我們知道，圓錐曲線一章是高考考查的重要內(nèi)容之一，而圓錐曲線中的最值問(wèn)題更是無(wú)處不在。在很多教學(xué)參考書中，我們都會(huì)見到這樣的類似問(wèn)題：
已知橢圓C的方程為，F(xiàn)1、F2是它的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,1)，試在橢圓上求一點(diǎn)P，(1)使得|PA|+|PF2|最??；(2)使得|PA|+2|PF2|最小，并求出相應(yīng)的最小值。（亦可把橢圓改為雙曲線或拋物線，同樣有類似的問(wèn)題）
類似于這樣的問(wèn)題，初學(xué)者往往很難作答，即使在老師的講解和點(diǎn)撥下也不易掌握?；A(chǔ)好的同學(xué)還可以理解，一般的同學(xué)下次再遇到類似的問(wèn)題時(shí)仍然難以做對(duì)，還會(huì)出現(xiàn)很多不應(yīng)有的錯(cuò)誤。這里筆者想能過(guò)一個(gè)實(shí)例，給出這種問(wèn)題的一般解題策略和具體處理方法。
關(guān)于|PA|+|PF2|最小值的問(wèn)題，同學(xué)們不應(yīng)該感到陌生。在初中我們?cè)筮^(guò)這樣的問(wèn)題：如圖，已知A、B兩點(diǎn)在直線L的同側(cè)，試在L上求作一點(diǎn)P，使得|PA|+|PB|最小。（相對(duì)應(yīng)的還有一個(gè)應(yīng)用題：A、B兩個(gè)小村莊，L是一條河，今要在河上架設(shè)一座大橋，使從A、B兩村莊鋪設(shè)到大橋的公路總長(zhǎng)最短，應(yīng)該如何選址？）
B
A
L
PO
B/
我們知道兩點(diǎn)之間的連線中，線段最短，所以|PA|+|PB|≥|AB|
顯然等號(hào)不成立，因?yàn)锳、B在直線L的同側(cè)，如果A、B兩點(diǎn)
在L的異側(cè)就好了，因?yàn)锳、B若在L異側(cè)，線段AB
就與L相交，交點(diǎn)即為所求作的P點(diǎn)。所以能不能在L
的另一側(cè)找到一點(diǎn)B/，使得|PB/|總是等于|PB|呢？
求作點(diǎn)B（或者A）關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)B/即可。
B/
A
L
QO
B
QO
轉(zhuǎn)化思想就是我們解決問(wèn)題的基本策略。我們只要將同側(cè)的兩點(diǎn)轉(zhuǎn)化為異側(cè)的兩點(diǎn)，問(wèn)題就得以解決。
比如：請(qǐng)?jiān)贚上再找一點(diǎn)Q，使得|QA|-|QB|最大？同樣道理，
|QA|-|QB|總是小于|AB|，如能等于|AB|就行。我們還是轉(zhuǎn)化，
異側(cè)兩點(diǎn)同側(cè)化，當(dāng)Q為AB/的延長(zhǎng)線與L的交點(diǎn)Q/時(shí)，
|QA|-|QB|=|QA|-|QB/|≤|AB/|。（這里B關(guān)于L的對(duì)稱點(diǎn)B/與
A的連線要與L相交才行，否則Q/點(diǎn)不存在）
我們總結(jié)得到：同側(cè)和最小異側(cè)化，異側(cè)差最大同側(cè)化。
根據(jù)以上分析，我們可以用類比的方法解決圓錐曲線中的類似問(wèn)題。能不能將橢圓C內(nèi)部（同側(cè)）的兩點(diǎn)A或者F2轉(zhuǎn)化為一內(nèi)一外呢？顯然無(wú)法作出點(diǎn)A（或者F2）關(guān)于曲線(橢圓)的對(duì)稱點(diǎn)（沒聽說(shuō)過(guò)），使得|PA|總是等于|PA/|。
A
·
F2
F1
·
·
P
x
y
N
M
如圖，|PA|+|PF2|總是大于|AF2|，但|PA|-|PF2|還是能夠
等于|AF2|，作直線AF2，與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，
當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到圖中的N點(diǎn)時(shí)，|PA|-|PF2|=|AF2|，
當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到圖中的M點(diǎn)時(shí)，|PA|-|PF2|= -|AF2|
能不能將|PA|+|PF2|轉(zhuǎn)化為|PA|-|PF2|呢？
所以我們給出解決圓錐曲線問(wèn)題的另一解題策略：回歸定義。橢圓的第一定義是：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)2a(2a>|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡。我們不能將點(diǎn)A（或點(diǎn)F2）轉(zhuǎn)移到橢圓外，但我們可以將P到F2的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到另一焦點(diǎn)F1的距離。因?yàn)閨PF1|+|PF2|=2a，所以|PF2|=2a-|PF1|，于是|PA|+|PF2|=|PA|+(2a-|PF1|)=(|PA|-|PF1|)+2a
