基礎對點練
題組一 帶電粒子在組合場的運動
1.如圖所示,坐標系xOy的第一象限內(nèi)有一條平行于x軸的虛線,虛線與x軸的距離為L,在虛線與x軸之間的區(qū)域(包括x軸上)分布有垂直于紙面向里的勻強磁場,磁感應強度為B,在虛線上方足夠大的區(qū)域內(nèi)分布有豎直向下的勻強電場。一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的粒子從坐標原點O沿x軸正向以某一速度射入磁場,從P(3L,L)點第一次射入電場,當粒子在電場中的速度方向第一次沿x軸正方向時到達Q點(圖中未標出),Q點到y(tǒng)軸的距離為23L。不計粒子的重力。求:

(1)粒子從O點射入時的速度大小v;
(2)電場強度的大小E。
2.在如圖所示的直角坐標系xOy中,x軸上方存在大小為E、方向與x軸負方向成45°角的勻強電場,x軸下方存在方向垂直紙面向里的勻強磁場。一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子從y軸上的點P(0,2L)由靜止釋放,從x軸上的A點第一次進入勻強磁場,不計粒子受到的重力。
(1)求粒子第一次進入磁場的速度大小vA。
(2)若第一次進入磁場后經(jīng)第三象限垂直穿過y軸進入第四象限,求勻強磁場的磁感應強度大小B1。
(3)若第一次進入磁場后從x軸上的C點第一次離開勻強磁場,恰好又從A點第二次進入勻強磁場,求勻強磁場的磁感應強度大小B2。
題組二 帶電粒子在交變電、磁場中的運動
3.(2024河南焦作模擬)如圖甲所示,在xOy坐標系的第一象限內(nèi)存在勻強磁場,磁場方向垂直坐標平面,磁感應強度大小B隨時間變化的關(guān)系如圖乙所示,在t=0時刻有一比荷為1×104 C/kg的帶正電粒子從坐標為335 m,0的P點以初速度v0=2×103 m/s且與x軸正方向成60°的方向垂直磁場射入。開始時,磁場方向垂直坐標平面向里,不計粒子重力,求:
(1)粒子在磁場中做圓周運動的半徑;
(2)在時間43π×10-4~2π×10-4 s內(nèi)和時間0~43π×10-4 s內(nèi),粒子運動軌跡對應的圓心角之比;
(3)粒子到達y軸時與O點的距離s。
綜合提升練
4.(2024山西晉城模擬)如圖所示,水平虛線與豎直虛線交于O點,將空間分成四個區(qū)域,區(qū)域Ⅰ中存在垂直紙面向外的勻強磁場B1(未畫出),區(qū)域Ⅱ中存在水平向左的勻強電場E(未畫出),區(qū)域Ⅲ中有一垂直紙面向外、邊界為圓形的勻強磁場B2(未畫出),B1∶B2=1∶4。比荷為k的帶負電的粒子從O點正上方的P點,沿與豎直虛線成α角方向以速度v0射入?yún)^(qū)域Ⅰ,經(jīng)過一段時間粒子垂直水平虛線由Q點射入?yún)^(qū)域Ⅱ;粒子經(jīng)O點正下方的M點后,最終由水平虛線上的N點沿豎直向上的方向離開區(qū)域Ⅲ,忽略粒子的重力。點Q、M、N均未畫出,已知OP=3L,OQ=L,OM=233L,ON=4L,上述v0、k、L為已知量。求:
(1)角度α及電場強度E、磁感應強度B1的大小;
(2)區(qū)域Ⅲ中圓形磁場面積的最小值。
5.(2023安徽合肥一模)如圖所示,在平面直角坐標系xOy內(nèi),x軸上方有垂直于坐標平面向里的勻強磁場,磁感應強度大小為B,x軸下方有沿y軸正方向的勻強電場,電場強度大小為3qB2d2m。x軸上S(d,0)處有一粒子源,在坐標平面內(nèi)先后向磁場中與x軸正方向夾角為30°~150°范圍內(nèi)發(fā)射帶正電的粒子,所有粒子第一次經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后均可同時從O點進入電場。已知粒子的質(zhì)量為m、電荷量為q,不計粒子重力及粒子間相互作用。
