1.拋物線的焦點坐標是（ ）
A. B. C. D.
2.已知為拋物線的焦點，點在上，且，則點到軸的距離為（ ）
A.6 B.5 C.4 D.
3.若向量，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
4.已知雙曲線的上?下焦點分別為是雙曲線上一點且，則雙曲線的標準方程為（ ）
A. B.
C. D.
5.已知圓經過點，則圓在點處的切線方程為（ ）
A. B.
C. D.
6.將函數的圖象向右平移個單位長度后，所得函數為偶函數，則的值為（ ）
A. B. C. D.
7.已知雙曲線，拋物線的焦點為，拋物線的準線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點，若為正三角形，則雙曲線的漸近線方程為（ ）
A. B.
C. D.
8.已知函數給出下列結論：
①的周期為；
②時取最大值；
③的最小值是；
④在區(qū)間內單調遞增；
⑤把函數的圖象上所有點向左平移個單位長度，可得到函數的圖象.
其中所有正確結論的序號題（ ）
A.①② B.①③ C.①③④ D.①②③
9.已知分別為雙曲線的左?右焦點，為坐標原點，點是雙曲線上位于第二象限的點.直線與雙曲線交于另一點，則雙曲線的離心率為（ ）
A. B. C. D.
二?填空題
10.是虛數單位，復數__________.
11.復數的共軛復數__________.
12.若直線被圓截得線段的長為，則實數的值為__________.
13.圓過點，且圓心在直線上，則圓的標準方程為__________.
14.如圖.在中，分別為的中點，為與的交點，且.若，則__________，若，則
15.在邊長為2的菱形中，，若為的中點，則值為__________；若點為邊上的動點，點是邊上的動點，且，，則的最大值為__________.
三?解答題
16.中，內角所對的邊分別為，已知的面積為，.
（1）求和的值；
（2）求的值.
17.已知的內角的對邊分別為，且.
（1）求；
（2）若，求；
（3）若，求.
18.在四棱錐中，底面，且，四邊形是直角梯形，且為中點，在線段上，且.
（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值；
（3）求點到的距離.
19.如圖，在三棱柱中，平面，已知，，點是棱的中點.
（1）求證：平面；
（2）求平面與平面夾角的余弦值；
（3）在棱上是否存在一點，使得與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
20.已知橢圓的左頂點，且點在橢圓上，分別是橢圓的左?右焦點.過點A作斜率為的直線交橢圓于另一點，直線交橢圓于點.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若，求的值.
參考答案：
1.D
【分析】將拋物線化為標準形式，根據焦點坐標公式即可解出.
【詳解】得到，則焦點坐標為.
故選：D.
2.C
【分析】根據拋物線的定義求解.
【詳解】由題意及拋物線定義，點到的準線的距離為6，
所以點到軸的距離為.
故選：C.
3.B
【分析】按照投影向量的計算公式求解即可.
【詳解】解：因為向量，則向量在向量上的投影向量為：.
故選：B
4.C
【分析】設雙曲線的標準方程為，由雙曲線的定義知，即可求出雙曲線的標準方程.
【詳解】設雙曲線的標準方程為，半焦距為，
則由題意可知，即，故，
所以雙曲線的標準方程為.
故選：C.
5.A
【分析】首先求的值，然后求圓心坐標，接著求圓心與點連線的斜率，最后求圓在點處的切線方程.
【詳解】因為圓經過點，
將點代入圓的方程可得：.即，所以，
則圓的方程為.
對于圓，其圓心坐標為，所以此圓的圓心：
根據斜率公式，這里，則.
因為圓的切線與圓心和切點連線垂直，若兩條垂直直線的斜率分別為和，則.
已知，所以切線的斜率.
又因為切線過點，根據點斜式方程（這里），可得切線方程為.整理得.
故選：A.
6.B
【分析】先求出平移后的函數解析式，結合正弦型函數的奇偶性列關系式求.
【詳解】由將函數的圖象向右平移個單位長度后，
所得函數為，
因為函數為偶函數，
則，
所以，又，
所以.
故選：B.
7.C
【分析】根據雙曲線方程，把漸近線表示出來，推出兩點坐標，利用為正三角形，列方程解系數既可.
【詳解】雙曲線的兩條漸近線方程為，
拋物線的焦點為，準線方程為，不妨取，
為正三角形，由對稱性可知，直線的傾斜角為，則，解得，
所以雙曲線的兩條漸近線方程為.
故選：C
8.B
【分析】先由降冪公式與輔助角公式化簡函數解析式，根據正弦型函數的周期公式?最值性質?單調性，結合正弦型函數圖象變換性質逐一判斷即可.
【詳解】因為
.
①因為，所以①正確；
②因為，所以②錯誤；
③當，即時，
取最小值，且最小值是，所以③正確；
④當時，由
知在區(qū)間內并不單調，故④錯誤；
⑤把函數的圖象上所有點向左平移個單位長度，
可得到函數，故⑤錯誤.
故正確的是①③.
故選：B.
9.A
【分析】設，根據雙曲線定義和勾股定理解得，計算出，再次在中利用勾股定理得，最后整理成關于的齊次方程計算即可.
