2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考通用版)第07講函數(shù)的圖象(知識(shí)+真題+6類(lèi)高頻考點(diǎn))(精講)(學(xué)生版+解析)

這是一份2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考通用版)第07講函數(shù)的圖象(知識(shí)+真題+6類(lèi)高頻考點(diǎn))(精講)(學(xué)生版+解析)，共37頁(yè)。試卷主要包含了平移變換，對(duì)稱(chēng)變換，伸縮變換，翻折變換，圖象識(shí)別技巧等內(nèi)容，歡迎下載使用。
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc18439" 第一部分：基礎(chǔ)知識(shí) PAGEREF _Tc18439 \h 1
\l "_Tc173" 第二部分：高考真題回顧 PAGEREF _Tc173 \h 3
\l "_Tc22122" 第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò) PAGEREF _Tc22122 \h 4
\l "_Tc29076" 高頻考點(diǎn)一：畫(huà)出函數(shù)的圖象 PAGEREF _Tc29076 \h 4
\l "_Tc14502" 高頻考點(diǎn)二：函數(shù)圖象的識(shí)別 PAGEREF _Tc14502 \h 6
\l "_Tc4271" 高頻考點(diǎn)三：函數(shù)圖象的應(yīng)用 PAGEREF _Tc4271 \h 8
\l "_Tc23564" 角度1：研究函數(shù)的性質(zhì) PAGEREF _Tc23564 \h 8
\l "_Tc11771" 角度2：確定零點(diǎn)個(gè)數(shù) PAGEREF _Tc11771 \h 8
\l "_Tc20684" 角度3：解不等式 PAGEREF _Tc20684 \h 9
\l "_Tc16491" 角度4：求參數(shù)的取值范圍 PAGEREF _Tc16491 \h 9
\l "_Tc17290" 第五部分：新定義題（解答題） PAGEREF _Tc17290 \h 12
第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)
1、平移變換（左“+”右“-”；上“+”下“-”）
①
②
③
④
注：左右平移只能單獨(dú)一個(gè)加或者減，注意當(dāng)前系數(shù)不為1,需將系數(shù)提取到外面.
2、對(duì)稱(chēng)變換
①的圖象的圖象；
②的圖象的圖象；
③的圖象的圖象；
④(，且)的圖象(，且)的圖象.
3、伸縮變換
①.
②.
4、翻折變換（絕對(duì)值變換）
①的圖象的圖象；
（口訣；以軸為界，保留軸上方的圖象；將軸下方的圖象翻折到軸上方）
②的圖象的圖象.
（口訣；以軸為界，去掉軸左側(cè)的圖象，保留軸右側(cè)的圖象；將軸右側(cè)圖象翻折到軸左側(cè)；本質(zhì)是個(gè)偶函數(shù)）
5、圖象識(shí)別技巧（按使用頻率優(yōu)先級(jí)排序）
①特殊值法（觀察圖象，尋找圖象中出現(xiàn)的特殊值）
②單調(diào)性法（；；，；通過(guò)求導(dǎo)判斷單調(diào)性）
③奇偶性法
④極限（左右極限）（；；；；）
⑤零點(diǎn)法
⑥極大值極小值法
第二部分：高考真題回顧
1．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)的部分圖象如下圖所示，則的解析式可能為（ ）

A．B．
C．D．
2．（2022·全國(guó)·（乙卷文））如圖是下列四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)在區(qū)間的大致圖像，則該函數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全國(guó)·（甲卷理））函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)
高頻考點(diǎn)一：畫(huà)出函數(shù)的圖象
典型例題
例題1．（2024上·重慶·高一重慶市第十一中學(xué)校?？计谀┮阎瘮?shù).

