?2022年寧夏高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（乙卷）
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．（5分）（2022?乙卷）設(shè)全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M滿足?UM＝{1，3}，則（　　）
A．2∈M B．3∈M C．4?M D．5?M
2．（5分）（2022?乙卷）已知z＝1﹣2i，且z+a+b＝0，其中a，b為實數(shù)，則（　?。?br /> A．a(chǎn)＝1，b＝﹣2 B．a(chǎn)＝﹣1，b＝2 C．a(chǎn)＝1，b＝2 D．a(chǎn)＝﹣1，b＝﹣2
3．（5分）（2022?乙卷）已知向量，滿足||＝1，||＝，|﹣2|＝3，則?＝（　?。?br /> A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
4．（5分）（2022?乙卷）嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進行深空探測，成為我國第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造行星．為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列{bn}：b1＝1+，b2＝1+，b3＝1+，…，依此類推，其中ak∈N*（k＝1，2，…）．則（　?。?br /> A．b1＜b5 B．b3＜b8 C．b6＜b2 D．b4＜b7
5．（5分）（2022?乙卷）設(shè)F為拋物線C：y2＝4x的焦點，點A在C上，點B（3，0），若|AF|＝|BF|，則|AB|＝（　?。?br /> A．2 B．2 C．3 D．3
6．（5分）（2022?乙卷）執(zhí)行如圖的程序框圖，輸出的n＝（　?。?br />
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（5分）（2022?乙卷）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，則（　?。?br /> A．平面B1EF⊥平面BDD1 B．平面B1EF⊥平面A1BD
C．平面B1EF∥平面A1AC D．平面B1EF∥平面A1C1D
8．（5分）（2022?乙卷）已知等比數(shù)列{an}的前3項和為168，a2﹣a5＝42，則a6＝（　?。?br /> A．14 B．12 C．6 D．3
9．（5分）（2022?乙卷）已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點為O，底面的四個頂點均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時，其高為（　?。?br /> A． B． C． D．
10．（5分）某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為p1，p2，p3，且p3＞p2＞p1＞0．記該棋手連勝兩盤的概率為p，則（　　）
A．p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關(guān)
B．該棋手在第二盤與甲比賽，p最大
C．該棋手在第二盤與乙比賽，p最大
D．該棋手在第二盤與丙比賽，p最大
（多選）11．（5分）（2022?乙卷）雙曲線C的兩個焦點為F1，F(xiàn)2，以C的實軸為直徑的圓記為D，過F1作D的切線與C交于M，N兩點，且cos∠F1NF2＝，則C的離心率為（　?。?br /> A． B． C． D．
12．（5分）（2022?乙卷）已知函數(shù)f（x），g（x）的定義域均為R，且f（x）+g（2﹣x）＝5，g（x）﹣f（x﹣4）＝7．若y＝g（x）的圖像關(guān)于直線x＝2對稱，g（2）＝4，則f（k）＝（　?。?br /> A．﹣21 B．﹣22 C．﹣23 D．﹣24
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．（5分）（2022?乙卷）從甲、乙等5名同學(xué)中隨機選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為 　 ?。?br /> 14．（5分）（2022?乙卷）過四點（0，0），（4，0），（﹣1，1），（4，2）中的三點的一個圓的方程為 　 ?。?br /> 15．（5分）（2022?乙卷）記函數(shù)f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期為T．若f（T）＝，x＝為f（x）的零點，則ω的最小值為 　 ?。?br /> 16．（5分）（2022?乙卷）已知x＝x1和x＝x2分別是函數(shù)f（x）＝2ax﹣ex2（a＞0且a≠1）的極小值點和極大值點．若x1＜x2，則a的取值范圍是 　 　．
三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。
17．（12分）（2022?乙卷）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinCsin（A﹣B）＝sinBsin（C﹣A）．
（1）證明：2a2＝b2+c2；
（2）若a＝5，cosA＝，求△ABC的周長．
18．（12分）（2022?乙卷）如圖，四面體ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E為AC的中點．
（1）證明：平面BED⊥平面ACD；
（2）設(shè)AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，點F在BD上，當(dāng)△AFC的面積最小時，求CF與平面ABD所成的角的正弦值．

19．（12分）（2022?乙卷）某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山．為估計一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積（單位：m2）和材積量（單位：m3），得到如下數(shù)據(jù)：
樣本號i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
總和
根部橫截面積xi
0.04
0.06
0.04
0.08
0.08
0.05
0.05
0.07
0.07
0.06
0.6
材積量yi
0.25
0.40
0.22
0.54
0.51
0.34
0.36
0.46
0.42
0.40
3.9
并計算得xi2＝0.038，yi2＝1.6158，xiyi＝0.2474．
（1）估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；
（2）求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；
（3）現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為186m2．已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比．利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值．
附：相關(guān)系數(shù)r＝，≈1.377．
20．（12分）（2022?乙卷）已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點，對稱軸為x軸、y軸，且過A（0，﹣2），B（，﹣1）兩點．
（1）求E的方程；
（2）設(shè)過點P（1，﹣2）的直線交E于M，N兩點，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點T，點H滿足＝．證明：直線HN過定點．
21．（12分）（2022?乙卷）已知函數(shù)f（x）＝ln（1+x）+axe﹣x．
（1）當(dāng)a＝1時，求曲線y＝f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（2）若f（x）在區(qū)間（﹣1，0），（0，+∞）各恰有一個零點，求a的取值范圍．
（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）
22．（10分）（2022?乙卷）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+）+m＝0．
（1）寫出l的直角坐標(biāo)方程；
（2）若l與C有公共點，求m的取值范圍．
[選修4-5：不等式選講]（10分）
23．（2022?乙卷）已知a，b，c都是正數(shù)，且++＝1，證明：
（1）abc≤；
（2）++≤．

