1．（3分）下列四個(gè)數(shù)中，無理數(shù)是（ ）
A．﹣3B．C．D．
2．（3分）下列各組數(shù)據(jù)中能組成直角三角形的是（ ）
A．9 16 25B．2 5 6
C．3 3 5D．9 12 15
3．（3分）某氣象臺(tái)為了預(yù)報(bào)臺(tái)風(fēng)，首先需要確定臺(tái)風(fēng)中心的位置，則下列說法能確定臺(tái)風(fēng)中心位置的是（ ）
A．北緯38°B．距氣象臺(tái)500海里
C．北緯21.5°，東經(jīng)109°D．北海市附近
4．（3分）6的平方根是（ ）
A．6B．±6C．D．±
5．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)為（﹣2024，2025）的點(diǎn)在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
6．（3分）已知函數(shù)y＝2x+k﹣1的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，則k的值可以是（ ）
A．3B．2C．1D．0
7．（3分）某?！盁糁i節(jié)”的獎(jiǎng)品是一個(gè)底面為等邊三角形的燈籠（如圖），在燈籠的側(cè)面上，從頂點(diǎn)A到頂點(diǎn)A′纏繞一圈彩帶．已知此燈籠的高為50cm，底面邊長為40cm，則這圈彩帶的長度至少為（ ）
A．50cmB．120cmC．130cmD．150cm
8．（3分）如圖，在做浮力實(shí)驗(yàn)時(shí)，小華用一根細(xì)線將一個(gè)正方體鐵塊拴住，完全浸入盛滿水的圓柱形燒杯中，量筒量得溢出水的體積為34ml，則該鐵塊棱長大小的范圍是（ ）
A．2cm～3cmB．3cm～4cmC．4cm～5cmD．5cm～6cm
9．（3分）如圖，在3×3的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，AD為△ABC的高，則AD的長為（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）對(duì)于實(shí)數(shù)p，我們規(guī)定：用＜p＞表示不小于p的最小整數(shù)，例如：＜4＞＝4，＝2，現(xiàn)對(duì)72進(jìn)行如下操作： ．即對(duì)72需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?．類似地：對(duì)99只需進(jìn)行n次操作后變?yōu)?，則n的值為（ ）
A．4B．3C．2D．1
二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分）
11．（3分）若+|b+1|＝0，則a+b＝ ．
12．（3分）已知點(diǎn)P（3x﹣1，4﹣2x）在第一象限，且到坐標(biāo)軸的距離和為4，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ．
13．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線l對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝2x﹣3，現(xiàn)保持直線l的位置不動(dòng)，將x軸沿豎直方向向上平移2個(gè)單位．在新平面直角坐標(biāo)系中，直線l的函數(shù)表達(dá)式為 ．
14．（3分）某水果店銷售某種新鮮水果，出售量x（kg）與銷售額y（元）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．若小強(qiáng)同學(xué)在該家水果店一次購買30kg該種水果，需要付款 元．
15．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，連接BD，AB＝AD＝2，，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，且DF＝CE，連接BF、DE，若CD＝3，則BF+DE的最小值為 ．
三、解答題（本題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或推理過程）
16．（10分）計(jì)算：
（1）；
（2）．
17．（8分）解方程組
（1）；
（2）
18．（8分）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）．
（1）在平面直角坐標(biāo)系中畫出△ABC，并求出△ABC的面積？
