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\l "_Tc14858" 【考向一 新定義型二次函數(shù)問題】 PAGEREF _Tc14858 \h 1
【直擊中考】
【考向一 新定義型二次函數(shù)問題】
例題：（2023秋·江西南昌·九年級(jí)南昌市第十七中學(xué)?？计谀┬≠t與小杰在探究某類二次函數(shù)問題時(shí)，經(jīng)歷了如下過程：
求解體驗(yàn)：
(1)已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，則b＝ ，頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ，該拋物線關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱的拋物線表達(dá)式是 ．
抽象感悟：
我們定義：對(duì)于拋物線，以y軸上的點(diǎn)為中心，作該拋物線關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱的拋物線，則我們又稱拋物線為拋物線y的“衍生拋物線”，點(diǎn)M為“衍生中心”．
(2)已知拋物線關(guān)于點(diǎn)的衍生拋物線為，若這兩條拋物線有交點(diǎn)，求m的取值范圍．
問題解決：
(3)已知拋物線．
①若拋物線y的衍生拋物線為，兩拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，且恰好是它們的頂點(diǎn)，求a，b的值及衍生中心的坐標(biāo)；
②若拋物線y關(guān)于點(diǎn)的衍生拋物線為，其頂點(diǎn)為；關(guān)于點(diǎn)的衍生拋物線為，其頂點(diǎn)為；…；關(guān)于點(diǎn)的衍生拋物線為，其頂點(diǎn)為，…（為正整數(shù)）．求的長（用含n的式子表示）．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022秋·浙江紹興·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）定義：同時(shí)經(jīng)過x軸上兩點(diǎn)的兩條拋物線稱為同弦拋物線．如拋物線與拋物線是都經(jīng)過的同弦拋物線．
(1)引進(jìn)一個(gè)字母，表達(dá)出拋物線的所有同弦拋物線；
(2)判斷拋物線與拋物線是否為同弦拋物線，并說明理由；
(3)已知拋物線是的同弦拋物線，且過點(diǎn)，求拋物線對(duì)應(yīng)函數(shù)的最大值或最小值．
2．（2022·九年級(jí)單元測試）小明在課外學(xué)習(xí)時(shí)遇到這樣一個(gè)問題：
定義：如果二次函數(shù)，，，是常數(shù)）與，，，是常數(shù)）滿足，，，則稱這兩個(gè)函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．求函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．
小明是這樣思考的：由函數(shù)可知，，，根據(jù)，，求出，，，就能確定這個(gè)函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．
請(qǐng)參考小明的方法解決下面的問題：
(1)寫出函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”；
(2)若函數(shù)與互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，求的值；
(3)已知函數(shù)的圖象與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)、、關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別是、、，試證明經(jīng)過點(diǎn)、、的二次函數(shù)與函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．
3．（2021秋·湖北武漢·九年級(jí)統(tǒng)考期中）定義：關(guān)于x軸對(duì)稱且對(duì)稱軸相同的兩條拋物線叫作“同軸對(duì)稱拋物線”．
例如：的“同軸對(duì)稱拋物線”為．
(1)請(qǐng)寫出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo) ；及其“同軸對(duì)稱拋物線”的頂點(diǎn)坐標(biāo) ；寫出拋物線的“同軸對(duì)稱拋物線”為 ．
(2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B是拋物線L：上一點(diǎn)，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，過點(diǎn)B作x軸的垂線，交拋物線L的“同軸對(duì)稱拋物線”于點(diǎn)C，分別作點(diǎn)B、C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)、，連接、、、，設(shè)四邊形的面積為．
①當(dāng)四邊形為正方形時(shí)，求a的值．
②當(dāng)拋物線L與其“同軸對(duì)稱拋物線”圍成的封閉區(qū)域內(nèi)（不包括邊界）共有11個(gè)橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)求出a的取值范圍．
4．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）【閱讀理解】
定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若x，y都可以用同一個(gè)字母表示，那么點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑是確定的．若根據(jù)點(diǎn)P坐標(biāo)求出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路徑所對(duì)應(yīng)的關(guān)系式是函數(shù)，則稱由點(diǎn)坐標(biāo)求函數(shù)表達(dá)式的過程叫做將點(diǎn)“去隱”．
例如，將點(diǎn)（m為任意實(shí)數(shù)）“去隱”的方法如下：
設(shè)，，
由①得
將③代入②得，整理得，
則直線是點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑．
【遷移應(yīng)用】在平面直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)（a為任意實(shí)數(shù)）的運(yùn)動(dòng)路徑是拋物線．
(1)請(qǐng)將點(diǎn)Q“去隱”，得到該拋物線表達(dá)式；
(2)記（1）中拋物線為W（如圖），W與x軸交于點(diǎn)A，B（A在B的左側(cè)），其頂點(diǎn)為點(diǎn)C，現(xiàn)將W進(jìn)行平移，平移后的拋物線始終過點(diǎn)A，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為．
