通用的解題思路：
求一次函數(shù)解析式：①老方法：已知兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，一令，二代：將兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入，計(jì)算出，三作答；②壓軸題中的新方法，用求k公式來(lái)先求出k，再代入一個(gè)點(diǎn)來(lái)求出b，當(dāng)求垂線的解析式或者點(diǎn)的坐標(biāo)含參數(shù)時(shí)，用新方法更合適。
求二次函數(shù)解析式：①一般式：，壓軸題中一般不用一般式來(lái)求二次函數(shù)解析式；
②頂點(diǎn)式：，告訴二次函數(shù)的頂點(diǎn)時(shí)，優(yōu)先選用頂點(diǎn)式；
③一般式：，告訴二次函數(shù)與x軸的兩交點(diǎn)時(shí)，優(yōu)先選用交點(diǎn)式。
1．（長(zhǎng)沙中考）若拋物線L：y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，abc≠0）與直線l都經(jīng)過(guò)y軸上的一點(diǎn)P，且拋物線L的頂點(diǎn)Q在直線l上，則稱此直線l與該拋物線L具有“一帶一路”關(guān)系．此時(shí)，直線l叫做拋物線L的 “帶線”，拋物線L叫做直線l的“路線”．
（1）若直線y=mx+1與拋物線y=x2﹣2x+n具有“一帶一路”關(guān)系，求m，n的值；
（2）若某“路線”L的頂點(diǎn)在反比例函數(shù)y=的圖象上，它的“帶線”l的解析式為y=2x﹣4，求此“路線”L的解析式；
（3）當(dāng)常數(shù)k滿足≤k≤2時(shí)，求拋物線L：y=ax2+（3k2﹣2k+1）x+k的“帶線”l與x軸，y軸所圍成的三角形面積的取值范圍．
【詳解】解：（1）令直線y=mx+1中x=0，則y=1，即直線與y軸的交點(diǎn)為（0，1）；
將（0，1）代入拋物線y=x2﹣2x+n中，得n=1．∵拋物線的解析式為y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）．將點(diǎn)（1，0）代入到直線y=mx+1中，得：0=m+1，解得：m=﹣1．
（2）將y=2x﹣4代入到y(tǒng)=中有，2x﹣4=，即2x2﹣4x﹣6=0，解得：x1=﹣1，x2=3．
∴該“路線”L的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣6）或（3，2）．令“帶線”l：y=2x﹣4中x=0，則y=﹣4，
∴“路線”L的圖象過(guò)點(diǎn)（0，﹣4）．設(shè)該“路線”L的解析式為y=m（x+1）2﹣6或y=n（x﹣3）2+2，
由題意得：﹣4=m（0+1）2﹣6或﹣4=n（0﹣3）2+2，解得：m=2，n=﹣．
∴此“路線”L的解析式為y=2（x+1）2﹣6或y=﹣（x﹣3）2+2．
（3）令拋物線L：y=ax2+（3k2﹣2k+1）x+k中x=0，則y=k，即該拋物線與y軸的交點(diǎn)為（0，k）．
拋物線L：y=ax2+（3k2﹣2k+1）x+k的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，），
設(shè)“帶線”l的解析式為y=px+k，∵點(diǎn)（﹣，）在y=px+k上，
∴=﹣p+k，解得：p=．∴“帶線”l的解析式為y=x+k．
令∴“帶線”l：y=x+k中y=0，則0=x+k，解得：x=﹣．
即“帶線”l與x軸的交點(diǎn)為（﹣，0），與y軸的交點(diǎn)為（0，k）．
∴“帶線”l與x軸，y軸所圍成的三角形面積S=|﹣|×|k|，∵≤k≤2，∴≤≤2，
∴S=，
當(dāng)=1時(shí)，S有最大值，最大值為；當(dāng)=2時(shí)，S有最小值，最小值為．
故拋物線L：y=ax2+（3k2﹣2k+1）x+k的“帶線”l與x軸，y軸所圍成的三角形面積的取值范圍為≤S≤．
2.（青竹湖）規(guī)定：我們把一個(gè)函數(shù)關(guān)于某條直線或者某點(diǎn)作對(duì)稱后形成的新函數(shù)，稱之為原函數(shù)的“對(duì)稱函數(shù)”．
（1）已知一次函數(shù)y＝﹣2x+3的圖象，求關(guān)于直線y＝﹣x的對(duì)稱函數(shù)的解析式；
（2）已知二次函數(shù)y＝ax2+4ax+4a﹣1的圖象為C1；
①求C1關(guān)于點(diǎn)R（1，0）的對(duì)稱函數(shù)圖象C2的函數(shù)解析式；
②若兩拋物線與y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)AB＝16時(shí)，求a的值；
（3）若直線y＝﹣2x﹣3關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱函數(shù)的圖象上的存在點(diǎn)P，不論m取何值，拋物線y＝mx2+（m﹣）x﹣（2m﹣）都不通過(guò)點(diǎn)P，求符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)．
