古典概型的概率公式和平均分組分配的求解方法解決.
【詳解】將名學(xué)生隨機(jī)分成個(gè)小組的分法有種分法，
其中甲乙在同一組的分法有種分法，
所以學(xué)生甲乙在同一組的概率為，
故選： .
8. 設(shè)，，，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】取對(duì)數(shù)并作差，得到，構(gòu)造，，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，求出，又lg11∈1,2,11lg11>5，比較出，又，作商法得到lnblnc=6511?ln11ln12>6511?23，又6511>1.24>2，從而得到，所以，綜上，.
【詳解】由得，故，
同理得，
故
，
又，令，，
則，
故在上單調(diào)遞減，
且，故，即，
故，則，
而lg11∈1,2,11lg11>5，故lglga?lglgb=lg11lg11?lg1+11111>0，
故，
，
所以，
其中，，
故lnblnc=6511?ln11ln12>6511?23，
經(jīng)過(guò)計(jì)算，6511>1.24>2，故lnblnc>6511?23>1，
所以，
綜上，.
故選：D
比大小，經(jīng)常用到一些放縮技巧，比如以下不等式要熟記，可以達(dá)到事半功倍的效果，，，，，等
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 關(guān)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的有（ ）
A. 函數(shù)可能沒(méi)有零點(diǎn)B. 函數(shù)可能有一個(gè)零點(diǎn)
C. 函數(shù)一定是中心對(duì)稱(chēng)圖形D. 函數(shù)可能是軸對(duì)稱(chēng)圖形
【正確答案】BC
【分析】根據(jù)三次函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.
【詳解】對(duì)于AB，函數(shù)是一個(gè)三次函數(shù)，
其值域?yàn)?，所以函?shù)至少有一個(gè)零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤，B正確；
對(duì)于C，
，
則為定值，
所以函數(shù)的圖象一定是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故C正確；
對(duì)于D，三次函數(shù)不可能時(shí)軸對(duì)稱(chēng)圖形，故D錯(cuò)誤.
故選：BC.
10. 已知點(diǎn)M是拋物線與圓的交點(diǎn)，點(diǎn)F為拋物線C的焦點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A. 的最小值為2
B. 圓E與拋物線C至少有兩條公切線
C. 若圓E與拋物線C的準(zhǔn)線相切，則軸
D. 若圓E與拋物線C的準(zhǔn)線交于P，Q兩點(diǎn)，且，則
【正確答案】ACD
【分析】根據(jù)題意，聯(lián)立直線與拋物線的方程，結(jié)合拋物線與圓的位置關(guān)系以及拋物線的性質(zhì)，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.
【詳解】聯(lián)立方程組，消去可得，
解得，因?yàn)?，，所以?br>于是，則的最小值為2，故A正確；
此時(shí)圓與拋物線只有一條公切線為軸，故B錯(cuò)誤；
若圓E與拋物線C的準(zhǔn)線相切，則，即，
到準(zhǔn)線的距離為4，所以軸，故C正確；
由可得，則為等邊三角形，
又焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，則，故D正確；
故選：ACD
11. 設(shè)點(diǎn)P為正方體的上底面上一點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的有（ ）
A. 存在點(diǎn)P，使得與平面所成角為
B. 存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)A，分別到平面的距離之和等于
C. 存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)A，分別到平面的距離之和等于
D. 存在點(diǎn)P，使得與平面所成角為
【正確答案】ABC
【分析】首先要明確正方體的性質(zhì)以及線面角、點(diǎn)到平面距離的概念.對(duì)于線面角，如果直線垂直于平面，那么線面角為.對(duì)于點(diǎn)到平面的距離，可以通過(guò)等體積法等方法來(lái)求解.接下來(lái)通過(guò)對(duì)每個(gè)選項(xiàng)的分析來(lái)判斷其正確性.
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)檎襟w中，平面，
當(dāng)與重合時(shí)，平面就是平面.此時(shí)平面，
則與平面所成角為，所以A選項(xiàng)正確.
對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，，.
由于，設(shè)，到平面的距離分別為，，
為的面積.根據(jù)三棱錐體積公式（為底面積，為高），
可得.當(dāng)為時(shí)，，所以B選項(xiàng)正確.