?。┰嚧_定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
ⅱ）在直線的左側(cè)，是否存在點(diǎn)，使為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
5．（2022秋·湖南長沙·九年級(jí)長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校校考階段練習(xí)）定義若拋物線（）與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，則稱拋物線為直線的“雙幸運(yùn)曲線”，其交點(diǎn)為該直線的“幸運(yùn)點(diǎn)”．
(1)已知直線解析式為，下列拋物線為該直線的“雙幸運(yùn)曲線”的是________；（填序號(hào)）
①；②；③；
(2)如圖，已知直線l：，拋物線為直線l的“雙幸運(yùn)曲線”，“幸運(yùn)點(diǎn)”分別為、，在直線l上方拋物線部分是否存在點(diǎn)使△面積最大，若存在，請(qǐng)求出面積的最大值和點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；
(3)已知x軸的“雙幸運(yùn)曲線”（）經(jīng)過點(diǎn)（1，3），（0，），在x軸的“幸運(yùn)點(diǎn)”分別為、，試求的取值范圍．
6．（2022·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）定義：由兩條與x軸有著相同的交點(diǎn)，并且開口方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱為“月牙線”，如圖①，拋物線C1：y＝x2+2x﹣3與拋物線C2：y＝ax2+2ax+c組成一個(gè)開口向上的“月牙線”，拋物線C1和拋物線C2與x軸有著相同的交點(diǎn)A（﹣3，0）、B（點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)），與y軸的交點(diǎn)分別為G、H（0，﹣1）．
(1)求拋物線C2的解析式和點(diǎn)G的坐標(biāo)．
(2)點(diǎn)M是x軸下方拋物線C1上的點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，交拋物線C2于點(diǎn)D，求線段MN與線段DM的長度的比值．
(3)如圖②，點(diǎn)E是點(diǎn)H關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接EG，在x軸上是否存在點(diǎn)F，使得△EFG是以EG為腰的等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
7．（2022秋·安徽淮北·九年級(jí)淮北市第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小明興趣小組對(duì)二次函數(shù)的圖象進(jìn)行了深入的探究，如果將二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)辄c(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之和，就會(huì)得到的一個(gè)新的點(diǎn)，他們把這個(gè)點(diǎn)定義為點(diǎn)的“簡樸”點(diǎn)．他們發(fā)現(xiàn)：二次函數(shù)所有簡樸點(diǎn)構(gòu)成的圖象也是一條拋物線，于是把這條拋物線定義為的“簡樸曲線”．例如，二次函數(shù)的“簡樸曲線”就是，請(qǐng)按照定義完成：
(1)點(diǎn)的“簡樸”點(diǎn)是________；
(2)如果拋物線經(jīng)過點(diǎn)，求該拋物線的“簡樸曲線”；
(3)已知拋物線圖象上的點(diǎn)的“簡樸點(diǎn)”是，若該拋物線的“簡樸曲線”的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．
8．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）定義：若二次函數(shù)的圖象記為，其頂點(diǎn)為，二次函數(shù)的圖象記為，其頂點(diǎn)為，我們稱這樣的兩個(gè)二次函數(shù)互為“反頂二次函數(shù)”．
分類一：若二次函數(shù)經(jīng)過的頂點(diǎn)B，且經(jīng)過的頂點(diǎn)A，我們就稱它們互為“反頂伴侶二次函數(shù)”．
(1)所有二次函數(shù)都有“反頂伴侶二次函數(shù)”是______命題．（填“真”或“假”）
(2)試求出的“反頂伴侶二次函數(shù)”．
(3)若二次函數(shù)與互為“反頂伴侶二次函數(shù)”，試探究與的關(guān)系，并說明理由．
(4)分類二：若二次函數(shù)可以繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180°得到二次函數(shù)；，我們就稱它們互為“反頂旋轉(zhuǎn)二次函數(shù)”．
①任意二次函數(shù)都有“反頂旋轉(zhuǎn)二次函數(shù)”是______命題．（填“真”或“假”）
②互為“反頂旋轉(zhuǎn)二次函數(shù)”的對(duì)稱中心點(diǎn)M有什么特點(diǎn)？
③如圖，，互為“反頂旋轉(zhuǎn)二次函數(shù)”，點(diǎn)E，F(xiàn)的對(duì)稱點(diǎn)分別是點(diǎn)Q，G，且軸，當(dāng)四邊形EFQG為矩形時(shí)，試探究二次函數(shù)，的頂點(diǎn)有什么關(guān)系．并說明理由．
9．（2022·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）定義：將二次函數(shù)l的圖象沿x軸向右平移t，再沿x軸翻折，得到新函數(shù)l′的圖象，則稱函數(shù)l′是函數(shù)l的“t值衍生拋物線”．已知l：y＝x2﹣2x﹣3．
(1)當(dāng)t＝﹣2時(shí)，
①求衍生拋物線l′的函數(shù)解析式；
②如圖1，函數(shù)l與l'的圖象交于M（，n），N（m，﹣2）兩點(diǎn)，連接MN．點(diǎn)P為拋物線l′上一點(diǎn)，且位于線段MN上方，過點(diǎn)P作PQ∥y軸，交MN于點(diǎn)Q，交拋物線l于點(diǎn)G，求S△QNG與S△PNG存在的數(shù)量關(guān)系．
(2)當(dāng)t＝2時(shí)，如圖2，函數(shù)l與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC．函數(shù)l′與x軸交于D，E兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)F．點(diǎn)K在拋物線l′上，且∠EFK＝∠OCA．請(qǐng)直接寫出點(diǎn)K的橫坐標(biāo)．
10．（2022秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）定義：關(guān)于軸對(duì)稱且對(duì)稱軸相同的兩條拋物線叫作“鏡像拋物線”．
例如：的“鏡像拋物線”為．
