黑龍江省龍東地區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題含解析-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場號、座位號、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用 2B 鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需
改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本
試卷上無效.
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
考試時(shí)間為 120 分鐘，滿分 150 分
一、選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是
符合題目要求的.
1. 在等差數(shù)列中，，則（）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)?是等差數(shù)列，
所以 ,所以 .
故選：D.
2. 正方體的棱長為 1，則（）
A. 1 B. 0 C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律，結(jié)合垂直關(guān)系即可求解.
【詳解】 ,
故選：A
3. 已知點(diǎn) ，，若直線過點(diǎn) 且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是
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（）
A. 或 B. 或
C. 或 D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間斜率公式計(jì)算即可.
【詳解】直線的斜率為，直線的斜率為，
結(jié)合圖象可得直線的斜率的取值范圍是 .
故選：D
4. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn) ，點(diǎn) 為動點(diǎn)，且直線與的斜率之積為，
則點(diǎn) 的軌跡方程為（）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】先設(shè)點(diǎn) 再根據(jù)斜率公式計(jì)算即可.
【詳解】設(shè) ，可得 ,x 不為 0，
所以 .
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故選：D.
5. 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的值為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù) 即可得到答案.
【詳解】．
故選：C．
6. 已知直線交圓 C：于 M，N 兩點(diǎn)，則“ 為正三角形”是
“ ”的（）
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】求出圓的圓心及半徑后，結(jié)合正三角形的性質(zhì)可計(jì)算出當(dāng) 為正三角形時(shí) 的值，結(jié)合充
分條件與必要條件定義即可判斷.
【詳解】由 C：可得其圓心為，半徑，
圓心到直線的距離，
若為正三角形，則有，即，
即，解得或，
故“ 為正三角形”是“ ”的必要不充分條件.
故選：B.
7. 在矩形中，，，沿對角線將矩形折成一個(gè)大小為的二面角，
當(dāng)點(diǎn) 與點(diǎn) 之間的距離為 3 時(shí)，（）．
A. B. C. D.
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【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算可得，利用模長公式，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算即可求解.
【詳解】分別作，，垂足為，則．
由，可得，
所以．
因?yàn)?，
則
即，
故，
故選：B．
8. 已知數(shù)列滿足：，（）.正項(xiàng)數(shù)列滿足：對于每個(gè)
，，且，，成等比數(shù)列，則的前 n 項(xiàng)和為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】運(yùn)用數(shù)列的累乘法求得，再由等比數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)可得，再由數(shù)列的
裂項(xiàng)相消求和，計(jì)算可得所求和.
【詳解】（），
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可得，
由，可得
，
可得，
由，，成等比數(shù)列，
可得，
可得，
則，
所以
.
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的遞推關(guān)系，等比數(shù)列，累乘法，數(shù)列求和，屬于中檔題.
二、選擇題：本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目
要求.全部選對的得 6 分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得 0 分.
9. 下列直線中，與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，且過點(diǎn) 的是（）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】討論直線的斜率，結(jié)合方程聯(lián)立，以及直線與拋物線的位置關(guān)系，即可求解.
【詳解】當(dāng)直線的斜率存在且時(shí),設(shè) ，
與拋物線方程聯(lián)立得，令，解得，
則直線的方程為；
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當(dāng) 時(shí),直線的方程為，此時(shí)直線平行于拋物線的對稱軸,且與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn) ；
當(dāng) 不存在時(shí),直線與拋物線也只有一個(gè)公共點(diǎn) ，此時(shí)直線的方程為 .
故選：ABD
10. 已知數(shù)列，滿足，且，則（）
A. B. 當(dāng) 時(shí)，是等比數(shù)列
C. 當(dāng) 時(shí)，是等差數(shù)列 D. 當(dāng) 時(shí)，是遞增數(shù)列
【答案】BCD
【解析】
【分析】對于 A，直接由已知得到，即可說明 A 錯(cuò)誤；對于 B，證明，結(jié)合即可
驗(yàn)證；對于 C，說明即可；對于 D，驗(yàn)證，再利用即可驗(yàn)證.
【詳解】對于 A，由已知有，故 A 錯(cuò)誤；
對于 B，當(dāng) 時(shí)，由于，且，故是等比數(shù)列，故 B 正確；
對于 C，當(dāng) 時(shí)，由，歸納即知 .
所以，從而，故是等差數(shù)列，故 C 正確；
對于 D，當(dāng) 時(shí)，由于，故 .
所以，從而是遞增
數(shù)列，故 D 正確.
故選：BCD.
