注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考試務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.
2.回答選擇題時，選出每個小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號，回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本答題卡交回.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 設(shè)集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先解不等式求得集合B，再根據(jù)并集的概念計(jì)算即可.
【詳解】由可得，即，
而，所以.
故選：B
2. 已知復(fù)數(shù)，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算即可化簡，由共軛的定義即可求解.
【詳解】由得，
故，
故選：A
3. 已知，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，下列說法正確的是（ ）
A. 若，且，則B. 若，且，則
C. 若，且，則D. 若，且，則
【答案】D
【解析】
【分析】構(gòu)建正方體，利用其特征結(jié)合空間中直線與平面的位置關(guān)系一一判定選項(xiàng)即可.
【詳解】
如圖所示正方體，
對于A，若對應(yīng)直線與平面，顯然符合條件，但，故A錯誤；
對于B，若對應(yīng)直線與平面，顯然符合條件，但，故B錯誤；
對于C，若對應(yīng)直線與平面，平面，顯然符合條件，但，故C錯誤；
對于D，若，且，又，是兩個不同的平面，則，故D正確.
故選：D
4. 記是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則“是遞增數(shù)列”是“是遞增數(shù)列”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式可得，即可充要條件的定義求解.
【詳解】若是遞增數(shù)列，則公差，所以，
故，所以為遞增數(shù)列，
若為遞增數(shù)列，則，則，
故，所以是遞增數(shù)列，
故“是遞增數(shù)列”是“是遞增數(shù)列”的充要條件，
故選：C
5. 已知定義在上奇函數(shù)滿足，當(dāng)時，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)已知推導(dǎo)出函數(shù)的周期， 的范圍，利用已知和推導(dǎo)出的關(guān)系將所求轉(zhuǎn)化為內(nèi)求解.
【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)且滿足.
所以，即，
所以，
所以是周期為4的周期函數(shù).
因?yàn)?所以
所以
.
故選：B
6. 已知雙曲線的一條漸近線與圓交于，兩點(diǎn)，若，則的離心率為（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意，得到雙曲線的漸近線過圓心，求得，進(jìn)而求得雙曲線的離心率.
【詳解】由圓的方程，可得圓心為，半徑為
又由雙曲線，可得其中一條漸近線方程為，即，
因?yàn)殡p曲線的漸近線交圓于兩點(diǎn)，且，
所以圓心在直線，即，可得，
則雙曲線的離心率為.
故選：D.
7. 已知，，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由三角函數(shù)的單調(diào)性和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案.
【詳解】因?yàn)椋?br>注意到，
.又，所以.
故選：A.
8. 已知方程有兩個不等實(shí)數(shù)根，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】方程有兩個不等實(shí)數(shù)根，轉(zhuǎn)化為有解，即函數(shù)與圖象有兩個交點(diǎn)，結(jié)合過定點(diǎn)，即可判斷選項(xiàng)AB，再將方程有兩個不等實(shí)數(shù)根，轉(zhuǎn)化為有兩個解，由，即可判斷選項(xiàng)C，結(jié)合基本不等式即可判斷選項(xiàng)D.
【詳解】由題知，
方程轉(zhuǎn)化為，
令，則，
令，則，
因?yàn)?，所以?br>所以為增函數(shù)，且.
所以當(dāng)時，，遞減，
當(dāng)時，，遞增，且，
時，，，，
時，，，，
所以可得圖象如圖所示，
方程有兩個不相等實(shí)根，
即直線與函數(shù)圖象有兩交點(diǎn)，
又直線過定點(diǎn)，
故.AB錯誤；
又方程轉(zhuǎn)化為，令.
，
而在上為增函數(shù)，且，
故當(dāng)時，即在上為減函數(shù)，
當(dāng)時，即在上為增函數(shù)，
故又，
又有兩個解，即，
不妨設(shè)，故，而，
所以即.C正確；
由C知，，
所以，D錯.
故選：C
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 已知，，，下列命題為真命題的是（ ）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，則D. 若，則
【答案】BD
【解析】
【分析】利用舉反例和不等式得性質(zhì)進(jìn)行判斷.
【詳解】當(dāng)為負(fù)數(shù)時A可能不成立，例如但是錯誤的.
因?yàn)楦鶕?jù)不等式性質(zhì)可得正確.
因?yàn)?，所以所以即所以故C錯誤.
因?yàn)?，所以?br>所以正確.