(1)在給出的坐標(biāo)系中作出的圖象；
(2)根據(jù)圖象，寫(xiě)出的單調(diào)區(qū)間；
(3)試討論方程的根的情況.
例題2．（2024上·江蘇鹽城·高一校聯(lián)考期末）畫(huà)出下列函數(shù)的大致圖象：
(1)．
(2)．
練透核心考點(diǎn)
1．（2024上·貴州六盤(pán)水·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．
(1)求的值，并作出函數(shù)在區(qū)間上的大致圖象；
(2)根據(jù)定義證明在區(qū)間上單調(diào)遞增．
2．（2024上·廣東廣州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.
(1)畫(huà)出函數(shù)的圖象，并寫(xiě)出的單調(diào)區(qū)間；
(2)求出的解析式.
高頻考點(diǎn)二：函數(shù)圖象的識(shí)別
典型例題
例題1．（2024·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（2024下·四川遂寧·高三射洪中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）函數(shù)的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
練透核心考點(diǎn)
1．（2024上·貴州畢節(jié)·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024上·陜西漢中·高一南鄭中學(xué)校聯(lián)考期末）函數(shù)的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
高頻考點(diǎn)三：函數(shù)圖象的應(yīng)用
角度1：研究函數(shù)的性質(zhì)
典型例題
例題1．（2024下·湖北·高一湖北省漢川市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知是定義在上的函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則不等式的解集為（ ）
A．B．
C．D．
例題2．（2024·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（2024上·重慶·高一重慶市第十一中學(xué)校?？计谀┮阎瘮?shù).

(1)在給出的坐標(biāo)系中作出的圖象；
(2)根據(jù)圖象，寫(xiě)出的單調(diào)區(qū)間；
(3)試討論方程的根的情況.
練透核心考點(diǎn)
1．（2024·山西運(yùn)城·統(tǒng)考一模）已知符號(hào)函數(shù)則函數(shù)的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024下·四川遂寧·高三射洪中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）函數(shù)的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024上·云南昭通·高一昭通市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）函數(shù)的部分圖象大致為（ ）
A．B．
C． D．
4．（2024上·重慶·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若存在四個(gè)不同的值，使得，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022下·陜西咸陽(yáng)·高二咸陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，，若在區(qū)間上，有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
6．（2024上·北京平谷·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，用表示的最小值，記為，那么的最大值為 ．
7．（2023上·新疆阿克蘇·高三?？茧A段練習(xí)）定義域?yàn)镽的奇函數(shù)滿(mǎn)足.
(1)求解析式；
(2)求不等式的解集.
8．（2023上·湖南永州·高一湖南省祁陽(yáng)縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知為上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．
(1)求出時(shí)的解析式，并作出的圖象；
(2)根據(jù)圖象，寫(xiě)出的解集．
第五部分：新定義題（解答題）
1．（2019上·湖南衡陽(yáng)·高一衡陽(yáng)市八中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且存在?shí)常數(shù)，使得對(duì)于定義域內(nèi)任意，都有成立，則稱(chēng)此函數(shù)具有“性質(zhì)”
（1）判斷函數(shù)是否具有“性質(zhì)”，若具有“性質(zhì)”，則求出的值；若不具有“性質(zhì)”，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）已知函數(shù)具有“性質(zhì)”且函數(shù)在上的最小值為；當(dāng)時(shí)，，求函數(shù)在區(qū)間上的值域；
（3）已知函數(shù)既具有“性質(zhì)”，又具有“性質(zhì)”，且當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)，在恰好存在個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.
2．（2019上·上海寶山·高三上海交大附中?？茧A段練習(xí)）我們把定義在上，且滿(mǎn)足（其中常數(shù)、滿(mǎn)足，，）的函數(shù)叫做似周期函數(shù).
（1）若某個(gè)似周期函數(shù)滿(mǎn)足且圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，求證：函數(shù)是偶函數(shù)；
（2）當(dāng)，時(shí)，某個(gè)似周期函數(shù)在時(shí)的解析式為，求函數(shù)，，的解析式；
（3）對(duì)于（2）中的函數(shù)，若對(duì)任意，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.偶函數(shù)
偶函數(shù)
偶函數(shù)
偶函數(shù)
偶函數(shù)
偶函數(shù)
偶函數(shù)
奇函數(shù)
不能確定
不能確定
奇函數(shù)
奇函數(shù)
奇函數(shù)
偶函數(shù)
不能確定
不能確定
奇函數(shù)
奇函數(shù)
奇函數(shù)
奇函數(shù)
奇函數(shù)
奇函數(shù)
偶函數(shù)
偶函數(shù)
第07講函數(shù)的圖象
目錄
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc3745" 第一部分：基礎(chǔ)知識(shí) PAGEREF _Tc3745 \h 1
\l "_Tc2906" 第二部分：高考真題回顧 PAGEREF _Tc2906 \h 3
\l "_Tc20192" 第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò) PAGEREF _Tc20192 \h 5
\l "_Tc25328" 高頻考點(diǎn)一：畫(huà)出函數(shù)的圖象 PAGEREF _Tc25328 \h 5
\l "_Tc10183" 高頻考點(diǎn)二：函數(shù)圖象的識(shí)別 PAGEREF _Tc10183 \h 9
\l "_Tc16218" 高頻考點(diǎn)三：函數(shù)圖象的應(yīng)用 PAGEREF _Tc16218 \h 12
\l "_Tc19150" 角度1：研究函數(shù)的性質(zhì) PAGEREF _Tc19150 \h 12
\l "_Tc25755" 角度2：確定零點(diǎn)個(gè)數(shù) PAGEREF _Tc25755 \h 13
\l "_Tc2729" 角度3：解不等式 PAGEREF _Tc2729 \h 15
\l "_Tc1618" 角度4：求參數(shù)的取值范圍 PAGEREF _Tc1618 \h 16
\l "_Tc12620" 第五部分：新定義題（解答題） PAGEREF _Tc12620 \h 23
第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)
1、平移變換（左“+”右“-”；上“+”下“-”）
①
②
③
④
注：左右平移只能單獨(dú)一個(gè)加或者減，注意當(dāng)前系數(shù)不為1,需將系數(shù)提取到外面.
2、對(duì)稱(chēng)變換
①的圖象的圖象；
②的圖象的圖象；
③的圖象的圖象；
④(，且)的圖象(，且)的圖象.
3、伸縮變換
①.
②.
4、翻折變換（絕對(duì)值變換）
①的圖象的圖象；
（口訣；以軸為界，保留軸上方的圖象；將軸下方的圖象翻折到軸上方）
②的圖象的圖象.
（口訣；以軸為界，去掉軸左側(cè)的圖象，保留軸右側(cè)的圖象；將軸右側(cè)圖象翻折到軸左側(cè)；本質(zhì)是個(gè)偶函數(shù)）
5、圖象識(shí)別技巧（按使用頻率優(yōu)先級(jí)排序）
①特殊值法（觀察圖象，尋找圖象中出現(xiàn)的特殊值）
②單調(diào)性法（；；，；通過(guò)求導(dǎo)判斷單調(diào)性）
③奇偶性法
④極限（左右極限）（；；；；）
⑤零點(diǎn)法
⑥極大值極小值法
第二部分：高考真題回顧
1．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)的部分圖象如下圖所示，則的解析式可能為（ ）

