一、單選題
1．設(shè)全集，集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由題意可得的值，然后計算即可.
【詳解】由題意可得，則.
故選：A.
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分又不必要條件
【答案】B
【分析】根據(jù)充分、必要性定義判斷條件的推出關(guān)系，即可得答案.
【詳解】由，則，當(dāng)時不成立，充分性不成立；
由，則，即，顯然成立，必要性成立；
所以是的必要不充分條件.
故選：B
3．函數(shù)在上的值域為（ ）
A． B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的圖像和單調(diào)性即可求解.
【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，即 時，取最大值1，當(dāng)，即 時，取最小值大于 ，故值域為
故選：C
4．記為等差數(shù)列的前項和．若，則（ ）
A．25B．22C．20D．15
【答案】C
【分析】方法一：根據(jù)題意直接求出等差數(shù)列的公差和首項，再根據(jù)前項和公式即可解出；
方法二：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求出等差數(shù)列的公差，再根據(jù)前項和公式的性質(zhì)即可解出．
【詳解】方法一：設(shè)等差數(shù)列的公差為，首項為，依題意可得，
，即,
又，解得：，
所以．
故選：C.
方法二：，，所以，，
從而，于是，
所以．
故選：C.
5．已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，直線和為函數(shù)的圖像的兩條相鄰對稱軸，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意分別求出其周期，再根據(jù)其最小值求出初相，代入即可得到答案.
【詳解】因為在區(qū)間單調(diào)遞增，
所以，且，則，，
當(dāng)時，取得最小值，則，，
則，，不妨取，則，
則，
故選：D.
6．設(shè)橢圓的離心率分別為．若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)給定的橢圓方程，結(jié)合離心率的意義列式計算作答.
【詳解】由，得，因此，而，所以.
故選：A
7．兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在球面上，若球的體積為，兩個圓錐的高之比為，則這兩個圓錐的體積之和為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】作出圖形，計算球體的半徑，可計算得出兩圓錐的高，利用三角形相似計算出圓錐的底面圓半徑，再利用錐體體積公式可求得結(jié)果.
【詳解】如下圖所示，設(shè)兩個圓錐的底面圓圓心為點，
設(shè)圓錐和圓錐的高之比為，即，
設(shè)球的半徑為，則，可得，所以，，
所以，，，
，則，所以，，
又因為，所以，，
所以，，，
因此，這兩個圓錐的體積之和為.
故選：B.
8．已知橢圓C的焦點為，過F2的直線與C交于A，B兩點.若，，則C的方程為
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由已知可設(shè)，則，得，在中求得，再在中，由余弦定理得，從而可求解.
【詳解】法一：如圖，由已知可設(shè)，則，由橢圓的定義有．在中，由余弦定理推論得．在中，由余弦定理得，解得．
所求橢圓方程為，故選B．
法二：由已知可設(shè)，則，由橢圓的定義有．在和中，由余弦定理得，又互補，，兩式消去，得，解得．所求橢圓方程為，故選B．
【點睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的能力，很好的落實了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)．
9．已知是邊長為2的等邊三角形，為平面內(nèi)一點，則的最小值是
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)條件建立坐標(biāo)系，求出點的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)法結(jié)合向量數(shù)量積的公式進行計算即可．
【詳解】建立如圖所示的坐標(biāo)系，以中點為坐標(biāo)原點，
則，，，
設(shè)，則，，，
則
當(dāng)，時，取得最小值，
故選：．
二、填空題
10．是虛數(shù)單位，則的值為 .
【答案】
【分析】先化簡復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)模的定義求所給復(fù)數(shù)的模．
【詳解】．
【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)模的運算，是基礎(chǔ)題.
11．直線與圓交于兩點，則 ．
【答案】
【分析】方法一：先將圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心，半徑，再根據(jù)點到直線的距離公式以及弦長公式即可求出．
【詳解】［方法一］：【通性通法】【最優(yōu)解】弦長公式的應(yīng)用
根據(jù)題意，圓的方程可化為，所以圓的圓心為，且半徑是，
弦心距，所以．
故答案為：.
［方法二］：距離公式的應(yīng)用
由解得：或，不妨設(shè)，
所以．
故答案為：.
［方法三］：參數(shù)方程的應(yīng)用
直線的參數(shù)方程為，將其代入，可得，化簡得，從而，所以．
故答案為：.