A
·
F2
F1
·
·
P
x
y
R
S
要求|PA|+|PF2|的最值，就等價(jià)于求|PA|-|PF1|的最值。
如圖作直線AF1交橢圓于R、S兩點(diǎn)，
則 -|AF1|≤|PA|-|PF1|≤|AF1|
所以2a-|AF1|≤|PA|+|PF2|≤2a+|AF1|
將具體數(shù)據(jù)代入即可求得本文開始時(shí)提出的(1)的解答。
那么對(duì)于(2)又如何解答呢？與(1)相比，就是在|PF2|前
多了個(gè)系數(shù)2，也只能是2（否則無(wú)解），我們可以用圓錐曲線的統(tǒng)一定義，將同側(cè)（內(nèi)部）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為異側(cè)問(wèn)題來(lái)求解。
A
·
F2
F1
·
·
P
x
y
M
l
橢圓的第二定義是：平面內(nèi)到一定點(diǎn)F2的距離與到一定直線l的距離之比為小于1的常數(shù)的點(diǎn)的軌跡就叫做橢圓。其中定點(diǎn)為焦點(diǎn)，定直線為此焦點(diǎn)相應(yīng)的準(zhǔn)線，小于1的常數(shù)就是橢圓的離心率e。
如圖，PM⊥l于M，則，所以|PM|=|PF2|
本題中，橢圓的離心率e=，所以|PM|=2|PF2|
所以|PA|+2|PF2|=|PA|+|PM|，于是我們將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為從定點(diǎn)A到準(zhǔn)線l的“折線段”PA與PM的長(zhǎng)的和的問(wèn)題，也就是說(shuō)將同側(cè)（內(nèi)部）兩點(diǎn)的距離和問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了異側(cè)一點(diǎn)一線距離和的問(wèn)題。顯然當(dāng)A、P、M三點(diǎn)共線且垂直于直線l時(shí)，|PA|+|PM最小，即直接過(guò)A作準(zhǔn)線l的垂直交橢圓于P點(diǎn)，則P即為所求作。
這種轉(zhuǎn)化看來(lái)只適用于形如|PA|+|PF2|的最小值的問(wèn)題。
以上我們給出了解決圓錐曲線中這兩種最值的解題策略和具體做法，即利用圓錐曲線的定義實(shí)現(xiàn)了問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，即同異互化，回歸定義。
本文開頭的問(wèn)題具體解答如下：
A
·
F2
F1
·
·
P
x
y
R
S
(1) 由已知橢圓方程得：a=4,b=2,所以c=2,所以F1(-2,0),F2(2,0)
因?yàn)镻在橢圓上，所以|PF1|+|PF2|=2a=8,所以|PF2|=8-|PF1|
所以|PA|+|PF2|=|PA|+8-|PF1|=|PA|-|PF1|+8
過(guò)A、F1作直線RS交橢圓于R、S兩點(diǎn)，
因?yàn)閨|PA|-|PF1||≤|AF1|=，
A
·
F2
F1
·
·
P
x
y
M
l
所以8-≤|PA|+|PF2|≤8+
當(dāng)P為S點(diǎn)時(shí)，|PA|+|PF2|的最小值為8-
當(dāng)P為R點(diǎn)時(shí)，|PA|+|PF2|的最大值為8+
(2)易求得橢圓的離心率為e=，右準(zhǔn)線l方程為x=8
過(guò)P作l的垂線交l于M點(diǎn)，則|PM|=|PF2|=2|PF2|,所以|PA|+2|PF2|=|PA|+|PM|，
當(dāng)A、P、M三點(diǎn)共線且垂直于l時(shí)，|PA|+|PM|最小，且最小值就是點(diǎn)A到直線l的距離。易求得A到直線的距離為5，所以|PA|+2|PF2|的最小值為5，此時(shí)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1，將y=1代入橢圓方程得x=,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,1).
下面我們給出幾個(gè)題目供同學(xué)們練習(xí)鞏固：
1．已知兩點(diǎn)A(4,1)和B(-1,11)，
（1）試在x軸上求一點(diǎn)P，使得|PA|+|PB|最小。
（2）試在y軸上求一點(diǎn)Q，使得|PA|-|PB|最大。
2．已知A(3,1)，雙曲線C的方程為，F(xiàn)1、F2是它的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，試在雙曲線C上求一點(diǎn)P，(1)使得|PA|+|PF2|最??；(2)使得|PA|+|PF2|最小.
3．已知A(4,1)，F(xiàn)為拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，P為拋物線上任一點(diǎn)，求|PA|+|PF|最小值。

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