A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由圖知函數(shù)為偶函數(shù)，應(yīng)用排除，先判斷B中函數(shù)的奇偶性，再判斷A、C中函數(shù)在上的函數(shù)符號(hào)排除選項(xiàng)，即得答案.
【詳解】由圖知：函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，其為偶函數(shù)，且，
由且定義域?yàn)镽，即B中函數(shù)為奇函數(shù)，排除；
當(dāng)時(shí)、，即A、C中上函數(shù)值為正，排除；
故選：D
2．（2022·全國(guó)·（乙卷文））如圖是下列四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)在區(qū)間的大致圖像，則該函數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由函數(shù)圖像的特征結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)排除即可得解.
【詳解】設(shè)，則，故排除B;
設(shè)，當(dāng)時(shí)，，
所以，故排除C;
設(shè)，則，故排除D.
故選：A.
3．（2022·全國(guó)·（甲卷理））函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由函數(shù)的奇偶性結(jié)合指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)排除即可得解.
【詳解】令，
則，
所以為奇函數(shù)，排除BD；
又當(dāng)時(shí)，，所以，排除C.
故選：A.
第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)
高頻考點(diǎn)一：畫(huà)出函數(shù)的圖象
典型例題
例題1．（2024上·重慶·高一重慶市第十一中學(xué)校?？计谀┮阎瘮?shù).