2022年寧夏高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（乙卷）
參考答案與試題解析
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．（5分）（2022?乙卷）設(shè)全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M滿足?UM＝{1，3}，則（　?。?br /> A．2∈M B．3∈M C．4?M D．5?M
【考點】補集及其運算．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】集合思想；定義法；集合；數(shù)學(xué)運算．
【分析】根據(jù)補集的定義寫出集合M，再判斷選項中的命題是否正確．
【解答】解：因為全集U＝{1，2，3，4，5}，?UM＝{1，3}，
所以M＝{2，4，5}，
所以2∈M，3?M，4∈M，5∈M．
故選：A．
【點評】本題考查了補集的定義與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．
2．（5分）（2022?乙卷）已知z＝1﹣2i，且z+a+b＝0，其中a，b為實數(shù)，則（　?。?br /> A．a(chǎn)＝1，b＝﹣2 B．a(chǎn)＝﹣1，b＝2 C．a(chǎn)＝1，b＝2 D．a(chǎn)＝﹣1，b＝﹣2
【考點】共軛復(fù)數(shù)；虛數(shù)單位i、復(fù)數(shù)；復(fù)數(shù)的運算．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】方程思想；定義法；數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運算．
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)與共軛復(fù)數(shù)的定義，利用復(fù)數(shù)相等列方程求出a、b的值．
【解答】解：因為z＝1﹣2i，且z+a+b＝0，
所以（1﹣2i）+a（1+2i）+b＝（1+a+b）+（﹣2+2a）i＝0，
所以，
解得a＝1，b＝﹣2．
故選：A．
【點評】本題考查了復(fù)數(shù)與共軛復(fù)數(shù)以及復(fù)數(shù)相等的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．
3．（5分）（2022?乙卷）已知向量，滿足||＝1，||＝，|﹣2|＝3，則?＝（　?。?br /> A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】計算題；方程思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算．
【分析】利用|﹣2|＝，結(jié)合數(shù)量積的性質(zhì)計算可得結(jié)果．
【解答】解：因為向量，滿足||＝1，||＝，|﹣2|＝3，
所以|﹣2|＝＝＝＝3，
兩邊平方得，
13﹣4＝9，
解得＝1，
故選：C．
【點評】本題考查了平面向量數(shù)量積的運算和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
4．（5分）（2022?乙卷）嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進行深空探測，成為我國第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造行星．為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列{bn}：b1＝1+，b2＝1+，b3＝1+，…，依此類推，其中ak∈N*（k＝1，2，…）．則（　?。?br /> A．b1＜b5 B．b3＜b8 C．b6＜b2 D．b4＜b7
【考點】歸納推理．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】轉(zhuǎn)化思想；歸納法；推理和證明；數(shù)學(xué)運算．
【分析】ak∈N*（k＝1，2，…），可以取ak＝1，依次求出數(shù)列的前8項，能求出正確選項．
【解答】解：∵ak∈N*（k＝1，2，…），∴可以取ak＝1，
則b1＝1+＝2，
b2＝1+＝，
b3＝1+＝，
b4＝1+＝，
b5＝1+＝，
b6＝1+＝，
b7＝＝，
b8＝1+＝，
∴b1＞b5，故A錯誤；b3＞b8，故B錯誤；b6＞b2，故C錯誤；b4＜b7，故D正確．
故選：D．
【點評】本題考查命題真假的判斷，巧妙地把人造行星融入高考數(shù)學(xué)題，培養(yǎng)學(xué)生愛國熱情，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．
5．（5分）（2022?乙卷）設(shè)F為拋物線C：y2＝4x的焦點，點A在C上，點B（3，0），若|AF|＝|BF|，則|AB|＝（　?。?br /> A．2 B．2 C．3 D．3
【考點】拋物線的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運算．
【分析】利用已知條件，結(jié)合拋物線的定義，求解A的坐標(biāo)，然后求解即可．
【解答】解：F為拋物線C：y2＝4x的焦點（1，0），點A在C上，點B（3，0），|AF|＝|BF|＝2，
由拋物線的定義可知A（1，2）（A不妨在第一象限），所以|AB|＝＝2．
故選：B．
【點評】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，距離公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．
6．（5分）（2022?乙卷）執(zhí)行如圖的程序框圖，輸出的n＝（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【考點】程序框圖．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；算法和程序框圖；邏輯推理．
【分析】模擬執(zhí)行程序的運行過程，即可得出程序運行后輸出的n值．
【解答】解：模擬執(zhí)行程序的運行過程，如下：
輸入a＝1，b＝1，n＝1，
計算b＝1+2＝3，a＝3﹣1＝2，n＝2，
判斷|﹣2|＝＝0.25≥0.01，
計算b＝3+4＝7，a＝7﹣2＝5，n＝3，
判斷|﹣2|＝＝0.04≥0.01；
計算b＝7+10＝17，a＝17﹣5＝12，n＝4，
判斷|﹣2|＝＜0.01；
輸出n＝4．
故選：B．
【點評】本題考查了程序的運行與應(yīng)用問題，也考查了推理與運算能力，是基礎(chǔ)題．
7．（5分）（2022?乙卷）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，則（　?。?br /> A．平面B1EF⊥平面BDD1 B．平面B1EF⊥平面A1BD
C．平面B1EF∥平面A1AC D．平面B1EF∥平面A1C1D
【考點】平面與平面垂直；平面與平面平行．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；立體幾何；邏輯推理．
【分析】對于A，易知EF∥AC，AC⊥平面BDD1，從而判斷選項A正確；對于B，由選項A及平面BDD1∩平面A1BD＝BD可判斷選項B錯誤；對于C，由于AA1與B1E必相交，容易判斷選項C錯誤；對于D，易知平面AB1C∥平面A1C1D，而平面AB1C與平面B1EF有公共點B1，由此可判斷選項D錯誤．
【解答】解：對于A，由于E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，則EF∥AC，
又AC⊥BD，AC⊥DD1，BD∩DD1＝D，且BD，DD1?平面BDD1，
∴AC⊥平面BDD1，則EF⊥平面BDD1，
又EF?平面B1EF，
∴平面B1EF⊥平面BDD1，選項A正確；
對于B，由選項A可知，平面B1EF⊥平面BDD1，而平面BDD1∩平面A1BD＝BD，在該正方體中，試想D1運動至A1時，平面B1EF不可能與平面A1BD垂直，選項B錯誤；
對于C，在平面ABB1A1上，易知AA1與B1E必相交，故平面B1EF與平面A1AC不平行，選項C錯誤；
對于D，易知平面AB1C∥平面A1C1D，而平面AB1C與平面B1EF有公共點B1，故平面B1EF與平面A1C1D不可能平行，選項D錯誤．
故選：A．

【點評】本題考查空間中線線，線面，面面間的位置關(guān)系，考查邏輯推理能力，屬于中檔題．
8．（5分）（2022?乙卷）已知等比數(shù)列{an}的前3項和為168，a2﹣a5＝42，則a6＝（　　）
A．14 B．12 C．6 D．3
【考點】等比數(shù)列的通項公式．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運算．
【分析】由題意，利用等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項公式，求得a6的值．
【解答】解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，q≠0，由題意，q≠1．
∵前3項和為a1+a2+a3＝＝168，a2﹣a5＝a1?q﹣a1?q4＝a1?q（1﹣q3）＝42，
∴q＝，a1＝96，
則a6＝a1?q5＝96×＝3，
故選：D．
【點評】本題主要考查等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項公式，屬于基礎(chǔ)題．
9．（5分）（2022?乙卷）已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點為O，底面的四個頂點均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時，其高為（　?。?br /> A． B． C． D．
【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；球的體積和表面積；基本不等式及其應(yīng)用．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】計算題；整體思想；綜合法；立體幾何；數(shù)學(xué)運算．
【分析】由題意可知，當(dāng)四棱錐為正四棱錐時，其體積最大，設(shè)底面邊長為a，由勾股定理可知該四棱錐的高h＝，所以該四棱錐的體積V＝，再利用基本不等式即可求出V的最大值，以及此時a的值，進而求出h的值．
【解答】解：對于圓內(nèi)接四邊形，如圖所示，

