TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc156399149" \l "_Tc156054062" 一、考情分析
二、知識建構(gòu)
\l "_Tc156399150" 考點一 比例線段的概念與性質(zhì)
\l "_Tc156399151" 題型01 成比例線段
\l "_Tc156399152" 題型02 圖上距離與實際距離
\l "_Tc156399153" 題型03 利用比例的性質(zhì)判斷式子變形是否正確
\l "_Tc156399154" 題型04 利用比例的性質(zhì)求未知數(shù)的值
\l "_Tc156399155" 題型05 利用比例的性質(zhì)求代數(shù)式的值
\l "_Tc156399156" 題型06 理解黃金分割的概念
\l "_Tc156399157" 題型07 黃金分割的實際應(yīng)用
\l "_Tc156399158" 題型08 由平行線分線段成比例判斷式子正誤
\l "_Tc156399159" 題型09 平行線分線段成比例（A型）
\l "_Tc156399160" 題型10 平行線分線段成比例（X型）
\l "_Tc156399161" 題型11 平行線分線段成比例與三角形中位線綜合
\l "_Tc156399162" 題型12 平行線分線段成比例的常用輔助線之平行線
\l "_Tc156399163" 題型13 平行線分線段成比例的常用輔助線之垂線
\l "_Tc156399164" 考點二 相似圖形的概念與性質(zhì)
\l "_Tc156399165" 題型01 理解相似圖形的概念
\l "_Tc156399166" 題型02 相似多邊形
\l "_Tc156399167" 題型03 相似多邊形的性質(zhì)
\l "_Tc156399168" 考點三 位似圖形
\l "_Tc156399169" 題型01 位似圖形的識別
\l "_Tc156399170" 題型02 判斷位似中心
\l "_Tc156399171" 題型03 根據(jù)位似的概念判斷正誤
\l "_Tc156399172" 題型04 求兩個位似圖形的相似比
\l "_Tc156399173" 題型05 畫已知圖形放大或縮小n倍后的位似圖形
\l "_Tc156399174" 題型06 求位似圖形的坐標(biāo)
\l "_Tc156399175" 題型07 求位似圖形的線段長度
\l "_Tc156399176" 題型08 在坐標(biāo)系中求位似圖形的周長
\l "_Tc156399177" 題型09 在坐標(biāo)系中求位似圖形的面積
考點一 比例線段的概念與性質(zhì)
線段的比的定義：兩條線段的比是兩條線段的長度之比．
比例線段的定義：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度的比)與另兩條線段的比相等，如ab=cd（即ad=bc），我們就說這四段線段是成比例線段，簡稱比例線段.其中a、b、c、d叫組成比例的項；a、d叫比的外項，b、c叫比的內(nèi)項，
【補(bǔ)充】當(dāng)比的內(nèi)項相等時，即ab=bd或a：b=b：d，線段 b 叫做線段a和d的比例中項.
【解題思路】
1）判斷四條線段是否成比例，需要將這四條線段從小到大依次排列，再判斷前兩條線段的比與后兩條線段的比是否相等即可；
2）成比例的線段是有順序的，比如：a、b、c、d是成比例的線段，則成比例線段只能寫成ab=cd（即：第一條第二條=第三條第四條），而不能寫成ab=dc.
比例的性質(zhì)：
1）基本性質(zhì)：ab=cd?ad=bc ab=bc?b2=ac
2）變形：ab=cd?&ac=bd，(交換內(nèi)項)&db=ca，(交換外項)&dc=ba．(同時交換內(nèi)外項) 核心內(nèi)容：ad=bc
3）合、分比性質(zhì)：ab=cd?a±bb=c±dd
【補(bǔ)充】實際上，比例的合比性質(zhì)可擴(kuò)展為：比例式中等號左右兩個比的前項，后項之間發(fā)生同樣和差變化比例仍成立．如：ab=cd?&b-aa=d-cc&a-ba+b=c-dc+d
4）等比性質(zhì)：如果ab=cd=ef=?=mn=k， 那么a+c+e+?+mb+d+f+?+n=k(b+d+f+?+n≠0).
【補(bǔ)充】根據(jù)等比的性質(zhì)可推出，如果ab=cd，則ab=cd=a+cb+d(b+d≠0).
5）黃金分割：點C把線段AB分割成AC和CB兩段,如果ACAB=BCAC,那么線段AB被點C黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫做黃金比.
【注意】1）AC=5-12AB≈0.648AB (5-12叫做黃金分割值). 簡記為：長全＝短長＝5-12
2）一條線段的黃金分割點有兩個.
【擴(kuò)展】作一條線段的黃金分割點：