故選：BD
10. 已知函數(shù)，，（ ）
A. 存在實(shí)數(shù)使得在單調(diào)遞減
B. 若的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，則的最小值為2
C. 若，將的圖象向右平移個單位可以得到的圖象
D. 若，的最大值為
【答案】BCD
【解析】
【分析】由三角函數(shù)的性質(zhì)對選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.
【詳解】對于A，因?yàn)?，，因?yàn)椋?br>所以不存在實(shí)數(shù)使得在單調(diào)遞減，故A錯誤；
對于B，的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，
所以，所以，，因?yàn)椋?br>所以的最小值為2，故B正確；
對于C，若，，
將的圖象向右平移個單位可以得到的圖象，
則，故C正確；
對于D，若，，，
，
當(dāng)時，的最大值為，故D正確.
故選：BCD.
11. 如圖，邊長為2的正六邊形，點(diǎn)是內(nèi)部（包括邊界）的動點(diǎn)，，，.（ ）
A. B. 存在點(diǎn)，使
C. 若，則點(diǎn)的軌跡長度為2D. 的最小值為
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，結(jié)合向量的線性運(yùn)算即可求解A，根據(jù)共線即可得矛盾求解B，根據(jù)共線即可求解C，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律，結(jié)合圖形關(guān)系即可求解D.
【詳解】設(shè)為正六邊形的中心，
根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可得且四邊形均為菱形，
，故A正確，
假設(shè)存在存在點(diǎn)，使，則,其中點(diǎn)為以為鄰邊作平行四邊形的頂點(diǎn)，
所以在直線上，這與點(diǎn)是內(nèi)部（包括邊界）的動點(diǎn)矛盾，故B錯誤，
當(dāng)時，，
取,則,所以點(diǎn)的軌跡為線段,
其中分別為過點(diǎn)作與的交點(diǎn)，
由于為的中點(diǎn)，所以,故點(diǎn)的軌跡長度為1，C錯誤，
由于,
,
過作于，則,所以此時，
由于分別為上的分量，且點(diǎn)點(diǎn)是內(nèi)部（包括邊界）的動點(diǎn)，所以
當(dāng)位于時，此時同時最小，故的最小值為
故選：AD
12. 已知，，，四點(diǎn)在球心為，半徑為5的球面上，且滿足，，設(shè)，的中點(diǎn)分別為，，則（ ）
A. 點(diǎn)有可能在上
B. 線段的長有可能為7
C. 四面體的體積的最大值為20
D. 四面體的體積的最大值為56
【答案】BCD
【解析】
【分析】A項(xiàng)，分析出點(diǎn)、軌跡即可得出點(diǎn)是否能在上；B項(xiàng)，對點(diǎn)、位置進(jìn)行變換，即可得出線段的長的可能值；C項(xiàng)，求出面積和點(diǎn)到面最大值，即可得出四面體的體積的最大值；D項(xiàng)，作出四面體，即可得出四面體的體積的最大值.
【詳解】由題意，
注意到點(diǎn)、軌跡分別為以為球心，以4、3為半徑的兩同心球面上，、分別為兩球面的切線.
A項(xiàng)，
點(diǎn)在內(nèi)球面上，線段是中球面切線，所以點(diǎn)不可能在線段上，選項(xiàng)A錯誤.
B項(xiàng)，
最大，此時，選項(xiàng)B正確.
C項(xiàng)，
∵，點(diǎn)到面最大值為5，
∴最大值為20，選項(xiàng)C正確.
D項(xiàng)，
當(dāng)，最大時，四面體體積最大.連結(jié)，，注意到，此時四面體體積為，D正確.
故選：BCD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查立體幾何的作圖，位置的變化，四面體體積的求法，考查學(xué)生分析和處理問題的能力，作圖能力具有較強(qiáng)的綜合性.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知，，則__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)同角平方和關(guān)系可得，進(jìn)而根據(jù)齊次式即可求解.
【詳解】由可得，故，
又，解得或，
由于，，故，
又，故，因此，
故，
故答案為：
14. 正項(xiàng)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，成等比數(shù)列，則的最小值為___________.
【答案】##
【解析】
【分析】利用等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)及等比中項(xiàng)，結(jié)合基本不等式計(jì)算即可.
【詳解】設(shè)的公差為，則，
而，
當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號.
故答案為：
15. 已知拋物線準(zhǔn)線為，焦點(diǎn)為，點(diǎn)，在拋物線上，點(diǎn)在上，滿足：，，若，則實(shí)數(shù)____________.