S四邊形ABCD＝＝2r2，
當(dāng)且僅當(dāng)AC，BD為圓的直徑，且AC⊥BD時，等號成立，此時四邊形ABCD為正方形，
∴當(dāng)該四棱錐的體積最大時，底面一定為正方形，設(shè)底面邊長為a，底面所在圓的半徑為r，
則r＝，
∴該四棱錐的高h＝，
∴該四棱錐的體積V＝＝≤＝＝，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
∴該四棱錐的體積最大時，其高h＝＝＝，
故選：C．

【點評】本題主要考查了四棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查了基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．
10．（5分）某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為p1，p2，p3，且p3＞p2＞p1＞0．記該棋手連勝兩盤的概率為p，則（　?。?br /> A．p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關(guān)
B．該棋手在第二盤與甲比賽，p最大
C．該棋手在第二盤與乙比賽，p最大
D．該棋手在第二盤與丙比賽，p最大
【考點】相互獨立事件和相互獨立事件的概率乘法公式．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】計算題；數(shù)學(xué)運算；數(shù)據(jù)分析．
【分析】已知棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率不相等，所以P受比賽次序影響，A錯誤；再計算第二盤分別與甲、乙、丙比賽連贏兩盤的概率，比較大小即可．
【解答】解：A選項，已知棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率不相等，所以P受比賽次序影響，故A錯誤；
設(shè)棋手在第二盤與甲比賽連贏兩盤的概率為P甲，棋手在第二盤與乙比賽連贏兩盤的概率為P乙，棋手在第二盤與丙比賽連贏兩盤的概率為P丙，
P甲＝（1﹣p2）p1p3+p2p1（1﹣p3）+（1﹣p3）p1p2+p3p1（1﹣p2）＝2[p1（p2+p3）﹣2p1p2p3]，
同理可得，P乙＝2[p2（p1+p3）﹣2p1p2p3]，
P丙＝2[p1p3+p2p3﹣2p1p2p3]，
P丙﹣P甲＝2p2（p3﹣p1）＞0，P丙﹣P乙＝2p1（p3﹣p2）＞0，
∴P丙最大，即棋手在第二盤與丙比賽連贏兩盤的概率最大．
故選：D．
【點評】本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意相互獨立事件概率乘法公式的靈活運用．
（多選）11．（5分）（2022?乙卷）雙曲線C的兩個焦點為F1，F(xiàn)2，以C的實軸為直徑的圓記為D，過F1作D的切線與C交于M，N兩點，且cos∠F1NF2＝，則C的離心率為（　?。?br /> A． B． C． D．
【考點】雙曲線的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】計算題；數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運算．
【分析】當(dāng)直線與雙曲線交于兩支時，設(shè)雙曲線的方程為﹣＝1（a＞0，b＞0），設(shè)過F1的切線與圓D：x2+y2＝a2相切于點P，從而可求得|PF1|，過點F2作F2Q⊥MN于點Q，由中位線的性質(zhì)可求得|F1Q|，|QF2|，在Rt△QNF2中，可求得|NF2|，|NQ|，利用雙曲線的定義可得a，b的關(guān)系，再由離心率公式求解即可．情況二當(dāng)直線與雙曲線交于一支時，同理可求得離心率．
【解答】解：當(dāng)直線與雙曲線交于兩支時，設(shè)雙曲線的方程為﹣＝1（a＞0，b＞0），

設(shè)過F1的切線與圓D：x2+y2＝a2相切于點P，
則|OP|＝a，OP⊥PF1，又|OF1|＝c，
所以PF1＝＝＝b，
過點F2作F2Q⊥MN于點Q，
所以O(shè)P∥F2Q，又O為F1F2的中點，
所以|F1Q|＝2|PF1|＝2b，|QF2|＝2|OP|＝2a，
因為cos∠F1NF2＝，∠F1NF2＜，所以sin∠F1NF2＝，
所以|NF2|＝＝，則|NQ|＝|NF2|?cos∠F1NF2＝，
所以|NF1|＝|NQ|+|F1Q|＝+2b，
由雙曲線的定義可知|NF1|﹣|NF2|＝2a，
所以+2b﹣＝2a，可得2b＝3a，即＝，
所以C的離心率e＝＝＝＝．
情況二：當(dāng)直線與雙曲線交于一支時，
如圖，記切點為A，連接OA，則|OA|＝a，|F1A|＝b，