如圖，已知線段AB，按照如下方法作圖：
①經(jīng)過點B作BD⊥AB，使BD=12AB.
②連接AD，在DA上截取DE=DB.
③在AB上截取AC=AE.則點C為線段AB的黃金分割點.
6）平行線分線段成比例定理
平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所截得的對應(yīng)線段成比例.
①已知l3∥l4∥l5, 可得ABBC=DEEF或ABAC=DEDF或BCAB=EFDE或BCAC=EFDF或ABDE=BCEF等
①把平行線分線段成比例的定理運用到三角形中，會出現(xiàn)下面的兩種情況：
推論：平行于三角形一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例．
1. 求線段之比時，要先統(tǒng)一線段的長度單位，最后的結(jié)果與所選取的單位無關(guān)系．
2. 通常四條線段a、b、c、d的單位應(yīng)該一致，但有時為了計算方便，a和b統(tǒng)一為一個單位，c和d統(tǒng)一為另外一個單位也可以.
題型01 成比例線段
【例1】（2023·福建泉州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）下列長度的各組線段中，能構(gòu)成比例線段的是（ ）
A．2，5，6，8B．3，6，9，2C．1，2，3，4D．3，6，7，9
【變式1-1】（2023·上海長寧·統(tǒng)考一模）已知線段a、b、c、d是成比例線段，如果a=1，b=2，c=3，那么d的值是（ ）
A．8B．6C．4D．1
【變式1-2】（2023·上海楊浦·統(tǒng)考一模）已知線段a=3厘米，c=12厘米，如果線段b是線段a和c的比例中項，那么b= 厘米．
題型02 圖上距離與實際距離
【例2】（2023·江蘇常州·常州市第二十四中學(xué)?？寄M預(yù)測）在比例尺是1:8000的地圖上，延陵西路的長度約為25cm，該路段的實際長度約為（ ）
A．3200mB．3000mC．2400mD．2000m
【變式2-1】（2023·上海嘉定·?？家荒＃┘?、乙兩地的實際距離為250km，如果畫在比例尺為1:5 000 000的地圖上，那么甲、乙兩地的圖上距離是 cm．
題型03 利用比例的性質(zhì)判斷式子變形是否正確
【例3】（2023·安徽合肥·?？家荒＃┮阎?x=3y（x≠0，y≠0），則下列比例式成立的是（ ）
A．x3=y2B．x2=3yC．x2=y3D．xy=23
【變式3-1】（2023·上海寶山·一模）已知線段a、b，如果a:b=2:3，那么下列各式中一定正確的是（ ）
A．2a=3bB．a(chǎn)+b=5C．a(chǎn)+ba=52D．a(chǎn)+3b+2=1
題型04 利用比例的性質(zhì)求未知數(shù)的值
【例4】（2023·湖南郴州·模擬預(yù)測）若5-x:x=2:3，則x= ．
【變式4-1】（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）若ab=34，且a+b=7，則a的值為 ．
題型05 利用比例的性質(zhì)求代數(shù)式的值
【例5】（2023·浙江·模擬預(yù)測）用“▲”，“●”，“◆”分別表示三種物體的重量，若▲●=●-◆▲=◆●+▲，則▲，●，◆這三種物體的重量比為（ ）
A．2:3:4B．2:4:3C．3:4:5D．3:5:4
【變式5-1】（2023·上海虹口·統(tǒng)考一模）已知x:y=3:2，那么x-y:x= ．
【變式5-2】（2023·寧夏銀川·?？家荒＃┤鬮a=dc=12a≠c，則2b-d2a-c= ．
【變式5-3】（2023·江西撫州·校聯(lián)考一模）解方程：
(1)xx-3=2x-6；
(2)已知a:b:c=2:3:4，且2a+3b-2c=15，求a-2b+3c的值．
【變式5-4】（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知2ab+c+d=2ba+c+d=2ca+b+d=2da+b+c=k，求k2-3k-4的值．
題型06 理解黃金分割的概念
【例6】（2023·上海楊浦·統(tǒng)考一模）已知P是線段AB的黃金分割點，且AP>BP，那么下列等式能成立的是（ ）
A．ABAP=APBPB．ABBP=BPAP
C．APBP=5-12D．ABAP=5-12
【變式6-1】（2023·河南鄭州·統(tǒng)考二模）神奇的自然界中處處蘊含著數(shù)學(xué)知識．如圖是古希臘時期的帕提農(nóng)神廟（Parthenn Temple），我們把圖中的虛線表示為矩形ABCD，并發(fā)現(xiàn)AD:DC≈0.618，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的（ ）