(1)在給出的坐標(biāo)系中作出的圖象；
(2)根據(jù)圖象，寫(xiě)出的單調(diào)區(qū)間；
(3)試討論方程的根的情況.
【答案】(1)作圖見(jiàn)解析
(2)減區(qū)間為，增區(qū)間為.
(3)答案見(jiàn)解析
【分析】（1）去絕對(duì)值符號(hào)，利用函數(shù)圖象變換分段畫(huà)出函數(shù)圖象；
（2）根據(jù)函數(shù)的圖象，直接求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）根據(jù)函數(shù)的圖象，分類(lèi)討論確定函數(shù)的圖象與的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可討論方程根的情況.
【詳解】（1）函數(shù)，作出函數(shù)的圖象如圖所示：

（2）根據(jù)（1）中的函數(shù)圖象知，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.
（3）根據(jù)圖象可知，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與函數(shù)（為實(shí)數(shù)）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
此時(shí)方程有兩個(gè)不同的根.
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與函數(shù)（為實(shí)數(shù)）的圖象沒(méi)有交點(diǎn)，
此時(shí)方程沒(méi)有根.
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與函數(shù)（為實(shí)數(shù)）的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，
此時(shí)方程有一個(gè)不同的根.
例題2．（2024上·江蘇鹽城·高一校聯(lián)考期末）畫(huà)出下列函數(shù)的大致圖象：
(1)．
(2)．
【答案】(1)答案見(jiàn)解析
(2)答案見(jiàn)解析
【分析】（1）由函數(shù)為偶函數(shù)，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，利用對(duì)稱(chēng)性作圖．
（2）利用函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)變換，把的圖象先關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，再關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)即可.
【詳解】（1），易知函數(shù)為偶函數(shù)，
所以函數(shù)的圖象如圖所示：
（2）把的圖象先關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，再關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，即可得的圖象，
如圖所示：
練透核心考點(diǎn)
1．（2024上·貴州六盤(pán)水·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．
(1)求的值，并作出函數(shù)在區(qū)間上的大致圖象；
(2)根據(jù)定義證明在區(qū)間上單調(diào)遞增．
【答案】(1)，圖像見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）由偶函數(shù)可得，可以先畫(huà)出時(shí)的圖象，然后利用關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)畫(huà)出另一半即可.
（2）由函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可.
【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以，
作出圖象如圖所示：
（2），且，有
，
由得，
所以，
即，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.
2．（2024上·廣東廣州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.
(1)畫(huà)出函數(shù)的圖象，并寫(xiě)出的單調(diào)區(qū)間；
(2)求出的解析式.
【答案】(1)圖象見(jiàn)解析；增區(qū)間為，減區(qū)間為；
(2)
【分析】（1）先作出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，結(jié)合奇函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可得出該函數(shù)在區(qū)間上的圖象，根據(jù)圖象可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；
（2）設(shè)，可得出，由奇函數(shù)的性質(zhì)得出，可得出函數(shù)在上的解析式，進(jìn)而可得出該函數(shù)在上的解析式.
【詳解】（1）函數(shù)是上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且當(dāng)時(shí)， ，則函數(shù)的圖象如下圖所示：

