試卷分為兩卷，卷（I）100分，卷（II）50分，滿分150分，考試時間120分鐘
卷（I）
選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分
1. 已知集合，，則集合
A. B. C. D.
2. 函數(shù)的定義域是
A. B. C. D.
3. 命題“，”的否定是
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4. 如果，那么下列不等式中正確的是
A． B． C． D．
5. 下列函數(shù)中，在區(qū)間上為減函數(shù)的是
A． B. C. D.
6. 函數(shù)的圖像關(guān)于
A．原點對稱 B．x軸對稱 C．y軸對稱 D．點對稱
7. 已知，則“”是“”的
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
8. 函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點個數(shù)是
A．0 B．1 C．2 D．3
9. 下列函數(shù)中，滿足的是
A． B． C． D．
10. 兩個不同的函數(shù)，滿足，，則可能的情況是
A．是一次函數(shù)，是二次函數(shù) B．在上遞增，在上遞減
C．，都是奇函數(shù) D．是奇函數(shù)，是偶函數(shù)
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分
11．若，則實數(shù)x的值為 .
12. 不等式的解集為，則 ， .
13. 函數(shù) QUOTE ?(?) 是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則 ．
14. 函數(shù)，則的減區(qū)間為 ，的值域是 .
15. 已知函數(shù).
①當時，在定義域內(nèi)單調(diào)遞減；
②當時，一定有；
③若存在實數(shù)，使得函數(shù)沒有零點，則一定有；
④若存在實數(shù)，使得函數(shù)恰有三個零點，則一定有；
以上結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是 .
三、解答題：本大題共3小題，共35分
16. （12分）設(shè)集合，，.
（I）求；（II）求；（III）若，求實數(shù)k的取值范圍.
17. （11分）某學(xué)校課外活動小組根據(jù)預(yù)報的當?shù)啬程欤? ~ 24時）空氣質(zhì)量指數(shù)數(shù)據(jù)繪制成散點圖，并選擇函數(shù)來近似刻畫空氣質(zhì)量指數(shù)隨時間變化的規(guī)律（如下圖所示）：
（I）求的值；
（II）當空氣質(zhì)量指數(shù)大于150時，有關(guān)部門建議市民外出活動應(yīng)戴防霧霾口罩，并禁止特殊行業(yè)施工. 請結(jié)合上面選擇的函數(shù)模型，回答以下問題，并說明理由：
①某同學(xué)該天7:00出發(fā)上學(xué)，是否應(yīng)戴防霧霾口罩？
②當天特殊行業(yè)可以連續(xù)施工的最長時間為多少小時？
18. （12分）已知函數(shù).
（I）判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明；
（II）若是偶函數(shù)，求的值.
卷（Ⅱ）
選擇題：本大題共3小題，每小題5分，共15分
1. 已知集合，，，則
A． B．C．D．
2. 當時，恒成立，則的最大值為
A．6 B．10 C．12 D．13
3. 設(shè)集合的最大元素為，最小元素為，記的特征值為，若集合中只有一個元素，規(guī)定其特征值為.已知，，，，是集合的元素個數(shù)均不相同的非空真子集，且，則的最大值為
A．14 B．15 C．16 D．18
二、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分
4. ________.
5. 若二次函數(shù)的圖像關(guān)于對稱，且，則實數(shù)的取值范圍是 .
6. 設(shè)函數(shù). 當時，的最小值是________；若是的最小值，則a的取值范圍是________.
三、解答題：本大題共2小題，共20分
7. （10分）已知函數(shù).
（I）求方程組的解集；
（II）在答題紙的坐標系中，畫出函數(shù)的圖像；
（III）若在上具有單調(diào)性，求實數(shù)a的取值范圍.
8. （10分）如果正整數(shù)集的子集滿足：
①；
②，，使得，
則稱為集.
（I）分別判斷與是否為集（直接寫出結(jié)論）；
（II）當時，對于集，設(shè)，求證：；
（III）當時，若，求集中所有元素的和的最小值.
參考答案
I卷
一、單項選擇題（每題4分，共40分）
二、填空題（每題5分，共25分）
11. 1或5 12. 4，3 13. 2
14. ， 15. ②③
注：12、14題第一空3分，第二空2分；15題少選3分，錯選漏選0分.
三、解答題（共35分）
16. 由題意，，，
(I) ；
(II) ；
(III) 顯然，
，解得，
因此的取值范圍是.
17. (I) ，解得
(II) ①是. .
②時，，解得；
時，，解得；
,
所以可以連續(xù)施工的最長時間為12小時.
18. (I)在上單調(diào)遞減.
定義域為，
任取且，



所以在上單調(diào)遞減.
(II)，
是偶函數(shù)，則定義域關(guān)于原點對稱，，則，
此時，定義域，
，符合題意，
所以.
II卷
一、單項選擇題（每題5分，共15分）
1. A 2. C 3. C
二、填空題（每題5分，共15分）
4. 5. 6. ，
注：6題第一空3分，第二空2分.
三、解答題（共20分）
7. ，
(I) ，
當，，，
解得或；
當， ，即，
解得或（舍）；
綜上，方程組的解集是.
(II)（作圖過程略）
(III) 在遞增，在遞減，
所以或或，
因此實數(shù)a的取值范圍是.
8. (I) 注意到：，因此數(shù)集不是集.
注意到：，因此數(shù)集是集.
(II) 由于集合是集，
即對任意的，存在，使得成立。
并且，故.從而.
于是，對任意的均成立。
因此，將這些不等式同向累加，有：
.
故.
從而.
于是.
(III) 數(shù)集中所有元素的和的最小值為.
首先，注意到，根據(jù)集的定義，有.
考慮集合，，此時是集.
下面，我們證明數(shù)集中所有元素的和的最小值為.
滿足的集合只有有限多個，
這是因為：，因此.
故，當時，.
因此滿足的集合只有有限多個。
設(shè)集合為滿足的集。
下面我們從最大和次大的元素兩個角度分析集合的構(gòu)成：.
若，設(shè)，注意到，
為了使得最小，不存在元素，使得.
從而.
若，由于集合是集，，存在，使得.
由于，故，由于集合中至少有個元素，
因此集合中至少還有個異于的元素，但此時，
.矛盾！
因此一定成立，此時.同理可證：.
由于集合是集，故存在，使.不妨設(shè)，則.分四類：
①當時，此時集合中至少還要有一個大于等于的元素，才能得到元素，此時，矛盾！
②當時，此時集合中至少還要有一個大于的元素，才能得到元素，此時，矛盾！
③當時，此時集合滿足要求；
④當時，此時集合滿足要求。
綜上所述，最小值為.此時或.
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
B
D
C
A
A
B
D
B

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