過F2作F2B⊥MN于B，則|F2B|＝2a，因為cos∠F1NF2＝，所以|NF2|＝，|NB|＝，
|NF2|﹣|NF1|＝﹣（﹣2b）＝a+2b＝2a，即a＝2b，
所以e＝＝＝＝，A正確．
故選：AC．
【點評】本題主要考查雙曲線的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想，考查運算求解能力，屬于中檔題．
12．（5分）（2022?乙卷）已知函數(shù)f（x），g（x）的定義域均為R，且f（x）+g（2﹣x）＝5，g（x）﹣f（x﹣4）＝7．若y＝g（x）的圖像關(guān)于直線x＝2對稱，g（2）＝4，則f（k）＝（　?。?br /> A．﹣21 B．﹣22 C．﹣23 D．﹣24
【考點】抽象函數(shù)及其應(yīng)用；函數(shù)的值．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】計算題；函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算．
【分析】由y＝g（x）的對稱性可得f（x）為偶函數(shù)，進而得到f（x）關(guān)于點（﹣1，﹣1）中心對稱，所以f（1）＝f（﹣1）＝﹣1，再結(jié)合f（x）的周期為4，即可求出結(jié)果．
【解答】解：∵y＝g（x）的圖像關(guān)于直線x＝2對稱，則g（2﹣x）＝g（2+x），
∵f（x）+g（2﹣x）＝5，∴f（﹣x）+g（2+x）＝5，∴f（﹣x）＝f（x），故f（x）為偶函數(shù)，
∵g（2）＝4，f（0）+g（2）＝5，得f（0）＝1．由g（x）﹣f（x﹣4）＝7，得g（2﹣x）＝f（﹣x﹣2）+7，代入f（x）+g（2﹣x）＝5，得f（x）+f（﹣x﹣2）＝﹣2，故f（x）關(guān)于點（﹣1，﹣1）中心對稱，
∴f（1）＝f（﹣1）＝﹣1，由f（x）+f（﹣x﹣2）＝﹣2，f（﹣x）＝f（x），得f（x）+f（x+2）＝﹣2，
∴f（x+2）+f（x+4）＝﹣2，故f（x+4）＝f（x），f（x）周期為4，
由f（0）+f（2）＝﹣2，得f（2）＝﹣3，又f（3）＝f（﹣1）＝f（1）＝﹣1，
所以f（k）＝6f（1）+6f（2）+5f（3）+5f（4）＝11×（﹣1）+5×1+6×（﹣3）＝﹣24，
故選：D．
【點評】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性、對稱性和周期性，屬于中檔題．
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．（5分）（2022?乙卷）從甲、乙等5名同學(xué)中隨機選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為 　?。?br /> 【考點】古典概型及其概率計算公式．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】計算題；對應(yīng)思想；定義法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學(xué)運算．
【分析】從甲、乙等5名學(xué)生中隨機選出3人，先求出基本事件總數(shù)，再求出甲、乙被選中包含的基本事件的個數(shù)，由此求出甲、乙被選中的概率．
【解答】解：方法一：設(shè)5人為甲、乙、丙、丁、戊，
從5人中選3人有以下10個基本事件：
甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊，甲丙丁，甲丙戊，甲丁戊，乙丙丁、乙丙戊，乙丁戊，丙丁戊；
甲、乙被選中的基本事件有3個：甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊；
故甲、乙被選中的概率為．
方法二：
由題意，從甲、乙等5名學(xué)生中隨機選出3人，基本事件總數(shù)＝10，
甲、乙被選中，則從剩下的3人中選一人，包含的基本事件的個數(shù)＝3，
根據(jù)古典概型及其概率的計算公式，甲、乙都入選的概率P＝＝．
【點評】本題主要考查古典概型及其概率計算公式，熟記概率的計算公式即可，屬于基礎(chǔ)題．
14．（5分）（2022?乙卷）過四點（0，0），（4，0），（﹣1，1），（4，2）中的三點的一個圓的方程為 　x2+y2﹣4x﹣6y＝0（或x2+y2﹣4x﹣2y＝0或x2+y2﹣x﹣y＝0或x2+y2﹣x﹣2y﹣＝0）　．
【考點】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；圓的一般方程．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】方程思想；待定系數(shù)法；直線與圓；數(shù)學(xué)運算．
【分析】選其中的三點，利用待定系數(shù)法即可求出圓的方程．
【解答】解：設(shè)過點（0，0），（4，0），（﹣1，1）的圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
即，解得F＝0，D＝﹣4，E＝﹣6，
所以過點（0，0），（4，0），（﹣1，1）圓的方程為x2+y2﹣4x﹣6y＝0．
同理可得，過點（0，0），（4，0），（4，2）圓的方程為x2+y2﹣4x﹣2y＝0．
過點（0，0），（﹣1，1），（4，2）圓的方程為x2+y2﹣x﹣y＝0．
過點（4，0），（﹣1，1），（4，2）圓的方程為x2+y2﹣x﹣2y﹣＝0．
故答案為：x2+y2﹣4x﹣6y＝0（或x2+y2﹣4x﹣2y＝0或x2+y2﹣x﹣y＝0或x2+y2﹣x﹣2y﹣＝0）．
【點評】本題考查了過不在同一直線上的三點求圓的方程應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．
15．（5分）（2022?乙卷）記函數(shù)f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期為T．若f（T）＝，x＝為f（x）的零點，則ω的最小值為 　3?。?br /> 【考點】三角函數(shù)的周期性；余弦函數(shù)的圖象．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；數(shù)學(xué)運算．
【分析】由題意，結(jié)合余弦函數(shù)的周期和零點，建立相關(guān)的方程求解即可．
【解答】解：函數(shù)f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期為T＝，
若f（T）＝cos（ω×+φ）＝cosφ＝，0＜φ＜π，則φ＝，
所以f（x）＝cos（ωx+）．
因為x＝為f（x）的零點，所以cos（+）＝0，
故 +＝k，k∈Z，所以ω＝9k+3，k∈Z，
因為ω＞0，則ω的最小值為3．
故答案為：3．
【點評】本題主要考查余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了方程思想，屬于基礎(chǔ)題．
16．（5分）（2022?乙卷）已知x＝x1和x＝x2分別是函數(shù)f（x）＝2ax﹣ex2（a＞0且a≠1）的極小值點和極大值點．若x1＜x2，則a的取值范圍是 　　．
【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】函數(shù)思想；分類法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算．
【分析】由已知分析函數(shù)f′（x）＝2（axlna﹣ex）至少應(yīng)該兩個變號零點，對其再求導(dǎo)f″（x）＝2ax（lna）2﹣2e，分類討論0＜a＜1和a＞1時兩種情況即可得出結(jié)果．
【解答】解：對原函數(shù)求導(dǎo)f′（x）＝2（axlna﹣ex），分析可知：f′（x）在定義域內(nèi)至少有兩個變號零點，
對其再求導(dǎo)可得：f″（x）＝2ax（lna）2﹣2e，
當(dāng)a＞1時，易知f″（x）在R上單調(diào)遞增，此時若存在x0使得f″（x0）＝0，
則f′（x）在（﹣∞，x0）單調(diào)遞減，（x0，+∞）單調(diào)遞增，
此時若函數(shù)f（x）在x＝x1和x＝x2分別取極小值點和極大值點，應(yīng)滿足x1＞x2，不滿足題意；
當(dāng)0＜a＜1時，易知f″（x）在R上單調(diào)遞減，此時若存在x0使得f″（x0）＝0，
則f′（x）在（﹣∞，x0）單調(diào)遞增，（x0，+∞）單調(diào)遞減，且，
此時若函數(shù)f（x）在x＝x1和x＝x2分別取極小值點和極大值點，且x1＜x2，
故僅需滿足f′（x0）＞0，
即：??＜ln?，
解得：，又因為0＜a＜1，故
綜上所述：a的取值范圍是．
【點評】本題主要考查利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值點問題，考查運算求解能力，屬于中檔題．
三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。
17．（12分）（2022?乙卷）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinCsin（A﹣B）＝sinBsin（C﹣A）．
（1）證明：2a2＝b2+c2；
（2）若a＝5，cosA＝，求△ABC的周長．
【考點】解三角形；正弦定理；余弦定理．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；數(shù)學(xué)運算．
【分析】（1）利用兩角差與和的正弦公式，三角形內(nèi)角和公式，正弦和余弦定理，即可求得結(jié)論；
（2）利用（1）中結(jié)論求出b2+c2和2bc的值，即可求出△ABC的周長．
【解答】（1）證明：△ABC中，sinCsin（A﹣B）＝sinBsin（C﹣A），
所以sinC（sinAcosB﹣cosAsinB）＝sinB（sinCcosA﹣cosCsinA），
所以sinAsinBcosC+sinAcosBsinC＝2cosAsinBsinC，
即sinA（sinBcosC+cosBsinC）＝2cosAsinBsinC，
所以sinAsin（B+C）＝2cosAsinBsinC，
由正弦定理得a2＝2bccosA，
由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA，
所以2a2＝b2+c2；
（2）當(dāng)a＝5，cosA＝時，b2+c2＝2×52＝50，2bc＝＝＝31，
所以（b+c）2＝b2+c2+2bc＝50+31＝81，解得b+c＝9，
所以△ABC的周長為a+b+c＝5+9＝14．
【點評】本題考查了三角恒等變換與解三角形的應(yīng)用問題，也考查了運算求解能力與推理證明能力，是中檔題．
18．（12分）（2022?乙卷）如圖，四面體ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E為AC的中點．
（1）證明：平面BED⊥平面ACD；
（2）設(shè)AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，點F在BD上，當(dāng)△AFC的面積最小時，求CF與平面ABD所成的角的正弦值．