11. 已知三棱錐，，是邊長為 2 的正三角形，E 為中點(diǎn)，，
則下列結(jié)論正確的是（）
A. B. 異面直線與所成的角的余弦值為
C. 與平面所成的角的正弦值為 D. 三棱錐外接球的表面積為
【答案】ACD
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【解析】
【分析】對于 A：取 AC 的中點(diǎn) F，連接 PF,BF，證明出面，即可得到 .對于 B、C：
先證明出，， .可以以 P 為原點(diǎn)，為 xyz 軸正方向建立空間直角
坐標(biāo)系.利用向量法求解；對于 D：把三棱錐還以為正方體，則三棱錐的外接球即為正方體的外接
球.即可求解.
【詳解】對于 A：
在三棱錐，，是邊長為 2 的正三角形，取 AC 的中點(diǎn) F，連接 PF,BF，則
.
又，所以面，所以 .故 A 正確.
對于 B：因?yàn)?，， ,所以面，所以， .
在三棱錐，，是邊長為 2 的正三角形，所以三棱錐為正三棱錐，
所以 .
所以 .
可以以 P 為原點(diǎn)，為 xyz 軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.
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則，，，， .
所以 , .
設(shè)異面直線與所成的角為，則
.
即異面直線與所成的角的余弦值為 .故 B 錯(cuò)誤；
對于 C：， .
設(shè)平面 ABC 的一個(gè)法向量為，則 ,不妨設(shè) x=1，則 .
設(shè) 與平面所成的角為，則
.
即與平面所成的角的正弦值為 .故 C 正確.
對于 D：把三棱錐還以為正方體，則三棱錐的外接球即為正方體的外接球.
設(shè)其半徑為 R，由正方體的外接球滿足 ,所以 .
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所以球的表面積為 .故 D 正確.
故選：ACD.
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分.
12. 已知雙曲線的離心率為，則 _________．
【答案】
【解析】
【分析】由雙曲線中的平方關(guān)系、離心率公式列出等式直接計(jì)算即可.
【詳解】由題意，
從而雙曲線的離心率為，
結(jié)合，解得滿足題意.
故答案為： .
13. 已知數(shù)列是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，且，，則 =______．
【答案】81
【解析】
【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列方程組求出進(jìn)而秋季即可.
【詳解】因?yàn)閿?shù)列是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，即，則解得或
（舍去），
所以，解得，
所以，
故答案為：81
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14. 已知點(diǎn)列，其中，，是線段的中點(diǎn)，是線段的中
點(diǎn)，…… 是線段的中點(diǎn)，……．記，則． ______； ______．
【答案】 ①. ## ②.
【解析】
【分析】利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式結(jié)合題意可求出，從而可求出，再由以及等比數(shù)列的定
義、通項(xiàng)公式與求和公式即可求出 .
【詳解】因?yàn)?是線段的中點(diǎn)，，
所以，
因?yàn)?，，所以，
，
所以，
因?yàn)?，，
所以
，
即，
所以數(shù)列是以為公比，為首項(xiàng)的等比數(shù)列，
所以，
所以
第 10頁/共 18頁
，
故答案為：； .
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式與求和公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知的
遞推式化簡變形得數(shù)列是以為公比，2 為首項(xiàng)的等比數(shù)列，考查數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于較難題.
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知等比數(shù)列為遞增數(shù)列，其前項(xiàng)和為，， .
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列是首項(xiàng)為 1，公差為 3 的等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和 .
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，依題意得到關(guān)于、的方程組，解得、，即
可求出通項(xiàng)公式；
（2）依題意可得，利用分組求和法計(jì)算可得.
【小問 1 詳解】
設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，
根據(jù)題意可得，解得或，
因?yàn)榈缺葦?shù)列為遞增數(shù)列，所以，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為 .
【小問 2 詳解】
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因?yàn)閿?shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，
所以，
所以，
所以
.
16. 已知數(shù)列的前 n 項(xiàng)和為，且關(guān)于 x 的方程，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)
根．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）若，數(shù)列的前 n 項(xiàng)和為，且對任意的恒成立，求實(shí)數(shù) 的最
大值．
【答案】（1）
（2）3
【解析】
【分析】（1）利用方程有等根可知判別式為 0，求出，根據(jù) 關(guān)系即可得出通項(xiàng)公式；
（2）利用錯(cuò)位相減法求出，再分離參數(shù)后求解即可.