A．平移B．旋轉(zhuǎn)C．軸對稱D．黃金分割
【變式6-2】（2023·四川成都·?？既＃┮阎cC為線段AB的黃金分割點，AC>BC．若AC=6 cm，則AB的長為 cm．
題型07 黃金分割的實際應(yīng)用
【例7】（2023·云南昆明·統(tǒng)考二模）如果矩形ABCD滿足ABBC=5-12，那么矩形ABCD叫做“黃金矩形”，如圖，已知矩形ABCD是黃金矩形，對角線AC，BD相交于O且BC=2，則關(guān)于黃金矩形ABCD，下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．AC=BDB．S△AOB=5-12
C．AC=8-25D．矩形ABCD的周長C=25+2
【變式7-1】（2023·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預(yù)測）如圖，點C是線段AB的黃金分割點，即BCAC=ACAB，若S1表示以CA為一邊的正方形的面積，S2表示長為AB，寬為CB的矩形的面積，則S1與S2的大小關(guān)系是（ ）
A．S1>S2B．S1BP)，若滿足BPAP=APAB，則稱點P是AB的黃金分割點．黃金分割在我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中也處處可見，比如我們把有一個內(nèi)角為36°的等腰三角形稱為“黃金三角形”．

(1)應(yīng)用：如圖1，若點C是線段AB的黃金分割點(AC>BC)，若AB=1，則AC的長為 ______．
(2)運用：如圖2，已知等腰三角形ABC為“黃金三角形”，AB=AC，∠A=36°，BD為∠ABC的平分線．求證：點D是AC的黃金分割點．
(3)如圖3中，AB=AC，∠A=36°，BF平分∠ABC交AC于F，取AB的中點E，連接EF并延長交BC的延長線于M．BC=1，請你直接寫出CM的長為__________．
【變式7-5】（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）“黃金分割”給人以美感，它在建筑、藝術(shù)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用．如圖①，點C把線段AB分成兩部分，如果BCAC=ACAB，那么稱線段AB被點C黃金分割，點C為線段AB的黃金分割點．AC與AB的比稱為黃金比，它們的比值為5-12．請完成下面的問題：

(1)如圖②，∠MON=60°，點A在OM邊上，OA=2．請在ON邊上用無刻度的直尺和圓規(guī)作出點B，使得OB與OA的比為黃金比；（不寫作法，保留作圖痕跡）

(2)如圖③，在△ABC中，AB=AC，若ABBC=5-12，請你求出∠A的度數(shù)．

題型08 由平行線分線段成比例判斷式子正誤
【例8】（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，D、E分別為AB、AC邊的中點，連接DE，點F為BC邊上一點，BF=2FC，連接AF交DE于點N，則下列結(jié)論中錯誤的是（ ）

A．ANAF=12B．DNDE=23C．ADAC=12D．NEFC=12
【變式8-1】（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六十九中學(xué)校?？寄M預(yù)測）如圖，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，則下列比例式中正確的是（ ）

A．BDAD=DFFCB．DEFB=AEACC．BFFC=CEAED．ADFC=ABAC
【變式8-2】（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱風(fēng)華中學(xué)?？既＃┤鐖D，△ABC中，E為AB邊上一點，過E作EF∥BC交AC于F，G為EF的中點，作FH∥AB交BC于H，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）

A．BHBC=AGADB．EGCD=AGADC．CFAF=CHEFD．EFBC=FHAB
【變式8-3】（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點E，F(xiàn)分別在AD的延長線，CB的延長線上，連接EF分別交AB，CD于點G，H，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．CHDH=FHEHB．BGCD=FGEFC．ADBF=GHFGD．DHAG=DEAD
題型09 平行線分線段成比例（A型）
【例9】（2023·河南周口·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，DE∥BC，DE分別與AB、AC相交于D、E，若AD=4，DB=2，則ECAE的值為（ ）

A．12B．23C．34D．35
【變式9-1】（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，BD=3，下列結(jié)論錯誤的是（ ）

A．AEEC=23B．DEBC=23C．S△ADES△ABC=425D．CEAC=35
【變式9-2】（2023·上海楊浦·統(tǒng)考一模）如圖，已知在△ABC中，點D、E、F分別在邊AB、AC、BC上，DE∥BC，AB=15，AEEC=23．
(1)求AD的長；
(2)如果BF=4，CF=6，求四邊形BDEF的周長．
題型10 平行線分線段成比例（X型）
【例10】（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市蕭紅中學(xué)校考三模）如圖，AD∥BE∥CF，直線l1、l2與這三條平行線分別交于點A、B、C和點D、E、F．若AB=4.5，BC=3，EF=2，則DE的長度是（ ）