（2）若點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于y軸對(duì)稱，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為 ；
19．（8分）勾股定理是人類數(shù)學(xué)文化的一顆璀璨明珠，是用代數(shù)思想解決幾何問題最重要的工具，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一，如圖，有一架秋千，當(dāng)它靜止在AD的位置時(shí)，踏板離地的垂直高度為0.8m，將秋千AD往前推送3m，到達(dá)AB的位置，此時(shí)，秋千的踏板離地的垂直高度為1.8m，秋千的繩索始終保持拉直的狀態(tài)．
（1）求秋千AD的長度；
（2）如果將秋千AD往前推送4米，求此時(shí)踏板離地的垂直高度為多少？
20．（12分）課堂上，老師新定義一種三角形，兩邊的平方和等于第三邊平方的2倍的三角形叫做奇異三角形．
（1）思考
①根據(jù)奇異三角形的定義，請(qǐng)你判斷等邊三角形是否為奇異三角形，并簡(jiǎn)要說明理由；
②若Rt△ABC是奇異三角形，且其兩邊長分別為2，2，求Rt△ABC的周長．
（2）運(yùn)用
如圖，以AB為斜邊分別在AB的兩側(cè)作Rt△ABC，Rt△ABD，且AD＝BD，若四邊形ADBC內(nèi)存在點(diǎn)E，使得AE＝AD，CB＝CE．
①試說明：△ACE是奇異三角形；
②當(dāng)∠AEC＝90°時(shí)，若AB＝2，求Rt△ABC的面積．
21．（13分）如圖，已知直線l1：y＝﹣3x+6與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，以線段AB為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰直角△ABC，∠ABC＝90°，直線l2經(jīng)過A，C兩點(diǎn)．
（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求直線l2的函數(shù)表達(dá)式；
（3）若E為x軸正半軸上一點(diǎn)，△ABE的面積等于△ABC的面積，求E點(diǎn)坐標(biāo)；
（4）如圖2，過點(diǎn)C作CD⊥x軸，垂足為D，點(diǎn)P是直線l2上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線CD上的動(dòng)點(diǎn)．試探究△BPQ能否成為以BP為直角邊的等腰直角三角形（△BPQ不與△ABC重合）？若能，請(qǐng)直接寫出DQ的長，若不能，請(qǐng)說明理由．
2024-2025學(xué)年遼寧省沈陽市渾南區(qū)八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1．【解答】解：A、﹣3是負(fù)整數(shù)，則﹣3是有理數(shù)，該選項(xiàng)不符合題意；
B、是開方開不盡的數(shù)，即無限不循環(huán)小數(shù)，是無理數(shù)，該選項(xiàng)符合題意；
C、，3是有理數(shù)，該選項(xiàng)不符合題意；
D、是分?jǐn)?shù)，則是有理數(shù)，該選項(xiàng)不符合題意．
故選：B．
2．【解答】解：A、92+162≠252，故A選項(xiàng)構(gòu)成不是直角三角形；
B、22+52≠62，故B選項(xiàng)構(gòu)成不是直角三角形；
C、32+32＝≠52，故C選項(xiàng)構(gòu)成不是直角三角形；
D、92+122＝152，故D選項(xiàng)構(gòu)成是直角三角形．
故選：D．
3．【解答】解：在平面直角坐標(biāo)系中，一對(duì)有序?qū)崝?shù)確定一個(gè)點(diǎn)的位置，
根據(jù)各選項(xiàng)的數(shù)據(jù)，只有北緯21.5°，東經(jīng)109°能確定臺(tái)風(fēng)中心的位置．
故選：C．
4．【解答】解：6的平方根為．
故選：D．
5．【解答】解：橫坐標(biāo)為負(fù)，縱坐標(biāo)為正的點(diǎn)在第二象限內(nèi)．
故選：B．
6．【解答】解：∵函數(shù)y＝2x+k﹣1的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，
∴k﹣1＜0，
解得：k＜1．
故選：D．
7．【解答】解：將三棱柱沿AA′展開，其展開圖如圖，
則AA′＝＝130（cm），
答這圈金屬絲的長度至少為130cm．
故選：C．
8．【解答】解：由題意得，該鐵塊棱長是cm，
∵＜＜，
∴3＜＜4，
∴該鐵塊棱長大小的范圍是3cm～4cm，
故選：B．
9．【解答】解：由題可得：
，
，
∴，
解得：，
故選：D．
10．【解答】解：由題意得，