【考點】直線與平面所成的角；平面與平面垂直．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間角；數(shù)學(xué)運算．
【分析】（1）利用三角形全等可得AB＝BC，可證EB⊥AC，易證DE⊥AC，從而可證平面BED⊥平面ACD；
（2）由題意可知△AFC的面積最小時，EF⊥BD，據(jù)此計算可求得CF與平面ABD所成的角的正弦值．
【解答】（1）證明：∵AD＝CD，E為AC的中點．∴DE⊥AC，
又∵AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD，
∴AB＝BC，又∵E為AC的中點．∴EB⊥AC，又BE∩DE＝E，BE?平面BED，DE?平面BED，
∴AC⊥平面BED，又AC?平面ACD，∴平面BED⊥平面ACD；
（2）解：連接EF，由（1）知AC⊥EF，∴S△AFC＝AC×EF，

故EF最小時，△AFC的面積最小，∴EF⊥BD時，△AFC的面積最小，
又AC⊥平面BED，BD?平面BED，∴AC⊥BD，又AC∩EF＝E，AC?平面AFC，EF?平面AFC，
∴BD⊥平面AFC，又BD?平面ABD，∴平面ABD⊥平面AFC，
過C作CM⊥AF于點M，則CM⊥平面ABD，
故∠CFM，即∠CFA為直線CF與平面ABD所成的角，
由AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，知△BAC是2為邊長的等邊三角形，
故AC＝2，由已知可得DE＝1，BE＝，又BD＝2，∴BD2＝ED2+EB2，
∴∠BED＝90°，所以EF＝＝，
∴CF＝＝，∴AF＝，
在△ACF中，由余弦定理得cos∠AFC＝＝﹣，
∴sin∠AFC＝．
故CF與平面ABD所成的角的正弦值為．
【點評】本題考查面面垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，屬中檔題．
19．（12分）（2022?乙卷）某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山．為估計一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積（單位：m2）和材積量（單位：m3），得到如下數(shù)據(jù)：
樣本號i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
總和
根部橫截面積xi
0.04
0.06
0.04
0.08
0.08
0.05
0.05
0.07
0.07
0.06
0.6
材積量yi
0.25
0.40
0.22
0.54
0.51
0.34
0.36
0.46
0.42
0.40
3.9
并計算得xi2＝0.038，yi2＝1.6158，xiyi＝0.2474．
（1）估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；
（2）求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；
（3）現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為186m2．已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比．利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值．
附：相關(guān)系數(shù)r＝，≈1.377．
【考點】線性回歸方程．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】對應(yīng)思想；概率與統(tǒng)計；數(shù)學(xué)運算．
【分析】根據(jù)題意結(jié)合線性回歸方程求平均數(shù)、樣本相關(guān)系數(shù)，并估計該林區(qū)這種樹木的總材積量的值即可．
【解答】解：（1）設(shè)這種樹木平均一棵的根部橫截面積為，平均一棵的材積量為，
則根據(jù)題中數(shù)據(jù)得：＝＝0.06m2，＝＝0.39m3；
（2）由題可知，r＝＝＝＝≈0.97；
（3）設(shè)總根部面積和X，總材積量為Y，則，故Y＝＝1209（m3）．
【點評】本題考查線性回歸方程，屬于中檔題．
20．（12分）（2022?乙卷）已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點，對稱軸為x軸、y軸，且過A（0，﹣2），B（，﹣1）兩點．
（1）求E的方程；
（2）設(shè)過點P（1，﹣2）的直線交E于M，N兩點，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點T，點H滿足＝．證明：直線HN過定點．
【考點】直線與橢圓的綜合．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】計算題；整體思想；綜合法；圓錐曲線中的最值與范圍問題；數(shù)學(xué)運算．
【分析】（1）設(shè)E的方程為mx2+ny2＝1（m＞0，n＞0且m≠n），將A，B兩點坐標(biāo)代入即可求解；（2）由可得線段，①若過P（1，﹣2）的直線的斜率不存在，直線為x＝1，代入橢圓方程，根據(jù)＝即可求解；②若過P（1，﹣2）的直線的斜率存在，設(shè)kx﹣y﹣（k+2）＝0，M（x1，y1），N（x2，y2），聯(lián)立，得（3k2+4）x2﹣6k（2+k）x+3k（k+4）＝0，結(jié)合韋達定理和已知條件即可求解．
【解答】解：（1）設(shè)E的方程為mx2+ny2＝1（m＞0，n＞0且m≠n），
將兩點代入得，
解得m＝，n＝，
故E的方程為；
（2）由可得線段
（1）若過點 P（1，﹣2）的直線斜率不存在，直線 x＝1．代入 ，
可得M（1，﹣），N，將y＝﹣代入 ，可得 ，得到H（﹣，﹣）求得 HN 方程：y＝，過點 （0，﹣2）．
②若過P（1，﹣2）的直線的斜率存在，設(shè)kx﹣y﹣（k+2）＝0，M（x1，y1），N（x2，y2），
聯(lián)立，得（3k2+4）x2﹣6k（2+k）x+3k（k+4）＝0，
故有，，
x1y2+x2y1＝x1（kx2﹣k﹣2）+x2（kx1﹣k﹣2）
＝kx1x2﹣kx1﹣2x1+kx1x2﹣kx2﹣2x2
＝2kx1x2﹣（k+2）（x1+x2）
＝2k?﹣（k+2）?
＝，
∴（*），
聯(lián)立，可得，
可求得此時，
將（0，﹣2）代入整理得2（x1+x2）﹣6（y1+y2）+x1y2+x2y1﹣3y1y2﹣12＝0，
將（*）代入，得24k+12k2+96+48k﹣24k﹣48﹣48k+24k2﹣36k2﹣48＝0，
顯然成立．
綜上，可得直線HN過定點（0，﹣2）．
【點評】本題考查了直線與橢圓的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．
21．（12分）（2022?乙卷）已知函數(shù)f（x）＝ln（1+x）+axe﹣x．
（1）當(dāng)a＝1時，求曲線y＝f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（2）若f（x）在區(qū)間（﹣1，0），（0，+∞）各恰有一個零點，求a的取值范圍．
【考點】函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】分類討論；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算．
【分析】（1）將a＝1代入，對函數(shù)f（x）求導(dǎo)，求出f′（0）及f（0），由點斜式得答案；
（2）對函數(shù)f（x）求導(dǎo)，分a≥0及a＜0討論，當(dāng)a≥0時容易判斷不合題意，當(dāng)a＜0時，令，利用導(dǎo)數(shù)判斷g（x）的性質(zhì)，進而判斷得到函數(shù)f（x）的單調(diào)性并結(jié)合零點存在性定理即可得解．
【解答】解：（1）當(dāng)a＝1時，f（x）＝ln（1+x）+xe﹣x，則，
∴f′（0）＝1+1＝2，
又f（0）＝0，
∴所求切線方程為y＝2x；
（2），
若a≥0，當(dāng)﹣1＜x＜0時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，則f（x）＜f（0）＝0，不合題意；
故a＜0，，令，注意到，
令g′（x）＜0，解得或，令g′（x）＞0，解得，
∴g（x）在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且x＞1時，g（x）＞0，
①若g（0）＝1+a≥0，當(dāng)x＞0時，g（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，不合題意；
②若g（0）＝1+a＜0，g（0）g（1）＜0，則存在x0∈（0，1），使得g（x0）＝0，
且當(dāng)x∈（0，x0）時，g（x）＜g（x0）＝0，f（x）單調(diào)遞減，則f（x0）＜f（0）＝0，
當(dāng)x＞1時，f（x）＞ln（1+x）+a＞0，f（e﹣a﹣1）＞0，則由零點存在性定理可知f（x）在（x0，e﹣a﹣1）上存在一個根，
當(dāng)時，g（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，，
當(dāng)時，f（x）＜ln（1+x）﹣ae＜0，f（eae﹣1）＜0，則由零點存在性定理可知f（x）在上存在一個根．
綜上，實數(shù)a的取值范圍為（﹣∞，﹣1）．
【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，零點問題，考查分類討論思想及運算求解能力，屬于難題．
（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）
22．（10分）（2022?乙卷）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+）+m＝0．
（1）寫出l的直角坐標(biāo)方程；
（2）若l與C有公共點，求m的取值范圍．
【考點】簡單曲線的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程化成普通方程．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化法；坐標(biāo)系和參數(shù)方程；數(shù)學(xué)運算．
【分析】（1）由ρsin（θ+）+m＝0，展開兩角和的正弦，結(jié)合極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，可得l的直角坐標(biāo)方程；
（2）化曲線C的參數(shù)方程為普通方程，聯(lián)立直線方程與曲線C的方程，化為關(guān)于y的一元二次方程，再求解m的取值范圍．
【解答】解：（1）由ρsin（θ+）+m＝0，得，
∴，
又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴，
即l的直角坐標(biāo)方程為；
（2）由曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．
消去參數(shù)t，可得，
聯(lián)立，得3y2﹣2y﹣4m﹣6＝0（﹣2≤y≤2）．
∴4m＝3y2﹣2y﹣6，
令g（y）＝3y2﹣2y﹣6（﹣2≤y≤2），
可得，當(dāng)y＝﹣2時，g（y）max＝g（﹣2）＝10，
∴﹣≤4m≤10，﹣≤m≤，
∴m的取值范圍是[，]．
【點評】本題考查簡單曲線的極坐標(biāo)方程，考查參數(shù)方程化普通方程，考查直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，是中檔題．
[選修4-5：不等式選講]（10分）
23．（2022?乙卷）已知a，b，c都是正數(shù)，且++＝1，證明：
（1）abc≤；
（2）++≤．
【考點】不等式的證明．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；不等式；邏輯推理．
【分析】結(jié)合基本不等式與恒成立問題證明即可．
【解答】解：（1）證明：∵a，b，c都是正數(shù)，
∴++≥3，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時，等號成立．
因為++＝1，
所以1≥3，
所以≥，
所以abc≤，得證．
（2）根據(jù)基本不等式b+c≥2，a+c≥2，a+b≥2，
∴++≤++＝++＝＝，
當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時等號成立，故得證．
【點評】本題考查基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．

