（導圖高清，可放大.）
1、核心素養(yǎng)目標：
（1）數(shù)學運算能力：學生能夠熟練掌握長方體和正方體的表面積和體積的計算方法，并能靈活運用到實際問題中。
（2）空間想象能力：學生能夠準確地想象和描述長方體和正方體的三維結(jié)構(gòu)，以及它們的展開圖。
（3）邏輯推理能力：學生能夠通過邏輯推理，理解長方體和正方體的性質(zhì)，并能解決相關(guān)的幾何問題。
（4）實踐應(yīng)用能力：學生能夠?qū)㈤L方體和正方體的知識應(yīng)用到實際生活中，解決實際問題。
2、學習目標：
（1）掌握長方體和正方體的特征，能計算它們的表面積和體積。
（2）通過觀察、操作、推理等方法，理解長方體和正方體的性質(zhì)和計算公式。
（3）培養(yǎng)學生對幾何圖形的興趣，激發(fā)學生探索空間圖形的熱情，增強學生解決實際問題的信心。
1、長方體的特征：長方體是由6個長方形（也可能有2個相對的面是正方形）圍成的立體圖形，有6個面、12條棱和8個頂點，相對的面完全相同、相對的棱長度相等。
2、 長方體的長、寬、高的含義：長方體相交于同一頂點的三條棱的長度，分別叫作它的長、寬、高。
1、沿著正方體（或長方體）的棱將其剪開，可以把正方體（或長方體）展開成一個平面圖形，這個平面圖形就是正方體（或長方體）的展開圖。
2、正方體（或長方體）的展開圖的特點：在展開圖中，正方體的6個面完全相同（長方體相對的面完全相同），相對的面完全隔開。
1、意義：長方體（或正方體）6個面的總面積。
2、計算方法：
（1）長方體的表面積=長×寬×2+長×高×2+寬 ×高×2=（長×寬+長×高+寬×高）×2。
（2）正方體的表面積=棱長×棱長×6。
3、稍復(fù)雜的長方體和正方體表面積的計算：在運用長方體和正方體的表面積解決生活中的實際問題時，最關(guān)鍵的是要根據(jù)實際問題確定計算哪幾個面的面積和。
1、體積的意義：物體所占空間的大小叫作物體的體積。
2、容積的意義：容器所能容納物體的體積叫作容器的容積。
3、相鄰體積單位間的進率：體積單位常用到，相鄰進率是1000；立方分米立方米，它們進率是1000；立方分米立方厘米，它們進率是1000。
1、長方體的體積=長×寬×高，字母公式為V=abh。
2、 正方體的體積=棱長×棱長×棱長，字母公式為V=a3。
3、長方體、正方體體積的統(tǒng)一公式
①底面積：長方體和正方體底面的面積，叫作它們的底面積。
②體積計算公式：長方體(或正方體)的體積=底面積×高，如果用字母S表示底面積，h表示高，長方體(或正方體)的體積計算公式可以寫成V=Sh。
一個表面涂色的正方體，把每條棱平均分成相等的若干份，然后切成同樣大的小正方體。
（1）3面涂色的小正方體有8個。
如果用n表示把正方體的棱平均分成的份數(shù)（n為大于或等于2的自然數(shù)），用a、b分別表示2面涂色和1面涂色的小正方體的個數(shù)，那么a=(n-2)×12，b=(n-2)2×6。
易錯點撥：（1）對長方體的特征理解不全面，誤認為長方體只有相對面的面積相等。
（2）一般情況，長方體只有相對面的面積相等。但當長方體中有兩個相對的面是正方形時，另外四個面的面積都相等，也就是說另外四個面中相鄰的面的面積也相等。
易錯點撥：
（1）求物體原材料的面積的時候，分不清求幾個面的面積。
（2）要求物體的表面積，首先要想清楚該物體要計算幾個面的面積。有些題目中有明確的說明：“無蓋”底部和四壁”等，應(yīng)除去上面的面積;有些題目要聯(lián)系實際情況作出判斷，比如，計算通風管的表面積時，上、下面的面積不需要計算。在解答時，可以根據(jù)實際情況畫一畫示意圖，有助于正確分析題意。
易錯點撥：（1）求容積與求體積的方法相同，但數(shù)據(jù)要求不一樣，容易產(chǎn)生錯誤。
（2）體積是物體所占空間的大小，計算時的長、寬、高數(shù)據(jù)應(yīng)當從外部測量;容積是容器所能容納物體的體積，計算時的長、寬、高應(yīng)從物體內(nèi)部測量。計算時要注意分清。
?？家族e
題型1：長方體的認識及特征
長方體的認識及特征
【典例精講1】（22-23六年級上·江蘇鹽城·期末）在一個長方體中，相交于同一頂點的三條棱的長度之和為6.8厘米，則這個長方體的棱長總和為( )厘米。
【答案】27.2
【分析】根據(jù)長方體的特征可知，相較于同一頂點的三條棱的長度之和就是長＋寬＋高的和；根據(jù)長方體棱長總和公式：棱長總和＝（長＋寬＋高）×4，代入數(shù)據(jù)，即可解答。
【詳解】6.8×4＝27.2（厘米）
在一個長方體中，相交于同一頂點的三條棱的長度之和為6.8厘米，則這個長方體的棱長總和為27.2厘米。
【點睛】熟練掌握長方體的特征以及棱長總和公式是解答本題的關(guān)鍵。
?？家族e
題型2：正方體的特征
【典例精講2】（22-23六年級上·江蘇南通·期末）將一個棱長6厘米的正方體的六個面都涂上紅色，然后把這個正方體切割成若干個棱長為1厘米的小正方體。這些小正方體中，兩面涂色的有( )個，六面都沒有涂色的有( )個。
【答案】 48 64
【分析】如圖，兩面涂色的在大正方體的棱上，六面都沒涂色的在內(nèi)部，棱長1厘米的小正方體，體積是1立方厘米，即棱長（6－2）厘米的正方體的體積是幾，就有幾個六面沒有涂色的小正方體。
【詳解】4×12＝48（個）
（6－2）×（6－2）×（6－2）
＝4×4×4
＝64（個）
兩面涂色的有48個，六面都沒有涂色的有64個。
【點睛】關(guān)鍵是熟悉正方體特征，掌握并靈活運用正方體體積公式。
?？家族e
題型3：長方體的展開圖
【典例精講3】（22-23六年級上·江蘇宿遷·期末）一個長方體紙盒，底面是周長為8分米的正方形，側(cè)面展開圖也是一個正方形，這個 長方體紙盒的體積是( )立方分米。
【答案】32
【分析】分析題意，因為長方體的底面周長為8分米的正方形，則這個長方體的底面邊長是8÷4＝2分米；又因為它的側(cè)面展開也是一個正方形，則這個長方體的高是8分米，所以長方體的體積為2×2×8＝32立方分米，據(jù)此解答。
【詳解】8÷4＝2（分米）
2×2×8
＝4×8
＝32（立方分米 ）
這個長方體紙盒的體積是（32）立方分米。
【點睛】本題考查了長方體的體積計算，解答本題的重點是讓學生理解這個長方體的高是8分米，底面邊長是2分米的正方形，然后再根據(jù)長方體的體積公式求解。
?？家族e
題型4：正方體的展開圖
【典例精講4】（22-23六年級上·江蘇鹽城·期末）下圖是一個正方體的展開圖，與“自”字相對的是( )字，如果折成的正方體棱長是4厘米，這個正方體的表面積是( )平方厘米，體積是( )立方厘米。
【答案】 功 96 64
【分析】根據(jù)正方體展開圖的11種特征，此圖屬于正方體展開圖的“1－4－1”型，折成正方體后，自和功相對；信和靜相對；冷和成相對；再根據(jù)正方體的表面積公式：表面積＝棱長×棱長×6；體積公式：體積＝棱長×棱長×棱長，代入數(shù)據(jù)，求出正方體的表面積和正方體體積。
【詳解】4×4×6
＝16×6
＝96（平方厘米）
4×4×4
＝16×4
＝64（立方厘米）
下圖是一個正方體的展開圖，與“自”字相對的是功字，如果折成的正方體棱長是4厘米，這個正方體的表面積是96平方厘米，體積是64立方厘米。
【點睛】本題主要考查正方體展開圖，正方體表面積公式和正方體體積公式的應(yīng)用。
?？家族e
題型5：長方體有關(guān)棱長的應(yīng)用
【典例精講5】（23-24六年級上·江蘇鹽城·期末）王老師從下面的材料中選擇12根鐵條焊接成了一個長方體框架，他一共用了( ) 分米鐵條，在這個框架外表面糊上彩紙，一共需要( )平方分米彩紙（粘貼處忽略不計）。
【答案】 21.2 17.2
【分析】長方體有12條棱，，相對的四條棱長度相等，按長度可分為三組，每一組有4條棱。據(jù)此確定能焊接成長方體框架的鐵條。根據(jù)長方體棱長總和＝（長＋寬＋高）×4，長方體表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2，列式計算即可，注意統(tǒng)一單位。
【詳解】12厘米長的鐵條只有3根，不能用，選擇25厘米、20厘米和8厘米長的鐵條各4根，可以焊接成了一個長方體框架，即長方體的長寬高分別是25厘米、20厘米和8厘米。
（25＋20＋8）×4
＝53×4
＝212（厘米）
＝21.2（分米）
（25×20＋25×8＋20×8）×2
＝（500＋200＋160）×2
＝860×2
＝1720（平方厘米）
＝17.2（平方分米）
他一共用了21.2分米鐵條，在這個框架外表面糊上彩紙，一共需要17.2平方分米彩紙。
?？家族e
題型6：正方體有關(guān)棱長的應(yīng)用
【典例精講6】（22-23六年級上·江蘇鹽城·期末）將一根54厘米長的鐵絲截下它的焊接成一個正方體框架，這個正方體框架的棱長是( )厘米。在這個框架的表面貼上彩紙，至少需要( )平方厘米的彩紙。
【答案】 3 54
【分析】根據(jù)題意可知，正方體的棱長總和是54厘米的，再根據(jù)正方體棱長總和＝棱長×12，求出棱長即可；再根據(jù)正方體的表面積＝棱長×棱長×6，代入數(shù)據(jù)計算即可。
【詳解】正方體的棱長：54×÷12
＝
＝3（厘米）
彩紙大小：3×3×6
＝9×6
＝54（平方厘米）
【點睛】此題考查了求正方體的棱長以及正方體表面積。要求學生熟練掌握并靈活運用。
?？家族e
題型7：長方體的體積
長方體的體積
【典例精講7】（23-24六年級上·江蘇鹽城·期末）一根長方體木料，長1.5米，橫截面是一個邊長是3分米的正方形，把它鋸成3段，表面積比原來增加( )平方分米，原來這根木料的體積是( )立方分米。
【答案】 36 135
【分析】把長方體木料鋸成3段，表面積比原來增加了4個橫截面的面積，據(jù)此求出一個橫截面的面積，再乘4即可求出增加的面積。把1.5米化為15分米，再根據(jù)長方體的體積＝長×寬×高，代入數(shù)據(jù)解答即可。
【詳解】
（個）
（平方分米）
1.5米＝15分米
（立方分米）
原來這根長方體木料的體積是135立方分米。
?？家族e
題型8：正方體的體積
【典例精講8】（22-23六年級上·江蘇淮安·期末）要做一個棱長是4分米的正方體金魚缸（無蓋），需要玻璃( )平方分米；如果裝滿水，能盛水( )升。
【答案】 80 64
【分析】需要多少玻璃就是要求正方體的表面積，因為無蓋，所以只算5個面，因為正方體的每個面都相等，所以用一個面的面積×5可算出需要多少玻璃；能盛水多少升，就是求這個正方體容器的容積，也就是這個正方體的體積。1立方分米＝1升，最后把單位換成升。
【詳解】需要玻璃多少平方分米：
（平方分米）
能盛多少升水：
（升）
所以需要玻璃80平方分米，能盛水64升。
【點睛】熟練掌握正方體的表面積和體積的計算方法，結(jié)合實際情境，分清楚是要計算表面積還是體積。需要注意“無蓋”，算容積應(yīng)該用容積單位。
?？家族e
題型9：長方體、正方體的容積
【典例精講9】（22-23六年級上·江蘇泰州·期末）一個長方體盒子，從里面量長12厘米、寬8厘米、高6厘米，它的容積是( )立方厘米。盒子里裝棱長3厘米的小正方體木塊，一共能裝( )塊。
【答案】 576 16
【分析】根據(jù)長方體的容積公式：長×寬×高，把數(shù)代入公式即可求解；由于盒子里裝棱長3厘米的小正方體木塊，則看盒子的長能裝多少塊（即一行有幾塊），即12÷3＝4（塊）；再看寬能裝多少塊（即有幾行），即8÷3＝2（塊）……2（厘米），再看高能裝多少塊（即幾層），用6÷3＝2（塊），之后用4乘2乘2即可求出一共能裝多少塊。
【詳解】12×8×6
＝96×6
＝576（立方厘米）
12÷3＝4（塊）
8÷3＝2（塊）……2（厘米）
6÷3＝2（塊）
4×2×2
＝8×2
＝16（塊）
所以一個長方體盒子，從里面量長12厘米、寬8厘米、高6厘米，它的容積是576立方厘米。盒子里裝棱長3厘米的小正方體木塊，一共能裝16塊。
【點睛】本題主要考查長方體的容積公式，熟練掌握它的公式并靈活運用。
?？家族e
題型10：體積、容積單位的選擇
【典例精講10】（22-23六年級上·江蘇泰州·期末）4.05立方米＝( )立方分米 80毫升＝( )升
【答案】 4050 0.08
【分析】高級單位換低級單位乘進率，根據(jù)1立方米＝1000立方分米，用4.05×1000即可；低級單位換高級單位除以進率，根據(jù)1升＝1000毫升，用80÷1000即可。
【詳解】4.05立方米＝4.05×1000＝4050立方分米
80毫升＝80÷1000＝0.08升
【點睛】本題考查單位換算，明確各單位之間的進率是解題的關(guān)鍵。
?？家族e
題型11：體積與容積單位間的進率及換算
【典例精講11】（23-24六年級上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）如果把3升水全部倒入下圖中的兩個長方體水槽中，使它們的水面高度相等，這個高度是( )厘米。
【答案】12.5
【分析】左邊長方體的水的體積＋右邊水的體積＝3升，左邊長方體的高是h，則水的的體積＝長×寬×水的高度，同理右邊的水的體積＝長×寬×水的高，且兩個水的高度為h，列出方程求出h。注意單位換算，1升＝100毫升，高級單位轉(zhuǎn)化為低級單位用乘法。
【詳解】解：設(shè)高度為h米。
3升＝3000毫升
6×10×h＋12×15×h＝3000
60h＋180h＝3000
240h＝3000
h＝3000÷240
h＝12.5
則這個高度是12.5厘米。
?？家族e
題型12：長方體表面積的計算
【典例精講12】（22-23六年級上·江蘇淮安·期末）0.036立方米( )立方分米 ( )L 分( )秒
【答案】 36 6.78 24
【分析】立方米與立方分米的進率是1000，立方米換成立方分米應(yīng)該乘進率；立方厘米與升的進率是1000，立方厘米換成升應(yīng)該除以進率；分和秒的進率是60，分換成秒應(yīng)該乘進率。
【詳解】0.036×1000＝36
0.036立方米＝36立方分米
6780÷1000＝6.78
6780＝6.78L
×60＝24
分＝24秒
【點睛】單位換算需要知道單位之間的進率，大單位換成小單位應(yīng)該乘進率，小單位換成大單位應(yīng)該除以進率。
?？家族e
題型13：立體圖形的切拼（長方體、正方體的表面積）
【典例精講13】（22-23六年級上·江蘇鹽城·期末）如圖，把兩個棱長為2厘米的正方體拼成一個長方體，拼成的長方體的表面積比原來減少了( )平方厘米，拼成的長方體的表面積是( )平方厘米。
【答案】 8 40
【分析】根據(jù)題意，把兩個棱長為2厘米的正方體拼成一個長方體，則表面積會減少2個正方形的面積，根據(jù)正方形的面積公式S＝a2，求出一個面的面積，再乘2，即是減少的表面積。
拼成的長方體的長是（2×2）厘米，寬和高都是2厘米，根據(jù)長方體的表面積公式S＝2（ab＋ah＋bh），代入數(shù)據(jù)計算，即可求出長方體的表面積。
【詳解】表面積減少：2×2×2＝8（平方厘米）
長方體的長：2×2＝4（厘米）
長方體的表面積：
（4×2＋4×2＋2×2）×2
＝（8＋8＋4）×2
＝20×2
＝40（平方厘米）
拼成的長方體的表面積比原來減少了8平方厘米，拼成的長方體的表面積是40平方厘米。
?？家族e
題型14：立體圖形的切拼（長方體、正方體的體積）
【典例精講14】（22-23六年級上·江蘇·期末）一個長方體由棱長是1厘米的小正方體拼成，有些部分被擋住了（如下圖），這個長方體的表面積是( )平方厘米，體積是( )立方厘米。
【答案】 52 24
【分析】沿著長有4個小正方體，即長為4厘米，沿著寬有3個小正方體，即寬為3厘米，共擺了2層，即高是2厘米，長方體表面積公式：（長×寬＋長×高＋寬×高）×2，將數(shù)據(jù)代入計算表面積；長方體體積公式：長×寬×高，將數(shù)據(jù)代入計算出體積。
【詳解】（4×3＋4×2＋3×2）×2
＝（12＋8＋6）×2
＝（20＋6）×2
＝26×2
＝52（平方厘米）
2×4×3
＝8×3
＝24（立方厘米）
這個長方體的表面積是52平方厘米，體積是24立方厘米。
常考易錯
題型15：組合體的表面積（長方體、正方體）
【典例精講15】（23-24六年級上·江蘇揚州·期末）先觀察再填空。（注：每個小正方體棱長是1厘米）