【詳解】（1）取y=-2x+3上兩點(diǎn)（0，3），（ ，0）兩點(diǎn)關(guān)于y=-x對(duì)稱點(diǎn)為（-3，0），（0，- ）
設(shè)y=x+b，則 ，解得 ，則 ，
（2）①設(shè)C2上的點(diǎn)為（x，y），其關(guān)于（1，0）的對(duì)稱點(diǎn)為（2-x，-y），(2-x，-y)在C1上，則，C2:，
②C1關(guān)于y軸交于（0，4a-1）， C2關(guān)于y軸交于（0，-16a+1），
AB=｜(4a-1)-(-16a+1)｜=16，｜2a-2｜=16，解得a= 或- ，
（3）y=-2x-3關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱函數(shù)為y=-2x+3，
拋物線:，令 ，得x1=1，x2=-1，
則拋物線經(jīng)過(guò)（1， ），（-2， ） ，令x=1，y=-2x-3=1，令x=-2，y=-2x+3=7，
點(diǎn)（1，1）（-2，7）在y=-2x+3上，由于函數(shù)值的唯一性，上述兩點(diǎn)不可能在拋物線上，
故P為(1，1)或(-2，7)．
3.（青竹湖）定義：將點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的點(diǎn)稱為P的反轉(zhuǎn)點(diǎn)，連接
形成的直線稱為反轉(zhuǎn)線，當(dāng)直線與函數(shù)L的圖象有交點(diǎn)時(shí)的反轉(zhuǎn)線稱為完美直線，它們的交點(diǎn)Q叫完
美點(diǎn).
（1）已知函數(shù)L的觝析式為，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，試求出點(diǎn)P變換后得到的反轉(zhuǎn)線；
（2）已知函數(shù)L的解析式為，點(diǎn)P為x軸上異于原點(diǎn)的一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)變換后可以得到完美直線，且完美點(diǎn)Q與原點(diǎn)間的距離為，求這條完美直線的解析式；
（3）已知P為直線上一動(dòng)點(diǎn)，函數(shù)L的解析式為，點(diǎn)P經(jīng)過(guò)變換后得到的反轉(zhuǎn)線是完美直線，且有兩個(gè)完美點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍.
【解答】解：（1）∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，0），關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣5，0），∴點(diǎn)P的反轉(zhuǎn)點(diǎn)P′的坐標(biāo)是（0，5），設(shè)反轉(zhuǎn)線的解析式是y＝kx+b，把P（5，0），P′（0，5）代入y＝kx+b，得，
∴，∴點(diǎn)P變換后得到的反轉(zhuǎn)線的解析式是y＝﹣x+5．
（2）設(shè)P（m，0）（m≠0）則它的反轉(zhuǎn)點(diǎn)P′（0，m），∴直線PP′的解析式是y＝﹣x+m，
解方程組得，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（，），
∴+＝OQ2＝＝40，∴m＝4或m＝﹣4，
∴完美直線的解析式是y＝﹣x+4或y＝﹣x﹣4．
（3）∵P是直線y＝3x上的一點(diǎn)，∴設(shè)P（n，3n）（n≠0），∴P′的坐標(biāo)是（﹣3n，n），
設(shè)完美直線PP′的解析式是y＝ux+v，把P（n，3n），P′（﹣3n，n）代入得，
∴，∴PP′的解析式是y＝x+n，由得x2+2x﹣2﹣5n＝0，
∵P經(jīng)過(guò)變換后得到的反轉(zhuǎn)線是完美直線，且有兩個(gè)完美點(diǎn)Q1，Q2，∴Δ＝22﹣4×（﹣2﹣5n）＝12+20n＞0，∴n＞﹣，設(shè)Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣2﹣5n，y1﹣y2＝（x1﹣x2），
∴Q1Q2＝＝＝，
∴Q1Q2＝＝，∵≤Q1Q2≤2，∴≤≤2，∴﹣≤n≤，∴點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是﹣≤n≤．
4.（博才）規(guī)定：我們把直線叫做拋物線的“溫暖直線”.若該直線與該拋物線的圖象還有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則兩個(gè)交點(diǎn)叫做“幸福點(diǎn)”，并且稱直線l與拋物線L具備“溫暖而幸福關(guān)系”，否則稱直線l與拋物線L不具備“溫暖而幸福關(guān)系”.