考點卡片
1．補集及其運算
【知識點的認識】
一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集，通常記作U．（通常把給定的集合作為全集）．
對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集，簡稱為集合A的補集，記作?UA，即?UA＝{x|x∈U，且x?A}．其圖形表示如圖所示的Venn圖．．
【解題方法點撥】
常用數(shù)軸以及韋恩圖幫助分析解答，補集常用于對立事件，否命題，反證法．

【命題方向】
通常情況下以小題出現(xiàn)，高考中直接求解補集的選擇題，有時出現(xiàn)在簡易邏輯中，也可以與函數(shù)的定義域、值域，不等式的解集相結(jié)合命題，也可以在恒成立中出現(xiàn)．
2．基本不等式及其應(yīng)用
【概述】
基本不等式主要應(yīng)用于求某些函數(shù)的最值及證明不等式．其可表述為：兩個正實數(shù)的幾何平均數(shù)小于或等于它們的算術(shù)平均數(shù)．公式為：≥（a≥0，b≥0），變形為ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．
【實例解析】
例1：下列結(jié)論中，錯用基本不等式做依據(jù)的是．
A：a，b均為負數(shù)，則． B：． C：． D：．
解：根據(jù)均值不等式解題必須滿足三個基本條件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均滿足條件．
對于C選項中sinx≠±2，
不滿足“相等”的條件，
再者sinx可以取到負值．
故選：C．
A選項告訴我們正數(shù)的要求是整個式子為正數(shù)，而不是式子當(dāng)中的某一個組成元素；B分子其實可以寫成x2+1+1，然后除以分母就可換成基本不等式．這個例題告訴我們對于一個式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．
例2：利用基本不等式求的最值？當(dāng)0＜x＜1時，如何求的最大值．
解：當(dāng)x＝0時，y＝0，
當(dāng)x≠0時，＝，
用基本不等式
若x＞0時，0＜y≤，
若x＜0時，﹣≤y＜0，
綜上得，可以得出﹣≤y≤，
∴的最值是﹣與．
這是基本不等式在函數(shù)中的應(yīng)用，他的解題思路是首先判斷元素是否大于0，沒有明確表示的話就需要討論；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成兩個元素（函數(shù)）相加，而他們的特點是相乘后為常數(shù)；最后套用基本不等式定理直接求的結(jié)果．
【基本不等式的應(yīng)用】
1、求最值
例1：求下列函數(shù)的值域．