【答案】
【解析】
【分析】由題設(shè)共線，作，垂足分別為，結(jié)合拋物線定義及相似比求參數(shù)值即可.
【詳解】由題設(shè)知：共線，且，如下圖，

作，垂足分別為，則，
所以，又，則，
所以，即，故.
故答案為：2
16. 記不超過的最大整數(shù)為.若函數(shù)既有最大值也有最小值，則實(shí)數(shù)的值可以是___________（寫出滿足條件的一個的值即可）.
【答案】（答案不唯一，取內(nèi)得任一值即可）.
【解析】
【分析】根據(jù)題意取，，，則，將問題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上既有最大值，又有最小值，然后，，和四種情況分析討論即可求出答案.
【詳解】取，，.
則.
題意等價于在區(qū)間上既有最大值，又有最小值.
當(dāng)時，在上為增函數(shù)，只有最小值，無最大值；
當(dāng)時，在上遞減，在上遞增，此時，有最小值，無最大值；
當(dāng)時，在上遞減，在上遞增，此時，最大值為，最小值為；
當(dāng)時，在上為減函數(shù)，有最大值，無最小值.
綜上，的取值范圍是.
故答案為：（答案不唯一，取內(nèi)得任一值即可）
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 已知中，角，，的對邊分別為，，，且.
（1）求；
（2）若，，且，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理邊角互化再結(jié)合余弦定理化簡即可得出答案.
（2）在由余弦定理求出，即可得出，在中由余弦定理求解即可得出答案.
【小問1詳解】
由，得，
即，.
所以，故.
【小問2詳解】
在中，，，，
由余弦定理可得：，
化簡可得：，解得：或（舍去）.
又因?yàn)?，?
在中，，
故.
18. 如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點(diǎn).
（1）求證：；
（2）若是邊長為2的等邊三角形，點(diǎn)滿足，且平面與平面夾角的正切值為，求三棱錐的體積.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用平面與平面垂直的性質(zhì)定理證明；
（2）以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算平面與平面的法向量，根據(jù)平面與平面夾角正切值求得參數(shù)，得幾何體的高，計(jì)算體積.
【小問1詳解】
證明：因?yàn)?，為中點(diǎn)，所以，
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面?br>所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以?br>【小問2詳解】
因?yàn)槭沁呴L為2的等邊三角形，
所以是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，
過作，交于，
結(jié)合題設(shè)，以為原點(diǎn)，，，為坐標(biāo)軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，，因?yàn)?，可設(shè)（），
所以，，設(shè)面法向量為，
則，令，得，
易知平面法向量為，平面與平面夾角正切值為，所以余弦值為，
故，解得，
所以，故.
19. 某群體的人均通勤時間，是指單日內(nèi)該群體中成員從居住地到工作地的平均用時．某地上班族中的成員僅以自駕或公交方式通勤．分析顯示：當(dāng)中（）的成員自駕時，自駕群體的人均通勤時間為（單位：分鐘），而公交群體的人均通勤時間不受影響，恒為分鐘，試根據(jù)上述分析結(jié)果回答下列問題：
（1）當(dāng)在什么范圍內(nèi)時，公交群體的人均通勤時間少于自駕群體的人均通勤時間？
（2）求該地上班族的人均通勤時間的表達(dá)式；討論的單調(diào)性，并說明其實(shí)際意義．
【答案】(1) 時，公交群體的人均通勤時間少于自駕群體的人均通勤時間;(2)見解析.
【解析】
【分析】（1）由題意知求出f（x）＞40時x的取值范圍即可；
（2）分段求出g（x）的解析式，判斷g（x）的單調(diào)性，再說明其實(shí)際意義．
【詳解】（1）由題意知，當(dāng)時，
，
即，
解得或，
∴時，公交群體的人均通勤時間少于自駕群體的人均通勤時間；
（2）當(dāng)時，
；
當(dāng)時，
；
∴；
當(dāng)時，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，單調(diào)遞增；
說明該地上班族中有小于的人自駕時，人均通勤時間是遞減的；
有大于的人自駕時，人均通勤時間是遞增的；
當(dāng)自駕人數(shù)時，人均通勤時間最少．
【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用問題，也考查了分類討論與分析問題、解決問題的能力．
20. 已知數(shù)列為遞增的等比數(shù)列，，記、分別為數(shù)列、的前項(xiàng)和，，.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）證明：當(dāng)時，.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，根據(jù)題意，列出方程組求得，進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）求得，分為偶數(shù)和為奇數(shù)，兩種情況討論，分別求得的表達(dá)式，結(jié)合指數(shù)冪的性質(zhì)，即可得證.