照這樣擺放6層，搭成物體的個數(shù)是( )，表面積是( )平方厘米，擺放10層的表面積是( )平方厘米。
【答案】 21 66 150
【分析】搭成物體的個數(shù)：
擺放1層物體需要正方體的個數(shù)是1個，可以寫成：1×（1＋1）÷2；
擺放2層物體需要正方體的個數(shù)是3個，可以寫成：2×（2＋1）÷2；
擺放3層物體需要正方體的個數(shù)是6個，可以寫成：3×（3＋1）÷2；
……
由此可知，擺放n層物體需要正方體的個數(shù)是：n×（n＋1）÷2，求出擺6層需要正方體的個數(shù)；
根據(jù)圖中給出的表面積，搭成物體的表面積：
擺放1層物體表面積是6平方厘米，可以寫成：5×1＋1×1；
擺放2層物體表面積是14平方厘米，可以寫成：5×2＋2×2；
擺放3層層物體表面積是24平方厘米，可以寫成：5×3＋3×3；
……
由此可知，擺放n層物體表面積是5×n＋n×n；由此可以求出擺6層物體的表面積，擺10層物體的表面積，據(jù)此解答。
【詳解】根據(jù)分析可知，擺放6層，需要正方體的個數(shù)：
6×（6＋1）÷2
＝6×7÷2
＝42÷2
＝21（個）
表面積：5×6＋6×6
＝30＋36
＝66（平方厘米）
擺放10層的表面積：
5×10＋10×10
＝50＋100
＝150（平方厘米）
擺放6層，搭成物體的個數(shù)是21個，表面積是66平方厘米，擺放10層的表面積是150平方厘米。
【點睛】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，關(guān)鍵是根據(jù)給的表格找出對應(yīng)的規(guī)律是解題的關(guān)鍵。
?？家族e
題型16：不規(guī)則物體的體積算法（長方體、正方體）
【典例精講16】（22-23六年級上·江蘇徐州·期末）如圖，一個無水的觀賞魚缸中放著一塊高為3分米、體積為5立方分米的假山石。如果水管以每分鐘5立方分米的流量向魚缸里注水，至少需要( )分鐘才能將假山石完全淹沒。
【答案】5
【分析】水的體積＝水和假山的體積和－假山的體積，由題可知，將假山石完全淹沒時水的高度是3分米，水和假山的體積和是一個長度為5分米，高度為3分米，寬度為2分米的長方體，長方體的體積＝長×寬×高，先求出水和假山的體積和，再減去假山的體積，利用水的體積除以每分鐘流入的水的體積，即可求出需要幾分鐘。
【詳解】5×2×3－5
＝10×3－5
＝30－5
＝25（立方分米）
25÷5＝5（分鐘）
至少需要5分鐘才能將假山石完全淹沒。
學校:___________ 姓名：___________ 班級：___________
填空題
1．（22-23六年級上·江蘇揚州·期末）用一根鐵絲可以焊接成一個長6厘米，寬3厘米，高4厘米的長方體框架，這個長方體里面最多可以裝( )個體積為1立方厘米的小正方體。
2．（23-24六年級上·江蘇淮安·期中）一個長方體木塊的長是8分米、寬是6分米、高是5分米，把這個長方體削成一個最大的正方體，這個正方體的表面積是( )平方分米；剩余的體積是( )立方分米。
3．（22-23六年級上·江蘇鹽城·期中）一根鐵絲可焊成棱長是5厘米的正方體框架，如果用同樣長的一根焊成長8厘米，寬3厘米的長方體，它的高應(yīng)是( )厘米。
4．（22-23六年級上·江蘇鹽城·期中）把一根長1.8米，寬和高都是2分米的長方體木料沿與橫截面平行的方向切成5段，表面積比原來增加了( )平方分米，這根木料的體積是( )立方分米。
5．（22-23六年級上·江蘇鹽城·期中）一個游泳池長50米，寬20米，深1.8米，將四壁和底面貼上正方形瓷磚，那么貼瓷磚的面積是( )平方米。
6．（22-23六年級上·江蘇鹽城·期中）下圖都是用棱長為1厘米的正方體拼成的，它的表面積是( )平方厘米，體積是( )立方厘米。
7．（22-23六年級上·江蘇揚州·期末）數(shù)學實驗課上同學們正在測量鐵球體積，步驟如下：
甲球的體積是( )立方厘米，乙球的體積( )立方厘米。
8．（22-23六年級上·江蘇鹽城·期末）一個長方體紙箱的長是15分米，寬是10分米，高是6分米。這個長方體紙箱占地面積最小是( )平方分米，表面積是( )平方分米，體積是( )立方分米。
9．（22-23六年級上·江蘇鹽城·期末）魔方，又叫魯比克方塊，最早是由匈牙利布達佩斯建筑學院厄爾諾魯比克教授于1974年發(fā)明的，是最受歡迎的智力游戲之一。通常意義下的魔方，是指狹義的三階魔方（即6個面，每個面三行三列），形狀通常是正方體，由有彈性的硬塑料制成，后來又發(fā)展出了更多類型的魔方。有一個正方體魔方，表面涂有顏色，如果其中只有一面涂色的小方塊有24個，則這個正方體魔方是( )階魔方，這個魔方兩面涂色的小方塊有( )個。
10．（22-23六年級上·江蘇淮安·期末）用5個棱長是2分米的正方體拼成一個大長方體，這個大長方體的體積是( )立方分米，表面積是( )平方分米。
11．（22-23六年級上·江蘇宿遷·期末）用三個長4cm，寬3cm，高2cm的小長方體拼成一個大長方體，這個大長方體的體積是( )cm3，表面積最大是( )cm2。
12．（22-23六年級上·江蘇蘇州·期末）李阿姨要用硬紙板做一個長25厘米、寬18厘米、高5厘米的禮品盒，至少需要( )平方厘米的硬紙板，如果像圖這樣用彩帶捆扎，打結(jié)處需要12厘米，這根彩帶長( )厘米。
13．（22-23六年級上·江蘇揚州·期末）一個花壇的底面是邊長1.5米的正方形，高0.3米，四周用磚砌成，寬度是0.25米（如圖）。在花壇的中間填滿泥土，需要泥土( )立方米。
14．（24-25六年級上·江蘇徐州·期中）用一根長為96厘米的鐵絲做成一個最大的正方體，并在表面糊上彩紙，糊彩紙的面積是( )平方厘米，做成的正方體的體積是( )立方厘米。
15．（22-23六年級上·江蘇徐州·期末）觀察（如圖），把土豆放在長方體容器里，水面會上升( )厘米。
16．（22-23六年級上·江蘇蘇州·期末）如圖，把棱長1分米的小正方體豎著摞成長方體，找出長方體表面積和小正方體的個數(shù)之間的關(guān)系。
17．（23-24六年級上·江蘇徐州·期末）一個長方體，高減少2厘米，就成為一個表面積是216平方厘米的正方體，原來長方體的體積是( )立方厘米。
18．（23-24六年級上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）一個六面都涂上紅色的正方體木塊，切成若干個體積都是1立方厘米的小正方體，其中沒有涂色的小正方體有8個，兩面涂色的小正方體有( )個。
19．（22-23六年級上·江蘇鹽城·期末）將一個表面涂色的大正方體棱長若干等份，切割成64個相同的小正方體，其中兩面涂色的小正方體有( )個；一面涂色的小正方體有( )個。
20．（22-23六年級上·江蘇鹽城·期末）用棱長1厘米的小正方體擺成下邊的物體。這個物體的表面積是( )平方厘米，至少添加( )個這樣的小正方體，才能補成一個大正方體。
21．（22-23六年級上·江蘇鹽城·期末）一個底面是正方形的無蓋長方體紙盒，高12厘米，側(cè)面展開正好是一個正方形，這個紙盒的表面積是( )平方厘米，體積是( )立方厘米。
22．（23-24六年級上·江蘇鹽城·期末）徐老師制作了一個長方體禮品盒，長、寬、高分別是10厘米、8厘米和6厘米。這個長方體禮品盒的體積是( )立方厘米，表面積是( )平方厘米。
23．（23-24六年級上·江蘇常州·期中）一個長方體，高增加3厘米后就變成了一個棱長8厘米的正方體（如圖），表面積增加了( )平方厘米，體積增加了( )立方厘米。
24．（24-25六年級上·江蘇徐州·期中）把1米長的木料鋸成3段，表面積比原來增加了60平方厘米，原來這根木料的體積是( )立方厘米。
25．（23-24六年級上·江蘇南京·期中）如下圖，每個小正方體的棱長是1分米，按照這樣的規(guī)律繼續(xù)擺下去，第③個立體圖形的表面積是( )平方分米，第⑥個立體圖形共有( )個小正方體。
26．（23-24六年級上·江蘇常州·期中）下圖中所有大球的體積相同，所有小球的體積也相同，長方體容器的底面是邊長6厘米的正方形。每個大球的體積是( )立方厘米，每個小球的體積是( )立方厘米。
27．（23-24六年級上·江蘇揚州·期中）用鋁合金做一個長、寬、高分別是70厘米、15厘米和120厘米的長方體廣告燈箱（如圖），至少需鋁合金條( )分米。在燈箱外面的各個面用燈箱布圍成，至少( )平方分米的燈箱布。
28．（23-24六年級上·江蘇揚州·期中）填表。
如圖一根長方體木塊，表面積是80平方分米，它的橫截面是邊長1分米的正方形，工人師傅每次都鋸下一個棱長1分米的小正方體木塊。
29．（23-24六年級上·江蘇淮安·期中）如圖，一個長方體玻璃容器中，擺了若干個體積是1立方厘米的正方體。這個玻璃容器的容積是( )立方厘米。
30．（23-24六年級上·江蘇淮安·期中）如圖是由棱長1厘米的小正方體堆積起來的，它的體積是( )立方厘米，表面積是( )平方厘米。至少再添( )個小正方體就可以堆積成一個稍大的正方體。
31．（24-25六年級上·江蘇·期中）一個長方體紙盒長5厘米，寬4厘米，高2厘米，它的棱長總和是( )厘米，表面積是( )平方厘米，體積是( )立方厘米。
32．（23-24六年級上·江蘇宿遷·期中）一節(jié)3米長鐵皮的煙囪，底面是一個邊長2分米的正方形。制作10節(jié)這樣的煙囪至少需要( )平方米的鐵皮。
33．（23-24六年級上·江蘇南通·期中）把一根1.5米的長方體材料（如圖），平均鋸成3段，表面積比原來增加24平方分米，原來這根木料的體積是( )立方分米。
34．（24-25六年級上·江蘇蘇州·期中）填表。
35．（23-24六年級上·江蘇連云港·期中）用一根鐵絲圍成一個長8厘米，寬5厘米，高2厘米的長方體，它的最大面的面積是( )平方厘米，如果用這根鐵絲圍一個正方體框架，這個正方體的表面積是( )平方厘米，體積是( )立方厘米。
36．（23-24六年級上·江蘇淮安·期中）在括號里填上適當?shù)膯挝幻Q。
一間教室的體積大約是150( ) 一本數(shù)學書的體積大約是240( )
37．（23-24六年級上·江蘇淮安·期中）一個正方體的棱長之和是84厘米，它的棱長是( )厘米，占地面積是( )平方厘米，表面積是( )平方厘米。
38．（23-24六年級上·江蘇泰州·期中）把表面積是48平方厘米的正方體切分成兩個不同的長方體，如果第一個長方體的表面積是20平方厘米，第二個長方體的表面積是( )平方厘米。
39．（23-24六年級上·江蘇淮安·期中）一堆黃沙的體積是4.5立方米，將它均勻地鋪在長4米，寬2.5米的沙坑內(nèi)。沙坑內(nèi)的沙子厚( )米，是( )厘米。
40．（23-24六年級上·江蘇宿遷·期中）把一根長3米的長方體木料，沿橫截面平均鋸成三段，表面積增加了2.4平方米，這根木料的體積是( )立方米。
41．（23-24六年級上·江蘇常州·期中）用一根36厘米長的鐵絲做成一個正方體框架，再在外面糊一層紙，紙的面積至少是( )平方厘米，這個正方體的體積是( )立方厘米。
42．（23-24六年級上·江蘇南通·期中）用一根長60cm的鐵絲焊接一個正方體框架，在框架的每個面糊上彩紙，彩紙的面積至少是( )cm2，做成的正方體的體積是( )cm3。
43．（23-24六年級上·江蘇徐州·期中）如圖，一個長方體蛋糕盒，底面是邊長30厘米的正方形，高25厘米。做這樣一個蛋糕盒至少需要( )平方分米硬紙板；如果用彩帶把這個禮品盒捆扎起來，打結(jié)處長20厘米，那么一共需要( )分米的彩帶。
鐵條長度/厘米
25
20
12
8
鐵條根數(shù)/根
5
7
3
4
層數(shù)
1
2
3
4
5
…
正方體個數(shù)
1
3
6
10
15
…
表面積（平方厘米）
6
14
24
36
50
…
小正方體個數(shù)
1
2
3
4
5
…
n
長方體表面積/dm2
5
9
13
…
鋸下木塊的個數(shù)
1
2
3
…
減少的面積（平方分米）
…
76
剩下木塊的表面積（平方分米）
76
…
形體
長
寬
高
底面積
表面積
體積
長方體
1.5m
0.5m
0.4m
8cm
6cm
4cm
正方體
棱長2.5dm
棱長6cm
第一單元 《長方體和正方體》 單元復(fù)習講義（講義）
六年級數(shù)學上冊專項精練（知識梳理+素養(yǎng)目標+易錯集錦+典例精講+專項精練）
（導圖高清，可放大.）
1、核心素養(yǎng)目標：
（1）數(shù)學運算能力：學生能夠熟練掌握長方體和正方體的表面積和體積的計算方法，并能靈活運用到實際問題中。
（2）空間想象能力：學生能夠準確地想象和描述長方體和正方體的三維結(jié)構(gòu)，以及它們的展開圖。
（3）邏輯推理能力：學生能夠通過邏輯推理，理解長方體和正方體的性質(zhì)，并能解決相關(guān)的幾何問題。
（4）實踐應(yīng)用能力：學生能夠?qū)㈤L方體和正方體的知識應(yīng)用到實際生活中，解決實際問題。
2、學習目標：
（1）掌握長方體和正方體的特征，能計算它們的表面積和體積。
（2）通過觀察、操作、推理等方法，理解長方體和正方體的性質(zhì)和計算公式。
（3）培養(yǎng)學生對幾何圖形的興趣，激發(fā)學生探索空間圖形的熱情，增強學生解決實際問題的信心。
1、長方體的特征：長方體是由6個長方形（也可能有2個相對的面是正方形）圍成的立體圖形，有6個面、12條棱和8個頂點，相對的面完全相同、相對的棱長度相等。
2、 長方體的長、寬、高的含義：長方體相交于同一頂點的三條棱的長度，分別叫作它的長、寬、高。
1、沿著正方體（或長方體）的棱將其剪開，可以把正方體（或長方體）展開成一個平面圖形，這個平面圖形就是正方體（或長方體）的展開圖。
2、正方體（或長方體）的展開圖的特點：在展開圖中，正方體的6個面完全相同（長方體相對的面完全相同），相對的面完全隔開。
1、意義：長方體（或正方體）6個面的總面積。
2、計算方法：
（1）長方體的表面積=長×寬×2+長×高×2+寬 ×高×2=（長×寬+長×高+寬×高）×2。
（2）正方體的表面積=棱長×棱長×6。
3、稍復(fù)雜的長方體和正方體表面積的計算：在運用長方體和正方體的表面積解決生活中的實際問題時，最關(guān)鍵的是要根據(jù)實際問題確定計算哪幾個面的面積和。
1、體積的意義：物體所占空間的大小叫作物體的體積。
2、容積的意義：容器所能容納物體的體積叫作容器的容積。