A．154B．3C．5D．43
【變式10-1】（2023·北京海淀·人大附中校考三模）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是AD上一點，連接CE并延長交BA的延長線于點F，則下列結(jié)論中錯誤的是（ ）

A．∠AEF=∠DECB．FA:CD=AE:BC
C．FA:AB=FE:ECD．AB=DC
【變式10-2】（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）如圖，已知AB∥CD∥EF， BC:CE=3:4，AF=21，那么DF的長為（ ）

A．9B．12C．15D．18
題型11 平行線分線段成比例與三角形中位線綜合
【例11】（2023·湖南湘潭·模擬預(yù)測）如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，OE∥AB交AD于點E．若OA=2，△AOE周長為10，則平行四邊形ABCD的周長為（ ）
A．16B．32C．36D．40
【變式11-1】（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，D為BC邊的中點，點E在線段AD上，BE的延長線交AC邊于點F，若AE：ED＝1：3，AF＝2，則線段FC的長為 ．

【變式11-2】（2023·山西運城·統(tǒng)考二模）請閱讀下列材料，非完成相應(yīng)的任務(wù)．
任務(wù)：
(1)請補(bǔ)充材料中剩余部分的解答過程．
(2)上述解題過程主要用的數(shù)學(xué)思想是______．（單選）
A．方程思想 B．轉(zhuǎn)化思想 C．分類思想 D．整體思想
(3)請你換一種思路求AFCF的值，直接寫出輔助線的作法即可．
題型12 平行線分線段成比例的常用輔助線之平行線
【例12】（2023·江蘇鹽城·校聯(lián)考二模）【回歸課本】我們曾學(xué)習(xí)過一個基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得 的對應(yīng)線段成比例．

【初步體驗】
（1）如圖 1，在△ABC中，點 D 在AB上，E 在AC上，DE∥BC．若AD=1,AE=2，DB=1.5，則EC= ， AEAC= ；
（2 ） 已知，如圖 1 ，在△ABC中，點 D 、E 分別在AB、AC上，且DE∥BC． 求證：△ADE∽△ABC．
證明：過點E作AB的平行線交BC于點 F
… … … … … …
請依據(jù)相似三角形的定義（如果兩個三角形各角分別相等，且各邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似）和上面的基本事實，補(bǔ)充上面的證明過程；
【深入探究】
（3 ）如圖 2，如果一條直線與△ABC的三邊AB、BC、CA或其延長線交于 D、F、E 點，那么AEEC?BDDA?CFFB是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請說明理由；
（4） 如圖 3 ，在△ABC中，D 為 BC的中點，AE:EF:FD=4:3:1．則 AG:GH:AB= ．

【變式12-1】（2023·山西大同·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=14， AC=63，點D在AB上，AD:DB=3:4，連接CD，過點A作AE⊥CD于點E，連接BE并延長交AC于點F，則EF的長為 ．
【變式12-2】（2023·廣東深圳·深圳市桂園中學(xué)?？寄M預(yù)測）綜合與實踐問題情景：數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了一個問題：如圖①，在?ABCD中，BE⊥AD，垂足為E，F(xiàn)為CD的中點，連接EF，BF，試猜想EF與BF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

(1)獨立思考：請解答老師提出的問題；
(2)實踐探究：希望小組受此問題的啟發(fā)，將?ABCD沿著BF（F為CD的中點）所在直線折疊，如圖②，點C的對應(yīng)點為C'，連接DC'并延長交AB于點G，請判斷AG與BG的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；
(3)問題解決：智慧小組突發(fā)奇想，將?ABCD沿過點B的直線折疊，如圖③，點A的對應(yīng)點A'，使A'B⊥CD于點H，連接A'M，交CD于點N，該小組提出一個問題：若此?ABCD的面積為20，邊長AB=5，BC=833，求圖中陰影部分（四邊形BHNM）的面積．請你思考此問題，直接寫出結(jié)果．
【變式12-3】（2023·山東青島·?？家荒＃┒x：三角形一邊中線的中點和該邊的兩個頂點組成的三角形稱為中原三角形．如圖①，AD是△ABC的中線，F(xiàn)是AD的中點，則△FBC是中原三角形．

(1)求中原三角形與原三角形的面積之比（直接寫出答案）．
(2)如圖②，AD是△ABC的中線，E是邊AC上的點，AC=3AE，BE與AD相交于點F，連接CF．求證：△FBC是中原三角形．
(3)如圖③，在（2）的條件下，延長CF交AB于點M，連接ME，求△FEM與△ABC的面積之比．
題型13 平行線分線段成比例的常用輔助線之垂線
【例13】（2023·浙江衢州·?？家荒＃┮阎?，如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=∠ADB，CE⊥AD于E，AE=5，AC-AB=4，則AC和AB分別為 ．