2、利用基本不等式證明不等式

3、基本不等式與恒成立問題

4、均值定理在比較大小中的應(yīng)用



【解題方法點撥】
技巧一：湊項

點評：本題需要調(diào)整項的符號，又要配湊項的系數(shù)，使其積為定值．
技巧二：湊系數(shù)
例2：當(dāng)0＜x＜4時，求y＝x（8﹣2x）的最大值．
解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8為定值，故只需將y＝x（8﹣2x）湊上一個系數(shù)即可．
y＝x（8﹣2x）＝[2x?（8﹣2x）]≤（）2＝8
當(dāng)2x＝8﹣2x，即x＝2時取等號，當(dāng)x＝2時，y＝x（8﹣x2）的最大值為8．
評注：本題無法直接運用基本不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用基本不等式求最大值．
技巧三：分離
例3：求y＝的值域．
解：本題看似無法運用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有（x+1）的項，再將其分離．
y＝＝＝（x+1）++5，
當(dāng)x＞﹣1，即x+1＞0時，y≥2+5＝9（當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取“＝”號）
技巧四：換元
對于上面例3，可先換元，令t＝x+1，化簡原式在分離求最值．
技巧五：結(jié)合函數(shù)f（x）＝x+的單調(diào)性．

技巧六：整體代換

點評：多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯．
技巧七：取平方

點評：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用基本不等式創(chuàng)造了條件．
總之，我們利用基本不等式求最值時，一定要注意“一正二定三相等”，同時還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用基本不等式．
3．抽象函數(shù)及其應(yīng)用
【知識點的認識】
抽象函數(shù)是指沒有給出函數(shù)的具體解析式，只給出了一些體現(xiàn)函數(shù)特征的式子的一類函數(shù)．由于抽象函數(shù)表現(xiàn)形式的抽象性，使得這類問題成為函數(shù)內(nèi)容的難點之一．
【解題方法點撥】
①盡可能把抽象函數(shù)與我們數(shù)學(xué)的具體模型聯(lián)系起來，如f（x+y）＝f（x）+f（y），它的原型就是y＝kx；
②可通過賦特殊值法使問題得以解決
例：f（xy）＝f（x）+f（y），求證f（1）＝f（﹣1）＝0
令x＝y(tǒng)＝1，則f（1）＝2f（1）?f（1）＝0
令x＝y(tǒng)＝﹣1，同理可推出f（﹣1）＝0
③既然是函數(shù)，也可以運用相關(guān)的函數(shù)性質(zhì)推斷它的單調(diào)性；
【命題方向】抽象函數(shù)及其應(yīng)用．
抽象函數(shù)是一個重點，也是一個難點，解題的主要方法也就是我上面提到的這兩種．高考中一般以中檔題和小題為主，要引起重視．
4．函數(shù)的值
【知識點的認識】
函數(shù)不等同于方程，嚴格來說函數(shù)的值應(yīng)該說成是函數(shù)的值域．函數(shù)的值域和定義域一樣，都是?？键c，也是易得分的點．其概念為在某一個定義域內(nèi)因變量的取值范圍．
【解題方法點撥】
求函數(shù)值域的方法比較多，常用的方法有一下幾種：
①基本不等式法：如當(dāng)x＞0時，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8；
②轉(zhuǎn)化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是數(shù)軸上的點到x＝5和x＝3的距離之和，易知最小值為2；
③求導(dǎo)法：通過求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性進而求出極值，再結(jié)合端點的值最后進行比較
例題：求f（x）＝lnx﹣x在（0，+∞）的值域
解：f′（x）＝﹣1＝
∴易知函數(shù)在（0，1]單調(diào)遞增，（1，+∞）單調(diào)遞減
∴最大值為：ln1﹣1＝﹣1，無最小值；
故值域為（﹣∞，﹣1）
【命題方向】
函數(shù)的值域如果是單獨考的話，主要是在選擇題填空題里面出現(xiàn)，這類題難度小，方法集中，希望同學(xué)們引起高度重視，而大題目前的趨勢主要還是以恒成立的問題為主．
5．三角函數(shù)的周期性
【知識點的認識】
周期性
①一般地，對于函數(shù)f（x），如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有f（x+T）＝f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期．
②對于一個周期函數(shù)f（x），如果在它所有的周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f（x）的最小正周期．
③函數(shù)y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函數(shù)y＝Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ為常數(shù)，且A≠0，ω＞0）的周期T＝．

【解題方法點撥】
1．一點提醒
求函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的單調(diào)區(qū)間時，應(yīng)注意ω的符號，只有當(dāng)ω＞0時，才能把ωx+φ看作一個整體，代入y＝sin t的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間求解，否則將出現(xiàn)錯誤．
2．兩類點
y＝sin x，x∈[0，2π]，y＝cos x，x∈[0，2π]的五點是：零點和極值點（最值點）．
3．求周期的三種方法
①利用周期函數(shù)的定義．f（x+T）＝f（x）
②利用公式：y＝Asin（ωx+φ）和y＝Acos（ωx+φ）的最小正周期為，y＝tan（ωx+φ）的最小正周期為．
③利用圖象．圖象重復(fù)的x的長度．
6．余弦函數(shù)的圖象
【知識點的知識】
正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)
函數(shù)
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
圖象