3、相鄰體積單位間的進率：體積單位常用到，相鄰進率是1000；立方分米立方米，它們進率是1000；立方分米立方厘米，它們進率是1000。
1、長方體的體積=長×寬×高，字母公式為V=abh。
2、 正方體的體積=棱長×棱長×棱長，字母公式為V=a3。
3、長方體、正方體體積的統(tǒng)一公式
①底面積：長方體和正方體底面的面積，叫作它們的底面積。
②體積計算公式：長方體(或正方體)的體積=底面積×高，如果用字母S表示底面積，h表示高，長方體(或正方體)的體積計算公式可以寫成V=Sh。
一個表面涂色的正方體，把每條棱平均分成相等的若干份，然后切成同樣大的小正方體。
（1）3面涂色的小正方體有8個。
如果用n表示把正方體的棱平均分成的份數(shù)（n為大于或等于2的自然數(shù)），用a、b分別表示2面涂色和1面涂色的小正方體的個數(shù)，那么a=(n-2)×12，b=(n-2)2×6。
易錯點撥：（1）對長方體的特征理解不全面，誤認為長方體只有相對面的面積相等。
（2）一般情況，長方體只有相對面的面積相等。但當長方體中有兩個相對的面是正方形時，另外四個面的面積都相等，也就是說另外四個面中相鄰的面的面積也相等。
易錯點撥：
（1）求物體原材料的面積的時候，分不清求幾個面的面積。
（2）要求物體的表面積，首先要想清楚該物體要計算幾個面的面積。有些題目中有明確的說明：“無蓋”底部和四壁”等，應(yīng)除去上面的面積;有些題目要聯(lián)系實際情況作出判斷，比如，計算通風管的表面積時，上、下面的面積不需要計算。在解答時，可以根據(jù)實際情況畫一畫示意圖，有助于正確分析題意。
易錯點撥：（1）求容積與求體積的方法相同，但數(shù)據(jù)要求不一樣，容易產(chǎn)生錯誤。
（2）體積是物體所占空間的大小，計算時的長、寬、高數(shù)據(jù)應(yīng)當從外部測量;容積是容器所能容納物體的體積，計算時的長、寬、高應(yīng)從物體內(nèi)部測量。計算時要注意分清。
?？家族e
題型1：長方體的認識及特征
長方體的認識及特征
【典例精講1】（22-23六年級上·江蘇鹽城·期末）在一個長方體中，相交于同一頂點的三條棱的長度之和為6.8厘米，則這個長方體的棱長總和為( )厘米。
【答案】27.2
【分析】根據(jù)長方體的特征可知，相較于同一頂點的三條棱的長度之和就是長＋寬＋高的和；根據(jù)長方體棱長總和公式：棱長總和＝（長＋寬＋高）×4，代入數(shù)據(jù)，即可解答。
【詳解】6.8×4＝27.2（厘米）
在一個長方體中，相交于同一頂點的三條棱的長度之和為6.8厘米，則這個長方體的棱長總和為27.2厘米。
【點睛】熟練掌握長方體的特征以及棱長總和公式是解答本題的關(guān)鍵。
?？家族e
題型2：正方體的特征
【典例精講2】（22-23六年級上·江蘇南通·期末）將一個棱長6厘米的正方體的六個面都涂上紅色，然后把這個正方體切割成若干個棱長為1厘米的小正方體。這些小正方體中，兩面涂色的有( )個，六面都沒有涂色的有( )個。
【答案】 48 64
【分析】如圖，兩面涂色的在大正方體的棱上，六面都沒涂色的在內(nèi)部，棱長1厘米的小正方體，體積是1立方厘米，即棱長（6－2）厘米的正方體的體積是幾，就有幾個六面沒有涂色的小正方體。
【詳解】4×12＝48（個）
（6－2）×（6－2）×（6－2）
＝4×4×4
＝64（個）
兩面涂色的有48個，六面都沒有涂色的有64個。
【點睛】關(guān)鍵是熟悉正方體特征，掌握并靈活運用正方體體積公式。
?？家族e
題型3：長方體的展開圖
【典例精講3】（22-23六年級上·江蘇宿遷·期末）一個長方體紙盒，底面是周長為8分米的正方形，側(cè)面展開圖也是一個正方形，這個 長方體紙盒的體積是( )立方分米。
【答案】32
【分析】分析題意，因為長方體的底面周長為8分米的正方形，則這個長方體的底面邊長是8÷4＝2分米；又因為它的側(cè)面展開也是一個正方形，則這個長方體的高是8分米，所以長方體的體積為2×2×8＝32立方分米，據(jù)此解答。
【詳解】8÷4＝2（分米）
2×2×8
＝4×8
＝32（立方分米 ）
這個長方體紙盒的體積是（32）立方分米。
【點睛】本題考查了長方體的體積計算，解答本題的重點是讓學生理解這個長方體的高是8分米，底面邊長是2分米的正方形，然后再根據(jù)長方體的體積公式求解。
常考易錯
題型4：正方體的展開圖
【典例精講4】（22-23六年級上·江蘇鹽城·期末）下圖是一個正方體的展開圖，與“自”字相對的是( )字，如果折成的正方體棱長是4厘米，這個正方體的表面積是( )平方厘米，體積是( )立方厘米。
【答案】 功 96 64
【分析】根據(jù)正方體展開圖的11種特征，此圖屬于正方體展開圖的“1－4－1”型，折成正方體后，自和功相對；信和靜相對；冷和成相對；再根據(jù)正方體的表面積公式：表面積＝棱長×棱長×6；體積公式：體積＝棱長×棱長×棱長，代入數(shù)據(jù)，求出正方體的表面積和正方體體積。
【詳解】4×4×6
＝16×6
＝96（平方厘米）
4×4×4
＝16×4
＝64（立方厘米）
下圖是一個正方體的展開圖，與“自”字相對的是功字，如果折成的正方體棱長是4厘米，這個正方體的表面積是96平方厘米，體積是64立方厘米。
【點睛】本題主要考查正方體展開圖，正方體表面積公式和正方體體積公式的應(yīng)用。
?？家族e
題型5：長方體有關(guān)棱長的應(yīng)用
【典例精講5】（23-24六年級上·江蘇鹽城·期末）王老師從下面的材料中選擇12根鐵條焊接成了一個長方體框架，他一共用了( ) 分米鐵條，在這個框架外表面糊上彩紙，一共需要( )平方分米彩紙（粘貼處忽略不計）。
【答案】 21.2 17.2
【分析】長方體有12條棱，，相對的四條棱長度相等，按長度可分為三組，每一組有4條棱。據(jù)此確定能焊接成長方體框架的鐵條。根據(jù)長方體棱長總和＝（長＋寬＋高）×4，長方體表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2，列式計算即可，注意統(tǒng)一單位。
【詳解】12厘米長的鐵條只有3根，不能用，選擇25厘米、20厘米和8厘米長的鐵條各4根，可以焊接成了一個長方體框架，即長方體的長寬高分別是25厘米、20厘米和8厘米。
（25＋20＋8）×4
＝53×4
＝212（厘米）
＝21.2（分米）
（25×20＋25×8＋20×8）×2
＝（500＋200＋160）×2
＝860×2
＝1720（平方厘米）
＝17.2（平方分米）
他一共用了21.2分米鐵條，在這個框架外表面糊上彩紙，一共需要17.2平方分米彩紙。
?？家族e
題型6：正方體有關(guān)棱長的應(yīng)用
【典例精講6】（22-23六年級上·江蘇鹽城·期末）將一根54厘米長的鐵絲截下它的焊接成一個正方體框架，這個正方體框架的棱長是( )厘米。在這個框架的表面貼上彩紙，至少需要( )平方厘米的彩紙。
【答案】 3 54
【分析】根據(jù)題意可知，正方體的棱長總和是54厘米的，再根據(jù)正方體棱長總和＝棱長×12，求出棱長即可；再根據(jù)正方體的表面積＝棱長×棱長×6，代入數(shù)據(jù)計算即可。
【詳解】正方體的棱長：54×÷12
＝
＝3（厘米）
彩紙大小：3×3×6
＝9×6
＝54（平方厘米）
【點睛】此題考查了求正方體的棱長以及正方體表面積。要求學生熟練掌握并靈活運用。
?？家族e
題型7：長方體的體積
長方體的體積
【典例精講7】（23-24六年級上·江蘇鹽城·期末）一根長方體木料，長1.5米，橫截面是一個邊長是3分米的正方形，把它鋸成3段，表面積比原來增加( )平方分米，原來這根木料的體積是( )立方分米。
【答案】 36 135
【分析】把長方體木料鋸成3段，表面積比原來增加了4個橫截面的面積，據(jù)此求出一個橫截面的面積，再乘4即可求出增加的面積。把1.5米化為15分米，再根據(jù)長方體的體積＝長×寬×高，代入數(shù)據(jù)解答即可。
【詳解】
（個）
（平方分米）
1.5米＝15分米
（立方分米）
原來這根長方體木料的體積是135立方分米。
?？家族e
題型8：正方體的體積
【典例精講8】（22-23六年級上·江蘇淮安·期末）要做一個棱長是4分米的正方體金魚缸（無蓋），需要玻璃( )平方分米；如果裝滿水，能盛水( )升。
【答案】 80 64
【分析】需要多少玻璃就是要求正方體的表面積，因為無蓋，所以只算5個面，因為正方體的每個面都相等，所以用一個面的面積×5可算出需要多少玻璃；能盛水多少升，就是求這個正方體容器的容積，也就是這個正方體的體積。1立方分米＝1升，最后把單位換成升。
【詳解】需要玻璃多少平方分米：
（平方分米）
能盛多少升水：
（升）
所以需要玻璃80平方分米，能盛水64升。
【點睛】熟練掌握正方體的表面積和體積的計算方法，結(jié)合實際情境，分清楚是要計算表面積還是體積。需要注意“無蓋”，算容積應(yīng)該用容積單位。
常考易錯
題型9：長方體、正方體的容積
【典例精講9】（22-23六年級上·江蘇泰州·期末）一個長方體盒子，從里面量長12厘米、寬8厘米、高6厘米，它的容積是( )立方厘米。盒子里裝棱長3厘米的小正方體木塊，一共能裝( )塊。
【答案】 576 16
【分析】根據(jù)長方體的容積公式：長×寬×高，把數(shù)代入公式即可求解；由于盒子里裝棱長3厘米的小正方體木塊，則看盒子的長能裝多少塊（即一行有幾塊），即12÷3＝4（塊）；再看寬能裝多少塊（即有幾行），即8÷3＝2（塊）……2（厘米），再看高能裝多少塊（即幾層），用6÷3＝2（塊），之后用4乘2乘2即可求出一共能裝多少塊。
【詳解】12×8×6
＝96×6
＝576（立方厘米）
12÷3＝4（塊）
8÷3＝2（塊）……2（厘米）
6÷3＝2（塊）
4×2×2
＝8×2
＝16（塊）
所以一個長方體盒子，從里面量長12厘米、寬8厘米、高6厘米，它的容積是576立方厘米。盒子里裝棱長3厘米的小正方體木塊，一共能裝16塊。
【點睛】本題主要考查長方體的容積公式，熟練掌握它的公式并靈活運用。
?？家族e
題型10：體積、容積單位的選擇
【典例精講10】（22-23六年級上·江蘇泰州·期末）4.05立方米＝( )立方分米 80毫升＝( )升
【答案】 4050 0.08
【分析】高級單位換低級單位乘進率，根據(jù)1立方米＝1000立方分米，用4.05×1000即可；低級單位換高級單位除以進率，根據(jù)1升＝1000毫升，用80÷1000即可。
【詳解】4.05立方米＝4.05×1000＝4050立方分米
80毫升＝80÷1000＝0.08升
【點睛】本題考查單位換算，明確各單位之間的進率是解題的關(guān)鍵。
?？家族e
題型11：體積與容積單位間的進率及換算
【典例精講11】（23-24六年級上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）如果把3升水全部倒入下圖中的兩個長方體水槽中，使它們的水面高度相等，這個高度是( )厘米。
【答案】12.5
【分析】左邊長方體的水的體積＋右邊水的體積＝3升，左邊長方體的高是h，則水的的體積＝長×寬×水的高度，同理右邊的水的體積＝長×寬×水的高，且兩個水的高度為h，列出方程求出h。注意單位換算，1升＝100毫升，高級單位轉(zhuǎn)化為低級單位用乘法。
【詳解】解：設(shè)高度為h米。
3升＝3000毫升
6×10×h＋12×15×h＝3000
60h＋180h＝3000
240h＝3000
h＝3000÷240
h＝12.5
則這個高度是12.5厘米。
常考易錯
題型12：長方體表面積的計算
【典例精講12】（22-23六年級上·江蘇淮安·期末）0.036立方米( )立方分米 ( )L 分( )秒
【答案】 36 6.78 24
【分析】立方米與立方分米的進率是1000，立方米換成立方分米應(yīng)該乘進率；立方厘米與升的進率是1000，立方厘米換成升應(yīng)該除以進率；分和秒的進率是60，分換成秒應(yīng)該乘進率。
【詳解】0.036×1000＝36
0.036立方米＝36立方分米
6780÷1000＝6.78
6780＝6.78L
×60＝24
分＝24秒
【點睛】單位換算需要知道單位之間的進率，大單位換成小單位應(yīng)該乘進率，小單位換成大單位應(yīng)該除以進率。
?？家族e
題型13：立體圖形的切拼（長方體、正方體的表面積）
【典例精講13】（22-23六年級上·江蘇鹽城·期末）如圖，把兩個棱長為2厘米的正方體拼成一個長方體，拼成的長方體的表面積比原來減少了( )平方厘米，拼成的長方體的表面積是( )平方厘米。
【答案】 8 40
【分析】根據(jù)題意，把兩個棱長為2厘米的正方體拼成一個長方體，則表面積會減少2個正方形的面積，根據(jù)正方形的面積公式S＝a2，求出一個面的面積，再乘2，即是減少的表面積。
拼成的長方體的長是（2×2）厘米，寬和高都是2厘米，根據(jù)長方體的表面積公式S＝2（ab＋ah＋bh），代入數(shù)據(jù)計算，即可求出長方體的表面積。
【詳解】表面積減少：2×2×2＝8（平方厘米）
長方體的長：2×2＝4（厘米）
長方體的表面積：
（4×2＋4×2＋2×2）×2
＝（8＋8＋4）×2
＝20×2
＝40（平方厘米）
拼成的長方體的表面積比原來減少了8平方厘米，拼成的長方體的表面積是40平方厘米。
常考易錯
題型14：立體圖形的切拼（長方體、正方體的體積）
【典例精講14】（22-23六年級上·江蘇·期末）一個長方體由棱長是1厘米的小正方體拼成，有些部分被擋住了（如下圖），這個長方體的表面積是( )平方厘米，體積是( )立方厘米。
【答案】 52 24
【分析】沿著長有4個小正方體，即長為4厘米，沿著寬有3個小正方體，即寬為3厘米，共擺了2層，即高是2厘米，長方體表面積公式：（長×寬＋長×高＋寬×高）×2，將數(shù)據(jù)代入計算表面積；長方體體積公式：長×寬×高，將數(shù)據(jù)代入計算出體積。
【詳解】（4×3＋4×2＋3×2）×2
＝（12＋8＋6）×2
＝（20＋6）×2
＝26×2
＝52（平方厘米）
2×4×3
＝8×3
＝24（立方厘米）
這個長方體的表面積是52平方厘米，體積是24立方厘米。
?？家族e
題型15：組合體的表面積（長方體、正方體）
【典例精講15】（23-24六年級上·江蘇揚州·期末）先觀察再填空。（注：每個小正方體棱長是1厘米）