(1)請(qǐng)寫出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)______，及其“鏡像拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)______．寫出拋物線的“鏡像拋物線”為______．
(2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，過點(diǎn)作軸的垂線，交拋物線的“鏡像拋物線”于點(diǎn)，分別作點(diǎn)，關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)，，連接，，，．
①當(dāng)四邊形為正方形時(shí)，求的值．
②求正方形所含（包括邊界）整點(diǎn)個(gè)數(shù)．（說明：整點(diǎn)是橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）
專題20 新定義型二次函數(shù)問題
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【直擊中考】
【考向一 新定義型二次函數(shù)問題】
例題：（2023秋·江西南昌·九年級(jí)南昌市第十七中學(xué)?？计谀┬≠t與小杰在探究某類二次函數(shù)問題時(shí)，經(jīng)歷了如下過程：
求解體驗(yàn)：
(1)已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，則b＝ ，頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ，該拋物線關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱的拋物線表達(dá)式是 ．
抽象感悟：
我們定義：對(duì)于拋物線，以y軸上的點(diǎn)為中心，作該拋物線關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱的拋物線，則我們又稱拋物線為拋物線y的“衍生拋物線”，點(diǎn)M為“衍生中心”．
(2)已知拋物線關(guān)于點(diǎn)的衍生拋物線為，若這兩條拋物線有交點(diǎn)，求m的取值范圍．
問題解決：
(3)已知拋物線．
①若拋物線y的衍生拋物線為，兩拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，且恰好是它們的頂點(diǎn)，求a，b的值及衍生中心的坐標(biāo)；
②若拋物線y關(guān)于點(diǎn)的衍生拋物線為，其頂點(diǎn)為；關(guān)于點(diǎn)的衍生拋物線為，其頂點(diǎn)為；…；關(guān)于點(diǎn)的衍生拋物線為，其頂點(diǎn)為，…（為正整數(shù)）．求的長（用含n的式子表示）．
【答案】(1)；；；
(2)
(3)①；衍生中心的坐標(biāo)為；②
【分析】（1）把代入 即可求出，然后把拋物線解析式變?yōu)轫旤c(diǎn)式即可求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，繼而可得頂點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，從而可寫出原拋物線關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱的拋物線的表達(dá)式；
（2）先求出拋物線 的頂點(diǎn)是，從而求出 關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)是，得 ，根據(jù)兩拋物線有交點(diǎn)，可以確定方程 有解，繼而求得的取值范圍即可；
（3）①先求出拋物線以及拋物線的衍生拋物線為，的頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，且恰好是它們的頂點(diǎn)，求的值及再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求出衍生中心的坐標(biāo)；
②根據(jù)中心對(duì)稱，由題意得出 ， … 分別是 ， … 的中位線，繼而可得 ， ，… ，再根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)即可求得的長，即可求解．
【詳解】（1）解：把代入，得，
∴，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)是，
∵關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，
∴成中心對(duì)稱的拋物線表達(dá)式是：，
即 ，
故答案為：，，；
（2）∵ ，
∴ 頂點(diǎn)是
∵關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)是，
∴ ，
∵ 兩拋物線有交點(diǎn)，
∴ 有解，
∴ 有解，
∴ ，
∴ ；
（3）①∵，
∴頂點(diǎn)，
代入 得：①
∵，
∴頂點(diǎn)，
代入 得：②
由① ②得 ，
∵ ，，
∴ ，
∴ 兩頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得“衍生中心”的坐標(biāo)是；
②如圖，設(shè)，…，與軸分別相于，… ，，
則，，…，分別關(guān)于，…， 中心對(duì)稱，
∴ ， … 分別是 ， … 的中位線，
∴ ， ，… ，
∵ ， ，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，理解題意，畫出符合題意的圖形借助數(shù)形結(jié)合思想解決問題是關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022秋·浙江紹興·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）定義：同時(shí)經(jīng)過x軸上兩點(diǎn)的兩條拋物線稱為同弦拋物線．如拋物線與拋物線是都經(jīng)過的同弦拋物線．
(1)引進(jìn)一個(gè)字母，表達(dá)出拋物線的所有同弦拋物線；
(2)判斷拋物線與拋物線是否為同弦拋物線，并說明理由；
(3)已知拋物線是的同弦拋物線，且過點(diǎn)，求拋物線對(duì)應(yīng)函數(shù)的最大值或最小值．
【答案】(1)
(2)不是，理由見解析
(3)
【分析】（1）由題意可直接得出拋物線的所有同弦拋物線為；
（2）將拋物線的表達(dá)式化為交點(diǎn)式，即得出其與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)“同弦拋物線”的定義，即可得出結(jié)論；
（3）由題意可設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，求出a的值，得出拋物線的函數(shù)表達(dá)式，化為頂點(diǎn)式，即可得出答案．
【詳解】（1）引進(jìn)一個(gè)字母a，則拋物線的所有同弦拋物線可表示為；
（2）不是．理由如下：
∵，
∴拋物線與x軸交于點(diǎn)為，
∴拋物線與拋物線不是同弦拋物線；
（3）∵拋物線與拋物線是同弦拋物線，
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．
