命題 景德鎮(zhèn)一中 江寧 景德鎮(zhèn)二中 馬小宇 景德鎮(zhèn)十六中 余倩
本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘。
第I卷（選擇題）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.已知集合，，則（ ）
A.B.C.D.
2.已知（為虛數(shù)單位），則在復平面內(nèi)對應(yīng)的點在第（ ）象限
A.一B.二C.三D.四
3.已知，，則的值為（ ）
A.1B.2C.3D.4
4.已知，則（ ）
A.B.C.D.
5.過點且與曲線相切的直線方程是（ ）
A.B.C.D.
6.函數(shù)的零點個數(shù)是（ ）
A.5B.6C.7D.8
7.函數(shù)的定義域為，是奇函數(shù)，當時，則的解集是（ ）
A.B.C.D.
8.甲烷是最簡單的有機化合物，其分子式為，它是由四個氫原子和一個碳原子構(gòu)成，甲烷在自然界分布很廣，是天然氣、沼氣、煤礦坑道氣及可燃冰的主要成分之一.甲烷分子是正四面體空間構(gòu)型，如圖，四個氫原子分別位于正四面體的頂點處，碳原子位于正四面體的中心處.若正四面體的棱長為1，則平面和平面位于正四面體內(nèi)部的交線長度為（ ）
A.B.C.D.1
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9.下列說法正確的是（ ）
A.函數(shù)為偶函數(shù)，且最小正周期為4
B.若，，則往方向上的投影長為
C.是拋物線上一點，，則的最小值為1
D.已知兩直線與，則“”是“，互相平行”的充分不必要條件
10.在高三一次大型聯(lián)考中，物理方向共有35萬人參加，其中男生有20萬人.現(xiàn)為了了解該次考試的數(shù)學成績，用分層隨機抽樣的方法從中抽取350人，其中名男生的數(shù)學平均成績?yōu)?7分，名女生的數(shù)學平均成績?yōu)?0分.已知35萬人的數(shù)學成績，近似為樣本均值，則下列正確的是（ ）
參考數(shù)據(jù)：若，則，
，
A.
B.總體是35萬人
C.樣本均值為73.5
D.估計該次聯(lián)考中物理方向數(shù)學成績低于66分的約有7980人
11.已知，分別為雙曲線的左、右頂點，離心率為，為雙曲線上位于第一象限內(nèi)任意一點，設(shè)，，的面積為，則下列說法正確的是（ ）
A.的值隨著的增大而減小B.是定值
C.D.若，則
第II卷（非選擇題）
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.
12.已知公比不為1的等比數(shù)列，且，，成等差，則________.
13.已知與，若存在實數(shù)的值使得兩圓僅有一條公切線，則的最小值為________.
14.甲口袋裝有1個黑球和2個白球，乙口袋裝有2個黑球和1個白球，這些球除顏色外完全相同.第一步，從甲口袋中隨機取一個球放入乙口袋；第二步，從乙口袋中隨機取一個球放入甲口袋；第三步，從甲口袋中隨機取出一個球并記錄顏色.在第三步取出的是黑球的條件下，第一步從甲口袋中取的球是黑色的概率是________.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.（13分）已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間和對稱中心；
（2）在中，角，，所對的邊分別是，，，若，且，求.
16.（15分）如圖四棱錐，底面是邊長為1的正方形，平面平面，，.
（1）求證：平面；
（2）求二面角的余弦值.
17.（15分）已知為坐標原點，橢圓，是上一點，離心率.
（1）求的方程；
（2）斜率為的直線交于，兩點，在以為直徑的圓上，求的最大值.
18.（17分）已知函數(shù)，其中.
（1）已知，若在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求的最小值；
（2）求證：存在常數(shù)使得，并求出的值；
（3）在（2）的條件下，若方程存在三個根，，，且，求的取值范圍.
19.（17分）第一組數(shù)據(jù)，其中，第二組數(shù)據(jù)，這個數(shù)互不相等，，分別為其中最大與第二大的數(shù).先從第二組數(shù)據(jù)中剔除一個數(shù)（剩余數(shù)相對位置保持不變）得到一組新數(shù)據(jù)，若將該組數(shù)據(jù)中相鄰兩數(shù)對換位置稱為一次對換，經(jīng)過至少次對換得到最終數(shù)據(jù)，簡記.若用直線擬合點列，相關(guān)系數(shù).