照這樣擺放6層，搭成物體的個數(shù)是( )，表面積是( )平方厘米，擺放10層的表面積是( )平方厘米。
【答案】 21 66 150
【分析】搭成物體的個數(shù)：
擺放1層物體需要正方體的個數(shù)是1個，可以寫成：1×（1＋1）÷2；
擺放2層物體需要正方體的個數(shù)是3個，可以寫成：2×（2＋1）÷2；
擺放3層物體需要正方體的個數(shù)是6個，可以寫成：3×（3＋1）÷2；
……
由此可知，擺放n層物體需要正方體的個數(shù)是：n×（n＋1）÷2，求出擺6層需要正方體的個數(shù)；
根據(jù)圖中給出的表面積，搭成物體的表面積：
擺放1層物體表面積是6平方厘米，可以寫成：5×1＋1×1；
擺放2層物體表面積是14平方厘米，可以寫成：5×2＋2×2；
擺放3層層物體表面積是24平方厘米，可以寫成：5×3＋3×3；
……
由此可知，擺放n層物體表面積是5×n＋n×n；由此可以求出擺6層物體的表面積，擺10層物體的表面積，據(jù)此解答。
【詳解】根據(jù)分析可知，擺放6層，需要正方體的個數(shù)：
6×（6＋1）÷2
＝6×7÷2
＝42÷2
＝21（個）
表面積：5×6＋6×6
＝30＋36
＝66（平方厘米）
擺放10層的表面積：
5×10＋10×10
＝50＋100
＝150（平方厘米）
擺放6層，搭成物體的個數(shù)是21個，表面積是66平方厘米，擺放10層的表面積是150平方厘米。
【點睛】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，關(guān)鍵是根據(jù)給的表格找出對應(yīng)的規(guī)律是解題的關(guān)鍵。
?？家族e
題型16：不規(guī)則物體的體積算法（長方體、正方體）
【典例精講16】（22-23六年級上·江蘇徐州·期末）如圖，一個無水的觀賞魚缸中放著一塊高為3分米、體積為5立方分米的假山石。如果水管以每分鐘5立方分米的流量向魚缸里注水，至少需要( )分鐘才能將假山石完全淹沒。
【答案】5
【分析】水的體積＝水和假山的體積和－假山的體積，由題可知，將假山石完全淹沒時水的高度是3分米，水和假山的體積和是一個長度為5分米，高度為3分米，寬度為2分米的長方體，長方體的體積＝長×寬×高，先求出水和假山的體積和，再減去假山的體積，利用水的體積除以每分鐘流入的水的體積，即可求出需要幾分鐘。
【詳解】5×2×3－5
＝10×3－5
＝30－5
＝25（立方分米）
25÷5＝5（分鐘）
至少需要5分鐘才能將假山石完全淹沒。
學校:___________ 姓名：___________ 班級：___________
填空題
四則運算
一、填空題
1．（22-23六年級上·江蘇揚州·期末）用一根鐵絲可以焊接成一個長6厘米，寬3厘米，高4厘米的長方體框架，這個長方體里面最多可以裝( )個體積為1立方厘米的小正方體。
【答案】72
【分析】長方體體積＝長×寬×高，用長方體框架的體積除以每個小正方體的體積就是能裝小正方體的個數(shù)。
【詳解】6×3×4÷1
＝72÷1
＝72（個）
即，這個長方體里面最多可以裝72個體積為1立方厘米的小正方體。
2．（23-24六年級上·江蘇淮安·期中）一個長方體木塊的長是8分米、寬是6分米、高是5分米，把這個長方體削成一個最大的正方體，這個正方體的表面積是( )平方分米；剩余的體積是( )立方分米。
【答案】 150 115
【分析】根據(jù)題意可知，長方體削成一個最大正方體，正方體的棱長等于長方體的高；根據(jù)正方體表面積公式：表面積＝棱長×棱長×6，代入數(shù)據(jù)，求出這個正方體的表面積；根據(jù)長方體體積公式：體積＝長×寬×高；正方體體積公式：體積＝棱長×棱長×棱長，代入數(shù)據(jù)，分別求出長方體木塊的體積和削成正方體木塊的體積，再用長方體木塊的體積－削成正方體木塊的體積，即可解答。
【詳解】5×5×6
＝25×6
＝150（平方分米）
8×6×5－5×5×5
＝48×5－25×5
＝240－125
＝115（立方分米）
一個長方體木塊的長是8分米、寬是6分米、高是5分米，把這個長方體削成一個最大的正方體，這個正方體的表面積是150平方分米；剩余的體積是115立方分米。
3．（22-23六年級上·江蘇鹽城·期中）一根鐵絲可焊成棱長是5厘米的正方體框架，如果用同樣長的一根焊成長8厘米，寬3厘米的長方體，它的高應(yīng)是( )厘米。
【答案】4
【分析】鐵絲長度相當于長方體棱長總和，根據(jù)正方體棱長總和＝棱長×12，長方體的高＝棱長總和÷4－長－寬，列式計算即可。
【詳解】5×12÷4－8－3
＝15－8－3
＝4（厘米）
它的高應(yīng)是4厘米。
4．（22-23六年級上·江蘇鹽城·期中）把一根長1.8米，寬和高都是2分米的長方體木料沿與橫截面平行的方向切成5段，表面積比原來增加了( )平方分米，這根木料的體積是( )立方分米。
【答案】 32 72
【分析】這個木料的寬和高都是2分米，則這根木料的橫截面面積為：2×2＝4（平方分米）；
將木料切成5段需要切4刀，切1刀增加2個面，則切4刀增加8個面。因為是沿著與橫截面平行的方向切，所以表面積增加8個橫截面。長方體的體積＝長×寬×高，代入數(shù)據(jù)計算即可，注意換算單位。
【詳解】橫截面的面積：2×2＝4（平方分米）
（5－1）×2＝8（個）
表面積增加的面積：4×8＝32（平方分米）
1.8米＝18分米，這根木料的體積：18×2×2＝72（立方分米）
5．（22-23六年級上·江蘇鹽城·期中）一個游泳池長50米，寬20米，深1.8米，將四壁和底面貼上正方形瓷磚，那么貼瓷磚的面積是( )平方米。
【答案】1252
【分析】從題意可知：這個游泳池在下面和前后左右面共5個面貼瓷磚，貼瓷磚的面積＝長×寬＋長×高×2＋寬×高×2，代入數(shù)據(jù)列式計算即可。
【詳解】50×20＋50×1.8×2＋20×1.8×2
＝1000＋180＋72
＝1252（平方米）
那么貼瓷磚的面積是1252平方米。
6．（22-23六年級上·江蘇鹽城·期中）下圖都是用棱長為1厘米的正方體拼成的，它的表面積是( )平方厘米，體積是( )立方厘米。
【答案】 30 8
【分析】邊長1厘米的正方形，面積是1平方厘米，從前面看有6個小正方形，從上面看有5個小正方形，從右面看有4個小正方形，前后面看到的小正方形個數(shù)一樣，左右面看到的小正方形個數(shù)一樣，上下面看到的小正方形個數(shù)一樣，因此表面積＝（從前面看到的小正方形個數(shù)＋從上面看到的小正方形個數(shù)＋從右面看到的小正方形個數(shù)）×2；
棱長1厘米的正方體，體積是1立方厘米，底層5個小正方體，中間1層2個小正方體，最上層1個小正方體，組合體的體積＝小正方體的總個數(shù)，據(jù)此分析。
【詳解】（6＋5＋4）×2
＝15×2
＝30（平方厘米）
5＋2＋1＝8（立方厘米）
它的表面積是30平方厘米，體積是8立方厘米。
7．（22-23六年級上·江蘇揚州·期末）數(shù)學實驗課上同學們正在測量鐵球體積，步驟如下：
甲球的體積是( )立方厘米，乙球的體積( )立方厘米。
【答案】 1200 1800
【分析】甲鐵球完全浸沒在水里后，甲鐵球的體積＝水面上升的體積，水面上升的體積可看作長為20厘米，寬為15厘米，高為4厘米的長方體的體積，根據(jù)長方體的體積公式，把數(shù)據(jù)代入即可求出甲鐵球的體積。乙鐵球從水里拿出來后，乙鐵球的體積＝水面下降的體積，水面下降的體積可看作長為20厘米，寬為15厘米，高為6厘米的長方體的體積，根據(jù)長方體的體積公式，把數(shù)據(jù)代入即可求出乙鐵球的體積。
【詳解】20×15×4＝1200（立方厘米）
20×15×6＝1800（立方厘米）
即甲球的體積是1200立方厘米，乙球的體積1800立方厘米。
【點睛】此題的解題關(guān)鍵是掌握不規(guī)則物體的體積的計算方法，通過轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，靈活運用長方體的體積公式，解決問題。
8．（22-23六年級上·江蘇鹽城·期末）一個長方體紙箱的長是15分米，寬是10分米，高是6分米。這個長方體紙箱占地面積最小是( )平方分米，表面積是( )平方分米，體積是( )立方分米。
【答案】 60 600 900
【分析】求這個長方體紙箱占地面積最小，紙盒的長是10分米，寬是6分米的面積占地面積最小，根據(jù)長方形的面積公式：面積＝長×寬，代入數(shù)據(jù)，求出最小面積；
根據(jù)長方體表面積公式：表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2，代入數(shù)據(jù)求出這個長方體紙箱的表面積；
再根據(jù)長方體的體積公式：體積＝長×寬×高，代入數(shù)據(jù)，求出這個長方體紙箱的體積。
【詳解】10×6＝60（平方分米）
（15×10＋15×6＋10×6）×2
＝（150＋90＋60）×2
＝（240＋60）×2
＝300×2
＝600（平方分米）
15×10×6
＝150×6
＝900（立方分米）
一個長方體紙箱的長是15分米，寬是10分米，高是6分米。這個長方體紙箱占地面積最小是60平方分米，表面積600平方分米，體積900立方分米。
【點睛】本題主要考查長方體的特征、表面積、體積的計算方法，關(guān)鍵明確這個長方體紙箱的最小占地面積，就是紙箱最小底面的面積。
9．（22-23六年級上·江蘇鹽城·期末）魔方，又叫魯比克方塊，最早是由匈牙利布達佩斯建筑學院厄爾諾魯比克教授于1974年發(fā)明的，是最受歡迎的智力游戲之一。通常意義下的魔方，是指狹義的三階魔方（即6個面，每個面三行三列），形狀通常是正方體，由有彈性的硬塑料制成，后來又發(fā)展出了更多類型的魔方。有一個正方體魔方，表面涂有顏色，如果其中只有一面涂色的小方塊有24個，則這個正方體魔方是( )階魔方，這個魔方兩面涂色的小方塊有( )個。
【答案】 四 24
【分析】如圖：