由圖象知，增區(qū)間為，減區(qū)間為
（2）設(shè)，則，則.
因此，時(shí)，，
所以函數(shù)在上的解析式為.
高頻考點(diǎn)二：函數(shù)圖象的識(shí)別
典型例題
例題1．（2024·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性的判斷可排除CD，根據(jù)以及時(shí)的函數(shù)值的正負(fù)，即可排除B.
【詳解】因?yàn)?，定義域?yàn)椋?br>又
，可知為偶函數(shù)，排除CD；
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，，則，B不符題意，
故選：A.
例題2．（2024下·四川遂寧·高三射洪中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）函數(shù)的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性即可排除CD，由特殊點(diǎn)的函數(shù)值即可排除A.
【詳解】，則的定義域?yàn)镽，
又，
所以為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故排除CD，
當(dāng)時(shí)，，故排除A.
故選：B.
練透核心考點(diǎn)
1．（2024上·貴州畢節(jié)·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】判斷函數(shù)的圖象問(wèn)題，可從函數(shù)定義域，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)圖象的趨勢(shì)或者特殊點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行判斷是否符合題意.
【詳解】由函數(shù)可得函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>由可知函數(shù)為奇函數(shù)，
其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故舍去B，D兩項(xiàng)；
又由可得C項(xiàng)不合題意，故A項(xiàng)正確.
故選：A.
2．（2024上·陜西漢中·高一南鄭中學(xué)校聯(lián)考期末）函數(shù)的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及特殊點(diǎn)的函數(shù)值求得正確答案.
【詳解】設(shè)，的定義域?yàn)椋?br>，所以是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，
所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤
當(dāng)時(shí)，，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：B
高頻考點(diǎn)三：函數(shù)圖象的應(yīng)用
角度1：研究函數(shù)的性質(zhì)
典型例題
例題1．（2024下·湖北·高一湖北省漢川市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知是定義在上的函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則不等式的解集為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)作出簡(jiǎn)圖，結(jié)合函數(shù)圖象可得不等式的解集.
【詳解】由函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)可得圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，
所以為R上的奇函數(shù)，則函數(shù)圖象大致如圖所示．
要解，即，即，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，所以或者，解得或；
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，所以，解得
綜上可得不等式的解集為.
故選：D.
例題2．（2024·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性的判斷可排除CD，根據(jù)以及時(shí)的函數(shù)值的正負(fù)，即可排除B.
【詳解】因?yàn)?，定義域?yàn)椋?br>又
，可知為偶函數(shù)，排除CD；
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，，則，B不符題意，
故選：A.
角度2：確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)
典型例題
例題1．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【分析】轉(zhuǎn)化為，的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，畫(huà)出兩函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合得到答案.
【詳解】，即，
令，，
故的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，
在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出與的圖象，如下：
顯然與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1，故的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.
故選：D
例題2．（多選）（2024下·廣東湛江·高二?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)a的取值可以是（ ）
A．2B．3C．4D．1
【答案】BC
【分析】在同一坐標(biāo)系中作出兩函數(shù)的圖象，觀察圖象可得到a的取值范圍.
【詳解】在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)與的大致圖象，
如圖所示，兩圖象都經(jīng)過(guò)，易知只有時(shí)才能在的區(qū)域有第二個(gè)交點(diǎn)，
故的取值范圍.
故選：BC

角度3：解不等式
典型例題
例題1．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)奇函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，且，則不等式，的解集為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由題意結(jié)合的奇偶性和單調(diào)性的示意圖，化簡(jiǎn)不等式為，數(shù)形結(jié)合，求得它的解集．
【詳解】由題意可得，奇函數(shù)在和上都為單調(diào)遞增函數(shù)，
且，函數(shù)圖像示意圖如圖所示：

故不等式，即，即，
結(jié)合的示意圖可得它的解集為或
故選：D．
例題2．（2024上·安徽亳州·高一亳州二中?？计谀┰O(shè)是上奇函數(shù)，且滿(mǎn)足：對(duì)任意的且都有，，則的解集是（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【答案】D
【分析】由題得出的性質(zhì)，然后作出草圖即可得出答案.
【詳解】對(duì)任意的且都有，所以時(shí)，嚴(yán)格減，又是上奇函數(shù)，且，所以可以畫(huà)出的草圖如下：

由圖易知，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故不等式解集為或，
故選：D.
角度4：求參數(shù)的取值范圍
典型例題
例題1．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程和共有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，作出函數(shù)的圖象，由圖象判斷實(shí)數(shù)的取值范圍．
【詳解】方程等價(jià)于，
由一次函數(shù)和對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，作函數(shù)的圖象如圖，
由圖象可知，方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故答案為：
例題2．（2024上·重慶·高一重慶市第十一中學(xué)校?？计谀┮阎瘮?shù).

