通用的解題思路：
第一步：先分析是求函數(shù)的最大值還是求函數(shù)的最小值：①如果恒成立，則求函數(shù)的最小值Min；②如果恒成立，則求函數(shù)的最大值Max。
第二步：再將所求的最大值或最小值代入不等式，得或者，再解不等式求出參數(shù)m的范圍。
1.（2017?長沙中考）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于第四象限，連接、、、，延長交軸于點(diǎn)．
（1）若為等腰直角三角形，求的值；
（2）若對(duì)任意，、兩點(diǎn)總關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求點(diǎn)的坐標(biāo)（用含的式子表示）；
（3）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，恰好使得，且點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，此時(shí)對(duì)于該拋物線上任意一點(diǎn)，總有成立，求實(shí)數(shù)的最小值．
【解答】解：（1）令，則，，
，即，又，當(dāng)為等腰直角三角形時(shí)，，
即，；
（2）由（1）可知點(diǎn)，對(duì)任意，、兩點(diǎn)總關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
必有，設(shè)直線的解析式為，將，代入，可得
，解得，直線的解析式為，點(diǎn)為直線與拋物線的交點(diǎn)，
解方程組，可得或（點(diǎn)舍去），即點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（3）當(dāng)，時(shí)，，，
，又點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，，又，
，，把代入拋物線，可得，解得，拋物線的解析式為，
即，點(diǎn)，為拋物線上任意一點(diǎn)，，
令，
則當(dāng)時(shí)，，
若要使成立，則，，
實(shí)數(shù)的最小值為．
2．（開福區(qū)一模）如圖，拋物線y＝mx2﹣4mx+3m（m＞0）與x軸交于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為D．
（1）求點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）若△OAC∽△OCB，求m的值；
（3）若△ABD為正三角形，對(duì)于該拋物線上任意一點(diǎn)P（x0，y0）總有n+﹣4成立，求實(shí)數(shù)n的最小值．
【解答】解：（1）把y＝0代入y＝mx2﹣4mx+3m得：mx2﹣4mx+3m＝0，∵m＞0，∴x2﹣4x+3＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，∴A（1，0），B（3，0）；
（2）把x＝0代入y＝mx2﹣4mx+3m得：y＝3m，∴點(diǎn)C（0，3m），∴OC＝3m，∵△OAC∽△OCB，
∴＝，即＝，解得：m＝或m＝﹣（舍去），∴m＝；
（3）過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，如圖所示：
∵△ABD是等邊三角形，AB＝3﹣1＝2，∴EA＝EB＝AB＝1，∠EAD＝60°，∵y＝mx2﹣4mx+3m
＝m（x﹣2）2﹣m，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣m），∴tan∠EAD＝tan60°＝＝，∴＝，即m＝，
∴y≥﹣，∵對(duì)于該拋物線上任意一點(diǎn)P（x0，y0）總有n+﹣4成立，
∴n+≥﹣y﹣3﹣4（y0≥﹣），令w＝﹣y﹣3﹣4（y0≥﹣），
對(duì)稱軸為y0＝﹣＝﹣，∵﹣＜﹣，∴當(dāng)y0≥﹣時(shí)，w隨y0的增大而減小，
∴當(dāng)y0＝﹣時(shí)，w取最大值，最大值為﹣（﹣）2﹣3×（﹣）﹣4＝2，
∵n+﹣4在y0≥﹣時(shí)恒成立，∴n+≥2，解得：n≥，
∴實(shí)數(shù)n的最小值為．
3．（中雅）點(diǎn)為反比例函數(shù)（k為常數(shù)，且）的圖象上一點(diǎn)，若點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo)滿足關(guān)系：，則稱點(diǎn)P所在的反比例函數(shù)（k為常數(shù)，且）為“Q函數(shù)”，點(diǎn)P為該“Q函數(shù)”圖象上的“Q點(diǎn)”．
（1）“Q函數(shù)”圖象上的“Q點(diǎn)”坐標(biāo)為__________；
（2）反比例函數(shù)是否為“Q函數(shù)”？若是，請(qǐng)求出該函數(shù)圖象上的“Q點(diǎn)”；若不是，請(qǐng)說明理由．
（3）已知反比例函數(shù)（k為常數(shù)，且）為“Q函數(shù)”，令，若對(duì)于整數(shù)m，恒成立，求整數(shù)m的最小值．
【解答】解：(1)；
(2)已知，變形得：，將該式代入，得，得方程；計(jì)算得，∴不是Q函數(shù)；
(3)已知，變形得：，將該式代入，得，得方程；計(jì)算得，∴，當(dāng)時(shí)，，即，∴，又m為整數(shù)，∴m最小值是.