觀察上圖，魔方有6個面且為正方體，所以用24÷6＝4，可以求出這是一個四階魔方；因為這是一個四階魔方，所以每個面只有一面涂色的小方塊有2×2個，求兩面涂色的小方塊有多少個（紫色部分），即一條棱上有2個小方塊，所以12×2＝24個小方塊兩面涂色。
【詳解】24÷6＝4
這個魔方兩面涂色的小方塊有：2×12＝24（個）
所以這個正方體魔方是四階魔方，這個魔方兩面涂色的小方塊有24個。
【點睛】此題考查了學生的理解分析能力。
10．（22-23六年級上·江蘇淮安·期末）用5個棱長是2分米的正方體拼成一個大長方體，這個大長方體的體積是( )立方分米，表面積是( )平方分米。
【答案】 40 88
【分析】用5個棱長是2分米的正方體拼成一個大長方體，只有一種情況，就是5個小正方體擺成一排。這個長方形體的長是5×2＝10分米，寬是2分米，高是2分米。再根據(jù)長方形的體積＝長×寬×高，長方形表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2，分別計算即可。
【詳解】如下圖：
長方體的的長：2×5＝10（分米）
長方體的體積：
＝
＝40（立方分米）
長方體的表面積：
（10×2＋10×2＋2×2）×2
＝（20＋20＋4）×2
＝44×2
＝88（平方分米）
故長方體的體積是40立方分米，長方體的表面積是88平方分米。
【點睛】對于多個正方體拼成一個大的立體圖形，先要構(gòu)建出這個立體圖形的樣子，再找出需要的信息進行計算。
11．（22-23六年級上·江蘇宿遷·期末）用三個長4cm，寬3cm，高2cm的小長方體拼成一個大長方體，這個大長方體的體積是( )cm3，表面積最大是( )cm2。
【答案】 72 132
【分析】小長方體拼成大長方體的方式共有3種，如圖所示，用1個小長方體的表面積乘3再減掉重合的4個面的面積，就是各圖的表面積，再比較大小，找出最大表面積是多少；這3種拼法的大長方體的體積都是3個小長方體體積之和，據(jù)此解答。