把點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得：
解得：．
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．
∵，
∴拋物線有最小值，最小值為．
【點(diǎn)睛】本題考查新定義，二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握“同弦拋物線”的定義是解題關(guān)鍵．
2．（2022·九年級(jí)單元測試）小明在課外學(xué)習(xí)時(shí)遇到這樣一個(gè)問題：
定義：如果二次函數(shù)，，，是常數(shù)）與，，，是常數(shù)）滿足，，，則稱這兩個(gè)函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．求函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．
小明是這樣思考的：由函數(shù)可知，，，根據(jù)，，求出，，，就能確定這個(gè)函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．
請(qǐng)參考小明的方法解決下面的問題：
(1)寫出函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”；
(2)若函數(shù)與互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，求的值；
(3)已知函數(shù)的圖象與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)、、關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別是、、，試證明經(jīng)過點(diǎn)、、的二次函數(shù)與函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．
【答案】(1)
(2)1
(3)見解析
【分析】（1）根據(jù)“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”的定義求出，，，從而得到原函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”；
（2）根據(jù)“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”的定義得到，，再解方程組求出和的值，然后根據(jù)乘方的意義計(jì)算；
（3）先根據(jù)拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題確定，，，再利用關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到，，，則可利用交點(diǎn)式求出經(jīng)過點(diǎn)，，的二次函數(shù)解析式為，再把化為一般式，然后根據(jù)“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”的定義進(jìn)行判斷．
【詳解】（1）解：，，，
，，，
，，，
函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”為；
（2）解：根據(jù)題意得，，解得，，
；
（3）證明：當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，，解得，，則，，
點(diǎn)、、關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別是，，，
，，，
設(shè)經(jīng)過點(diǎn)，，的二次函數(shù)解析式為，把代入得，解得，
經(jīng)過點(diǎn)，，的二次函數(shù)解析式為，
而，
，，，
經(jīng)過點(diǎn)、、的二次函數(shù)與函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)的坐標(biāo)特征；會(huì)求二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)和待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；對(duì)新定義的理解能力．
3．（2021秋·湖北武漢·九年級(jí)統(tǒng)考期中）定義：關(guān)于x軸對(duì)稱且對(duì)稱軸相同的兩條拋物線叫作“同軸對(duì)稱拋物線”．
例如：的“同軸對(duì)稱拋物線”為．
(1)請(qǐng)寫出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo) ；及其“同軸對(duì)稱拋物線”的頂點(diǎn)坐標(biāo) ；寫出拋物線的“同軸對(duì)稱拋物線”為 ．
(2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B是拋物線L：上一點(diǎn)，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，過點(diǎn)B作x軸的垂線，交拋物線L的“同軸對(duì)稱拋物線”于點(diǎn)C，分別作點(diǎn)B、C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)、，連接、、、，設(shè)四邊形的面積為．
①當(dāng)四邊形為正方形時(shí)，求a的值．
②當(dāng)拋物線L與其“同軸對(duì)稱拋物線”圍成的封閉區(qū)域內(nèi)（不包括邊界）共有11個(gè)橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)求出a的取值范圍．
【答案】(1)，，
(2)①a；②或
【分析】（1）根據(jù)頂點(diǎn)式的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；先化成頂點(diǎn)式，再求“同軸對(duì)稱拋物線”的解析式；
（2）①寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再由對(duì)稱軸求出點(diǎn)，然后結(jié)合正方形的性質(zhì)列出方程求 a；②先由對(duì)稱性分析得到封閉區(qū)域內(nèi)在x軸上整點(diǎn)的個(gè)數(shù)，然后針對(duì)拋物線L開口的不同進(jìn)行分類討論．
【詳解】（1）解：由知頂點(diǎn)坐標(biāo)為，由知頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴拋物線的“同軸對(duì)稱拋物線”為；
故答案為：，，．
（2）①當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴，
∴，
∵拋物線L的對(duì)稱軸為直線，
∴點(diǎn)，
∴，
∵四邊形是正方形，
∴，即，
解得：（舍）或．
②拋物線L的對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
∵L與“同軸對(duì)稱拋物線”關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴整點(diǎn)數(shù)也是關(guān)于x軸對(duì)稱出現(xiàn)的，