【小問 1 詳解】
由關(guān)于方程，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
可得，即，，
當(dāng) 時(shí)，．
當(dāng) 時(shí)，．
當(dāng) 時(shí)，上式也成立，所以．
【小問 2 詳解】
由（1）可知，，
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，①
，②
得：
，
所以．
又對任意的恒成立，即對任意的恒成立，
故，
因數(shù)列在時(shí)單調(diào)遞增，
所以，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取得最小值．
所以實(shí)數(shù) 最大值為 3．
17. 已知三棱柱，側(cè)棱底面，底面是等邊三角形，是的中點(diǎn)，
．
（1）證明：；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析
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（2）
【解析】
【分析】（1）首先根據(jù)題目所給信息，求出面，再利用線面垂直推出線線垂直即可求解.
（2）首先建立空間直角坐標(biāo)系，再求出平面與面的法向量，再利用向量求角的公式即可求解.
【小問 1 詳解】
∵底面為等邊三角形，為中點(diǎn)，∴ ，又面，∴ ，又
，面，又面，∴ ．
【小問 2 詳解】
取中點(diǎn) ，∴ 、、兩兩垂直．
如下圖，分別以、、為、、軸，建立空間直角坐標(biāo)系．
設(shè) ，∴ ，，，
∴ ，∴ ，∴ ，
∴設(shè)面的法向量為，
∴ ，令，∴ ，
同理面法向量，∴ ，
∵二面角為銳二面角，∴二面角的余弦值為．
18. 已知橢圓的短軸長為 2，離心率為 .
（1）求的方程;
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（2）過點(diǎn) 作直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，若，求直線的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）由題意得，求出，從而可求出橢圓方程；
（2）當(dāng)直線 l 的斜率不存在時(shí)，不合題意，當(dāng)直線 l 的斜率存在時(shí)，設(shè)直線 l 的方程，設(shè)
，將直線方程代入橢圓方程化簡，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長公式列方程可求
出，從而可求出直線方程.
【小問 1 詳解】
依題意：，解得，
所以 E 的方程為．
【小問 2 詳解】
當(dāng)直線 l 的斜率不存在時(shí)，，與題意不符，舍去；
當(dāng)直線 l 的斜率存在時(shí)，設(shè)直線 l 的方程，設(shè) ，
聯(lián)立，消 y 得：，
整理得：，
，則，
，
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則，
即，
則，即，
解得或，
則直線 l 的方程為或．
19. 給定數(shù)列，若對任意 m，且，是中項(xiàng)，則稱為“H 數(shù)列”．設(shè)數(shù)
列的前 n 項(xiàng)和為
（1）若，試判斷數(shù)列是否為“H 數(shù)列”，并說明理由；
（2）設(shè) 既是等差數(shù)列又是“H 數(shù)列”，且，，，求公差 d 的所有可能值；
（3）設(shè) 是等差數(shù)列，且對任意，是中的項(xiàng)，求證：是“H 數(shù)列”．
【答案】（1）是“H 數(shù)列”；理由見解析
（2）1，2，3，6；
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)“H 數(shù)列”定義判斷即可.
（2）由等差數(shù)列和“H 數(shù)列”的定義得到公差的等式關(guān)系即可求解.
（3）由等差數(shù)列的定義與求和公式，進(jìn)行分情況討論，即可證明是“H 數(shù)列”.
【小問 1 詳解】
因?yàn)?，當(dāng) 時(shí)，，
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當(dāng) 時(shí)，也成立，
所以，
對任意 m，且，，
是“H 數(shù)列”.
【小問 2 詳解】
因?yàn)?，，，
所以，所以，
由已知得也為數(shù)列中的項(xiàng)，
令，即，
所以，所以 d 為 6 正因數(shù)，
故 d 的所有可能值為 1，2，3，6.
【小問 3 詳解】
設(shè)數(shù)列的公差為 d，所以存在，對任意，，即，
當(dāng) 時(shí)，則，故，此時(shí)數(shù)列為“H 數(shù)列”；
當(dāng) 時(shí)，，取，則，所以，，
當(dāng) 時(shí)，均為正整數(shù)，符合題意，
當(dāng) 時(shí)，均為正整數(shù)，符合題意，
所以，，
設(shè) ，，，即，
所以任意 m，且，，
顯然，所以為數(shù)列中的項(xiàng)，
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是“H 數(shù)列”.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列定義問題.其中關(guān)鍵點(diǎn)是理解“H 數(shù)列”定義，并與已學(xué)知識等差數(shù)列進(jìn)
行結(jié)合，利用等差數(shù)列的定義與求和公式，分情況討論即可證明結(jié)論.
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