【整體點評】方法一：利用圓的弦長公式直接求解，是本題的通性通法，也是最優(yōu)解；
方法二：直接求出弦的端點坐標(biāo)，再根據(jù)兩點間的距離公式求出，是求解一般弦長的通性通法，有時計算偏麻煩；
方法三：直線參數(shù)方程中弦長公式的應(yīng)用．
12．記為數(shù)列的前項和，若，則 ．
【答案】
【分析】首先根據(jù)題中所給的，類比著寫出，兩式相減，整理得到，從而確定出數(shù)列為等比數(shù)列，再令，結(jié)合的關(guān)系，求得，之后應(yīng)用等比數(shù)列的求和公式求得的值.
【詳解】根據(jù)，可得，
兩式相減得，即，
當(dāng)時，，解得，
所以數(shù)列是以-1為首項，以2為公比的等比數(shù)列，
所以，故答案是.
點睛：該題考查的是有關(guān)數(shù)列的求和問題，在求解的過程中，需要先利用題中的條件，類比著往后寫一個式子，之后兩式相減，得到相鄰兩項之間的關(guān)系，從而確定出該數(shù)列是等比數(shù)列，之后令，求得數(shù)列的首項，最后應(yīng)用等比數(shù)列的求和公式求解即可，只要明確對既有項又有和的式子的變形方向即可得結(jié)果.
13．已知為坐標(biāo)原點，拋物線：()的焦點為，為上一點，與軸垂直，為軸上一點，且，若，則的準(zhǔn)線方程為 .
【答案】
【分析】先用坐標(biāo)表示，再根據(jù)向量垂直坐標(biāo)表示列方程，解得，即得結(jié)果.
【詳解】拋物線： ()的焦點,
∵P為上一點，與軸垂直，
所以P的橫坐標(biāo)為，代入拋物線方程求得P的縱坐標(biāo)為,
不妨設(shè),
因為Q為軸上一點，且，所以Q在F的右側(cè)，
又，
因為，所以,
，
所以的準(zhǔn)線方程為
故答案為：.
【點睛】利用向量數(shù)量積處理垂直關(guān)系是本題關(guān)鍵.
14．已知拋物線的頂點在坐標(biāo)原點，焦點與雙曲線的左焦點重合，若兩曲線相交于，兩點，且線段的中點是點，則該雙曲線的離心率等于 .
【答案】
【分析】利用拋物線的性質(zhì)，得到M的坐標(biāo)，再帶入到雙曲線方程中，即可求解.
【詳解】由題意知：
拋物線方程為：
在拋物線上，所以
在雙曲線上，
，又，
故答案為：
15．已知向量與夾角為銳角，且，任意，的最小值為，若向量滿足，則的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，由的最小值求得向量與的夾角，判斷出點對應(yīng)的軌跡，從而求得的取值范圍.
【詳解】設(shè)向量與的夾角為，，則，
，
所以當(dāng)時，取得最小值為，
即，
所以.
如圖所示，設(shè)，三角形是等邊三角形，
設(shè)是的中點，則，
由于，所以，
所以點的軌跡是以為直徑的圓，圓的半徑為，
根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知，即的取值范圍為.
故答案為：
【點睛】本小題解題難點有兩點，第一點是的最小值的用法，有關(guān)向量模的試題，可以考慮利用平方再開方的方法進行轉(zhuǎn)化，結(jié)合向量的數(shù)量積運算來求解.第二點是的用法，轉(zhuǎn)化為向量垂直、軌跡為圓來配合解題.
三、解答題
16．在中，內(nèi)角、、的對邊分別為，，，．
（1）求角的大小；
（2）若，．求：
（?。┻呴L；
（ⅱ）的值．
【答案】（1）； （2）（ⅰ）；（ii）．
【解析】（1）利用正弦定理化簡已知條件，求得的值，由此求得角的大小.
（2）（?。┮阎獌蛇吅蛫A角，用余弦定理求得邊；
（ⅱ）由兩角差的正弦公式求得的值.
【詳解】解：（1）由已知及正弦定理得
，，
，
（2）（?。┮驗?，，
由余弦定理得，
（ⅱ）由，因為為銳角，所以
，，
【點睛】本題考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，還考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，二倍角公式以及兩角差的正弦公式.
17．如圖，已知四邊形的直角梯形，,，，為線段的中點，平面，，為線段上一點（不與端點重合）.
（Ⅰ）若，
（i）求證：平面；
（ii）求直線與平面所成的角的大?。?br>（Ⅱ）否存在實數(shù)滿足，使得平面與平面所成的銳角為，若存在，確定的值，若不存在，請說明理由.
【答案】（Ⅰ）（i）見解析（ii）（Ⅱ）
【分析】（Ⅰ）（i）先根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得，再根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)果，（ii）先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點坐標(biāo)，列方程組解得平面的法向量，根據(jù)向量數(shù)量積得向量夾角，最后根據(jù)線面角與向量夾角關(guān)系得結(jié)果.（Ⅱ）先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點坐標(biāo)，列方程組解得兩平面法向量，根據(jù)向量數(shù)量積得向量夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角關(guān)系得結(jié)果.