【變式13-1】（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考一模）如圖，反比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過Rt△ABC的頂點A和斜邊AB的中點D，點B、C在x軸上，△OBD的面積為6，則k= ．

【變式13-2】（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考三模）如圖，點A在反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象上，點B在x軸負(fù)半軸上，直線AB交y軸于點C，若ACBC=12，△AOB的面積為4，則k的值為 ．

考點二 相似圖形的概念與性質(zhì)
相似多邊形的c
相似多邊形的性質(zhì)：
1）相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例.
2) 相似多邊形的周長比等于相似比，相似三角形的面積比等于相似比的平方.
題型01 理解相似圖形的概念
【例1】（2022·福建龍巖·?？寄M預(yù)測）如圖，由圖形M改變?yōu)閳D形N，這種圖形改變屬于（ ）

A．平移B．軸對稱C．旋轉(zhuǎn)D．相似
【變式1-1】（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測）下列圖形不是相似圖形的是（ ）
A．同一張底片沖洗出來的兩張大小不同的照片B．某人的側(cè)身照片和正面照片
C．用放大鏡將一個細(xì)小物體圖案放大過程中原有圖案和放大圖案D．大小不同的兩張中國地圖
【變式1-2】（2023·河北衡水·校聯(lián)考模擬預(yù)測）《西游記》的事故家喻戶曉，特別是書中的孫悟空嫉惡如仇斬妖除魔大快人心．在一次降妖過程中，孫悟空念動咒語將一片樹葉放大后射向妖魔．若這個過程可以看成是平面直角坐標(biāo)系中的一次無旋轉(zhuǎn)的變化，設(shè)變化前樹葉尖部某點的坐標(biāo)為a,b，在咒語中變化后得到對應(yīng)點的坐標(biāo)為20a+20,20b-10，則變化后樹葉的面積變?yōu)樵瓉淼? )
A．20倍B．200倍C．400倍D．4000倍
【變式1-3】（2022·河南洛陽·統(tǒng)考一模）形狀相同的圖形是相似圖形．下列哪組圖形不一定是相似圖形（ ）
A．關(guān)于直線對稱的兩個圖形B．兩個正三角形
C．兩個等腰三角形D．兩個半徑不等的圓
題型02 相似多邊形
【例2】（2023·上海虹口·統(tǒng)考一模）如圖，四邊形的頂點在方格紙的格點上，下列方格紙中的四邊形與已知四邊形相似的是（ ）
A．B．C．D．
【變式2-1】（2020·河北衡水·統(tǒng)考一模）在研究相似問題時，甲、乙兩同學(xué)的觀點如下：
甲：將邊長為4的菱形按圖1的方式向外擴(kuò)張，得到新菱形，它們的對應(yīng)邊間距為1，則新菱形與原菱形相似．
乙：將邊長為4的菱形按圖2方式向外擴(kuò)張，得到新菱形，每條對角線向其延長線兩個方向各延伸1，則新菱形與原菱形相似；
對于兩人的觀點，下列說法正確的是（ ）．
A．兩人都對B．兩人都不對C．甲對，乙不對D．甲不對，乙對
【變式2-2】（2021·江蘇南京·統(tǒng)考二模）學(xué)完“探索三角形相似的條件”之后，小明所在的學(xué)習(xí)小組嘗試探索四邊形相似的條件，以下是他們的思考，請你和他們一起完成探究過程．
【定義】四邊成比例，且四角分別相等的兩個四邊形叫做相似四邊形．
【初步思考】
（1）小明根據(jù)探索三角形相似的條件所獲得的經(jīng)驗，考慮可以從定義出發(fā)逐步弱化條件探究四邊形相似的條件．他考慮到“四角分別相等的兩個四邊形相似”可以舉出反例“矩形”，“四邊成比例的兩個四邊形相似”可以舉出反例______．所以四邊形相似的條件必須再添加條件，于是，可以從“四邊成比例，且一角對應(yīng)相等的兩個四邊形相似”，“三邊成比例，且兩角分別相等的兩個四邊形相似”，“兩邊成比例，且三角分別相等的兩個四邊形相似”來探究．
【深入探究】
（2）學(xué)習(xí)小組一致認(rèn)為，“四邊成比例，且一角對應(yīng)相等的兩個四邊形相似”是真命題，請結(jié)合圖形完成證明．
已知：四邊形ABCD和四邊形A'B'C'D'中，ABA'B'=BCB'C'=CDC'D'=ADA'D'，∠A=∠A'．
求證：四邊形ABCD∽四邊形A'B'C'D'．證明：
（3）對于“三邊成比例，且兩角分別相等的兩個四邊形相似”，學(xué)習(xí)小組得到如下的四個命題：
①“三邊成比例，兩鄰角分別相等且只有一角為其中兩邊的夾角的兩個四邊形相似”；
②“三邊成比例，兩鄰角分別相等且都不是其中兩邊的夾角的兩個四邊形相似”；
③“三邊成比例及其兩夾角分別相等的兩個四邊形相似”；
④“三邊成比例，兩對角分別相等的兩個四邊形相似”．
其中真命題是______．（填寫所有真命題的序號）
（4）請你完成“兩邊成比例，且三角分別相等的兩個四邊形相似”的探究過程．
【變式2-3】（2020·河北保定·統(tǒng)考模擬預(yù)測）（1）觀察下列式子：
23b），四周都增加1cm，所得大矩形與原來的矩形相似嗎？____________（直接填“是”或“否”）
題型03 相似多邊形的性質(zhì)
【例3】（2023·河北張家口·?？寄M預(yù)測）把一根鐵絲首尾相接圍成一個長為3cm，寬為2cm的矩形ABCD，要將它按如圖所示的方式向外擴(kuò)張得到矩形A'B'C'D'，使矩形A'B'C'D'∽矩形ABCD，則這根鐵絲需增加（ ）

