注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮搝干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選譯題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.
3.考試結(jié)東后，將本試卷和答題卡一并交回.
考試時(shí)間120分鐘，滿分150分
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 拋物線的準(zhǔn)線方程是（ ）
A. B. C. D.
2. 若橢圓焦點(diǎn)在軸上且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，焦距為6，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A. B. C. D.
3. 在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到x軸的距離為（ ）
A. 2B. 3C. D.
4. 若直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知雙曲線的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，虛軸長(zhǎng)為，離心率為，則（ ）
A. B. C. D.
6. 分別是拋物線 和 軸上的動(dòng)點(diǎn)， ，則 的最小值為（ ）
A. 5B. C. D. 2
7. 黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值為，把稱(chēng)為黃金分割數(shù)．已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比值恰好是黃金分割數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A. B. C. 2D.
8. 雙曲線C：左、右焦點(diǎn)為，，直線l過(guò)點(diǎn)且平行于C的一條漸近線，l交C于點(diǎn)P，若，則C的離心率為（ ）
A B. 2C. D. 3
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知圓的方程為，圓的方程為，其中a，．那么這兩個(gè)圓的位置關(guān)系可能為（ ）
A. 外離B. 外切C. 內(nèi)含D. 內(nèi)切
10. 已知曲線的方程為，則（ ）
A. 當(dāng)時(shí)，曲線表示一個(gè)圓
B. 當(dāng)時(shí)，曲線表示橢圓
C. 當(dāng)時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線
D. 當(dāng)時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線
11. 已知橢圓，且兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，是橢圓上任意一點(diǎn)，以下結(jié)論正確的是（ ）
A. 橢圓離心率為B. 的周長(zhǎng)為12
C. 的最小值為3D. 的最大值為16
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，則最小值是__________．
13. 設(shè)、為雙曲線Γ：左、右焦點(diǎn)，且Γ的離心率為，若點(diǎn)M在Γ的右支上，直線與Γ的左支相交于點(diǎn)N，且，則______.
14. 已知分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，則的離心率為_(kāi)_________，內(nèi)切圓的半徑為_(kāi)_________.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15. 已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且被直線平分.
（1）求圓的一般方程；
（2）設(shè)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.
16. 已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離與動(dòng)點(diǎn)到定直線的距離相等，若動(dòng)點(diǎn)的軌跡記為曲線．
（1）求的方程；
（2）不過(guò)點(diǎn)的直線與交于橫坐標(biāo)不相等的A，B兩點(diǎn)，且，若的垂直平分線交軸于點(diǎn)，證明：為定點(diǎn)．
17. 如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為線段的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段的中點(diǎn)．
（1）求直線\到直線的距離；
（2）求直線到平面的距離．
18. 已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，短軸長(zhǎng)為，點(diǎn)在上.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，求周長(zhǎng)最大值；
（3）過(guò)的左焦點(diǎn)，且斜率不為零的直線交于兩點(diǎn)，求面積的最大值.
19. 過(guò)雙曲線（常數(shù)）上任意一點(diǎn)A作軸，交y軸于點(diǎn)E，作軸，交x軸于點(diǎn)F，得到矩形AEOF，則它的面積S＝k，k是與點(diǎn)A位置無(wú)關(guān)的常數(shù)，試把這個(gè)結(jié)論推廣到一般雙曲線，并證明你的推廣．
階段測(cè)試卷（二）
數(shù)學(xué)試題
注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮搝干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選譯題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.
3.考試結(jié)東后，將本試卷和答題卡一并交回.
考試時(shí)間120分鐘，滿分150分
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 拋物線的準(zhǔn)線方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)，直接求解.
【詳解】由拋物線方程可知，
故準(zhǔn)線方程為：.
故選：B.
2. 若橢圓焦點(diǎn)在軸上且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，焦距為6，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意得出，即可得解.
【詳解】由題意得橢圓焦點(diǎn)在軸上且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，焦距為6，
所以，則，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故選：B.
3. 在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到x軸的距離為（ ）
A. 2B. 3C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】結(jié)合空間直角坐標(biāo)系，數(shù)形結(jié)合利用勾股定理求解點(diǎn)到x軸的距離.
詳解】
在空間直角坐標(biāo)系中，
過(guò)作平面，垂足為，則軸，
在坐標(biāo)平面內(nèi)，過(guò)作軸，與軸交于，
由，則，，
由，平面，平面，
則軸平面，平面，
則軸，故即點(diǎn)到x軸的距離，
則.
故選：D.
4. 若直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)直線和曲線方程在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出圖形，數(shù)形結(jié)合分析即可.
【詳解】由題意，直線的方程可化為，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，，可化為其表示以為圓心，半徑為2的圓的一部分，如圖.
當(dāng)與該曲線相切時(shí)，點(diǎn)到直線的距離，解得.
設(shè)，則.由圖可得，若要使直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則.
故選：C.
5. 已知雙曲線的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，虛軸長(zhǎng)為，離心率為，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由雙曲線的方程可求得，計(jì)算可判斷每個(gè)選項(xiàng)的正確性.