【小問1詳解】
解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，
因?yàn)?，，可得?br>可兩式相減，可得，所以，解得或，
又因?yàn)閿?shù)列為遞增的等比數(shù)列，所以，則，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
【小問2詳解】
解：由（1）知，可得.
當(dāng)為偶數(shù)時，
.
此時，.
當(dāng)時，，所以成立.
當(dāng)為奇數(shù)時，.
檢驗(yàn)知，當(dāng)時，上式也成立.
此時，，
當(dāng)時，，所以成立.
綜上所述，當(dāng)時，成立.
21. 已知橢圓的離心率為，左右焦點(diǎn)分別為、，是橢圓上一點(diǎn)，，.
（1）求橢圓的方程；
（2）過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，為線段中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線與橢圓交于點(diǎn)，點(diǎn)為直線上一動點(diǎn)，且，求證：點(diǎn)在定直線上.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)三角形，即可結(jié)合余弦定理求解，
（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程可得韋達(dá)定理，即可根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，進(jìn)而可得直線方程，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.
【小問1詳解】
由題意得，得
又，，
在中
化簡得，解得，
所以得橢圓方程為：.
【小問2詳解】
當(dāng)直線有斜率且不為0時，設(shè)，，
由消整理得：
因橢圓內(nèi)，所以直線必與橢圓相交
得，
又為線段中點(diǎn)，所以
所以，得
由，消整理得：，
設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得，
設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，由得：
整理得：（※）
又，帶入（※）
得，約去
得即
所以點(diǎn)在定直線上.
當(dāng)直線斜率0時，則軸，此時,,由可得，則，點(diǎn)在定直線上.
當(dāng)直線無斜率時，此時方程為，此時軸，則在軸上，故,由可得，所以點(diǎn)，所以點(diǎn)在定直線上.
綜上可得：點(diǎn)在定直線上.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中定點(diǎn)問題的兩種解法
（1）引進(jìn)參數(shù)法：先引進(jìn)動點(diǎn)坐標(biāo)或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，找到定點(diǎn).
（2）特殊到一般法：先根據(jù)動點(diǎn)或動線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān).
技巧：若直線方程為,則直線過定點(diǎn);
若直線方程為 (為定值),則直線過定點(diǎn)
22. 已知函數(shù)，，（）.
（1）求函數(shù)的最小值；
（2）若有兩個不同極值點(diǎn)，分別記為，，且.
（?。┣髮?shí)數(shù)的取值范圍；
（ⅱ）若不等式恒成立（為自然對數(shù)的底數(shù)），求正數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）-1 （2）（ⅰ）；（ⅱ）.
【解析】
【分析】（1）對求導(dǎo)，判斷與的大小，即可求出的單調(diào)性和極值；
（2）（?。㈩}意轉(zhuǎn)化為方程有兩個不同的根，，令，對求導(dǎo)，判斷與的大小，即可求出的單調(diào)性和極值，畫出的圖象即可得出答案；（ⅱ）由題意可將題意轉(zhuǎn)化為恒成立，令，即恒成立，記函數(shù)，，即對求導(dǎo)，可證明，即可得出答案.
【小問1詳解】
由題意得：，，
當(dāng)時，，此時，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，此時，在上單調(diào)遞增；
所以.
【小問2詳解】
（?。┯深}意得的定義域?yàn)?，?br>因兩個不同極值點(diǎn)，故方程有兩個不同的根，（），
即方程有兩個不同的根，
記函數(shù)，則
當(dāng)時，，此時，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，此時在上單調(diào)遞減；
所以
又當(dāng)時，，當(dāng)時，，
且當(dāng)趨近于正無窮時，趨近于，
所以，方程有兩個不同的實(shí)數(shù)根，當(dāng)且僅當(dāng).
（ⅱ）由（?。┲?，（※），
所以，即（※※），
由不等式恒成立，即恒成立，
由（※）、（※※）得即恒成立，
亦即恒成立，
設(shè)，時，得恒成立，
進(jìn)而得恒成立（※※※），
記函數(shù)，，
則，（），
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，
所以恒成立，故滿足題意
當(dāng)時，若時有，則在上單調(diào)遞減，
所以，當(dāng)時有，與題意（※※※）不符，
綜上得正數(shù)的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：
（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；
（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；
（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).

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