(1)求由S處最先發(fā)射的粒子與最后發(fā)射的粒子的發(fā)射時間差。
(2)求由S處發(fā)射的速度最小的粒子,從發(fā)射到第二次經(jīng)過O點的時間。
(3)若僅電場強度大小變?yōu)?3qB2dm,最小速度的粒子從S處發(fā)射后第2 023次經(jīng)過x軸的位置為P點,最先發(fā)射的粒子從S處發(fā)射后第2 023次經(jīng)過x軸的位置為Q點,求PQ間的距離。
參考答案
第6講 專題提升:帶電粒子在組合場和交變電、磁場中的運動
1.答案 (1)2BqLm
(2)qLB2m
解析 (1)粒子的運動軌跡如圖所示,由幾何關(guān)系可知粒子在磁場中運動半徑為
R=2L
粒子在磁場中運動,由牛頓第二定律有
qvB=mv2R
解得v=2BqLm。
(2)粒子進入電場以后,豎直方向做勻減速直線運動,水平方向做勻速直線運動,進入電場時,水平方向的初速度vx和豎直方向的初速度vy分別為
vx=vcs 60°
vy=vsin 60°
設粒子在電場中運動的時間為t,水平方向的位移為
x=23L-3L=vxt
豎直方向的速度滿足
0=vy+at
由牛頓第二定律有qE=-ma
聯(lián)立解得E=qLB2m。
2.答案 (1)2EqLm (2)EmqL
(3)14EmqL
解析 (1)粒子先在電場中加速,由動能定理得
Eq2Lcs45°=12mvA2
故第一次進入磁場的速度vA=2EqLm。
(2)第一次進入磁場后做勻速圓周運動軌跡如圖中圖線1所示,由幾何關(guān)系得軌跡半徑
R1=2L
由牛頓第二定律得
B1qvA=mvA2R1
解得B1=EmqL。
(3)若粒子從A進入磁場經(jīng)C又回到A的運動軌跡如圖中圖線2所示,由幾何關(guān)系可知在C點速度大小仍為vA,方向與x軸負方向成45°角,出磁場后做類平拋運動,垂直電場線方向
LACcs 45°=vAt
沿電場線方向
LACsin 45°=12Eqmt2
解得LAC=82L
由幾何關(guān)系得軌跡半徑
R2=LACsin 45°=8L
由牛頓第二定律得
B2qvA=mvA2R2
解得B2=14EmqL。
3.答案 (1)0.4 m
(2)1∶2
(3)1 m
解析 (1)粒子進入磁場后在磁場中做勻速圓周運動,設軌跡半徑為R,由洛倫茲力提供向心力有
qv0B=mv02R
解得R=mv0qB=0.4 m。
(2)粒子在磁場中做圓周運動的周期為T,則
T=2πRv0=2πmqB=4π×10-4 s
43π×10-4~2π×10-4 s內(nèi),粒子運動的周期數(shù)為
N2=2π3×10-4 s4π×10-4 s=16
運動軌跡對應的圓心角為60°
0~43π×10-4 s內(nèi),粒子運動的周期數(shù)為
N2=4π3×10-4 s4π×10-4 s=13
運動軌跡對應的圓心角為120°
在43π×10-4~2π×10-4 s內(nèi)和0~43π×10-4 s內(nèi),粒子運動軌跡對應的圓心角之比為1∶2。
(3)粒子運動軌跡如圖所示
粒子恰好在t=83π×10-4 s時到達y軸,由圖可知粒子到達y軸時與O點的距離為
s=R+Rcs 60°+2R(1-cs 60°)=1 m。
4.答案 (1)60° 3v022kL v02kL (2)3πL24
解析 (1)由題意畫出粒子軌跡如圖所示
由幾何關(guān)系得
(R-L)2+(3L)2=R2
sin α=3LR
解得R=2L,α=60°
粒子在區(qū)域Ⅰ中做勻速圓周運動,由牛頓第二定律有