∴封閉區(qū)域內(nèi)在x軸上的整點(diǎn)可以是3個(gè)或5個(gè)，L與x軸圍成的區(qū)域內(nèi)整點(diǎn)個(gè)數(shù)為4個(gè)或3個(gè)，
（i）當(dāng)時(shí)，
∵L開口向上，與y軸交于點(diǎn)，
∴封閉區(qū)域內(nèi)在x軸上只可能有3個(gè)整點(diǎn)，兩個(gè)區(qū)域內(nèi)各有4個(gè)整點(diǎn)，
∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
解得：；
（ii）當(dāng)時(shí)，
∵L開口向下，與y軸交于點(diǎn)，
∴封閉區(qū)域內(nèi)在x軸上只可能有5個(gè)整點(diǎn)，兩個(gè)區(qū)域內(nèi)各有3個(gè)整點(diǎn)，
∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
解得：，
綜上所述：或．
【點(diǎn)睛】此題借助二次函數(shù)考查正方形的性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)頂點(diǎn)式找頂點(diǎn)坐標(biāo)，及新定義“同軸對(duì)稱拋物線”．
4．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）【閱讀理解】
定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若x，y都可以用同一個(gè)字母表示，那么點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑是確定的．若根據(jù)點(diǎn)P坐標(biāo)求出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路徑所對(duì)應(yīng)的關(guān)系式是函數(shù)，則稱由點(diǎn)坐標(biāo)求函數(shù)表達(dá)式的過程叫做將點(diǎn)“去隱”．
例如，將點(diǎn)（m為任意實(shí)數(shù)）“去隱”的方法如下：
設(shè)，，
由①得
將③代入②得，整理得，
則直線是點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑．
【遷移應(yīng)用】在平面直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)（a為任意實(shí)數(shù)）的運(yùn)動(dòng)路徑是拋物線．
(1)請(qǐng)將點(diǎn)Q“去隱”，得到該拋物線表達(dá)式；
(2)記（1）中拋物線為W（如圖），W與x軸交于點(diǎn)A，B（A在B的左側(cè)），其頂點(diǎn)為點(diǎn)C，現(xiàn)將W進(jìn)行平移，平移后的拋物線始終過點(diǎn)A，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為．
?。┰嚧_定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
ⅱ）在直線的左側(cè)，是否存在點(diǎn)，使為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)；
(2)?。?；ⅱ）或．
【分析】（1）設(shè)，，可得；
（2）ⅰ）設(shè)拋物線的解析式為，由，可得；
ⅱ）在上，則C點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，此時(shí)，為等腰三角形；設(shè)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，只能在右側(cè)不符合題意．
【詳解】（1）解：設(shè)，，
由①得③，
將③代入②得；
（2）解：，
，
令，則，
解得或，
點(diǎn)A在B的左側(cè)，
，，
?。┰O(shè)拋物線的解析式為，
，
平移后的拋物線過點(diǎn)，
，
令，，
；
ⅱ）存在點(diǎn)，使為等腰三角形，理由如下：
在上，
點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，
此時(shí)，為等腰三角形；
設(shè)，
當(dāng)時(shí)，，
整理得：，
解得或（舍），
；
當(dāng)時(shí)，只能在右側(cè)，此時(shí)不符合題意；
綜上所述：點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，理解定義，將所求問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題是解題的關(guān)鍵．
5．（2022秋·湖南長沙·九年級(jí)長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）定義若拋物線（）與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，則稱拋物線為直線的“雙幸運(yùn)曲線”，其交點(diǎn)為該直線的“幸運(yùn)點(diǎn)”．
(1)已知直線解析式為，下列拋物線為該直線的“雙幸運(yùn)曲線”的是________；（填序號(hào)）
①；②；③；
(2)如圖，已知直線l：，拋物線為直線l的“雙幸運(yùn)曲線”，“幸運(yùn)點(diǎn)”分別為、，在直線l上方拋物線部分是否存在點(diǎn)使△面積最大，若存在，請(qǐng)求出面積的最大值和點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；
(3)已知x軸的“雙幸運(yùn)曲線”（）經(jīng)過點(diǎn)（1，3），（0，），在x軸的“幸運(yùn)點(diǎn)”分別為、，試求的取值范圍．
【答案】(1)②
(2)存在，最大面積為此時(shí)
(3)
【分析】（1）分別聯(lián)立一次函數(shù)與拋物線的解析式，再判斷方程組的解的個(gè)數(shù)得到函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，結(jié)合新定義可得答案；
（2）如圖，過作軸交于點(diǎn)先求解A，B的坐標(biāo)，再設(shè)則可得再利用面積公式列二次函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案；
（3）先求解則拋物線為：再結(jié)合拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，可得再利用，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案．
【詳解】（1）解：聯(lián)立
∴即
∴方程無解，
∴兩個(gè)函數(shù)圖象沒有交點(diǎn)，
∴根據(jù)定義：拋物線不為該直線的“雙幸運(yùn)曲線”；
同理：由可得：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，
∴兩個(gè)函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴拋物線為該直線的“雙幸運(yùn)曲線”；