A．3.5cmB．5cmC．7cmD．10cm
【變式3-1】（2023·重慶沙坪壩·統(tǒng)考一模）若兩個相似多邊形的相似比為3:1，則它們周長的比為（ ）
A．2:1B．3:1C．4:1D．9:1
【變式3-2】（2023·河北衡水·?？级＃⑦呴L為2的正六邊形按照如圖所示的方式向外擴(kuò)張，得到新的六邊形，它們的對應(yīng)邊的距離均為3．
（1）新的六邊形與原六邊形 ；（填“相似”或“不相似”）
（2）擴(kuò)張后六邊形的周長比原來增加了 ．
【變式3-3】（2022·四川成都·統(tǒng)考二模）小穎在一本書上看到一個風(fēng)箏模型，形狀如圖所示，其中對角線AC⊥BD，并且兩條對角線長分別為10cm和12cm．現(xiàn)在小穎照著模型按照1：3的比例放大制作一個大風(fēng)箏，制作風(fēng)箏需要彩色紙覆蓋，而彩色紙是從一張剛好覆蓋整個風(fēng)箏的矩形彩色紙（如圖中虛線所示）裁剪下來的，那么從四個角裁剪下來廢棄不用的彩色紙的面積是 cm2．
考點三 位似圖形
位似圖形的定義: 如果兩個圖形不僅是相似圖形,且對應(yīng)點連線相交于一點,對應(yīng)線段相互平行,那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形,位似圖形對應(yīng)點連線的交點是位似中心.
常見的位似圖形：
畫位似圖形的方法：兩個位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè)，也可能位于位似中心的同側(cè).（即畫位似圖形時，注意關(guān)于某點的位似圖形有兩個.）
判斷位似圖形的方法：首先看這兩個圖形是否相似，再看對應(yīng)點的連線是否經(jīng)過位似中心.
位似圖形的性質(zhì)：
1) 位似圖形的對應(yīng)頂點的連線所在直線相交與一點；
2）位似圖形的對應(yīng)邊互相平行或者共線.
3) 位似圖形上任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于相似比.
4) 在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點為中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于k或–k.
畫位似圖形的步驟：
1）確定位似中心,找原圖形的關(guān)鍵點.
2）確定位似比.
3）以位似中心為端點向各關(guān)鍵點作射線.
4）順次連結(jié)各截取點，即可得到要求的新圖形.
1. 位似圖形一定是相似圖形，具有相似圖形的所有性質(zhì)，但相似圖形不一定是位似圖形.
2. 兩個位似圖形的位似中心只有一個，它可能位于圖形的內(nèi)部、外部、邊上或頂點上.
題型01 位似圖形的識別
【例1】（2022·河北唐山·?？家荒＃┤鐖D所示是利用圖形變換設(shè)計的一個美術(shù)字圖案，這樣設(shè)計的美術(shù)字更富有立體感，則該圖案在設(shè)計的過程中用到的圖形變換是（ ）
A．平移B．旋轉(zhuǎn)C．軸對稱D．位似
【變式1-1】（2020·重慶渝中·統(tǒng)考二模）下列圖形中不是位似圖形的為（ ）
A． B．
C． D．
題型02 判斷位似中心
【例2】（2023·河北滄州·模擬預(yù)測）如圖，△ABC與△A'B'C'是位似圖形，則位似中心為（ ）