（1）已知直線是拋物線的“溫暖直線”，請(qǐng)判斷直線l與拋物線L是否具備“溫暖而幸福關(guān)系”，若具備，請(qǐng)求出“幸福點(diǎn)”的坐標(biāo)，若不具備，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）已知直線與拋物線不具備“溫暖而幸福關(guān)系”，當(dāng)時(shí)，拋物線的最小值是，求直線l的解析式；
（3）已知直線是拋物線L的“溫暖直線”.將拋物線L進(jìn)行左右平移得到新拋物線，拋物線滿足：對(duì)于拋物線上的任意兩點(diǎn)，，若，則始終成立.拋物線與直線l相交于，B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓恰好與x軸相切，求a的值.
【解答】解：（1）∵直線l：y＝ax﹣4是拋物線L：y＝2x2+bx的“溫暖直線”，∴a＝2，b＝﹣4，
∴直線l：y＝2x﹣4，拋物線L：y＝2x2﹣4x，由2x﹣4＝2x2﹣4x，得：x＝1或x＝2，∴“幸福點(diǎn)”的坐標(biāo)為（1，﹣2），（2，0）；
（2）∵直線l與拋物線L不具備“溫暖而幸福關(guān)系”，∴方程ax+b＝ax2+bx，即ax2+（b﹣a）x﹣b＝0無(wú)解或有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴（b﹣a）2+4ab＝（a+b）2≤0，∴b＝﹣a，∴直線l：y＝ax﹣a，拋物線L：y＝ax2﹣ax＝a（x﹣）2﹣a，當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線開口向上，∴當(dāng)0≤x＜時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)＜x≤2時(shí)，y隨x的增大而增大，∴﹣a＝﹣6，解得：a＝24，∴b＝﹣24，∴直線l的解析式為y＝24x﹣24；
當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線開口向下，∴當(dāng)0≤x＜時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)＜x≤2時(shí)，y隨x的增大而減小，∴當(dāng)x＝2時(shí)，y最小值＝4a﹣2a＝﹣6，解得：a＝﹣3，∴b＝3，∴直線l的解析式為y＝﹣3x+3；
∴直線l的解析式為y＝24x﹣24或y＝﹣3x+3；
（3）∵（x1﹣）（x2﹣）＞0，則y1≠y2始終成立，∴x＝是L1的對(duì)稱軸，∵y＝ax2+bx＝a（x+）2﹣，平移后變?yōu)閥＝a（x﹣）2﹣，將點(diǎn)A（1，1）代入y＝a（x﹣）2﹣，
∴a﹣＝1①，∵A（1，1）在直線y＝ax+b上，∴a+b＝1②，由①②解得
設(shè)B（c，d），聯(lián)立方程組，∴ax2﹣6ax+a﹣b﹣＝0，∴6＝1+c，∴c＝5，
∴d＝5a+b，∵A（1，1），B（5，5a+b），∴AB的中點(diǎn)（3，），AB＝＝，∵以AB為直徑的圓恰好與x軸相切，∴＝，
∴5a+b＝4，∵5a+b＝a（5﹣）2﹣，∴a﹣＝4②，聯(lián)立①②得a＝．
5.（2022?廬陽(yáng)區(qū)三模）在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小明興起小組對(duì)二次函數(shù)的圖象進(jìn)行了深入的探究，如果將二次函數(shù)，y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象上的點(diǎn)A（x，y）的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)锳點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之和，就會(huì)得到的一個(gè)新的點(diǎn)A1（x，x+y）．他們把這個(gè)點(diǎn)A：定義為點(diǎn)A的“簡(jiǎn)樸”點(diǎn)．他們發(fā)現(xiàn)：二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）所有簡(jiǎn)樸點(diǎn)構(gòu)成的圖象也是一條拋物線，于是把這條拋物線定義為y＝ax2+bx+c（a≠0）的“簡(jiǎn)樸曲線”．例如，二次函數(shù)y＝x2+x+1的“簡(jiǎn)樸曲線”就是y＝x2+x+1+x＝x2+2x+1，請(qǐng)按照定義完成：