qv0B1=mv02R
又k=qm
聯(lián)立得B1=v02kL
粒子在區(qū)域Ⅱ中做類平拋運動,設粒子運動的時間為t,則豎直方向
233L=v0t
水平方向
L=12at2,Eq=ma
聯(lián)立得E=3v022kL。
(2)設粒子在M點的速度為v,與豎直虛線的夾角為θ,M點水平方向速度
v1=at,v1=3v0
由v=v02+v12,tan θ=v1v0
得v=2v0,θ=60°
設粒子在區(qū)域Ⅲ中做勻速圓周運動的半徑為r,由牛頓第二定律有
qB2v=mv2r
又k=qm
B1∶B2=1∶4
得r=L
如圖所示,粒子在區(qū)域Ⅲ中運動的軌跡與磁場邊界交于C點和D點,粒子在磁場中做圓周運動的軌跡為弧CD,圓心角
∠CO2D=180°-θ=120°
則CD=2Rsin 60°
得CD=3L
當磁場邊界是以CD為直徑的圓時,磁場有最小面積
S=π3L22=3πL24。
5.答案 (1)4πm3qB
(2)mqBπ+233
(3)1 0114d
解析 (1)粒子在磁場中做圓周運動,有qvB=mv2r
周期T=2πrv=2πmqB
設粒子在磁場中的運動軌跡對應的圓心角為θ,則粒子在磁場中的運動時間為
t=θ2πT=θmqB
所以t與θ成正比。由幾何知識可知,發(fā)射粒子運動方向與x軸正方向夾角為150°時,θ角最小為θ=π3,粒子發(fā)射時間最晚;發(fā)射粒子運動方向與x軸正方向夾角為30°時,θ角最大為θ=5π3,粒子發(fā)射時間最早。所以最先發(fā)射的粒子與最后發(fā)射的粒子的發(fā)射時間差為
t=mqB5π3-π3=4πm3qB。
(2)粒子在磁場中運動時,有
qvB=mv2r
解得v=qBrm
可知發(fā)射速度越小的粒子,其圓周運動半徑越小。由幾何知識得,粒子圓周運動半徑最小為
r1=d2
則粒子最小速度為
v1=qBd2m
速度最小的粒子在磁場中運動的時間為
t1=12T=πmqB
粒子在電場中運動時有
a1=qE1m=3q2B2d2m2
粒子在電場中先減速,再反向加速返回O點,在電場中運動的時間為
t1'=2v1a1=23m3qB
所以粒子從發(fā)射到第二次經(jīng)過O點的時間為
t總=t1+t1'=mqBπ+233。
(3)最小速度的粒子,在磁場中偏轉(zhuǎn)半個圓周,垂直x軸方向進入電場,然后在電場中做直線運動,先減速到0,然后再反向加速返回到x軸,返回到x軸時,位置會向左移動2r,此后不斷重復相同的運動過程,所以從S處發(fā)射后第2 023次經(jīng)過x軸時的位置坐標為
xP=-2 0222×2r1=-1 011d
由幾何知識得,最先發(fā)射的粒子在磁場中做圓周運動的半徑為
r2=d
則粒子速度為
v2=qBdm
電場強度大小變?yōu)?3qB2dm時,最先發(fā)射的粒子經(jīng)過x軸進入電場,然后再返回到x軸的過程中,在y軸方向有
a2=qE2m=23q2B2dm2
0=-v2sin 30°·t2+12a2t22
在x軸方向有
x=v2cs 30°·t2
解得t2=3m6qB,x=d4
最先發(fā)射的粒子,先在磁場中偏轉(zhuǎn),然后進入電場做類平拋運動,并返回到x軸,返回到x軸時,位置會向左移動
Δx=d-d4=34d
此后不斷重復相同的運動過程,所以最先發(fā)射的粒子從S處發(fā)射后第2 023次經(jīng)過x軸時的位置坐標為
xQ=-2 0222×34d=-3 0334d
則PQ間的距離為
xPQ=xQ-xP=1 0114d。

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