對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)為時(shí),，到平面的距離之和最小，到平面距離為0,
到平面距離為到平面的距離,等于，所以C選項(xiàng)正確.
對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)為時(shí), 與平面所成角最小，,
則.所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：ABC.
第II卷（非選擇題 共92分）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 若函數(shù)在處取得最大值，則__________.
【正確答案】
【分析】根據(jù)輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求其最大值，并確定取最大值時(shí)自變量的值，由此可求.
【詳解】因?yàn)椋?br>設(shè)，，
則，，
當(dāng)，時(shí)，
即當(dāng)，函數(shù)取最大值，最大值為，
所以，
所以.
故答案為.
13. 已知：當(dāng)無(wú)窮大時(shí)，的值為，記為.運(yùn)用上述結(jié)論，可得______.
【正確答案】.
【分析】利用換元法和對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)將所求式子化簡(jiǎn)為的結(jié)構(gòu)，即可求得.
【詳解】令，則，，則，
因?yàn)椋?br>則.
故答案為.
14. 表示不超過(guò)x最大整數(shù)，設(shè)，，則__________；__________（用M，N表示）.
【正確答案】 ①. ②.
【分析】結(jié)合近似計(jì)算以及x的含義即可求得第一空答案；利用二項(xiàng)式展開(kāi)式，結(jié)合第一空的近似計(jì)算，即可求得第二空答案.
【詳解】因?yàn)椋?br>故；
又為正整數(shù)，
所以
，而，
故，
故；
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是利用二項(xiàng)式展開(kāi)式得出為正整數(shù)，從而解決問(wèn)題.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15. 在一次聯(lián)考中，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，甲乙兩個(gè)學(xué)校的考生人數(shù)都為1000人，數(shù)學(xué)均分都為94，標(biāo)準(zhǔn)差都為12，并且根據(jù)統(tǒng)計(jì)密度曲線發(fā)現(xiàn)，甲學(xué)校的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)服從正態(tài)分布，乙學(xué)校的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)不服從正態(tài)分布.
（1）甲學(xué)校為關(guān)注基礎(chǔ)薄弱學(xué)生的教學(xué)，準(zhǔn)備從70分及以下的學(xué)生中抽取10人進(jìn)行訪問(wèn)，學(xué)生小A考分為68分，求他被抽到的概率大約為多少；
（2）根據(jù)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)學(xué)校乙得分不低于130分的學(xué)生有25人，得分不高于58分的有1人，試說(shuō)明乙學(xué)校教學(xué)的特點(diǎn)；
參考數(shù)據(jù)：若，則，，.
【正確答案】（1）
（2）乙校教學(xué)高分人數(shù)更多，130分以上學(xué)生更多，低分人數(shù)更少.
【分析】（1）由正太分布確定70分及以下的學(xué)生人數(shù)，再由古典概率模型即可求解；
（2）由正太分布確定甲校130以上及58分以下人數(shù)，對(duì)比乙校數(shù)據(jù)即可判斷.
【小問(wèn)1詳解】
由題意可知甲校學(xué)生數(shù)學(xué)得分，
由，
可得，則，
所以分?jǐn)?shù)在70分及以下的學(xué)生有，
所以學(xué)生小A被抽到概率
【小問(wèn)2詳解】
由，
可得：
所以甲校不低于130分的概率為，
得分不高于58分的概率為，
所以甲校不低于130分有人，得分不高于58分有人，
故乙校教學(xué)高分人數(shù)更多，130分以上學(xué)生更多，低分人數(shù)更少.
16. 設(shè)，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，且.
（1）求的長(zhǎng)（用a，b表示）；
（2）若雙曲線的離心率，求證.
【正確答案】（1）
（2）證明過(guò)程見(jiàn)解析
【分析】（1）兩點(diǎn)都在雙曲線右支上，設(shè)，結(jié)合雙曲線定義表達(dá)出其他邊長(zhǎng)，利用和余弦定理得到方程，求出，得到；
（2）在中，由正弦定理得到，結(jié)合（1）中和，得到，在求出，為銳角，故.
【小問(wèn)1詳解】
，故兩點(diǎn)都在雙曲線右支上，
設(shè)，則，
由雙曲線定義知，，
因?yàn)?，所以?br>由余弦定理得，
化簡(jiǎn)得，所以；
【小問(wèn)2詳解】
在中，由正弦定理得，
所以，
由（1）知，，故，
又，故，
且，所以，
所以為銳角，故.