（1）點(diǎn)P（1，2）的“簡(jiǎn)樸”點(diǎn)是 ；
（2）如果拋物線y＝ax2﹣7x+3（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（1，﹣3），求該拋物線的“簡(jiǎn)樸曲線”；
（3）已知拋物線y＝x2+bx+c圖象上的點(diǎn)B（x，y）的“簡(jiǎn)樸點(diǎn)”是B1（﹣1，1），若該拋物線的“簡(jiǎn)樸曲線”的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），當(dāng)0≤c≤3時(shí)，求n的取值范圍．
【解答】解：（1）由題意得點(diǎn)P（1，2）的“簡(jiǎn)樸”點(diǎn)是（1，1+2），即（1，3），故答案為：（1，3）．
（2）將（1，﹣3）代入y＝ax2﹣7x+3得﹣3＝a﹣7+3，解得a＝1，∴y＝x2﹣7x+3，
∴拋物線y＝x2﹣7x+3的“簡(jiǎn)樸曲線”為y＝x2﹣7x+3+x＝x2﹣6x+3．
（3）∵點(diǎn)B（x，y）的“簡(jiǎn)樸點(diǎn)”是B（﹣1，1），∴，解得，∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（﹣1，2），
∴1﹣b+c＝2，即b＝c﹣1，∴y＝x2+（c﹣1）x+c，
∴該拋物線的“簡(jiǎn)樸曲線”為y＝x2+cx+c＝（x+）2+c﹣，
∵該拋物線的“簡(jiǎn)樸曲線”的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），∴m＝﹣，n＝c﹣＝﹣（c﹣2）2+1，
∴c＝2時(shí)，n＝1為最大值，把c＝0代入n＝c﹣得n＝0，把c＝3代入n＝c﹣得n＝，
∴當(dāng)0≤c≤3時(shí)，0≤n≤1．
6．（2022?岳麓區(qū)校級(jí)模擬）我們定義：若點(diǎn)P在一次函數(shù)y＝ax+b（a≠0）圖象上，點(diǎn)Q在反比例函數(shù)（c≠0）圖象上，且滿足點(diǎn)P與點(diǎn)Q關(guān)于y軸對(duì)稱，則稱二次函數(shù)y＝ax2+bx+c為一次函數(shù)y＝ax+b與反比例函數(shù)的“衍生函數(shù)”，點(diǎn)P稱為“基點(diǎn)”，點(diǎn)Q稱為“靶點(diǎn)”．
（1）若二次函數(shù)y＝x2+2x+1是一次函數(shù)y＝ax+b與反比例函數(shù)的“衍生函數(shù)”，則a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）若一次函數(shù)y＝x+b和反比例函數(shù)的“衍生函數(shù)”的頂點(diǎn)在x軸上，且“基點(diǎn)”P的橫坐標(biāo)為1，求“靶點(diǎn)”的坐標(biāo)；
（3）若一次函數(shù)y＝ax+2b（a＞b＞0）和反比例函數(shù)的“衍生函數(shù)”經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，6）．①試說(shuō)明一次函數(shù)y＝ax+2b圖象上存在兩個(gè)不同的“基點(diǎn)”；②設(shè)一次函數(shù)y＝ax+2b圖象上兩個(gè)不同的“基點(diǎn)”的橫坐標(biāo)為x1、x2，求|x1﹣x2|的取值范圍．
【解答】解：（1）由定義可知，a＝1，b＝2，c＝1，故答案為：1，2，1；
（2）由題意可知，“衍生函數(shù)”為y＝x2+bx+c，∵頂點(diǎn)在x軸上，∴4c＝b2，∴一次函數(shù)為y＝x+b，
∵“基點(diǎn)”P的橫坐標(biāo)為1，∴P（1，1+b），∵點(diǎn)P與點(diǎn)Q關(guān)于y軸對(duì)稱，∴Q（﹣1，1+b），
∵反比例函數(shù)為y＝，∴﹣b2＝1+b，解得b＝﹣2，∴“靶點(diǎn)”的坐標(biāo)（﹣1，﹣1）；
（3）證明：①由題意可知“衍生函數(shù)”為y＝ax2+2bx﹣2，∵經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，6），∴a+b＝2，