4．（雅禮）2022年10月16日，習(xí)近平總書記在中共二十大會(huì)議開幕式上作報(bào)告發(fā)言，在闡述第四個(gè)要點(diǎn)“加快構(gòu)建新發(fā)展格局，著力推動(dòng)高質(zhì)量發(fā)展”時(shí)，提出了兩個(gè)“高水平”，即“構(gòu)建高水平社會(huì)主義市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)體制”和“推進(jìn)高水平對(duì)外開放”在數(shù)學(xué)上，我們不妨約定：若函數(shù)圖象上存在不同的兩點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1≠x2），滿足縱坐標(biāo)相等，即y1＝y(tǒng)2，則稱點(diǎn)A、B為這個(gè)函數(shù)的一對(duì)“高水平點(diǎn)”，稱這個(gè)函數(shù)為“高水平函數(shù)”．
（1）若點(diǎn)P（2022，p）和點(diǎn)Q（q，2023）為“高水平函數(shù)”y＝|x+1|圖象上的一對(duì)“高水平點(diǎn)”，求p+q的值；
（2）關(guān)于x的函數(shù)y＝kx+b（k、b為常數(shù)）是“高水平函數(shù)”嗎？如果是，指出它有多少對(duì)“高水平點(diǎn)”，如果不是，請(qǐng)說明理由；
（3）若點(diǎn)M（1，m）、N（3，n）、P（x0，y0）都在關(guān)于x的“高水平函數(shù)”y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，且a＞0）的圖象上，點(diǎn)M、P為該函數(shù)的一對(duì)“高水平點(diǎn)”，且滿足m＜n＜c，若存在常數(shù)w，使得式子：w+＞﹣x02﹣x0+2恒成立，求w的取值范圍．
【解答】解：（1）由題意可知，yP＝y(tǒng)q，即p＝2023，將點(diǎn)Q（q，2023）代入函數(shù)y＝|x+1|，
∴2023＝|q+1|（q≠2022），解得q＝﹣2024，∴p+q＝2023+（﹣2024）＝﹣1；
（2）①當(dāng)k＝0時(shí)，函數(shù)y＝kx+b是“高水平函數(shù)”，有無數(shù)組“高水平點(diǎn)“；
②當(dāng)k≠0時(shí)，不是“高水平函數(shù)”，若存在“高水平點(diǎn)“，設(shè)一組高水平點(diǎn)為A（x1，kx1+b）、B（x2，kx2+b），
∴kx 1+b＝kx2+b（k≠0），∴kx1＝kx2（k≠0），∴x1＝x2，這與A（x1，kx1+b）、B（x2，kx2+b）是兩個(gè)不同的點(diǎn)矛盾，∴當(dāng)k≠0時(shí)，y＝kx+b不是“高水平函數(shù)”；
（3）∵m＝a+b+c，n＝9a+3b+c，m＜n＜c，∴a+b+c＜9a+3b+c＜c（a＞0），
解得，即，∵點(diǎn)M、P為該函數(shù)的一組“高水平點(diǎn)”，縱坐標(biāo)相等，
由拋物線對(duì)稱性，得：2＜x0＜3，∵恒成立，
設(shè)＝﹣（x+2）2+3，∴﹣＜h＜﹣1，∴w+≥﹣1，∴w≥﹣．
5．（青竹湖）若y是x的函數(shù)，h為常數(shù)（h > 0），若對(duì)于該函數(shù)圖象上的任意兩點(diǎn)、
，當(dāng)，（其中a、b為常數(shù)，a < b時(shí)，總有，就稱此函數(shù)在時(shí)為有界函數(shù)，其中滿足條件的所有常數(shù)h的最小值，稱為該函數(shù)在a≤x≤b時(shí)的界高。
（1）函數(shù)：④，②，③在時(shí)為有界函數(shù)的是 ：（填序號(hào)）
（2）若一次函數(shù)（），當(dāng)a≤x≤b時(shí)為有界函數(shù)，且在此范圍內(nèi)的界高為，請(qǐng)求出此一次函效解析式；
（3）已知函數(shù)（），當(dāng)時(shí)為有界函數(shù)，且此范圍內(nèi)的界高不大于4，求實(shí)效a的取值范圍.