由可得：
解得：方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，
∴兩個(gè)函數(shù)有1個(gè)交點(diǎn)，
∴拋物線不為該直線的“雙幸運(yùn)曲線”；
故選②
（2）存在，理由如下：
如圖，過作軸交于點(diǎn)
聯(lián)立
∴
解得：
∴
∴
設(shè)則
∴
∴
當(dāng)時(shí)，面積最大，最大面積為
此時(shí)
∴
（3）∵（）經(jīng)過點(diǎn)（1，3），（0，），
∴
解得：
∴拋物線為：
令則結(jié)合題意可得方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根
∴
∴
∵
∴，解得，
∴，
∴
∴當(dāng)時(shí)，最小，為，
當(dāng)時(shí)，最大，為
∴
【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，新定義的理解，一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練構(gòu)建函數(shù)，再利用函數(shù)的性質(zhì)解決問題是關(guān)鍵．
6．（2022·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）定義：由兩條與x軸有著相同的交點(diǎn)，并且開口方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱為“月牙線”，如圖①，拋物線C1：y＝x2+2x﹣3與拋物線C2：y＝ax2+2ax+c組成一個(gè)開口向上的“月牙線”，拋物線C1和拋物線C2與x軸有著相同的交點(diǎn)A（﹣3，0）、B（點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)），與y軸的交點(diǎn)分別為G、H（0，﹣1）．
(1)求拋物線C2的解析式和點(diǎn)G的坐標(biāo)．
(2)點(diǎn)M是x軸下方拋物線C1上的點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，交拋物線C2于點(diǎn)D，求線段MN與線段DM的長度的比值．
(3)如圖②，點(diǎn)E是點(diǎn)H關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接EG，在x軸上是否存在點(diǎn)F，使得△EFG是以EG為腰的等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)y＝x2+x﹣1，G（0，﹣3）
(2)
(3)存在，（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）
【分析】（1）將A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，即可求函數(shù)的解析式．
（2）設(shè)M（t，t2+2t﹣3），則D（t，），N（t，0），分別求出MN，DM，再求比值即可．
（3）先求出E（﹣2，﹣1），設(shè)F（x，0），分來兩種情況討論：①當(dāng)EG＝EF時(shí)，，可得F（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）；②當(dāng)EG＝FG時(shí)，2＝，F(xiàn)點(diǎn)不存在．
【詳解】（1）解：將A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，
∴，
解得，
∴y＝x2+x﹣1，
在y＝x2+2x﹣3中，令x＝0，則y＝﹣3，
∴G（0，﹣3）．
（2）設(shè)M（t，t2+2t﹣3），則D（t，），N（t，0），
∴NM＝﹣t2﹣2t+3，，
∴＝．
（3）存在點(diǎn)F，使得△EFG是以EG為腰的等腰三角形，理由如下：
由（1）可得y＝x2+2x﹣3的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，
∵E點(diǎn)與H點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸x＝﹣1對(duì)稱，
∴E（﹣2，﹣1），
設(shè)F（x，0），
①當(dāng)EG＝EF時(shí)，
∵G（0，﹣3），
∴EG＝2，
∴2＝，
解得x＝﹣2或x＝﹣﹣2，
∴F（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）；
②當(dāng)EG＝FG時(shí)，2＝，
此時(shí)x無解；
綜上所述：F點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．
7．（2022秋·安徽淮北·九年級(jí)淮北市第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小明興趣小組對(duì)二次函數(shù)的圖象進(jìn)行了深入的探究，如果將二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)辄c(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之和，就會(huì)得到的一個(gè)新的點(diǎn)，他們把這個(gè)點(diǎn)定義為點(diǎn)的“簡樸”點(diǎn)．他們發(fā)現(xiàn)：二次函數(shù)所有簡樸點(diǎn)構(gòu)成的圖象也是一條拋物線，于是把這條拋物線定義為的“簡樸曲線”．例如，二次函數(shù)的“簡樸曲線”就是，請(qǐng)按照定義完成：
(1)點(diǎn)的“簡樸”點(diǎn)是________；
(2)如果拋物線經(jīng)過點(diǎn)，求該拋物線的“簡樸曲線”；
(3)已知拋物線圖象上的點(diǎn)的“簡樸點(diǎn)”是，若該拋物線的“簡樸曲線”的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)題目中給出的信息解答即可；
（2）先將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，求出a的值，得出拋物線解析式，然后根據(jù)題意寫出拋物線的“簡樸曲線”即可；
（3）先根據(jù)點(diǎn)，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，把點(diǎn)B代入拋物線關(guān)系式得出b、c的關(guān)系式，然后把b、c的關(guān)系式代入拋物線的關(guān)系式，得出，寫出其“簡樸曲線”的關(guān)系式為：，并求出化為頂點(diǎn)式，得出，將n看作c的函數(shù)，求出當(dāng)0≤c≤3時(shí)，n的取值范圍即可．
（1）
解：根據(jù)題意可知，點(diǎn)A(x，y)的“簡樸”點(diǎn)是，
∴點(diǎn)P（1，2）的“簡樸”點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1+2=3，即．
故答案為：．
（2）
將點(diǎn)M（1，-3）代入拋物線得：，解得：，
即拋物線的解析式為，
∴拋物線的“簡樸曲線”為，
即．
（3）