∵a＞b＞0，∴a＞2﹣a＞0，∴1＜a＜2，設(shè)“靶點(diǎn)”Q（t，﹣），則P（﹣t，﹣），
∴﹣＝at+2（2﹣a），整理得at2﹣4t+2at﹣2＝0，∴Δ＝4（a﹣1）2+12＞0，∴方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，∴一次函數(shù)y＝ax+2b圖象上存在兩個(gè)不同的“基點(diǎn)”；
②解：由①可知，at2﹣4t+2at﹣2＝0，∴x1+x2＝﹣2，x1?x2＝﹣，
∴|x1﹣x2|＝＝，∵1＜a＜2，∴2＜＜4，∴2＜|x1﹣x2|＜2．
8．定義：將函數(shù)C1的圖象繞點(diǎn)P（m，0）旋轉(zhuǎn)180，得到新的函數(shù)C2的圖象，我們稱函數(shù)C2是函數(shù)C1關(guān)于點(diǎn)P的相關(guān)函數(shù)．
例如：當(dāng)m＝1時(shí)，函數(shù)y＝（x﹣3）2+9關(guān)于點(diǎn)P（1，0）的相關(guān)函數(shù)為y＝﹣（x+1）2﹣9．
（1）當(dāng)m＝0時(shí)，
①一次函數(shù)y＝﹣x+7關(guān)于點(diǎn)P的相關(guān)函數(shù)為 ．
②點(diǎn)A（5，﹣6）在二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）關(guān)于點(diǎn)P的相關(guān)函數(shù)的圖象上，求a的值．
（2）函數(shù)y＝（x﹣2）2+6關(guān)于點(diǎn)P的相關(guān)函數(shù)是y＝﹣（x﹣10）2﹣6，則m＝ ．
（3）當(dāng)m﹣1≤x≤m+2時(shí)，函數(shù)y＝x2﹣6mx+4m2關(guān)于點(diǎn)P（m，0）的相關(guān)函數(shù)的最大值為8，求m的值．
【解答】解：（1）①根據(jù)相關(guān)函數(shù)的定義，y＝﹣x+7關(guān)于點(diǎn)P（0，0）旋轉(zhuǎn)變換可得相關(guān)函數(shù)為
y＝﹣x﹣7，故答案為：y＝﹣x﹣7；
②y＝ax2﹣2ax+a＝a（x﹣1）2，∴y＝ax2﹣2ax+a關(guān)于點(diǎn)P（0，0）的相關(guān)函數(shù)為y＝﹣a（x+1）2，
∵點(diǎn)A（5，﹣6）在二次函數(shù)y＝﹣a（x+1）2的圖象上，∴﹣6＝﹣a（5+1）2，解得：a＝；
（2）y＝（x﹣2）2+6的頂點(diǎn)為（2，6），y＝﹣（x﹣10）2﹣66的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（10，﹣6）；
∵兩個(gè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P （m，0）成中心對(duì)稱，∴m＝＝6，故答案為：6；
（3）y＝x2﹣6mx+4m2＝（x﹣3m）2﹣5m2，
∴y＝x2﹣6mx+4m2關(guān)于點(diǎn)P（m，0）的相關(guān)函數(shù)為y＝﹣（x+m）2+5m2．
①當(dāng)﹣m≤m﹣1，即m≥時(shí)，當(dāng)x＝m﹣1時(shí)，y有最大值為8，∴﹣（m﹣1+m）2+5m2＝8，
解得m1＝﹣2﹣（不符合題意，舍去），m2＝﹣2+；
②當(dāng)m﹣1＜﹣m≤m十2，即﹣1≤m＜時(shí)，當(dāng)x＝﹣m時(shí)，y有最大值為8，∴5m2＝8，
解得：m＝±（不合題意，舍去）；
③當(dāng)﹣m＞m+2，即m＜﹣1時(shí)，當(dāng)x＝m+2，y有最大值為8，∴﹣（m+2+m）2+5m2＝8，
解得：m＝4﹣2或，m＝4+2（不符合題意，舍去），綜上，m的值為﹣2+或4﹣2．
9.（2022?武侯區(qū)校級(jí)模擬）【閱讀理解】
定義：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），若x，y都可以用同一個(gè)字母表示，那么點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑是確定的．若根據(jù)點(diǎn)P坐標(biāo)求出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路徑所對(duì)應(yīng)的關(guān)系式是函數(shù)，則稱由點(diǎn)坐標(biāo)求函數(shù)表達(dá)式的過(guò)程叫做將點(diǎn)“去隱”．