17. 設(shè)函數(shù).
（1）求函數(shù)在處的切線方程；
（2）若恒成立，求證：m的最大值與最小值之差大于.
【正確答案】（1）
（2）證明見(jiàn)解析
【分析】（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，然后代入點(diǎn)斜式直線方程化簡(jiǎn)即可；
（2）令，將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，然后求得，進(jìn)一步構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，求出的m范圍，即可證明.
【小問(wèn)1詳解】
由題意，所以切線斜率，
又，所以函數(shù)在處的切線方程為，即；
【小問(wèn)2詳解】
令，則，
所以恒成立等價(jià)于恒成立，，
當(dāng)，則在0,+∞上單調(diào)遞增，而，不符合題意.
當(dāng)，由得，
所以當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，
所以，
令，則?1=0，又由得，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
而，，所以，
所以m的最大值與最小值之差大于.
18. 在四棱錐中，，，底面，點(diǎn)O在上，且.
（1）求證：；
（2）若，，點(diǎn)在上，平面，求的值；
（3）若，二面角的正切值為，求二面角的余弦值.
【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析；
（2）；
（3）.
【分析】（1）先證明，結(jié)合直角三角形性質(zhì)證明，由此證明，再根據(jù)勾股定理證明結(jié)論；
（2）連接交于點(diǎn)，根據(jù)線面平行性質(zhì)定理證明，求，根據(jù)平行線性質(zhì)求結(jié)論；
（3）建立空間直角坐標(biāo)系，求平面，平面的法向量，利用向量夾角公式求結(jié)論.
【小問(wèn)1詳解】
連接，
因?yàn)榈酌妫矫妫?br>所以，即，
又，，所以，
所以，故
又，
所以，，
又，所以，
因?yàn)榈酌?，平面?br>所以，
又，
所以；
【小問(wèn)2詳解】
連接交于點(diǎn)，連，
因平面，平面平面，平面，
所以，故，
因?yàn)?，?br>所以，故四邊形是圓內(nèi)接四邊形，
又，所以，
因，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，
所以，，
故，設(shè)，
則，，
在中，
由余弦定理可得，
所以，于是；
【小問(wèn)3詳解】
以點(diǎn)為原點(diǎn)，，，為，，軸正方向建立如圖所示的坐標(biāo)系，
則 ,
所以 ,
設(shè)n1=x1,y1,z1為平面的法向量,
所以，
故，令，則，
所以為平面的一個(gè)法向量，
過(guò)點(diǎn)作于，
因底面，平面，
所以，，平面，
所以平面，平面，
所以，
故二面角的平面角為，
由已知，
所以，于是 ，，
又，所以，又，
所以，故，
所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，
所以，
設(shè)平面的法向量，
所以，
兩式相減得，
令，則，
所以為平面的一個(gè)法向量，,
所以，
觀察可得二面角的平面角為銳角，
所以二面角的余弦值為 .
19. 在數(shù)列中，，，對(duì)滿(mǎn)足的任意正整數(shù)m，n，p，q，都有成立.
（1）若數(shù)列是等比數(shù)列，求a，b滿(mǎn)足的條件；
（2）若，，設(shè).
①求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
②求證.
【正確答案】（1）
（2）①；②證明見(jiàn)解析
【分析】（1）由題意推出，即得，從而可解；
（2）①由條件可推出，結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式，即可求得答案；
②由題意可得，從而，先證明，再討論n的奇偶性，結(jié)合放縮法，即可證明結(jié)論.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)閿?shù)列an是等比數(shù)列，設(shè)其公比為t，且滿(mǎn)足，
則，結(jié)合，可得，
所以，
故，即a，b滿(mǎn)足的條件為；
【小問(wèn)2詳解】
①由，得，
結(jié)合，，故，即，
故是以為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，
故；
②由①知，故；
先證，即證，
即證，即證，
而恒成立，
故總成立，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，
即；
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，
而 ，
即；
綜合上述可知.
關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于第二問(wèn)的數(shù)列不等式證明時(shí)，要結(jié)合分類(lèi)討論n的奇偶性以及放縮法進(jìn)行解決

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