即對(duì)99只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?，
故選：B．
二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分）
11．【解答】解：∵ +|b+1|＝0，
∴a﹣2＝0，b+1＝0，
∴a＝2，b＝﹣1，
∴a+b＝2﹣1＝1，
故答案為：1．
12．【解答】解：∵點(diǎn)P（3x﹣1，4﹣2x）在第一象限內(nèi)，且到兩坐標(biāo)軸的距離之和為4，
∴3x﹣1+4﹣2x＝4，
解得x＝1．
故答案為：1．
13．【解答】解：將x軸沿豎直方向向上平移2個(gè)單位，相當(dāng)于將直線y＝2x﹣3沿豎直方向向下平移2個(gè)單位，則在新坐標(biāo)系中，直線m的表達(dá)式為y＝2x﹣3﹣2＝2x﹣5，即y＝2x﹣5．
故答案為：y＝2x﹣5．
14．【解答】解：設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b（x＞0），
則，
解得：，
∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝8x+20，
當(dāng)x＝30時(shí)，y＝30×8+20＝260，
∴小強(qiáng)同學(xué)在該家水果店一次購買30kg該種水果，需要付款260元，
故答案為：260．
15．【解答】解：延長AD至點(diǎn)H使CD＝DH，連接DH，BH，如圖，
∵AB＝AD＝2，，
∴∠BAD＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴AH∥BC，
∴∠ECD＝∠EDF
∵DF＝CE，CD＝DH，
∴△DCE≌△HDF（SAS），
∴HF＝DE，
∴BF+DE＝BF+HF，
∵BF+HF的最小值為BH，
∴BF+DE的最小值為BH，
在Rt△ABH中AB＝2，AH＝AD+DH＝5，
∴．
三、解答題（本題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或推理過程）
16．【解答】解：（1）
＝﹣
＝﹣
＝2﹣3
＝﹣1；
（2）
＝2﹣+
＝．
17．【解答】解：（1），
①+②得：x＝5，
把x＝5代入①得：y＝2，
∴方程組的解為；
（2），
①×3得：15x+3y＝6③，
②+③得：，
把代入①得：，
∴方程組的解為：．
18．【解答】解：（1）過C作CW⊥y軸于W，CR⊥x軸于R，
∵A（0，1），B（2，0），C（4，3），
∴CW＝4，CR＝3，AW＝3﹣1＝2，AO＝1，OB＝2，BR＝4﹣2＝2，
∴△ABC的面積S＝S矩形CWOR﹣S△AOB﹣S△BRC﹣S△CWA
＝3×4﹣×1×2﹣×2×3﹣＝4；
（2）∵點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于y軸對(duì)稱，C（4，3），
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣4，3），
故答案為：（﹣4，3）．
19．【解答】解：（1）由題意知BF＝1.8m，BC＝3m，DE＝0.8m，
∵BF⊥EF，AE⊥EF，BC⊥AE，
∴四邊形BCEF是矩形，
∴CE＝BF＝1.8m
∴CD＝CE﹣DE＝1.8﹣0.8＝1（m），
∵BC⊥AC，
∴∠ACB＝90°，
設(shè)秋千的長度為x m，則AB＝AD＝x m，AC＝AD﹣CD＝（x﹣1）m，
在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+BC2＝AB2，即（x﹣1）2+32＝x2，
解得x＝5，
即秋千AD的長度是5m；
（2）設(shè)BF＝y(tǒng) m時(shí)，CE＝y(tǒng) m，
∵DE＝0.8m，
∴CD＝CE﹣DE＝（y﹣0.8）m，
由（1）可知，AD＝AB＝5m，AB＝5m，
∴AC＝AD﹣CD＝5﹣（y﹣0.8）＝（5.8﹣y）m，
在Rt△ABC中，BC＝4m，
由勾股定理得AC2+BC2＝AB2，則 （5.8﹣y）2+42＝52，
解得y＝2.8，
即此時(shí)踏板離地的垂直高度為2.8m．
20．【解答】（1）解：①等邊三角形是奇異三角形，理由如下：
設(shè)等邊三角形邊長為a，
則兩邊的平方和為a2+a2＝2a2，
∴兩邊的平方和等于第三邊平方的2倍，
故等邊三角形是奇異三角形；
②設(shè)第三邊是m（m＞0），
當(dāng)22+m2＝2×（2）2時(shí)，
解得m＝2，
但此時(shí)22+（2）2≠（2）2，
∴△ABC不是直角三角形，不符合題意；
當(dāng)22+（2）2＝2m2時(shí)，
解得m＝2，
此時(shí)22+（2）2＝（2）2，
∴△ABC是直角三角形，符合題意，