【詳解】大長方體體積：
4×3×2×3
＝24×3
＝72（cm3）
小長方體表面積：
（4×3＋4×2＋3×2）×2
＝（12＋8＋6）×2
＝26×2
＝52（cm2）
大長方體（1）的表面積：
52×3－4×2×4
＝156－32
＝124（cm2）
大長方體（2）的表面積：
52×3－3×2×4
＝156－24
＝132（cm2）
大長方體（3）的表面積：
52×3－4×3×4
＝156－48
＝108（cm2）
108＜124＜132，所以（2）的表面積最大。
這個大長方體的體積是72cm3，表面積最大是132cm2。
【點睛】考查長方體的拼接及體積、表面積的計算。
12．（22-23六年級上·江蘇蘇州·期末）李阿姨要用硬紙板做一個長25厘米、寬18厘米、高5厘米的禮品盒，至少需要( )平方厘米的硬紙板，如果像圖這樣用彩帶捆扎，打結(jié)處需要12厘米，這根彩帶長( )厘米。
【答案】 1330 118
【分析】（1）求至少需要多少平方厘米的硬紙板，也就是求長方體禮品盒的表面積。長方體的表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2，把長25厘米、寬18厘米、高5厘米代入長方體表面積公式計算即可求出需要的硬紙板的面積。
（2）觀察上圖可知：彩帶的長包含2個長、2個寬、4個高和打結(jié)的長度，即用25×2＋18×2＋5×4＋12可求出這根彩帶的長。
【詳解】（25×18＋25×5＋18×5）×2
＝（450＋125＋90）×2
＝665×2
＝1330（平方厘米）
25×2＋18×2＋5×4＋12
＝50＋36＋20＋12
＝118（厘米）
所以，至少需要1330平方厘米的硬紙板，這根彩帶長118厘米。
13．（22-23六年級上·江蘇揚州·期末）一個花壇的底面是邊長1.5米的正方形，高0.3米，四周用磚砌成，寬度是0.25米（如圖）。在花壇的中間填滿泥土，需要泥土( )立方米。
【答案】0.3
【分析】由題意可知：求泥土的體積也就是求長是（1.5－0.25×2）米、寬是（1.5－0.25×2）米、高是0.3米的長方體的體積。根據(jù)長方體的體積＝長×寬×高，用（1.5－0.25×2）×（1.5－0.25×2）×0.3可求出需要的泥土的體積。
【詳解】（1.5－0.25×2）×（1.5－0.25×2）×0.3
＝（1.5－0.5）×（1.5－0.5）×0.3
＝1×1×0.3
＝0.3（立方米）
所以，需要泥土0.3立方米。
14．（24-25六年級上·江蘇徐州·期中）用一根長為96厘米的鐵絲做成一個最大的正方體，并在表面糊上彩紙，糊彩紙的面積是( )平方厘米，做成的正方體的體積是( )立方厘米。
【答案】 384 512
【分析】根據(jù)題意，鐵絲長度就等于正方體的棱長和。先算出正方體的棱長，用96除以12即可。再根據(jù)正方體的表面積公式：邊長×邊長×6，代入數(shù)據(jù)，即可求出糊彩紙的面積。再根據(jù)正方體的體積公式：邊長×邊長×邊長，代入數(shù)據(jù)計算即可。
【詳解】96÷12＝8（厘米）
8×8×6
＝64×6
＝384（平方厘米）
8×8×8
＝64×8
＝512（立方厘米）
所以糊彩紙的面積是384平方厘米，做成的正方體的體積是512立方厘米。
15．（22-23六年級上·江蘇徐州·期末）觀察（如圖），把土豆放在長方體容器里，水面會上升( )厘米。
【答案】2.5
【分析】觀察圖可知，土豆的體積相當于（800－600）毫升的水，根據(jù)1毫升＝1立方厘米，可知土豆的體積是（800－600）立方厘米，把土豆放在長方體容器里，土豆的體積相當于上升部分水的體積，上升部分水的體積＝長×寬×上升的高度，據(jù)此用土豆的體積÷10÷8即可求出上升的高度。
【詳解】800－600＝200（毫升）
200毫升＝200立方厘米
200÷10÷8＝2.5（厘米）
把土豆放在長方體容器里，水面會上升2.5厘米。
16．（22-23六年級上·江蘇蘇州·期末）如圖，把棱長1分米的小正方體豎著摞成長方體，找出長方體表面積和小正方體的個數(shù)之間的關(guān)系。
【答案】見詳解
【分析】棱長是1分米，一個面的面積是1×1＝1（平方分米），有幾個面積露在外面，它的面積就是幾；
1個小正方體露在外面的面數(shù)是5個，面積是5平方分米，可以寫成：4×1＋1；
2個小正方體露在外面的面數(shù)是9個，面積是9平方分米，可以寫成：4×2＋1；
3個小正方體露在外面的面數(shù)是13個，面積是13平方分米，可以寫成：4×3＋1；
……
n個小正方體露在外面的面數(shù)是4×n＋1，面積是（4n＋1）平方分米；
當n＝4，n＝5時，求出露在外面的面數(shù)，據(jù)此解答。
【詳解】根據(jù)分析可知，n個小正方體露在外面的面的面積是（4n＋1）平方分米；
n＝4時：
4×4＋1
＝16＋1
＝17（平方分米）
n＝5時：
4×5＋1
＝20＋1
＝21（平方分米）
17．（23-24六年級上·江蘇徐州·期末）一個長方體，高減少2厘米，就成為一個表面積是216平方厘米的正方體，原來長方體的體積是( )立方厘米。
【答案】288
【分析】一個長方體，高減少2厘米，就成為一個正方體，說明長方體上下兩個面是正方形，正方體表面積÷6＝正方體底面積，也是長方體底面積，根據(jù)正方形面積＝邊長×邊長，確定正方體棱長，正方體棱長＋減少的高＝長方體的高，根據(jù)長方體體積＝底面積×高，即可求出原來長方體的體積。
【詳解】216÷6＝36（平方厘米）
36＝6×6
6＋2＝8（厘米）
36×8＝288（立方厘米）
原來長方體的體積是288立方厘米。
18．（23-24六年級上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）一個六面都涂上紅色的正方體木塊，切成若干個體積都是1立方厘米的小正方體，其中沒有涂色的小正方體有8個，兩面涂色的小正方體有( )個。
【答案】24
【分析】根據(jù)正方體的切割可知，（每條棱長小正方體個數(shù)－2）3＝?jīng)]有涂色的小正方體個數(shù)，沒有涂色的小正方體有8個，8＝2×2×2，所以每條棱長小正方體個數(shù)是（2＋2）個，也就是4個，在各棱處，除去頂點處的正方體，其他的是兩面油漆，每條棱長兩面涂色的有（4－2）個，正方體有12條棱，（4－2）再乘12即可求出兩面涂色的小正方體個數(shù)。
【詳解】8＝2×2×2
2＋2＝4（個）
4－2＝2（個）
2×12＝24（個）
兩面涂色的小正方體有24個。
19．（22-23六年級上·江蘇鹽城·期末）將一個表面涂色的大正方體棱長若干等份，切割成64個相同的小正方體，其中兩面涂色的小正方體有( )個；一面涂色的小正方體有( )個。
【答案】 24 24
【分析】假設(shè)切割成的小正方體的棱長是1厘米，64＝4×4×4，所以原來大正方體的棱長是4厘米，正方體有8個頂點，12條棱，6個面，且已知把這個棱長4厘米的正方體切成棱長為1厘米的小正方體，三面涂色的小正方體位于大正方體的頂點上，即有8個三面涂色的小正方體；除了頂點只剩下2個小正方體，即由12×2＝24（個）兩面涂色的小正方體；一面涂色的小正方體位于大正方體的面的中心，每個面有4個這樣的小正方體，即有6×4＝24（個）小正方體，據(jù)此解答。
【詳解】12×2＝24（個）
6×4＝24（個）
所以其中兩面涂色的小正方體有24個，一面涂色的小正方體有24個。
20．（22-23六年級上·江蘇鹽城·期末）用棱長1厘米的小正方體擺成下邊的物體。這個物體的表面積是( )平方厘米，至少添加( )個這樣的小正方體，才能補成一個大正方體。
【答案】 40 14
【分析】從前面看有7個小正方形面，從左面看有6個小正方形面，從上面看有7個小正方形面，把從左面、前面、后面看到的小正方形面的個數(shù)乘2，就是這個圖形一共有多少個小正方形面，再乘1個小正方形的面積就是這個物體的表面積；觀察這個物體可知，這個物體的最長邊是3厘米，如果添加同樣的正方體，把這個物體補成一個大正方體，則大正方體的棱長至少是3厘米，則棱長為3個小正方體的棱長，一共有（3×3×3）個小正方體，原來一共有13個小正方體，再用現(xiàn)在的小正方體個數(shù)減去13即可解答。
【詳解】1×1＝1（平方厘米）
（7＋6＋7）×2×1
＝20×2×1
＝40（平方厘米）
3×3×3－13
＝27－13
＝14（個）
所以這個物體的表面積是40平方厘米，至少添加14個這樣的小正方體，才能補成一個大正方體。
21．（22-23六年級上·江蘇鹽城·期末）一個底面是正方形的無蓋長方體紙盒，高12厘米，側(cè)面展開正好是一個正方形，這個紙盒的表面積是( )平方厘米，體積是( )立方厘米。
【答案】 153 108
【分析】側(cè)面展開正好是一個正方形，說明底面正方形的周長和長方體的高相等，可以先求出底面正方形的邊長。因為紙盒無蓋，所以表面積等于側(cè)面積加上一個底面積。根據(jù)公式：長方體的體積＝底面積×高，計算出長方體的體積即可。據(jù)此解答。
【詳解】正方形的邊長：12÷4＝3（厘米）
側(cè)面積：12×12＝144（平方厘米）
底面積：3×3＝9（平方厘米）
紙盒的表面積：144＋9＝153（平方厘米）
紙盒的體積：9×12＝108（立方厘米）
即這個紙盒的表面積是153平方厘米，體積是108立方厘米。
22．（23-24六年級上·江蘇鹽城·期末）徐老師制作了一個長方體禮品盒，長、寬、高分別是10厘米、8厘米和6厘米。這個長方體禮品盒的體積是( )立方厘米，表面積是( )平方厘米。
【答案】 480 376
【分析】長方體的體積＝長×寬×高；長方體的表面積＝長×寬×2＋長×高×2＋寬×高×2，據(jù)此代入數(shù)據(jù)解答即可。
【詳解】10×8×6
＝80×6
＝480（立方厘米）
10×8×2＋10×6×2＋8×6×2
＝160＋120＋96
＝280＋96
＝376（平方厘米）
所以這個長方體禮品盒的體積是480立方厘米，表面積是376平方厘米。
23．（23-24六年級上·江蘇常州·期中）一個長方體，高增加3厘米后就變成了一個棱長8厘米的正方體（如圖），表面積增加了( )平方厘米，體積增加了( )立方厘米。
【答案】 96 192
【分析】根據(jù)題意可知，高增加3厘米，表面積增加了一個長是8厘米，寬是8厘米，高是3厘米的長方體的側(cè)面積；根據(jù)長方體側(cè)面積公式：側(cè)面積＝（長×高＋寬×高）×2，代入數(shù)據(jù)，求出增加部分的面積；體積增加了一個長是8厘米，寬是8厘米，高是3厘米的長方體的體積，根據(jù)長方體體積公式：體積＝長×寬×高，代入數(shù)據(jù)，即可解答。
【詳解】（8×3＋8×3）×2
＝（24＋24）×2
＝48×2
＝96（平方厘米）
8×8×3
＝64×3
＝192（立方厘米）
表面積增加了96平方厘米，體積增加了192立方厘米。
24．（24-25六年級上·江蘇徐州·期中）把1米長的木料鋸成3段，表面積比原來增加了60平方厘米，原來這根木料的體積是( )立方厘米。
【答案】1500
【分析】根據(jù)題意，把木料鋸成3段，即鋸了（3－1）次，增加了（3－1）×2個面。用除法算出每個面的面積。1米＝100厘米，將木料的長度換算成厘米，根據(jù)長方體的體積公式：底面積×高，代入數(shù)據(jù)計算即可。
【詳解】（3－1）×2
＝2×2
＝4（個）
60÷4＝15（平方厘米）
1米＝100厘米
15×100＝1500（立方厘米）
所以這根木料的體積是1500立方厘米。
25．（23-24六年級上·江蘇南京·期中）如下圖，每個小正方體的棱長是1分米，按照這樣的規(guī)律繼續(xù)擺下去，第③個立體圖形的表面積是( )平方分米，第⑥個立體圖形共有( )個小正方體。
【答案】 54 66
【分析】邊長1分米的正方形，面積是1平方分米，立體圖形的表面有幾個邊長1分米的小正方形，表面積就是幾平方分米?？磮D可知，第③個立體圖形從前后左右4個方向觀察都是9個小正方形，從上面和下面觀察都是9個小正方形，據(jù)此確定第③個立體圖形表面小正方形的個數(shù)即可。
第①個立體圖形有1個小正方體；第②個立體圖形有2層，增加了（1＋4）個小正方體；第③個立體圖形有3層，在第②個立體圖形的基礎(chǔ)上又增加了（5＋4）個小正方體；以此類推，第⑥個立體圖形有6層，下邊每層都比上邊1層多4個小正方體，據(jù)此將各層小正方體個數(shù)相加即可。
【詳解】9×4＋9×2
＝36＋18
＝54（平方分米）
1＋（1＋4）＋（1＋4＋4）＋（1＋4＋4＋4）＋（1＋4＋4＋4＋4）＋（1＋4＋4＋4＋4＋4）
＝1＋5＋9＋13＋17＋21
＝66（個）
第③個立體圖形的表面積是54平方分米，第⑥個立體圖形共有66個小正方體。
26．（23-24六年級上·江蘇常州·期中）下圖中所有大球的體積相同，所有小球的體積也相同，長方體容器的底面是邊長6厘米的正方形。每個大球的體積是( )立方厘米，每個小球的體積是( )立方厘米。
【答案】 75 30
【分析】通過觀察可知，增加了6個小球，水的高度增加了（10－5）厘米，物體的體積＝長×寬×增加的高度，據(jù)此代入數(shù)據(jù)即可求出6個小球的體積，再除以6即可求出每個小球的體積；已知原來水的高度是5厘米，根據(jù)長方體的體積＝長×寬×高，代入數(shù)據(jù)即可求出水的體積，也就是2個大球的體積加上1個小球的體積；然后用水的體積減去1個小球的體積，即可求出1個大球的體積，最后再除以2即可求出1個大球的體積。
【詳解】6×6×（10－5）
＝6×6×5
＝180（立方厘米）
小球：180÷6＝30（立方厘米）
水：6×6×5＝180（立方厘米）
大球：（180－30）÷2
＝150÷2
＝75（立方厘米）
每個大球的體積是75立方厘米，每個小球的體積是30立方厘米。
27．（23-24六年級上·江蘇揚州·期中）用鋁合金做一個長、寬、高分別是70厘米、15厘米和120厘米的長方體廣告燈箱（如圖），至少需鋁合金條( )分米。在燈箱外面的各個面用燈箱布圍成，至少( )平方分米的燈箱布。
【答案】 82 225
【分析】用鋁合金做一個長方體燈箱，需要用到鋁合金條長度就是長方體的棱長之和，長方體棱長和＝（長＋寬＋高）×4，可得到答案；燈箱外面用燈箱布圍成，則計算長方體的表面積：（長×寬＋長×高＋寬×高）×2，據(jù)此計算得出答案。
【詳解】至少需要鋁條：
（70＋15＋120）×4
＝205×4
＝820（厘米）＝82分米
至少需要燈箱布：
（70×15＋70×120＋15×120）×2
＝（1050＋8400＋1800）×2
＝11250×2
＝22500（平方厘米）＝225平方分米
28．（23-24六年級上·江蘇揚州·期中）填表。
如圖一根長方體木塊，表面積是80平方分米，它的橫截面是邊長1分米的正方形，工人師傅每次都鋸下一個棱長1分米的小正方體木塊。
【答案】19；4；8；12；72；68；4
