江西省豐城中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（創(chuàng)新班）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、單選題：（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）
二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，滿分18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）
12. 13. 14.
5.【詳解】
根據(jù)圖象，可分別作出斜率為的另外三條切線：，切點(diǎn)分別為，
如圖所示：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
設(shè)，則，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
有，和三個(gè)極大值點(diǎn).故選：D.
8.【詳解】一個(gè)砝碼有，9一種情況，種情況，
兩個(gè)砝碼有，，，幾種情況種
三個(gè)砝碼有，，，，，，幾種情況種
四個(gè)砝碼有，，，，，種，
五個(gè)砝碼有，，種，總計(jì)種.
對A，選項(xiàng)系數(shù)為，故不符合，所以A錯(cuò)誤；
對B，的系數(shù)是選個(gè)帶的，其他的項(xiàng)選常數(shù)項(xiàng)，可得，故B錯(cuò)誤；
對C，
系數(shù)為單獨(dú)組成，其他為常數(shù)，則有種，系數(shù)為
有兩項(xiàng)組成，系數(shù)為與組成，其他為常數(shù)，，系數(shù)為，
系數(shù)為與組成，其他為常數(shù)，，系數(shù)為，
系數(shù)為與組成，其他為常數(shù)，，系數(shù)為，
系數(shù)為與組成，其他為常數(shù)，，系數(shù)為，
同理由三項(xiàng)組成，，，，，幾種情況，其他項(xiàng)為常數(shù)，則系數(shù)為
同理由四項(xiàng)組成，，，幾種情況，其他為常數(shù)，則系數(shù)，
同理由五項(xiàng)組成其他項(xiàng)為常數(shù)，則系數(shù)為，綜上系數(shù)為，故C正確；
對D，，
系數(shù)直接有一項(xiàng)，其他是常數(shù)項(xiàng)，可有種情況，系數(shù)為，
有與組成，其他是常數(shù)項(xiàng)，可有,故D錯(cuò)誤.故選：C
11.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，
則在點(diǎn)處的切線方程為：，
由切線過點(diǎn)，則有：，整理得：，
構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得：，
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；
當(dāng)或時(shí)，，所以在和單調(diào)遞增；
又因?yàn)椋?br>所以函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，即方程有三個(gè)根，則存在三條切線，故A正確；
由，可得函數(shù)的圖象都關(guān)于對稱，故B正確；
由函數(shù)，求導(dǎo)得，由函數(shù)存在極值點(diǎn)，則有解，所以，即解得極值點(diǎn)滿足，且，
假設(shè)，則，
由
，故不成立，所以假設(shè)不成立，故C錯(cuò)誤；
先研究函數(shù)往下移一個(gè)單位，使其對稱中心在原點(diǎn)，則，
設(shè)函數(shù)圖象上存在四點(diǎn)圍成一個(gè)正方形，根據(jù)對稱性可知，正方形的中心就是三次函數(shù)的對稱中心，此時(shí)就是原點(diǎn)，所以可設(shè)直線方程為：,
與三次函數(shù)消元得：，所以，
利用正方形的對角線相互垂直可設(shè)直線方程為：，
再與三次函數(shù)消元得：，所以，
由正方形可知：，所以，
整理得：，
兩邊同除以得：，令，則上式化為：，
由于在時(shí)是遞增函數(shù)，且值域?yàn)?，所以要使存在一個(gè)正方形使其4個(gè)頂點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上的充要條件就是存在唯一值，從而可得，解得，
當(dāng)時(shí)，，解得，因?yàn)?，所以?br>此時(shí)不滿足，所以舍去；
當(dāng)時(shí)，，解得，因?yàn)?，所以?br>此時(shí)滿足，，所以；故D正確；故選：ABD.
13.【詳解】由，且，
則有，，故，，
則，
令，，則當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，故在、上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，，
，
即，即，即的最大值為.
14.【詳解】作，垂足，則底面，再作，垂足分別為，
則，又正方體中，
設(shè)，則，
當(dāng)，易知，，此時(shí)，，
當(dāng)，易知，，此時(shí)，，
當(dāng)且時(shí)，，
所以，
設(shè)，則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取到最小值，時(shí)，時(shí)，且時(shí)遞減，時(shí)遞增，
綜上，恒成立，即，所以當(dāng)時(shí)，取到最小，此時(shí).綜上可知當(dāng)時(shí)，取到最小.故答案為：
15.【小問1詳解】已知，
可化為，
由正弦定理可得，即，
由余弦定理可得，整理得.
【小問2詳解】當(dāng)，時(shí)，，
，所以，解得，
所以的周長為
16.【小問1詳解】由題意知，，由，解得，
此時(shí)，，令，得，令，得，故是函數(shù)的極值點(diǎn)，
故符合要求，進(jìn)而函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．
【小問2詳解】由恒成立可得恒成立，
令則，令，則，
故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
而，且時(shí)，，
故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故，因此
17. 【解析】（1）過點(diǎn)作交與點(diǎn)，
∵平面平面，且兩平面的交線為，∴平面，
又∵平面，∴，又∵且，
∴平面．
（2）過點(diǎn)作交與點(diǎn)，連接，
∵平面平面，且兩平面的交線為，
∴平面，又∵平面，∴，到平面的距離相等，
∴且，平面，∴，，
∴，
又，令，
則，．
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值．如圖所示，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
所以，，．
設(shè)與所成角為，則，
則，即當(dāng)幾何體體積最大時(shí)，與所成角的正切值為6．
18.【小問1詳解】由題意，因?yàn)椋瑸橹苯侨切?，所?
又，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
【小問2詳解】由（1）知，,顯然直線的斜率存在，
設(shè)直線的方程為，，
聯(lián)立消去得，，
所以，即.
且，因?yàn)?，所以，所以，即，所以，整理得，即，化簡得，即滿足條件，
所以直線的方程為或，即直線的方程為或.
【小問3詳解】由題意，,設(shè)直線的方程為,，
則直線的方程為，，
聯(lián)立消去得，所以
所以，所以，
同理聯(lián)立消去得，
所以，所以
所以，即的中點(diǎn).
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以的面積最大值為.
19.【小問1詳解】因?yàn)槭?2項(xiàng)數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)和時(shí)，.設(shè)數(shù)列的所有項(xiàng)的和為，
則.
所以數(shù)列的所有項(xiàng)的和為0.
【小問2詳解】①證明：因?yàn)閿?shù)列是從集合中任意取出的兩個(gè)數(shù)列，
所以數(shù)列為項(xiàng)數(shù)列，所以的可能取值為：.
因?yàn)榧现性氐膫€(gè)數(shù)共有個(gè)，
當(dāng)時(shí)，則數(shù)列中有項(xiàng)取值不同，有項(xiàng)取值相同，
所以，
所以隨機(jī)變量的分布列為：
因?yàn)椋?br>所以
，
即.
②解：由條件得：，
所以，
化簡得：，
所以，
則
即，
所以，即.
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
選項(xiàng)
D
A
B
D
D
C
A
C
題號
9
10
11
選項(xiàng)
ABD
ACD
ABD
1
2
3

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