【詳解】（Ⅰ）（i）證明：連接交于點，連接，，依題意易證四邊形為平行四邊形.
∴又∵，
∴又∵平面，平面，
∴平面.
（ii）解：如圖，在平行四邊形中∵，，∴
以為原點建立空間直角坐標(biāo)系
則，
∴
設(shè)為平面的法向量
則，得，不妨設(shè)
∴
又，∴
即直線與平面所成的角的大小為.
（Ⅱ）設(shè)
∴
∴
設(shè)為平面的法向量，
則得，，不妨設(shè)，
又平面的法向量為，
∴.
∴∴，，∴.
【點睛】利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.
18．已知橢圓的右焦點為，離心率為.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)經(jīng)過點的直線不與坐標(biāo)軸垂直，直線與橢圓相交于點，，且線段的中點為，經(jīng)過坐標(biāo)原點作射線與橢圓交于點，若四邊形為平行四邊形，求直線的方程.
【答案】（1）；（2）或.
【分析】（1）由題可知，，，再結(jié)合，解出和的值即可；
（2）設(shè)直線的方程為，且，，，聯(lián)立橢圓方程，消去得到關(guān)于的一元二次方程，寫出根和系數(shù)的關(guān)系；由于是線段的中點，利用中點坐標(biāo)公式表示出的坐標(biāo)，利用可求出直線的斜率；因為四邊形為平行四邊形，可以利用中點坐標(biāo)公式或，得到關(guān)于的方程，解之即可.
【詳解】（1）解：設(shè)右焦點為，由題意可知，解得.
所以橢圓的方程為.
（2）(方法一)解：由題意，設(shè)直線的方程為，且.與橢圓方程聯(lián)立，整理得.
設(shè)，，，則，.因此，即.
于是直線的斜率為，直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，整理得.
設(shè)，解得.
在平行四邊形中，為中點，從而，即，因此，解得.
所以，直線的方程為或.
(方法二)解：求得的過程同方法一，在平行四邊形中，有，設(shè)，所以.
又因為點在橢圓上，從而，解得.
所以，直線的方程為或.
【點睛】思路點睛：解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：
（1）注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；
（2）強化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．
19．已知等比數(shù)列的前項和為，是等差數(shù)列，，，，．
（Ⅰ）求和的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)的前n項和為，，．
（?。┊?dāng)n是奇數(shù)時，求的最大值；
（ⅱ）求證：．
【答案】（Ⅰ）的通項公式為，的通項公式為；（Ⅱ）（?。┳畲笾禐椋唬áⅲ┳C明見解析.
【分析】（Ⅰ）通過解方程組得到即得和的通項公式；
（Ⅱ）（ⅰ）先求出，再求出，利用函數(shù)的單調(diào)性得解；（ⅱ）先求出，再求和得證.
【詳解】（Ⅰ）解：設(shè)數(shù)列的公比為q，數(shù)列的公差為d．
由，且，解得q=-1．
依題意，有解得
故，
所以，的通項公式為，的通項公式為．
（Ⅱ）（?。┙猓河桑á瘢┛傻茫裕?br>當(dāng)n是奇數(shù)時，．
可知當(dāng)且n是奇數(shù)時，隨n增大而減?。?br>所以當(dāng)時，最大，其最大值為．
（ⅱ）解：（?。┲?，
所以
因為，所以，即．
【點睛】方法點睛：數(shù)列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）錯位相減法；（3）裂項相消法；（4）分組并項求和；（5）倒序相加法. 要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.
20．已知數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，且，，，（）.
(1)求，的通項公式；
(2)已知，求數(shù)列的前項和；
(3)求證：（）.
【答案】(1)，；
(2)；
(3)證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的項求公差，即可求數(shù)列的通項公式，代入條件求等比數(shù)列的項，即可求通項公式.
（2）按為奇數(shù)和偶數(shù)，求出數(shù)列的通項公式，再根據(jù)列項相消法和錯位相減法求和.
（3）由，利用等比數(shù)列前項和公式求和，即可證得不等式.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，
由，，得，則，
由，，得，解得，，則， ，
所以，的通項公式是，.
（2）當(dāng)是奇數(shù)時，，
當(dāng)是偶數(shù)時，，
則，
于是，
兩式相減得：
因此，
，
所以.
（3）由（1）知，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
因此，
所以（）.
【點睛】易錯點睛：使用裂項法求和時，要注意正負項相消時消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項，未被消去的項有前后對稱的特點，實質(zhì)上造成正負相消是此法的根源與目的.

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