【詳解】由雙曲線，可得，所以，
所以雙曲線的左頂點(diǎn)，右焦點(diǎn)，故AB錯(cuò)誤；
虛軸長(zhǎng)，故C錯(cuò)誤；
離心率，故D正確.
故選：D.
6. 分別是拋物線 和 軸上的動(dòng)點(diǎn)， ，則 的最小值為（ ）
A. 5B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】首先把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為和到軸的距離之和的最小值，再根據(jù)拋物線的定義最小，根據(jù)數(shù)形結(jié)合得出結(jié)論.
【詳解】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，無(wú)論在何處，PQ的最小值都是到軸的距離，
所以的最小值和到軸的距離之和的最小值和到準(zhǔn)線的距離之和減去最小，
根據(jù)拋物線的定義問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最小，顯然當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)最小，最小值為.
故選：D
7. 黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值為，把稱(chēng)為黃金分割數(shù)．已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比值恰好是黃金分割數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意結(jié)合離心率，代入運(yùn)算求解．
【詳解】焦點(diǎn)在軸上的橢圓中，，，
所以．
由題意得，即，即，
解得．
故選：A．
8. 雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)為，，直線l過(guò)點(diǎn)且平行于C的一條漸近線，l交C于點(diǎn)P，若，則C的離心率為（ ）
A. B. 2C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)Px,y，通過(guò)題意求出直線的方程、直線的方程，之后聯(lián)立直線的方程、直線的方程及雙曲線方程，計(jì)算即可得出答案．
【詳解】設(shè)Px,y，由對(duì)稱(chēng)性可知P點(diǎn)在x軸上方或者下方不影響結(jié)果，不妨令P點(diǎn)在x軸下方，如圖：
設(shè)F1?c,0、，，雙曲線其中一條漸近線為，
直線的方程為，①
由，得，即直線的斜率為，直線方程為，②
由點(diǎn)Px,y在雙曲線上，得，③
聯(lián)立①③，得，聯(lián)立①②，得，
則，即，因此，
所以離心率．
故選：C
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知圓的方程為，圓的方程為，其中a，．那么這兩個(gè)圓的位置關(guān)系可能為（ ）
A. 外離B. 外切C. 內(nèi)含D. 內(nèi)切
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)圓心距與半徑的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)即可解出．
【詳解】由題意可得圓心，半徑，圓心，半徑，則，所以兩圓不可能內(nèi)含．
故選：ABD．
10. 已知曲線的方程為，則（ ）
A. 當(dāng)時(shí)，曲線表示一個(gè)圓
B. 當(dāng)時(shí)，曲線表示橢圓
C. 當(dāng)時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線
D. 當(dāng)時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)雙曲線、橢圓及圓的方程判斷即可.
【詳解】當(dāng)時(shí)，曲線是，故A正確；
當(dāng)時(shí)，曲線表示一個(gè)圓，故B錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，故C正確；
當(dāng)時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，故D正確.
故選：ACD
11. 已知橢圓，且兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，是橢圓上任意一點(diǎn)，以下結(jié)論正確的是（ ）
A. 橢圓的離心率為B. 的周長(zhǎng)為12
C. 的最小值為3D. 的最大值為16
【答案】BD
【解析】
【分析】由題，利用離心率公式、橢圓的定義和基本不等式即可一一判斷．
【詳解】橢圓，則
對(duì)于A：，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：的周長(zhǎng)為，故B正確；
對(duì)于C：的最小值為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故D正確．
故選：BD．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，則的最小值是__________．
【答案】##
【解析】
【分析】利用空間距離公式及二次函數(shù)知識(shí)求解.
【詳解】.
當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.
所以的最小值是.
故答案為：.
13. 設(shè)、為雙曲線Γ：左、右焦點(diǎn)，且Γ的離心率為，若點(diǎn)M在Γ的右支上，直線與Γ的左支相交于點(diǎn)N，且，則______.
【答案】3
【解析】
【分析】根據(jù)離心率公式求出，畫(huà)出草圖，結(jié)合雙曲線定義可解．
【詳解】如圖，畫(huà)出草圖．
由的離心率為，且，可得，解得.
因?yàn)椋?br>所以由雙曲線的定義，可得.
故答案為：．
14. 已知分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，則的離心率為_(kāi)_________，內(nèi)切圓的半徑為_(kāi)_________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】第一空，將點(diǎn)代入得出方程，用公式求出離心率；第二空，畫(huà)出圖形，直角三角形中用等面積法求出內(nèi)切圓半徑即可.
【詳解】第一空，將代入中，，
即，，則橢圓方程為，
離心率為：.
第二空，如圖所示，

易得，
則，，，
因?yàn)?為三角形周長(zhǎng)，為內(nèi)切圓半徑).
又，代入得，解得.
故答案為：；.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15. 已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且被直線平分.
（1）求圓的一般方程；
（2）設(shè)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)直線方程求定點(diǎn)，結(jié)合圓的性質(zhì)，可得圓心，利用兩點(diǎn)之間距離公式，可得答案；
（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題意，建立等量關(guān)系，代入圓的方程，可得答案.