根據(jù)題意可知，點(diǎn)是點(diǎn)B（x，y）的“簡樸”點(diǎn)，
∴，解得：，即，
將點(diǎn)代入拋物線得：，則，
∴拋物線為，
∴拋物線的“簡樸曲線”為：
，
即
∵其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），
∴，
將n看作c的函數(shù)，
∵，
時(shí)，n有最大值，且最大值為1，
當(dāng)0≤c≤3時(shí)，，n有最小值，且最小值為，
∴當(dāng)0≤c≤3時(shí)，n的取值范圍是．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義下的二次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．
8．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）定義：若二次函數(shù)的圖象記為，其頂點(diǎn)為，二次函數(shù)的圖象記為，其頂點(diǎn)為，我們稱這樣的兩個(gè)二次函數(shù)互為“反頂二次函數(shù)”．
分類一：若二次函數(shù)經(jīng)過的頂點(diǎn)B，且經(jīng)過的頂點(diǎn)A，我們就稱它們互為“反頂伴侶二次函數(shù)”．
(1)所有二次函數(shù)都有“反頂伴侶二次函數(shù)”是______命題．（填“真”或“假”）
(2)試求出的“反頂伴侶二次函數(shù)”．
(3)若二次函數(shù)與互為“反頂伴侶二次函數(shù)”，試探究與的關(guān)系，并說明理由．
(4)分類二：若二次函數(shù)可以繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180°得到二次函數(shù)；，我們就稱它們互為“反頂旋轉(zhuǎn)二次函數(shù)”．
①任意二次函數(shù)都有“反頂旋轉(zhuǎn)二次函數(shù)”是______命題．（填“真”或“假”）
②互為“反頂旋轉(zhuǎn)二次函數(shù)”的對(duì)稱中心點(diǎn)M有什么特點(diǎn)？
③如圖，，互為“反頂旋轉(zhuǎn)二次函數(shù)”，點(diǎn)E，F(xiàn)的對(duì)稱點(diǎn)分別是點(diǎn)Q，G，且軸，當(dāng)四邊形EFQG為矩形時(shí)，試探究二次函數(shù)，的頂點(diǎn)有什么關(guān)系．并說明理由．
【答案】(1)假
(2)
(3)見解析
(4)①真；②見解析；③見解析
【分析】（1）根據(jù)題意舉反例驗(yàn)證求解即可；
（2），則“反頂伴侶二次函數(shù)”為，再將（2，1）代入求出a值，即可得出解析式；
（3）根據(jù)題意，分別表示出過頂點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)解析式，進(jìn)行相加化簡即可得出結(jié)果；
（4）①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，找到對(duì)稱中心M，可知對(duì)于任意二次函數(shù)都有“反頂旋轉(zhuǎn)二次函數(shù)”；
②利用A，B坐標(biāo)求出中點(diǎn)M的坐標(biāo)，進(jìn)而得出結(jié)論；
③根據(jù)矩形的性質(zhì)和平行的性質(zhì)，得出AB∥y軸，進(jìn)而得出A，B點(diǎn)的坐標(biāo)均為（h，h），最后得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：令的頂點(diǎn)坐標(biāo)A為（1，4），開口向上，則的頂點(diǎn)坐標(biāo)B為（4，1），
此時(shí)C1不經(jīng)過B（4，1），
∴所有二次函數(shù)都有“反頂伴侶二次函數(shù)”是假命題．
故答案為：假．
（2）解：，則“反頂伴侶二次函數(shù)”為，
由題意，得將（2，1）代入，得
，
解得a=-1，
∴的“反頂伴侶二次函數(shù)”為．
（3）解：∵二次函數(shù)經(jīng)過的頂點(diǎn)B，且經(jīng)過的頂點(diǎn)A，
∴①，
②，
①+②，得，
當(dāng)h=k時(shí)，與任意非零實(shí)數(shù)；
當(dāng)h≠k時(shí)，=0．
（4）解：①如圖
∵A，B的中點(diǎn)為M，
∴對(duì)稱中心為M，
∴任意二次函數(shù)都有“反頂旋轉(zhuǎn)二次函數(shù)”．
故答案為：真；
②∵M(jìn)為A，B的中點(diǎn)，
∴M的坐標(biāo)為，
即M在直線y=x上．
③解：∵軸，四邊形EFQG為矩形，
∴AB∥y軸，
∴h=k，
即A，B的坐標(biāo)均為（h，h），
∴A，B兩點(diǎn)重合在直線y=x上．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，以及矩形的性質(zhì)，讀懂題意，理解新定義是解決問題的關(guān)鍵．
9．（2022·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）定義：將二次函數(shù)l的圖象沿x軸向右平移t，再沿x軸翻折，得到新函數(shù)l′的圖象，則稱函數(shù)l′是函數(shù)l的“t值衍生拋物線”．已知l：y＝x2﹣2x﹣3．
(1)當(dāng)t＝﹣2時(shí)，
①求衍生拋物線l′的函數(shù)解析式；
②如圖1，函數(shù)l與l'的圖象交于M（，n），N（m，﹣2）兩點(diǎn)，連接MN．點(diǎn)P為拋物線l′上一點(diǎn)，且位于線段MN上方，過點(diǎn)P作PQ∥y軸，交MN于點(diǎn)Q，交拋物線l于點(diǎn)G，求S△QNG與S△PNG存在的數(shù)量關(guān)系．
(2)當(dāng)t＝2時(shí)，如圖2，函數(shù)l與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC．函數(shù)l′與x軸交于D，E兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)F．點(diǎn)K在拋物線l′上，且∠EFK＝∠OCA．請(qǐng)直接寫出點(diǎn)K的橫坐標(biāo)．
【答案】(1)①；②；
(2)點(diǎn)K的橫坐標(biāo)為4或
【分析】（1）①利用拋物線的性質(zhì)和衍生拋物線的定義解答即可；
②利用待定系數(shù)法求得直線MN的解析式，設(shè)P（m，﹣m2﹣2m+3），則得到Q（m，﹣2m），G（m，m2﹣2m﹣3），利用m的代數(shù)式分別表示出PQ，QG的長，再利用同高的三角形的面積比等于底的比即可得出結(jié)論；
（2）利用函數(shù)解析式求得點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得出線段OA，OC，OD，OE，AC，OF的長，設(shè)直線FK的解析式為y＝kx﹣5，設(shè)直線FK交x軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥EF于點(diǎn)N，用k的代數(shù)式表示出線段OM．FM，ME的長，利用∠EFK＝∠OCA，得到sin∠EFK＝sin∠OCA，列出關(guān)于k的方程，解方程求得k值，將直線FK的解析式與衍生拋物線l′的函數(shù)解析式聯(lián)立即可得出結(jié)論．
(1)