A．點MB．點NC．點QD．點P
【變式2-1】（2020·山西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點O(0,0)，A(0,2)，B(4,0)，C(0,-2)，以某點為位似中心，作出ΔDEF與ΔABC位似，點A的對應(yīng)點為D(0,1)，則位似中心的坐標(biāo)為（ ）

A．(0,0)B．(1,0)C．(2,0)D．(4,0)
【變式2-2】（2023·四川樂山·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，陰影所示的兩個正方形是位似圖形，若位似中心在兩個正方形之間，則位似中心的坐標(biāo)為 ．

題型03 根據(jù)位似的概念判斷正誤
【例3】（2021·重慶·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在△ABC外任取一點O，連接AO、BO、CO，并分別取它們的中點D、E、F，順次連接DE、EF、DF得到△DEF，則下列說法錯誤的是（ ）

A．△DEF與△ABC是位似圖形B．△DEF與△ABC是相似圖形
C．△DEF與△ABC的周長比是1:2D．△DEF與△ABC的面積比是1:2
【變式3-1】（2023·河北保定·?？家荒＃┤鐖D，△ABC與△DEC都是等邊三角形，固定△ABC，將△DEC從圖示位置繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)一周，在△DEC旋轉(zhuǎn)的過程中，下列說法正確的是（ ）

A．△DEC總與△ABC位似
B．△DEC與△ABC不會位似
C．當(dāng)點D落在CB上時，△DEC與△ABC位似
D．存在△DEC的兩個位置使得△DEC與△ABC位似
【變式3-2】（2022·河北石家莊·石家莊市第四十一中學(xué)?？寄M預(yù)測）△ABC和△A'B'C'是位似圖形，位似中心是點O，下列說法不正確的是（ ）
A．AB∥A'B'B．AA'∥BB'
C．直線CC'經(jīng)過點OD．直線AA'、BB'和CC'相交于一點
題型04 求兩個位似圖形的相似比
【例4】（2023·湖南婁底·統(tǒng)考一模）如圖，已知△ABC與△DEF位似，位似中心為O，且△ABC的面積與△DEF的面積之比是16:9，則AO:AD的值為（ ）
A．9:5B．3:2C．4:3D．4:7
【變式4-1】（2023·浙江溫州·?？既＃┤鐖D，矩形ABCD與矩形EFGH位似，點O是位似中心，已知OH:HD=1:2，EH=2，則AD的值為（ ）

A．2B．4C．6D．8
【變式4-2】（2023·河南周口·統(tǒng)考一模）如圖，已知圖中的每個小方格都是邊長為1的小正方形，每個小正方形的頂點稱為格點，若△ABC與△A'B'C'是位似圖形且頂點均在格點上．

(1)在圖中畫出位似中心的位置，并寫出位似中心的坐標(biāo)；
(2)△ABC與△A'B'C'的位似比為__________，面積比為__________．
題型05 畫已知圖形放大或縮小n倍后的位似圖形
【例5】（2021·安徽蕪湖·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB的頂點坐標(biāo)分別為O0,0，A2,1，B1,-2．
(1)以原點O為位似中心，在y軸的右側(cè)按2:1放大，畫出△OAB的一個位似△OA1B1；
(2)畫出將△OAB向左平移2個單位，再向上平移1個單位后得到的△O2A2B2；
(3)△OA1B1與△O2A2B2是位似圖形嗎？若是，請在圖中標(biāo)出位似中心M，并寫出點M的坐標(biāo)，若不是請說明理由．
【變式5-1】（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，給出了格點△ABC（頂點是網(wǎng)格線的交點）和點D且點D在網(wǎng)格的格點上．

(1)以點D為位似中心，將△ABC在點D上方畫出位似變換且縮小為原來的12得到△A1B1C1．
(2)將（1）中的△A1B1C1繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A2B2C2，畫出△A2B2C2．
(3)△A2B2C2的面積是___________．
【變式5-2】（2023·陜西榆林·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB的頂點均在網(wǎng)格格點上，且點A、B的坐標(biāo)分別為A3,1，B2,-1．

(1)在y軸的左側(cè)以原點O為位似中心作△OAB的位似圖形△OA1B1（點A、B的對應(yīng)點分別為A1B1），使△OA1B1與△OAB的相似比為2：1；
(2)在（1）的條件下，分別寫出點A1、B1的坐標(biāo)．
題型06 求位似圖形的坐標(biāo)
【例6】（2022·山西大同·校聯(lián)考一模）在直角坐標(biāo)系中，已知點A(2,4)，B(4,2)，以坐標(biāo)原點O為位似中心，作與△OAB的位似比為2的位似圖形△OA'B'，則點A的對應(yīng)點A'的坐標(biāo)是（ ）