(1)在給出的坐標(biāo)系中作出的圖象；
(2)根據(jù)圖象，寫(xiě)出的單調(diào)區(qū)間；
(3)試討論方程的根的情況.
【答案】(1)作圖見(jiàn)解析
(2)減區(qū)間為，增區(qū)間為.
(3)答案見(jiàn)解析
【分析】（1）去絕對(duì)值符號(hào)，利用函數(shù)圖象變換分段畫(huà)出函數(shù)圖象；
（2）根據(jù)函數(shù)的圖象，直接求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）根據(jù)函數(shù)的圖象，分類(lèi)討論確定函數(shù)的圖象與的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可討論方程根的情況.
【詳解】（1）函數(shù)，作出函數(shù)的圖象如圖所示：

（2）根據(jù)（1）中的函數(shù)圖象知，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.
（3）根據(jù)圖象可知，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與函數(shù)（為實(shí)數(shù)）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
此時(shí)方程有兩個(gè)不同的根.
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與函數(shù)（為實(shí)數(shù)）的圖象沒(méi)有交點(diǎn)，
此時(shí)方程沒(méi)有根.
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與函數(shù)（為實(shí)數(shù)）的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，
此時(shí)方程有一個(gè)不同的根.
練透核心考點(diǎn)
1．（2024·山西運(yùn)城·統(tǒng)考一模）已知符號(hào)函數(shù)則函數(shù)的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先得到為偶函數(shù)，排除AB，再計(jì)算出，得到正確答案.
【詳解】定義域?yàn)镽，且為奇函數(shù)，故，
故的定義域?yàn)镽，
且
，
故為偶函數(shù)，AB錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，C錯(cuò)誤，D正確.
故選：D
2．（2024下·四川遂寧·高三射洪中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）函數(shù)的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性即可排除CD，由特殊點(diǎn)的函數(shù)值即可排除A.
【詳解】，則的定義域?yàn)镽，
又，
所以為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故排除CD，
當(dāng)時(shí)，，故排除A.
故選：B.
3．（2024上·云南昭通·高一昭通市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）函數(shù)的部分圖象大致為（ ）
A．B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)奇偶性，排除C,D兩項(xiàng)，再利用特殊值檢驗(yàn)排除B項(xiàng)即得.
【詳解】∵，即為奇函數(shù)，排除C，D；
又，排除B.
故選:A.
4．（2024上·重慶·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若存在四個(gè)不同的值，使得，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】由的圖象，求出特殊點(diǎn)，結(jié)合條件逐一比較分析判斷.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
由圖像可知，，此時(shí)，解得，故A對(duì)；
因?yàn)殛P(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以，又，
，故B對(duì)；
由，得 ，由，得 ，
由，得 ，故C錯(cuò)；
，故D對(duì).
故選：ABD

5．（2022下·陜西咸陽(yáng)·高二咸陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）若函數(shù)滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，，若在區(qū)間上，有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用條件先確定函數(shù)在區(qū)間上的解析式，利用數(shù)形結(jié)合計(jì)算即可.
【詳解】由題意可知時(shí)，，
所以，即，
又在區(qū)間有兩個(gè)零點(diǎn)，即有兩個(gè)交點(diǎn)，
作 與圖象如下，
顯然過(guò)定點(diǎn)，由圖象可知，即.
故選：C
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：首先根據(jù)函數(shù)遞推關(guān)系，推出函數(shù)解析式，對(duì)于函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題一般是轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，作出函數(shù)圖象利用數(shù)形結(jié)合的思想計(jì)算即可.
6．（2024上·北京平谷·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，用表示的最小值，記為，那么的最大值為 ．
【答案】
【分析】在在同一坐標(biāo)系中，畫(huà)出的圖像，根據(jù)條件，利用圖像即可求出結(jié)果.
【詳解】由，得到或，在同一坐標(biāo)系中，畫(huà)出的圖像，如圖所示，
因?yàn)椋蓤D知，當(dāng)時(shí)，取到最大值為，