例如，將點(diǎn)M（m+1，﹣m+1）（m為任意實(shí)數(shù)）“去隱”的方法如下：
設(shè)x＝m+1①，y＝﹣m+1②
由①得m＝x﹣1③
將③代入②得y＝﹣（x﹣1）+1，整理得y＝﹣x+2
則直線y＝﹣x+2是點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑．
【遷移應(yīng)用】
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)Q（﹣a，﹣a2﹣a+3）（a為任意實(shí)數(shù)）的運(yùn)動(dòng)路徑是拋物線．
（1）請(qǐng)將點(diǎn)Q“去隱”，得到該拋物線表達(dá)式；
（2）記（1）中拋物線為W（如圖），W與x軸交于點(diǎn)A，B（A在B的左側(cè)），其頂點(diǎn)為點(diǎn)C，現(xiàn)將W進(jìn)行平移，平移后的拋物線W'始終過(guò)點(diǎn)A，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C'．
ⅰ）試確定點(diǎn)C'運(yùn)動(dòng)路徑所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
ⅱ）在直線x＝﹣2的左側(cè)，是否存在點(diǎn)C'，使△ACC'為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)C'的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解答】解：（1）設(shè)x＝﹣a①，y＝﹣a2﹣a+3②，由①得a＝﹣x③，
∴y＝﹣x2+x+3；
（2）∵y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣2）2+4，∴C（2，4），令y＝0，則﹣x2+x+3＝0，解得x＝﹣2或x＝6，∴A（﹣2，0），B（6，0），
ⅰ）設(shè)拋物線W'的解析式為y＝﹣（x﹣h）2+k，∴C'（h，k），∵經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣2，0），
∴k＝（2+h）2，令x＝h，y＝k＝（2+h）2，∴y＝（x+2）2；
ⅱ）存在點(diǎn)C'，使△ACC'為等腰三角形，理由如下：∵C（2，4）在y＝（x+2）2上，
∴C點(diǎn)關(guān)于直線x＝﹣2的對(duì)稱點(diǎn)為C'（﹣6，4），此時(shí)AC＝AC'，△ACC'為等腰三角形；
設(shè)C'（m，m2+m+1），當(dāng)AC'＝CC'時(shí)，（m+2）2+（m2+m+1）2＝（m﹣2）2+（m2+m+1﹣4）2，
解得m＝﹣4﹣2或m＝﹣4+2（舍），∴C（﹣4﹣2，6+2）；
當(dāng)CA＝CC'時(shí)，C'只能在x＝﹣2右側(cè)，此時(shí)不符合題意；
綜上所述：（﹣6，4）或（﹣4﹣2，6+2）．
10．（立信）關(guān)于x的方程（）兩根分別為x1和x2，若一個(gè)根是另一個(gè)根的兩倍，則稱這樣的方程為“立信二倍方程”，若直線l與拋物線C相交于A、B兩點(diǎn)，其中一點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于另一點(diǎn)橫坐標(biāo)的2倍，則稱這樣的直線l與拋物線C互為“立信二倍函數(shù)”.
（1）若是“立信二倍根方程”，求的值；
（2）直線：與拋物線互為“立信二倍函數(shù)”求拋物線的解析式；
（3）直線：與拋物線：（）互為“立信二倍函數(shù)”，若直線與拋物線相交于，、，兩點(diǎn)，且，求的取值范圍．
【解答】解：（1），，當(dāng)時(shí)，即，解得：，
當(dāng)時(shí)，即，解得：，故或-4；
（2）由題意得：，整理得：，則，，
①當(dāng)，解得：，拋物線解析式為.
①當(dāng)，解得：，拋物線解析式為
（3），整理得：，
，，設(shè)：，整理得：，，
，，則，
，即，即，即．

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