【分析】根據(jù)題意，每次都鋸下一個棱長1分米的小正方體木塊，那么小正方體一個面的面積是1平方分米；
每鋸一次，長方體木塊減少了小正方體4個面的面積；鋸兩次，減少了小正方體4×2＝8個面的面積；鋸三次，減少了小正方體4×3＝12個面的面積……，再用長方體木塊原有的表面積減去減少的面積，即是剩下木塊的表面積，據(jù)此填表。
【詳解】小正方體一個面的面積：1×1＝1（平方分米）
鋸下1塊時，減少的面積：1×4＝4（平方分米）
剩下木塊的表面積：80－4＝76（平方分米）
鋸下2塊時，減少的面積：1×8＝8（平方分米）
剩下木塊的表面積：80－8＝72（平方分米）
鋸下3塊時，減少的面積：1×12＝12（平方分米）
剩下木塊的表面積：80－12＝68（平方分米）
……
減少的面積是76平方分米時，76÷4＝19（個），即鋸下木塊的個數(shù)為19個；
剩下木塊的表面積：80－76＝4（平方分米）
如下表：
29．（23-24六年級上·江蘇淮安·期中）如圖，一個長方體玻璃容器中，擺了若干個體積是1立方厘米的正方體。這個玻璃容器的容積是( )立方厘米。
【答案】60
【分析】看圖可知，長方體容器的長4厘米，寬3厘米，高5厘米，根據(jù)長方體體積＝長×寬×高，即可求出這個玻璃容器的容積。
【詳解】4×3×5＝60（立方厘米）
這個玻璃容器的容積是60立方厘米。
30．（23-24六年級上·江蘇淮安·期中）如圖是由棱長1厘米的小正方體堆積起來的，它的體積是( )立方厘米，表面積是( )平方厘米。至少再添( )個小正方體就可以堆積成一個稍大的正方體。
【答案】 8 28 19
【分析】棱長1厘米的正方體，體積是1立方厘米，這個立體圖形有幾個小正方體體積就是幾立方厘米。觀察可知，一共有3層，最上層1個小正方體，中間1層3個小正方體，最下層4個小正方體，將3層個數(shù)相加即可確定體積；
邊長1厘米的正方形，面積是1平方厘米，這個立體圖形的表面有多少個小正方形，表面積就是多少平方厘米。從前面看有5個小正方形，從上面看有4個小正方形，從右面看有5個小正方形，前后面看到的個數(shù)一樣，上下面看到的個數(shù)一樣，左右面看到的個數(shù)一樣，（前面看到的個數(shù)＋上面看到的個數(shù)＋右面看到的個數(shù)）×2＝表面積；
拼成的稍大正方體棱長上至少有3個小正方體，根據(jù)正方體體積＝棱長×棱長×棱長，求出稍大正方體需要的小正方體個數(shù)，減去已有小正方體個數(shù)，即可求出需要添上的小正方體的個數(shù)。
【詳解】1＋3＋4＝8（立方厘米）
（5＋4＋5）×2
＝14×2
＝28（平方厘米）
3×3×3－8
＝27－8
＝19（個）
它的體積是8立方厘米，表面積是28平方厘米。至少再添19個小正方體就可以堆積成一個稍大的正方體。
31．（24-25六年級上·江蘇·期中）一個長方體紙盒長5厘米，寬4厘米，高2厘米，它的棱長總和是( )厘米，表面積是( )平方厘米，體積是( )立方厘米。
【答案】 44 76 40
【分析】根據(jù)長方體棱長和＝（長＋寬＋高）×4、長方體的表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2、長方體的體積＝長×寬×高，代入數(shù)據(jù)解答。
【詳解】（5＋4＋2）×4
＝11×4
＝44（厘米）
（5×4＋5×2＋4×2）×2
＝（20＋10＋8）×2
＝38×2
＝76（平方厘米）
5×4×2＝40（立方厘米）
長方體的棱長總和是44厘米，表面積是76平方厘米，體積是40立方厘米。
32．（23-24六年級上·江蘇宿遷·期中）一節(jié)3米長鐵皮的煙囪，底面是一個邊長2分米的正方形。制作10節(jié)這樣的煙囪至少需要( )平方米的鐵皮。
【答案】24
【分析】一節(jié)3米長鐵皮的煙囪，底面是一個邊長2分米的正方形，由此可知，煙囪的側(cè)面積是4個長為3米、寬為2分米的長方形的面積，根據(jù)長方形的面積＝長×寬，求出一個長方形的面積，再乘4求出制作1節(jié)這樣的煙囪需要的鐵皮面積，再乘10即可解答。
【詳解】2分米＝0.2米
3×0.2×4×10
＝0.6×4×10
＝2.4×10
＝24（平方米）
所以制作10節(jié)這樣的煙囪至少需要24平方米。
33．（23-24六年級上·江蘇南通·期中）把一根1.5米的長方體材料（如圖），平均鋸成3段，表面積比原來增加24平方分米，原來這根木料的體積是( )立方分米。
【答案】90
【分析】根據(jù)題意，把一個長方體材料鋸成三段，那么表面積比原來增加4個截面的面積；用增加的表面積除以4，求出一個截面的面積；再根據(jù)長方體的體積＝長×寬×高＝橫截面積×長，求出這根鋼材原來的體積。
【詳解】1.5米＝15分米
24÷4＝6（平方分米）
6×15＝90（立方分米）
原來這根木料的體積是90立方分米。
34．（24-25六年級上·江蘇蘇州·期中）填表。
【答案】見詳解
【分析】根據(jù)長方形面積公式：面積＝長×寬，正方形面積公式：面積＝邊長×邊長，代入數(shù)據(jù)，求出長方體和正方體的底面積；根據(jù)長方體表面積公式：表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2，正方體表面積公式：表面積＝棱長×棱長×6，代入數(shù)據(jù)，求出長方體表面積、正方體表面積；再根據(jù)長方體體積公式：體積＝長×寬×高，正方體體積公式：體積＝棱長×棱長×棱長，代入數(shù)據(jù)，求出長方體、正方體的體積。
【詳解】1.5×0.5＝0.75（m2）
8×6＝48（cm2）
2.5×2.5＝6.25（dm2）
6×6＝36（cm2）
（1.5×0.5＋1.5×0.4＋0.5×0.4）×2
＝（0.75＋0.6＋0.2）×2
＝（1.35＋0.2）×2
＝1.55×2
＝3.1（m2）
（8×6＋8×4＋6×4）×2
＝（48＋32＋24）×2
＝（80＋24）×2
＝104×2
＝208（cm2）
2.5×2.5×6
＝6.25×6
＝37.5（dm2）
6×6×6
＝36×6
＝216（cm2）
1.5×0.5×0.4
＝0.75×0.4
＝0.3（m3）
8×6×4
＝48×4
＝192（cm3）
2.5×2.5×2.5
＝6.25×2.5
＝15.625（dm3）
6×6×6
＝36×6
＝216（cm3）
35．（23-24六年級上·江蘇連云港·期中）用一根鐵絲圍成一個長8厘米，寬5厘米，高2厘米的長方體，它的最大面的面積是( )平方厘米，如果用這根鐵絲圍一個正方體框架，這個正方體的表面積是( )平方厘米，體積是( )立方厘米。
【答案】 40 150 125
【分析】一個長8厘米，寬5厘米，高2厘米的長方體，最大面是上下面，最大面的面積＝長×寬；鐵絲長度相當于棱長總和，根據(jù)長方體棱長總和＝（長＋寬＋高）×4，求出鐵絲長度，再根據(jù)正方體棱長＝棱長總和÷12，正方體表面積＝棱長×棱長×6，正方體體積＝棱長×棱長×棱長，列式計算即可。
【詳解】8×5＝40（平方厘米）
（8＋5＋2）×4÷12
＝15×4÷12
＝60÷12
＝5（厘米）
5×5×6＝150（平方厘米）
5×5×5＝125（立方厘米）
用一根鐵絲圍成一個長8厘米，寬5厘米，高2厘米的長方體，它的最大面的面積是40平方厘米，如果用這根鐵絲圍一個正方體框架，這個正方體的表面積是150平方厘米，體積是125立方厘米。
36．（23-24六年級上·江蘇淮安·期中）在括號里填上適當?shù)膯挝幻Q。
一間教室的體積大約是150( ) 一本數(shù)學書的體積大約是240( )
【答案】 立方米/m3 立方厘米/cm3
【分析】根據(jù)生活經(jīng)驗、對體積單位和數(shù)據(jù)大小的認識可知，
棱長為1米的正方體的體積是1立方米，所以計量一間教室的體積用立方米升作單位比較合適；
棱長1厘米的正方體，體積是1立方厘米，大約是1個手指頭的大小，所以計量一本數(shù)學書的體積用立方厘米作單位比較合適。
【詳解】一間教室的體積大約是150立方米 一本數(shù)學書的體積大約是240立方厘米
37．（23-24六年級上·江蘇淮安·期中）一個正方體的棱長之和是84厘米，它的棱長是( )厘米，占地面積是( )平方厘米，表面積是( )平方厘米。
【答案】 7 49 294
【分析】正方體有12條長度相等的棱，六個都是完全一樣的正方形的面，表面積是六個面面積之和，占地面積是指，貼地面放置時那一個面的面積，據(jù)此解答。
【詳解】（厘米）
（平方厘米）
（平方厘米）
故棱長7厘米，占地面積49平方厘米，表面積294平方厘米。
38．（23-24六年級上·江蘇泰州·期中）把表面積是48平方厘米的正方體切分成兩個不同的長方體，如果第一個長方體的表面積是20平方厘米，第二個長方體的表面積是( )平方厘米。
【答案】44
【分析】把正方體切成2個長方體，表面積比原來增加了2個正方形面的面積，已知原來正方體的表面積是48平方厘米，用表面積除以6即可求出1個面的面積，進而求出2個面的面積；然后用原來正方體的表面積加上增加的面積，即可求出現(xiàn)在2個長方體的表面積，最后減去第一個長方體表面積，即可求出第二個長方體表面積。
【詳解】48÷6＝8（平方厘米）
8×2＝16（平方厘米）
48＋16＝64（平方厘米）
64－20＝44（平方厘米）
第二個長方體的表面積是44平方厘米。
39．（23-24六年級上·江蘇淮安·期中）一堆黃沙的體積是4.5立方米，將它均勻地鋪在長4米，寬2.5米的沙坑內(nèi)。沙坑內(nèi)的沙子厚( )米，是( )厘米。
【答案】 0.45 45
【分析】求沙坑內(nèi)沙子的厚度，實際就是求長方體沙坑中沙子的高?？梢愿鶕?jù)長方體體積公式體積＝長×寬×高來進行求解，已知體積、長和寬，求高用體積除以長與寬即可。
【詳解】先求沙子的厚度：沙子的厚度＝黃沙的體積÷沙坑的長÷沙坑的寬。
4.5÷4÷2.5
＝1.125÷2.5
＝0.45（米）
再將米換算為厘米：因為1米＝100厘米，所以0.45米＝0.45×100＝45厘米
沙坑內(nèi)的沙子厚0.45米，是45厘米。
40．（23-24六年級上·江蘇宿遷·期中）把一根長3米的長方體木料，沿橫截面平均鋸成三段，表面積增加了2.4平方米，這根木料的體積是( )立方米。
【答案】1.8
【分析】將一根長方體木料沿著橫截面平均據(jù)成3段，此時表面積增加的是4個橫截面面積，可計算得到橫截面面積；根據(jù)木料體積＝橫截面面積×長度，可計算得到木料體積。
【詳解】橫截面面積為：2.4÷4＝0.6（平方米）
木料體積為：0.6×3＝1.8（立方米）
沿橫截面平均鋸成三段，則增加4個橫截面面積，已知表面積增加2.4平方米，這根木料體積為1.8立方米。
41．（23-24六年級上·江蘇常州·期中）用一根36厘米長的鐵絲做成一個正方體框架，再在外面糊一層紙，紙的面積至少是( )平方厘米，這個正方體的體積是( )立方厘米。
【答案】 54 27
【分析】由題意可知，鐵絲的長度就是正方體的棱長總和，根據(jù)正方體的棱長＝棱長總和÷12，求出正方體的棱長，再根據(jù)，計算正方體的表面積即紙的面積，最后根據(jù)，代入數(shù)據(jù)計算即可得解。
【詳解】（厘米）
（平方厘米）
（立方厘米）
紙的面積至少是54平方厘米，這個正方體的體積是27立方厘米。
42．（23-24六年級上·江蘇南通·期中）用一根長60cm的鐵絲焊接一個正方體框架，在框架的每個面糊上彩紙，彩紙的面積至少是( )cm2，做成的正方體的體積是( )cm3。
【答案】 150 125
【分析】根據(jù)題意，用一根長60cm的鐵絲焊接一個正方體框架，那么這根鐵絲的長度等于正方體的棱長總和，根據(jù)正方體的棱長＝棱長總和÷12，求出這個正方體的棱長；
已知在框架的每個面糊上彩紙，求彩紙的面積，就是求正方體的表面積，根據(jù)正方體的表面積公式S＝6a2，代入數(shù)據(jù)計算求解；
根據(jù)正方體的體積公式V＝a3，代入數(shù)據(jù)計算求出它的體積。
【詳解】正方體的棱長：60÷12＝5（cm）
正方體的表面積：5×5×6＝150（cm2）
正方體的體積：5×5×5＝125（cm3）
彩紙的面積至少是150cm2，做成的正方體的體積是125cm3。
43．（23-24六年級上·江蘇徐州·期中）如圖，一個長方體蛋糕盒，底面是邊長30厘米的正方形，高25厘米。做這樣一個蛋糕盒至少需要( )平方分米硬紙板；如果用彩帶把這個禮品盒捆扎起來，打結(jié)處長20厘米，那么一共需要( )分米的彩帶。
【答案】 48 24
【分析】根據(jù)長方體的表面積公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，把數(shù)據(jù)分別代入公式解答；100平方厘米＝1平方分米，據(jù)此換算單位。
長方體蛋糕盒的2個長、2個寬、4個高、打結(jié)處的長度合起來就是彩帶的長度。據(jù)此解答即可。10厘米＝1平方分米，據(jù)此換算單位。
【詳解】（30×30＋30×25＋30×25）×2
＝（900＋750＋750）×2
＝2400×2
＝4800（平方厘米）
4800平方厘米＝48平方分米
2×30＋2×30＋4×25＋20
＝60＋60＋100＋20
＝220＋20
＝240（厘米）
240厘米＝24分米
所以，做這樣一個蛋糕盒至少需要48平方分米硬紙板；如果用彩帶把這個禮品盒捆扎起來，打結(jié)處長20厘米，那么一共需要24分米的彩帶。
【點睛】解答有關(guān)長方體計算的實際問題，一定要搞清所求的是什么，再進一步選擇合理的計算方法進行計算解答問題。
鐵條長度/厘米
25
20
12
8
鐵條根數(shù)/根
5
7
3
4
層數(shù)
1
2
3
4
5
…
正方體個數(shù)
1
3
6
10
15
…
表面積（平方厘米）
6
14
24
36
50
…
小正方體個數(shù)
1
2
3
4
5
…
n
長方體表面積/dm2
5
9
13
…
小正方體個數(shù)
1
2
3
4
5
…
n
長方體表面積/dm2
5
9
13
17
21
…
4n＋1
鋸下木塊的個數(shù)
1
2
3
…
減少的面積（平方分米）
…
76
剩下木塊的表面積（平方分米）
76
…
鋸下木塊的個數(shù)
1
2
3
…
19
減少的面積（平方分米）
4
8
12
…
76
剩下木塊的表面積（平方分米）
76
72
68
…
4
形體
長
寬
高
底面積
表面積
體積
長方體
1.5m
0.5m
0.4m
8cm
6cm
4cm
正方體
棱長2.5dm
棱長6cm
形體
長
寬
高
底面積
表面積
體積
長方體
1.5m
0.5m
0.4m
0.75m2
3.1m2
0.3m3
8cm
6cm
4cm
48cm2
208cm2
192cm3
正方體
棱長2.5dm
6.25dm2
37.5dm2
15.625dm3
棱長6cm
36cm2
216cm2
216cm3