【小問(wèn)1詳解】
直線恒過(guò)點(diǎn).
因?yàn)閳A恒被直線平分，
所以恒過(guò)圓心，
所以圓心坐標(biāo)為，又圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以圓的半徑，
所以圓的方程為，即.
【小問(wèn)2詳解】
設(shè).因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以，
因?yàn)辄c(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，所以，
即，所以的軌跡方程為.
16. 已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離與動(dòng)點(diǎn)到定直線的距離相等，若動(dòng)點(diǎn)的軌跡記為曲線．
（1）求的方程；
（2）不過(guò)點(diǎn)的直線與交于橫坐標(biāo)不相等的A，B兩點(diǎn)，且，若的垂直平分線交軸于點(diǎn)，證明：為定點(diǎn)．
【答案】（1）
（2）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）由題意，根據(jù)拋物線的定義進(jìn)行求解即可；
（2）設(shè)出直線的方程，將直線方程與曲線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及得到，，，求出的中點(diǎn)坐標(biāo)和直線的方程，進(jìn)而即可得證．
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與動(dòng)點(diǎn)到定直線的距離相等，
所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為焦點(diǎn)在軸，開(kāi)口朝右的拋物線，
此時(shí)，
則曲線的方程為；
【小問(wèn)2詳解】
證明：設(shè)直線的方程為，，，
聯(lián)立，消去并整理得，
此時(shí)，
解得，
由韋達(dá)定理得，，
因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)椋?br>所以，
解得，
設(shè)點(diǎn)為中點(diǎn)，
此時(shí)，
所以直線的方程為，
令，
解得．
故點(diǎn)為定點(diǎn)，坐標(biāo)為．
17. 如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為線段的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段的中點(diǎn)．
（1）求直線\到直線的距離；
（2）求直線到平面的距離．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得直線到直線的距離；
（2）轉(zhuǎn)化為到平面的距離,利用點(diǎn)到平面的距離向量法可得答案.
【小問(wèn)1詳解】
建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
，，
因?yàn)?，所以，即?br>所以點(diǎn)到直線的距離即為直線到直線的距離，
，，
，，
所以直線到直線的距離為；
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)?，平面，平面，所以平面?br>所以直線到平面的距離等于到平面的距離，
,，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，即，取，可得，
所以到平面的距離為，
所以直線到平面的距離為.
18. 已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，短軸長(zhǎng)為，點(diǎn)在上.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，求周長(zhǎng)的最大值；
（3）過(guò)的左焦點(diǎn)，且斜率不為零的直線交于兩點(diǎn)，求面積的最大值.
【答案】（1）；
（2）；
（3）3.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）由橢圓的定義可求出的最大值，從而可得周長(zhǎng)最大值.
（3）設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，借助根與系數(shù)的關(guān)系列出三角形面積的關(guān)系式，利用對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)求出最大值．
【小問(wèn)1詳解】
依題意，，且，解得，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知，，而，則，
周長(zhǎng)，
當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)是線段延長(zhǎng)線與橢圓的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，
所以周長(zhǎng)的最大值為.
【小問(wèn)3詳解】
設(shè)直線方程為，，
由消去得：，顯然，，
，
因此面積，
令，，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，
則當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，
所以當(dāng)時(shí)，面積取得最大值3.
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：過(guò)定點(diǎn)的直線l：y=kx+b交圓錐曲線于點(diǎn)，，則面積；
過(guò)定點(diǎn)直線l：x=ty+a交圓錐曲線于點(diǎn)，，則面積.
19. 過(guò)雙曲線（常數(shù)）上任意一點(diǎn)A作軸，交y軸于點(diǎn)E，作軸，交x軸于點(diǎn)F，得到矩形AEOF，則它的面積S＝k，k是與點(diǎn)A位置無(wú)關(guān)的常數(shù)，試把這個(gè)結(jié)論推廣到一般雙曲線，并證明你的推廣．
【答案】答案見(jiàn)解析.
【解析】
【分析】類(lèi)比題目結(jié)論，從曲線上取一點(diǎn)，作兩條漸近線的平行線，圍成的四邊形面積為常數(shù).證明時(shí)設(shè)所取點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算面積為常數(shù).
【詳解】推廣結(jié)論：設(shè)A是雙曲線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A分別作漸近線的平行線AE、AF，并分別交漸近線于E、F，得到平行四邊形AEOF，則平行四邊形AEOF的面積S是與點(diǎn)A位置無(wú)關(guān)的常數(shù)．
證明：設(shè)，直線AE的方程為，
聯(lián)立方程組，解得交點(diǎn)，
則，
點(diǎn)A到OE的距離，
平行四邊形AEOF的面積，
又因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，即，
所以，是與點(diǎn)A位置無(wú)關(guān)的常數(shù)．
【點(diǎn)睛】注意到題目所給結(jié)論中，軸和軸分別為曲線的兩條漸近線，所以類(lèi)比時(shí)也過(guò)曲線上一點(diǎn)作曲線的兩條漸近線的平行線.

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