【解答】解：（1）①當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝﹣2，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝2，∴|y1﹣y2|≤|2﹣（﹣2）|＝4，故y＝2x在﹣1≤x≤1時(shí)是有界函數(shù)；
②∵的x不等于0，∴函數(shù)在﹣1≤x≤1時(shí)沒有最大值和最小值，∴函數(shù)在﹣1≤x≤1時(shí)不是有界函數(shù)；
③當(dāng)x＝﹣1或x＝1時(shí)，y＝1，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0，∴|y1﹣y2|≤|1﹣0|＝1，故y＝x2在﹣1≤x≤1時(shí)是有界函數(shù)；故答案為：①③；
（2）由函數(shù)y＝kx+2在a≤x≤b時(shí)為有界函數(shù)，且此時(shí)的界高為b﹣a，∴y最大值﹣y最小值＝b﹣a，
當(dāng)k＞0時(shí)，y隨x的增大而增大，∴x＝a時(shí)，y最小值＝ka+2，x＝b時(shí)，y最大值＝kb+2，
∴kb+2﹣（ka+2）＝b﹣a，∴k＝1，∴y＝x+2；
當(dāng)k＜0時(shí)，y隨x的增大而減小，∴x＝a時(shí)，y最大值＝ka+2，x＝b時(shí)，y最小值＝kb+2，∴ka+2﹣（kb+2）＝b﹣a，∴k＝﹣1，∴y＝﹣x+2，
綜上所述，一次函數(shù)的解析式為y＝x+2或y＝﹣x+2．
（3）∵y＝x2﹣2ax+5＝（x﹣a）2+5﹣a2，a＞1，
∴當(dāng)1≤x＜a時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)a＜x≤a+1時(shí)，y隨x的增大而增大，
∵當(dāng)1≤x≤a+1時(shí)為有界函數(shù)，且此范圍內(nèi)的界高不大于4，∴y最大值﹣y最小值≤4，
當(dāng)a≤，即1＜a≤2時(shí)，a+1離a的距離比1離a的距離遠(yuǎn)或一樣遠(yuǎn)，
∴x＝a時(shí)，y最小值＝5﹣a2，x＝a+1時(shí)，y最大值＝（a+1）2﹣2a（a+1）+5＝﹣a2+6，∴﹣a2+6﹣（5﹣a2）≤4，化簡得：1≤4，∴1＜a≤2，
當(dāng)a＞，即a＞2時(shí)，a+1離a的距離比1離a的距離近，∴x＝a時(shí)，y最小值＝5﹣a2，x＝1時(shí)，y最大值＝1﹣2a+5＝﹣2a+6，∴﹣2a+6﹣（5﹣a2）≤4，解得：1＜a≤3，∴2＜a≤3，
綜上所述，a的取值范圍為1＜a≤3．
聲明：試題解析著作權(quán)屬所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2023/9/11 12:18:32；用戶：唐老師；郵箱：15874805147；學(xué)號(hào)：371816
6．（青竹湖）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線l的解析式為：y＝kx+b（k、b為常數(shù)且k≠0），當(dāng)直線l與一條曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，我們稱直線l與這條曲線“相切”，這個(gè)公共點(diǎn)叫做“切點(diǎn)”．
（1）求直線l：y＝﹣x+4與雙曲線y＝的切點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)且a≠0）經(jīng)過兩點(diǎn)（﹣3，0）和（1，0），若直線l：y＝6x﹣7與拋物線相切，求a的值；