∵，符合三邊關(guān)系，
∴周長為：2+2+2；
當(dāng)（2）2+m2＝2×22時(shí)，
m無解，
此種情況不存在；
綜上，Rt△ABC的周長為2+2+2；
（2）①證明：∵∠ACB＝∠ADB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，AD2+BD2＝AB2，
∵AD＝BD，
∴2AD2＝AB2，
∵AE＝AD，CB＝CE，
∴AC2+CE2＝2AE2，
∴△ACE是奇異三角形；
②解：當(dāng)∠AEC＝90°時(shí)，AE2+CE2＝AC2，
由①得AC2+CE2＝2AE2，
整理可得AE＝CE，
設(shè)CE＝x，則AE＝x，CB＝CE＝x，
∴AC＝＝x，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，
即3x2+x2＝4，
解得x＝1，
∴AC＝，BC＝1，
∴S△ABC＝AC?BC＝．
21．【解答】解：（1）對(duì)于直線l1：y＝﹣3x+6，令x＝0，y＝6，則點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，6）；
令y＝0，x＝2，則點(diǎn)A坐標(biāo)為（2，0）．
故點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別是（2，0）和（0，6）．
（2）如圖，過點(diǎn)C向y軸作垂線，E為垂足．
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴AB＝BC．
∵∠CBE+∠ABO＝180°﹣90°＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠CBE＝∠BAO．
在△CBE和△BAO中，∠CBE＝∠BAO，∠BEC＝∠AOB，BC＝AB．
∴△CBE≌△BAO（AAS）．
∴EC＝BO＝y(tǒng)B＝6，BE＝OA＝xA＝2．
∴OE＝OB+BE＝6+2＝8．
故點(diǎn)C坐標(biāo)為（6，8）．
設(shè)l2函數(shù)表達(dá)式為y＝kx+b，把A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得：
，解得．
∴直線l2的函數(shù)表達(dá)式為y＝2x﹣4．
（3）如圖，過點(diǎn)C作l1的平行線，交x軸于點(diǎn)E，則S△ABC＝S△ABE（同底等高）．過點(diǎn)A作直線CE的垂線交CE于點(diǎn)G.
根據(jù)題意易得四邊形ABCG為正方形．
∴AG＝AB＝＝2，∠BAG＝90°．
∵∠EAG+∠BAO＝180°﹣∠BAG＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠EAG＝∠ABO．
又∵∠AGE＝∠BOA＝90°．
∴△AEG∽△BAO．
∴，AE＝＝．
∴OE＝OA+AE＝2+＝．
故點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，0）．
（4）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，2m﹣4），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（6，n）．
以BP為直角邊的△BPQ是等腰直角三角形，
分為兩種情況：
BP＝PQ時(shí)，如圖．
過點(diǎn)P作x軸的平行線交y軸于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N.同理（2）可證得△BMP≌△PNQ，
∴BM＝PN，MP＝QN，
∵BM＝|6﹣（2m﹣4）|＝|10﹣2m|，
PN＝|6﹣m}，MP＝|m|，QN＝|n﹣（2m﹣4）|．
∴|10﹣2m|＝|6﹣m}，m＝4或，
|m|＝|n﹣（2m﹣4）|，
則n＝8或（n＝0或12不合題意，舍去）．
此時(shí)等腰直角△BPQ的兩種情況如圖所示．
∴DQ＝|n|＝8或．
BP＝BQ時(shí)，如圖，過點(diǎn)P、Q向y軸分別作垂線，垂足為J，K.
同理可證得△BJP≌△QKB．
∴BJ＝KQ，JP＝BK，
∵BJ＝|6﹣（2m﹣4）|＝|10﹣2m|，KQ＝6，JP＝|m|，BK＝|n﹣6|．
∴|10﹣2m|＝6，m＝2或8，
當(dāng)m＝2時(shí)，|n﹣6|＝2，n＝8（n＝4不合題意舍去），
此時(shí)△BPQ與△BAC重合，故舍去m＝2．
當(dāng)m＝8時(shí)，|n﹣6|＝8，n＝﹣2（n＝14不合題意舍去）．
∴DQ＝|n|＝2．
故DQ的長度為2或或8．

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