解：①∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴當(dāng)t＝﹣2時(shí)，將二次函數(shù)l的圖象沿x軸向右平移t個(gè)單位得：y＝（x+1）2﹣4．
∴此時(shí)函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣4）．
再沿x軸翻折，得到新函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，4）．
∵沿x軸翻折，得到新函數(shù)的形狀大小不變，開口方向相反，
∴沿x軸翻折，得到新函數(shù)的解析式為y＝﹣（x+1）2+4．
∴衍生拋物線l′的函數(shù)解析式為y＝﹣x2﹣2x+3；
②∵M(jìn)（，n），N（m，﹣2）兩點(diǎn)在拋物線y＝x2﹣2x﹣3上，
∴n＝2，m．
∴M（，2），N（，﹣2）．
∴直線MN的解析式為y＝﹣2x．
如圖，設(shè)P（m，﹣m2﹣2m+3），
∵PQ∥y軸，
∴Q（m，﹣2m），G（m，m2﹣2m﹣3）．
∴PQ＝（﹣m2﹣2m+3）﹣（﹣2m）＝﹣m2+3，
QG＝（﹣2m）﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3，
∴PQ＝QG．
∴QGPG．
∵△PNG與△QNG高相等，
∴．
∴S△QNG與S△PNG存在的數(shù)量關(guān)系：；
(2)
解：點(diǎn)K的橫坐標(biāo)為4或．理由：
當(dāng)t＝2時(shí)，函數(shù)l的衍生拋物線l′的函數(shù)解析式為y＝﹣（x﹣3）2+4＝﹣x2+6x﹣5．
令x＝0，則y＝﹣5，
∴F（0，﹣5）．
∴OF＝5．
令y＝0，則﹣x2+6x﹣5＝0，
解得：x＝1或5．
∴D（1，0），E（5，0）．
∴OE＝5．
∴OF＝OE．
∴∠OFE＝∠OEF＝45°．
令x＝0，則y＝﹣3，
∴C（0，﹣3）．
∴OC＝3．
令y＝0，則x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x＝﹣1或3．
∴A（﹣1，0）．
∴OA＝1．
∴AC．
設(shè)直線FK交x軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥EF于點(diǎn)N，如圖，
設(shè)直線FK的解析式為y＝kx﹣5，
令y＝0，則x，
∴M（，0）．
∴OM，
∴FM．
ME＝OE﹣OM＝5．
∵M(jìn)N⊥EF，∠OEF＝45°，
∴MN＝NE（5）．
∵∠EFK＝∠OCA，
∴sin∠EFK＝sin∠OCA．
∵sin∠MFE，
∴．
解得：k＝2或．
∴直線FK的解析式為y＝2x﹣5或yx﹣5．
∴或．
∴或．
∴點(diǎn)K的橫坐標(biāo)為4或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，待定系數(shù)法求得一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，勾股定理，配方法求拋物線的頂點(diǎn)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出相應(yīng)線段的長度是解題的關(guān)鍵．
10．（2022秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）定義：關(guān)于軸對(duì)稱且對(duì)稱軸相同的兩條拋物線叫作“鏡像拋物線”．
例如：的“鏡像拋物線”為．
(1)請(qǐng)寫出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)______，及其“鏡像拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)______．寫出拋物線的“鏡像拋物線”為______．
(2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，過點(diǎn)作軸的垂線，交拋物線的“鏡像拋物線”于點(diǎn)，分別作點(diǎn)，關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)，，連接，，，．
①當(dāng)四邊形為正方形時(shí)，求的值．
②求正方形所含（包括邊界）整點(diǎn)個(gè)數(shù)．（說明：整點(diǎn)是橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）
【答案】(1)(2，-4)；(2，4)；
(2)①；②9個(gè)
【分析】（1）根據(jù)拋物線解析式即可直接得出其頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)“鏡像拋物線”的定義即可得出拋物線的“鏡像拋物線”解析式；
（2）①根據(jù)題意可用a表示出B點(diǎn)坐標(biāo)和C點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)拋物線的對(duì)稱性結(jié)合其對(duì)稱軸即可用a表示出B'點(diǎn)坐標(biāo)，由此可用a表示出BC的長，再求出BB'的長，最后根據(jù)正方形的性質(zhì)可知BC=BB'，由此即得出關(guān)于a的方程，解出a再舍去不合題意的值即可；
②根據(jù)①可知拋物線L解析式為，即得出(1，-1)，(3，-1)，(1，1)，(3，1)．再根據(jù)整點(diǎn)的概念即可得解．
【詳解】（1）解：由知頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，-4)，
由知頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，-4)，
拋物線的“鏡像拋物線”為．
故答案為：(2，-4)，(2，-4)，；
（2）解：①當(dāng)x＝1時(shí)，y＝1-3a，
∴B (1，1-3a)，
∴C(1，3a-1)，
∴BC=|1-3a-(3a-1) |=|2-6a|，
∵拋物線L的對(duì)稱軸為直線，
∴點(diǎn)B'(3，1-3a)，
∴BB'=3-1=2．
∵四邊形BB'C'C是正方形，
∴BC=BB'，即|2-6a|＝2，
解得：a＝0（舍）或；
②根據(jù)①可知拋物線L解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
∴(1，-1)，(3，-1)．
根據(jù)L與“鏡像拋物線”關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴其點(diǎn)也關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴(1，1)，(3，1)．
∴如圖，整點(diǎn)個(gè)數(shù)有(1，1)，(2，1)，(3，1)，(1，0)，(2，0)，(3，0)，(1，-1)，(2，-1)，(3，-1)共9點(diǎn)．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，兩點(diǎn)的距離公式．解題的關(guān)鍵是讀懂題意理解“鏡像拋物線”和“整點(diǎn)”的概念．

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