（3）已知直線l：y1＝kx+m（k、m為常數(shù)）與拋物線y2＝x2+相切于點(diǎn)（1，），設(shè)二次函數(shù)M：y3＝ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)且a≠0，c為整數(shù)），對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒有y1≤y3≤y2，求二次函數(shù)M的解析式．
【解答】解：（1）聯(lián)立，得：x2﹣4x+4＝0，解得x＝2，∴切點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，2）；
（2）由題意知，拋物線解析式可表示為y＝a（x﹣1）（x+3）＝ax2+2ax﹣3a，
聯(lián)立，得：ax2+（2a﹣6）x﹣3a+7＝0，由拋物線和直線相切知a≠0且Δ＝0，
∴Δ＝（2a﹣6）2﹣4a（7﹣3a）＝16a2﹣52a+36＝0，解得：a1＝、a2＝1，∴a的值為或1；
（3）由題意知直線y1＝kx+m和拋物線M：y3＝ax2+bx+c都經(jīng)過（1，），∴＝k+m，＝a+b+c①，
∴m＝﹣k，聯(lián)立得x2﹣kx﹣1+k＝0，∴Δ＝k2﹣4×1×（k﹣1）＝0，解得k＝2，
∴m＝﹣，∴直線l1的解析式為y1＝2x﹣，∵對(duì)于一切實(shí)數(shù)x恒有y1≤y3≤y2，
∴對(duì)于一切實(shí)數(shù)x恒有2x﹣≤ax2+bx+c≤x2+，當(dāng)x＝0時(shí)，有﹣＜c＜，而c為整數(shù)，
∴c＝0 ②，聯(lián)立，得：ax2+（b﹣2）x+c+＝0，∴Δ＝（b﹣2）2﹣4a×（c+）＝0，∴b2﹣4b+4﹣4ac﹣2a＝0 ③，聯(lián)立①②③得a＝，b＝1、c＝0，
故二次函數(shù)M的解析式為y3＝x2+x．
7.已知拋物線C：y1=a(x??)2?1，直線l：y2=kx?k??1．
（1）求證：直線l恒過拋物線C的頂點(diǎn)；
（2）當(dāng)a=?1，m≤x≤2時(shí)，y1≥x?3恒成立，求m的最小值；
（3）當(dāng)00時(shí)，若在直線l下方的拋物線C上至少存在兩個(gè)橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)，求k的取值范圍．
【解答】解：(1)拋物線C的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(?,?1)，當(dāng)x=?時(shí)，y2=k??k??1=?1，
所以直線l恒過拋物線C的頂點(diǎn)；
(2)當(dāng)a=?1時(shí)，拋物線C解析式為y1=?(x??)2?1，不妨令y3=x?3
如圖1所示：拋物線C的頂點(diǎn)在直線y=?1上移動(dòng)，
當(dāng)m≤x≤2時(shí)，y1≥x?3恒成立，則可知拋物線C的頂點(diǎn)為(2,?1)，設(shè)拋物線C與直線y3=x?3除頂點(diǎn)外的另一交點(diǎn)為M，此時(shí)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)即為m的最小值，
由y=?x?22?1y=x?3，解得：x=1，x=2，所以m的最小值為1．
(3)如圖2所示：由(1)可知：拋物線C與直線l都過點(diǎn)A(?,?1)．
當(dāng)00，在直線l下方的拋物線C上至少存在兩個(gè)橫坐標(biāo)為整數(shù)點(diǎn)，即當(dāng)x=?+2時(shí)，y2>y1恒成立．所以k(?+2)?k??1>a(?+2??)2?1，整理得：k>2a．又因?yàn)?4或b0，不成立，ii：?2?b2≤05?b≥0，b≤2，又∵b>4或b

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