相關(guān)學案

第六單元《百分數(shù)》(核心素養(yǎng)-填空題篇十六大題型)單元復(fù)習講義-2024-2025學年六年級數(shù)學上冊(蘇教版)(學生版+解析)：

這是一份第六單元《百分數(shù)》(核心素養(yǎng)-填空題篇十六大題型)單元復(fù)習講義-2024-2025學年六年級數(shù)學上冊(蘇教版)(學生版+解析)，共52頁。學案主要包含了典例精講1，典例精講2，典例精講3，典例精講4，典例精講5，典例精講6，典例精講7，典例精講8等內(nèi)容，歡迎下載使用。

第五單元《分數(shù)四則混合運算》(核心素養(yǎng)-填空題篇四大題型)單元復(fù)習講義-2024-2025學年六年級數(shù)學上冊(蘇教版)(學生版+解析)：

這是一份第五單元《分數(shù)四則混合運算》(核心素養(yǎng)-填空題篇四大題型)單元復(fù)習講義-2024-2025學年六年級數(shù)學上冊(蘇教版)(學生版+解析)，共25頁。學案主要包含了典例精講1，典例精講2，典例精講3，典例精講4等內(nèi)容，歡迎下載使用。

第三單元《分數(shù)除法》(填空題篇九大題型)單元復(fù)習講義-2024-2025學年六年級數(shù)學上冊(蘇教版)(學生版+解析)：

這是一份第三單元《分數(shù)除法》(填空題篇九大題型)單元復(fù)習講義-2024-2025學年六年級數(shù)學上冊(蘇教版)(學生版+解析)，共39頁。學案主要包含了典例精講1，典例精講2，典例精講3，典例精講4，典例精講5，典例精講6，典例精講7，典例精講8等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)學案 更多

第二單元《分數(shù)乘法》(填空題篇六大題型)單元復(fù)習講義-2024-2025學年六年級數(shù)學上冊(蘇教版)(學生版+解析)

第二單元《分數(shù)乘法》(填空題篇六大題型)單元復(fù)習講義-2024-2025學年六年級數(shù)學上冊(蘇教版)(學生版+解析)
第一單元《長方體和正方體》(選擇題篇十九大題型)單元復(fù)習講義-2024-2025學年六年級數(shù)學上冊(蘇教版)(學生版+解析)

第一單元《長方體和正方體》(選擇題篇十九大題型)單元復(fù)習講義-2024-2025學年六年級數(shù)學上冊(蘇教版)(學生版+解析)
第一單元《長方體和正方體》(計算題篇)單元復(fù)習講義-2024-2025學年六年級數(shù)學上冊(蘇教版)(學生版+解析)

第一單元《長方體和正方體》(計算題篇)單元復(fù)習講義-2024-2025學年六年級數(shù)學上冊(蘇教版)(學生版+解析)
第一單元《長方體和正方體》(應(yīng)用題篇十三大題型)單元復(fù)習講義-2024-2025學年六年級數(shù)學上冊(蘇教版)(學生版+解析)

第一單元《長方體和正方體》(應(yīng)用題篇十三大題型)單元復(fù)習講義-2024-2025學年六年級數(shù)學上冊(蘇教版)(學生版+解析)
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
期末專區(qū)
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部