【詳解】設，
因為，則，則，解得
又因為，則A為的中點，所以，
則，在直角三角形中，，
即，化簡得，
將代入上式得，
則，
化簡得，兩邊同除得，
解得或1（舍去），則.
故選：A.
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是充分利用雙曲線定義和勾股定理表示出相關線段之間關鍵，最后轉化為齊次方程，解出即可.
10.
【分析】利用復數的除法化簡可得結果.
【詳解】.
故答案為：.
11.
【分析】根據復數的除法運算及共軛復數的概念可求解.
【詳解】因為，所以.
故答案為：
12.
【分析】求解圓心到直線的距離，結合圓的弦長公式求解即可.
【詳解】圓的圓心坐標為，半徑為1，
圓心到直線的距離.
據題意，得，解得.
故答案為：
13.
【分析】求出線段的中垂線方程，與直線的方程聯(lián)立求出圓心坐標及半徑即可得解.
【詳解】線段的中點，直線的斜率為，
則線段的中垂線方程為，即，
由，解得，則圓的圓心，半徑，
所以圓的標準方程為.
故答案為：
14.；
【分析】利用平面向量基本定理求解出及，進而利用平面向量的數量積運算法則進行計算即可得解.
【詳解】連接，
因為分別為的中點，所以是的中位線，所以，
則
，
所以，所以；
因為，
所以，
故
.
故答案為：.
【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵在于注意到點是的重心，從而利用中位數定理得到，進而利用平面向量的相關運算即可得解.
15.；
【分析】以對角線交點為原點建立直角坐標系，根據向量坐標運算結合二次函數求最值.
【詳解】由題意，以交點為原點建立如圖直角坐標系，
因為菱形邊長為，所以，
因為為的中點，所以，
所以，
所以，
因為，
又，
所以，
，
所以，
因為，所以當時，取到最大值為.
故答案為：
16.（1）；（2）.
【分析】（1）先利用平方關系求出，結合面積公式和已知可得，然后利用余弦定理可求，利用正弦定理可得的值；
（2）先求解，利用倍角公式可得，結合和角公式可求的值.
【詳解】（1）在中，由，可得，
的面積為，可得：，可得.
又，解得：或（舍去），
，
，
，
又，解得；
所以；
（2）由（1）知：，所以，
所以，
，
，
.
【點睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理求解三角形及三角求值問題，倍角公式及和角公式的熟練應用是求解的關鍵，側重考查數學運算的核心素養(yǎng).
17.（1）
（2）
（3）
【分析】（1）由正弦邊化角及三角恒等變換可得，結合三角形內角性質求；
（2）由正弦角化邊及余弦定理列方程求；
（3）由題設及（1）得，注意A為銳角，應用倍角正余弦?差角正弦公式求目標式的值.
【詳解】（1）由題設及正弦邊角關系得：（2，，
顯然，則，又，故；
（2）由，則，
由①得：②，
由①②得：；
（3）由正弦定理得：，則，
，即，則，故為銳角，
，
，
.
18.（1）證明見解析
（2）
（3）
【分析】（1）構造平面，由面面平行的判定定理證明面面平行，再根據面面平行的性質可得線面平行；
（2）根據題意，建立空間直角坐標系，結合空間向量的坐標運算代入計算，即可得到結果；
（3）根據題意，由空間向量的坐標運算，代入計算，即可得到結果.
【詳解】（1）如圖，取中點，連接
因為為中點，，所以
所以四邊形為平行四邊形，所以，
又平面平面，所以平面，
因為為中點，為中點，則，
又平面平面，所以平面，
因為平面，所以平面平面，
又平面，故平面.
（2）根據題意，分別以所在直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標系，由條件可得，，
則，
設平面的法向量為，
則，解得，
取，則，所以平面的一個法向量為，
設直線與平面所成角為，
則.
所以直線與平面所成角的正弦值為.
（3）由（2）可知，，
所以點到的距離為.
19.（1）證明見詳解；
（2）；
（3）存在，或.
【分析】（1）證明即可判定線面垂直；
（2）建立空間直角坐標系研究面面夾角即可；
（3）利用空間向量研究線面角即可.
【詳解】（1）底面中，已知，
由余弦定理得，
所以，
又平面平面，
所以，
又平面，
所以平面；
（2）由（1）可知三直線兩兩垂直，可以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，
所以，
設平面與平面的法向量分別為，
則有，及，
取，取，
即，
設平面與平面的夾角為，則；
（3）假設存在，不妨設，由（2）可知，
則，
設與平面所成角為，
則，
解之得或，即存在符合題意，此時或.
20.（1）
（2）
【分析】（1）依題意列方程組求解即可；
（2）設直線的方程為，利用韋達定理法可得，進而可得直線的方程，可得點代入橢圓方程，即得.
【詳解】（1）由題意可得，
解得，
所以橢圓的標準方程為：；
（2）設直線的方程為，
聯(lián)立，整理可得：，
所以，所以，
代入直線的方程為：，所以，
（i）當不垂直于軸時，，
所以直線的方程為：，
，直線的方程為：，
聯(lián)立，可得，即，
又因為在橢圓上，所以，
整理可得：，解得，
又，解得.
（ii）當軸，則，則，
這時，這時，
顯然不垂直，
綜上所述：的值為.題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答案
D
C
B
C
A
B
C
B
A

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