故答案為：.
7．（2023上·新疆阿克蘇·高三校考階段練習(xí)）定義域?yàn)镽的奇函數(shù)滿(mǎn)足.
(1)求解析式；
(2)求不等式的解集.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)即可求解，
（2）利用函數(shù)的圖象即可求解.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，則，故，
由于為奇函數(shù)，所以，
又，
故
（2）作出圖象如下：
由圖象可知：當(dāng)或時(shí)，，
故的解為或
8．（2023上·湖南永州·高一湖南省祁陽(yáng)縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知為上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．
(1)求出時(shí)的解析式，并作出的圖象；
(2)根據(jù)圖象，寫(xiě)出的解集．
【答案】(1)，，函數(shù)的圖象見(jiàn)解析；
(2)．
【分析】（1）直接由偶函數(shù)的性質(zhì)求得時(shí)的解析式，并據(jù)此畫(huà)出函數(shù)圖象.
（2）根據(jù)圖象將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)換為或，結(jié)合圖象即可得解.
【詳解】（1）根據(jù)題意，設(shè)，，則，
又由為偶函數(shù)，則，
所以時(shí)，，
的圖象如圖所示：
（2）由圖象可知，不等式，
等價(jià)于或，
由圖象解得：或或，
所以不等式的解集為．
且當(dāng)時(shí)，
作出函數(shù)的圖象如圖所示：
函數(shù)，在恰好存在個(gè)零點(diǎn)
與在恰好有個(gè)交點(diǎn)
且
即的取值范圍為：.
【點(diǎn)睛】本題是新定義問(wèn)題，涉及函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、值域相關(guān)知識(shí)，以及函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法是關(guān)鍵．
2．（2019上·上海寶山·高三上海交大附中?？茧A段練習(xí)）我們把定義在上，且滿(mǎn)足（其中常數(shù)、滿(mǎn)足，，）的函數(shù)叫做似周期函數(shù).
（1）若某個(gè)似周期函數(shù)滿(mǎn)足且圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，求證：函數(shù)是偶函數(shù)；
（2）當(dāng)，時(shí)，某個(gè)似周期函數(shù)在時(shí)的解析式為，求函數(shù)，，的解析式；
（3）對(duì)于（2）中的函數(shù)，若對(duì)任意，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）.
【分析】（1）利用似周期函數(shù)的性質(zhì)、圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義，證得，由此證得是偶函數(shù).
（2）利用迭代的方法，求得，，的解析式.
（3）根據(jù)（2）中求得的解析式，畫(huà)出圖像和的圖像，確定的大致區(qū)間，令，求得對(duì)應(yīng)的值，由此確定的取值范圍.
【詳解】（1）依題意可知，函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).由于圖像關(guān)于對(duì)稱(chēng)，故①.又，即②，用代替得③.由①②③可知，而，，所以，故函數(shù)為偶函數(shù).
（2）由于，，所以，得.
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，；
當(dāng)時(shí)，，；
當(dāng)時(shí)，，；
……
以此類(lèi)推，當(dāng)時(shí)，.
同理，由于，，所以，得.
當(dāng)時(shí)，，；
當(dāng)時(shí)，，；
……
以此類(lèi)推，當(dāng)時(shí)，.
綜上所述，當(dāng)，時(shí)，
（3）由（2）畫(huà)出的圖像、函數(shù)圖像如下圖所示.由圖可知，從左往右，從開(kāi)始，與圖像有交點(diǎn).由（2）知，當(dāng)時(shí)， ；令，解得或.結(jié)合圖像可知，要使對(duì)任意，都有，則.故的取值范圍是
【點(diǎn)睛】本小題主要考查新定義函數(shù)性質(zhì)，考查函數(shù)奇偶性的證明，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.
偶函數(shù)
偶函數(shù)
偶函數(shù)
偶函數(shù)
偶函數(shù)
偶函數(shù)
偶函數(shù)
奇函數(shù)
不能確定
不能確定
奇函數(shù)
奇函數(shù)
奇函數(shù)
偶函數(shù)
不能確定
不能確定
奇函數(shù)
奇函數(shù)
奇函數(shù)
奇函數(shù)
奇函數(shù)
奇函數(shù)
偶函數(shù)
偶函數(shù)