（1）第一組數(shù)據(jù)，第二組數(shù)據(jù)，若剔除10，經(jīng)過后得到擬合最佳；若剔除8，經(jīng)過得到最佳.求的值；
（2）在一組互不相等的數(shù)的排列中，定義在的右邊比其小的數(shù)的個數(shù)稱為的逆序數(shù).已知，的逆序數(shù)分別為，，剩余各數(shù)按相對順序從大到小排列.若經(jīng)過后將這個數(shù)從小到大順序排列，求的所有可能取值；
（3）若剔除后經(jīng)過至少次對換后得到擬合效果最佳，相關(guān)系數(shù)為.剔除后經(jīng)過至少次對換后得到擬合效果最佳，相關(guān)系數(shù)為.若，求證：為定值，并求出該定值.
景德鎮(zhèn)市2025屆高三第一次質(zhì)檢試題
數(shù)學參考答案
第Ⅰ卷（選擇題共58分）
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．
1．D 【解析】，，．故選D．
2．D 【解析】，∴對應(yīng)的點為在第四象限．故選D．
3．B 【解析】，．故選B．
4．C 【解析】，故選C．
5．A 【解析】，點A不在曲線上，由已知可求得切線過點，得直線方程為，，故選A．
6．B 【解析】數(shù)形結(jié)合．故選B．
7．B 【解析】∵是奇函數(shù)，∴，即關(guān)于點對稱．又函數(shù)的定義域為，故．
且當時，令，即，解得．
根據(jù)對稱性可知當時，．
綜上所述，的解集是．故選B．
8．A 【解析】分別取的中點，
不難發(fā)現(xiàn)平面即平面，平面即平面，
∴平面和平面位于正四面體內(nèi)部的交線為線段，
∵正四面體的棱長為1，不難計算得出．故選A．
E
F
二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，滿分18分．
9．BC 【解析】∵，顯然是奇函數(shù)，故A錯誤；往方向上的投影長為，故B正確；設(shè)，其中，∴
，即的最小值為，故C正確；∵互相平行，∴，解得或，經(jīng)檢驗時兩直線重合，∴“”為“互相平行”的充要條件，故D錯誤．故選BC．
10．AD 【解析】由分層隨機抽樣的特征可知：，故A正確；總體是35萬考生的數(shù)學成績，故B錯誤；根據(jù)分層隨機抽樣的均值知樣本均值
，故C錯誤；∵，，，
∴小于66分的人數(shù)約為人，故D正確．故選AD．
11．ABD 【解析】在中，由正弦定理可知
，顯然均為銳角且隨著的增大分別減小與增大，即隨著的增大分別減小與增大，∴的值隨著的增大而減小，故A正確；
，
由于，∴，∴為定值，故B正確；
，而，
∴，故C錯誤；
，，
∴，∴，解得，
∴，故D正確．故選ABD．
第Ⅱ卷(非選擇題共92分)
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，滿分15分．
12． 【解析】由題知：∵成等差，∴，又是公比不為1的等比數(shù)列，∴，∴，．故答案為．
13． 【解析】，∴，半徑為，，∴，半徑為．若兩圓僅有一條公切線，即兩圓相內(nèi)切，∴．由于，故，，即的最小值為．
14． 【解析】第一次給出黑球且第二次給出黑球且第三次給出黑球的概率為，
第一次給出黑球且第二次給出白球且第三次給出黑球的概率為，
第一次給出白球且第二次給出黑球且第三次給出黑球的概率為，
第一次給出白球且第二次給出白球且第三次給出黑球的概率為，
∴在第三步取出的是黑球的條件下，第一步從甲口袋中取的球是黑色的概率．
故答案為．
四、解答題：本大題共5小題，滿分77分．
15．（本小題13分）
解：（1），…………………………2分
該函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：……………………………………4分
令，解得，
∴函數(shù)的對稱中心坐標為，其中．……………………………6分
（2）∵，∴，∴或，∵，
∴．…………………………………………………………………………………………8分
∵，…………………………………………………9分
且，，∴，解得：…………………11分
由余弦定理可知，．…………………………………………13分
16．（本小題15分）
解：（1）取中點，連接，∵，故．
∵，平面平面，平面，
∴平面，∴．…………………………………………………………4分
又∵，∴平面．………………………………………………………6分
（2）由上可知，又，
∴平面．…………………………………………………………………………7分
如圖以為坐標原點，為軸建立空間直角坐標系．……………………8分
∴，……………………………………9分
設(shè)平面的法向量，則，令，
解得．………………………………………………………………………………11分