A．(1,2)B．(4,8)C．(1,2)或-1,-2D．(4,8)或-4,-8
【變式6-1】（2023·廣東深圳·深圳市羅湖區(qū)翠園東曉中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB的頂點分別為A3，1，B2，0，O0，0，若以原點為位似中心，相似比為2，將△AOB放大，則點A的對應(yīng)點的坐標(biāo)為 ．
【變式6-2】（2021·廣東廣州·廣州市第十六中學(xué)?？级＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△OAB的頂點為A4,3，B3,0，以O(shè)為位似中心，在第三象限內(nèi)作與△OAB的位似比是-13的位似圖形△OCD，則點C的坐標(biāo)是 ．

題型07 求位似圖形的線段長度
【例7】（2023·河南周口·校聯(lián)考二模）如圖，在Rt△ABO中，∠B=90°，AB=2，BO=23，以點O為位似中心，將△AOB縮小為原圖形的12，得到△COD，則OC的長度是（ ）

A．2B．3C．2.5D．3.5
【變式7-1】（2020·河北石家莊·石家莊二中?？寄M預(yù)測）如圖，有一斜坡OA，已知斜坡上一點A的坐標(biāo)為A23,2，過點A作AB⊥x軸，垂足為點B，將△AOB以坐標(biāo)原點0為位似中心縮小為原圖形的12，得到△COD，則OC的長度是 ，此時斜坡OA的坡度為 ．
【變式7-2】（2021·重慶沙坪壩·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC與△DEF是以坐標(biāo)原點O為位似中心的位似圖形，若A（﹣2，0），D（3，0），且BC＝3，則線段EF的長度為（ ）
A．2B．4C．92D．6
題型08 在坐標(biāo)系中求位似圖形的周長
【例8】（2023·重慶渝中·重慶巴蜀中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC與△DEF是以點O為位似中心的位似圖形，若OC:CF=2:3，△DEF的周長為15，則△ABC的周長為（ ）

A．10B．6C．5D．4
【變式8-1】（2023·重慶南岸·統(tǒng)考一模）正方形ODEF與正方形OABC位似，點O為位似中心，OE:OB=1:4，則正方形ODEF與正方形OABC的周長比為（ ）

A．1:3B．1:4C．1:9D．1:16
題型09 在坐標(biāo)系中求位似圖形的面積
【例9】（2023·河北邢臺·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC與△DEF關(guān)于原點O位似，且OB=2OE，若S△ABC=4，則S△DEF為（ ）
A．1B．2C．12D．32
【變式9-1】（2022·重慶沙坪壩·重慶南開中學(xué)?？既＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC與△DEC位似，點C為位似中心，CD=3AC，若△ABC的面積是1，則△DEC的面積是（ ）
A．3B．4C．9D．16
【變式9-2】（2023·湖北鄂州·統(tǒng)考二模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知點A0,1,C0,4,△OAB與△OCD位似，原點O是位似中心．若△OAB的面積為0.3，則四邊形ACDB的面積為 ．

考點要求
新課標(biāo)要求
命題預(yù)測
比例線段的概念與性質(zhì)
了解比例的基本性質(zhì)、線段的比、成比例的線段；
通過建筑、藝術(shù)上的實例了解黃金分割.
在中考中，該模塊內(nèi)容常出現(xiàn)在選擇題、填空題，較為簡單.本節(jié)內(nèi)容是下一節(jié)相似三角形的基礎(chǔ)，需要學(xué)生在復(fù)習(xí)時加以重視.
相似圖形的概念與性質(zhì)
通過具體實例認(rèn)識圖形的相似.
了解相似多邊形和相似比.
位似圖形
了解圖形的位似，知道利用位似可以將一個圖形放大或縮小.
利用輔助平行線求線段的比
三角形的中位線定理是三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．平行線分線段成比例定理是兩條平行線被兩條直線所截，截得的線段對應(yīng)成比例．有些幾何題，若題中出現(xiàn)了平行線，我們可以直接利用這兩個定理求出兩線段的比值，而有些幾何題，題中沒有平行線這樣的條件，那么我們可以通過作輔助平行線，然后再利用這兩個定理加以解決．
舉例：如圖1，AD是△ABC的中線，AE:AD=1:5，BE的延長線交AC于點F．
求AFCF的值．
下面是該題的部分解題過程：
解：如圖2，過點D作DH∥BF交AC于點H．
∵AD是△ABC的中線，
∴BD=DC．
∵DH∥BF，
∴FHCH=BDCD，
∴CH=FH．
∵EF∥DH，
…

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