同理，平面的法向量，……………………………………………………13分
∴平面與平面夾角余弦值…………………………14分
∵二面角為鈍角，∴二面角的余弦值為．…………………15分
17．（本小題15分）
解析：（1）由題意，解得，
∴橢圓的方程為．………………………………………………………………5分
（2）設(shè)直線為，設(shè)，設(shè)中點為，
聯(lián)立，
根據(jù)韋達定理可知，
其中．………………………………………………8分
∴，．
∴，………………………10分
∴，…………………………………………12分
令，∴，等號當且僅當，即時取到，滿足………………………………………14分
∴，即的最大值為．……………………………………………………15分
18．（本小題17分）
解：（1）依題意可知當時，恒成立，…………………………1分
即，而的最小值為，故，………………………………3分
解得，即的最小值為．……………………………………………………………4分
（2），
……………………………………………………………………………………………………6分
∵，∴，解得．
即當時，．…………………………………………………………9分
（3）構(gòu)造函數(shù)，則方程存在三個根即函數(shù)函數(shù)存在三個零點．∵，∴．………………10分
令，得，于是為的一個零點．…………………………………11分
若存在零點，且，由可知，則必存在相應(yīng)的零點，且．∴必在上存在唯一零點．……………………………13分
若恒成立，即成立，解得，此時在上單調(diào)遞增，無零點；………………………………………………………………14分
若，則，且，∴在上單調(diào)遞增，故在上存在零點，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增．……………………………………………15分
∵，即，解得，………………………………………16分
∴，即．
綜上所述，的取值范圍是．…………………………………………………17分
19．（本小題17分）
解：（1）第一次將對換得到，∴．…………………………2分
第二次將對換得到，∴．
故．…………………………………………………………………………………4分
（2）∵的逆序數(shù)分別為，∴必為這個數(shù)中的最大數(shù)．
的逆序數(shù)分別為，則可能是這個數(shù)中第二大或者第三大的數(shù)．………………5分
若是第二大的數(shù)，先將對換到末位需要次對換，再將對換到倒數(shù)第二位需要
次對換，而后將其余各數(shù)對換到相應(yīng)位置分別需要次對換，則
；…………………………………………………………………………………6分
若是第三大的數(shù)，則只能是第二大的數(shù)，同理需要對換次，需要對換次，
需要對換次，…，∴．……………………………………………………8分
綜上所述，或．……………………………………………………9分
（3）先證明排序不等式，不妨假設(shè),是
的一個排列，，不妨假設(shè)，則
，于是
成立的充要條件為，于是經(jīng)過若干次對換后得：．
……………………………………………………………………………………………………12分
假設(shè)經(jīng)過若干次對換后得到，其中，
則．
∵，其中與均為正常數(shù)，要使
得擬合效果最佳，則．∵，不妨假設(shè)，則．
……………………………………………………………………………………………………13分
設(shè)的所有逆序數(shù)之和為，反之，正序數(shù)之和為，由于這個數(shù)互不相
等，則．
∵剔除后要使得擬合效果最佳且，即盡可能大，則應(yīng)將按
從小到大的順序排列．
將中的數(shù)按大數(shù)優(yōu)先對換的原則，則將該組數(shù)按從小到大的順序排列共需次
對換，再將排最前面有次對換，故．………………………………14分
∵剔除后要使得擬合效果最佳且，即盡可能小，則應(yīng)將按從大到小的順序排列．
而中的數(shù)按小數(shù)優(yōu)先對換的原則，則將該組數(shù)按從大到小的順序排列共需要次對換，位置不變，故．……………………………………………………15分
∴．…………………………………………16分
若，同理可得．
綜上所述，為定值．………………………………………………………17分1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
D
D
B
C
A
B
B
A
BC
AD
ABD

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