定義域
R
R
k∈Z
值域
[﹣1，1]
[﹣1，1]
R
單調(diào)性
遞增區(qū)間：

（k∈Z）；
遞減區(qū)間：

（k∈Z）
遞增區(qū)間：
[2kπ﹣π，2kπ]
（k∈Z）；
遞減區(qū)間：
[2kπ，2kπ+π]
（k∈Z）
遞增區(qū)間：
（k∈Z）
最　值
x＝2kπ+（k∈Z）時，ymax＝1；
x＝2kπ﹣（k∈Z）時，
ymin＝﹣1
x＝2kπ（k∈Z）時，ymax＝1；
x＝2kπ+π（k∈Z） 時，
ymin＝﹣1
無最值
奇偶性
奇函數(shù)
偶函數(shù)
奇函數(shù)
對稱性
對稱中心：（kπ，0）（k∈Z）
對稱軸：x＝kπ+，k∈Z
對稱中心：（k∈Z）
對稱軸：x＝kπ，k∈Z
對稱中心：（k∈Z）
無對稱軸
周期
2π
2π
π
7．函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系
【函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系】
函數(shù)的零點表示的是函數(shù)與x軸的交點，方程的根表示的是方程的解，他們的含義是不一樣的．但是，他們的解法其實質(zhì)是一樣的．
【解法】
求方程的根就是解方程，把所有的解求出來，一般要求的是二次函數(shù)或者方程組，這里不多講了．我們重點來探討一下函數(shù)零點的求法（配方法）．
例題：求函數(shù)f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零點．
解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70
＝（x﹣5）?（x+7）?（x+2）?（x+1）
∴函數(shù)f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零點是：5、﹣7、﹣2、﹣1．
通過這個題，我們發(fā)現(xiàn)求函數(shù)的零點常用的方法就是配方法，把他配成若干個一次函數(shù)的乘積或者是二次函數(shù)的乘積，最后把它轉(zhuǎn)化為求基本函數(shù)的零點或者說求基本函數(shù)等于0時的解即可．
【考查趨勢】
考的比較少，了解相關(guān)的概念和基本的求法即可．
8．等比數(shù)列的通項公式
【知識點的認識】
1．等比數(shù)列的定義
如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比值等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．從等比數(shù)列的定義看，等比數(shù)列的任意項都是非零的，公比q也是非零常數(shù)．
2．等比數(shù)列的通項公式
設(shè)等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，則它的通項an＝a1?qn﹣1
3．等比中項：
如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項． G2＝a?b （ab≠0）
4．等比數(shù)列的常用性質(zhì)
（1）通項公式的推廣：an＝am?qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}為等比數(shù)列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），則 ak?al＝am?an
（3）若{an}，{bn}（項數(shù)相同）是等比數(shù)列，則{λan}（λ≠0），{a}，{an?bn}，仍是等比數(shù)列．
（4）單調(diào)性：或?{an}是遞增數(shù)列；或?{an}是遞減數(shù)列；q＝1?{an}是常數(shù)列；q＜0?{an}是擺動數(shù)列．
9．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值
【知識點的知識】
1、極值的定義：
（1）極大值：一般地，設(shè)函數(shù)f（x）在點x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有f（x）＜f（x0），就說f（x0）是函數(shù)f（x）的一個極大值，記作y極大值＝f（x0），x0是極大值點；
（2）極小值：一般地，設(shè)函數(shù)f（x）在x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有f（x）＞f（x0），就說f（x0）是函數(shù)f（x）的一個極小值，記作y極小值＝f（x0），x0是極小值點．

2、極值的性質(zhì)：
（1）極值是一個局部概念，由定義知道，極值只是某個點的函數(shù)值與它附近點的函數(shù)值比較是最大或最小，并不意味著它在函數(shù)的整個的定義域內(nèi)最大或最??；
（2）函數(shù)的極值不是唯一的，即一個函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個；
（3）極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系，即一個函數(shù)的極大值未必大于極小值；
（4）函數(shù)的極值點一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點不能成為極值點，而使函數(shù)取得最大值、最小值的點可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點．

3、判別f（x0）是極大、極小值的方法：
若x0滿足f′（x0）＝0，且在x0的兩側(cè)f（x）的導(dǎo)數(shù)異號，則x0是f（x）的極值點，f（x0）是極值，并且如果f′（x）在x0兩側(cè)滿足“左正右負”，則x0是f（x）的極大值點，f（x0）是極大值；如果f′（x）在x0兩側(cè)滿足“左負右正”，則x0是f（x）的極小值點，f（x0）是極小值．

4、求函數(shù)f（x）的極值的步驟：
（1）確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格，檢查f′（x）在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么f（x）在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f（x）在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號即都為正或都為負，則f（x）在這個根處無極值．


【解題方法點撥】
在理解極值概念時要注意以下幾點：
（1）按定義，極值點x0是區(qū)間[a，b]內(nèi)部的點，不會是端點a，b（因為在端點不可導(dǎo)）．
（2）極值是一個局部性概念，只要在一個小領(lǐng)域內(nèi)成立即可．要注意極值必須在區(qū)間內(nèi)的連續(xù)點取得．一個函數(shù)在定義域內(nèi)可以有許多個極小值和極大值，在某一點的極小值也可能大于另一個點的極大值，也就是說極大值與極小值沒有必然的大小關(guān)系，即極大值不一定比極小值大，極小值不一定比極大值?。?br /> （3）若f（x）在（a，b）內(nèi)有極值，那么f（x）在（a，b）內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)沒有極值．
（4）若函數(shù)f（x）在[a，b]上有極值且連續(xù)，則它的極值點的分布是有規(guī)律的，相鄰兩個極大值點之間必有一個極小值點，同樣相鄰兩個極小值點之間必有一個極大值點，一般地，當(dāng)函數(shù)f（x）在[a，b]上連續(xù)且有有
限個極值點時，函數(shù)f（x）在[a，b]內(nèi)的極大值點、極小值點是交替出現(xiàn)的，
（5）可導(dǎo)函數(shù)的極值點必須是導(dǎo)數(shù)為0的點，但導(dǎo)數(shù)為0的點不一定是極值點，不可導(dǎo)的點也可能是極值點，也可能不是極值點．
10．利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程
【考點描述】
利用導(dǎo)數(shù)來求曲線某點的切線方程是高考中的一個?？键c，它既可以考查學(xué)生求導(dǎo)能力，也考察了學(xué)生對導(dǎo)數(shù)意義的理解，還考察直線方程的求法，因為包含了幾個比較重要的基本點，所以在高考出題時備受青睞．我們在解答這類題的時候關(guān)鍵找好兩點，第一找到切線的斜率；第二告訴的這點其實也就是直線上的一個點，在知道斜率的情況下可以用點斜式把直線方程求出來．
【實例解析】
例：已知函數(shù)y＝xlnx，求這個函數(shù)的圖象在點x＝1處的切線方程．
解：k＝y(tǒng)'|x＝1＝ln1+1＝1
又當(dāng)x＝1時，y＝0，所以切點為（1，0）
∴切線方程為y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我們通過這個例題發(fā)現(xiàn)，第一步確定切點；第二步求斜率，即求曲線上該點的導(dǎo)數(shù)；第三步利用點斜式求出直線方程．這種題的原則基本上就這樣，希望大家靈活應(yīng)用，認真總結(jié)．
11．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算
【知識點的知識】
1、平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)：
設(shè)，都是非零向量，是與方向相同的單位向量，與和夾角為θ，則：
（1）＝＝||cosθ；
（2）?＝0；（判定兩向量垂直的充要條件）
（3）當(dāng)，方向相同時，＝||||；當(dāng)，方向相反時，＝﹣||||；
特別地：＝||2或||＝（用于計算向量的模）
（4）cosθ＝（用于計算向量的夾角，以及判斷三角形的形狀）
（5）||≤||||

2、平面向量數(shù)量積的運算律
（1）交換律：；
（2）數(shù)乘向量的結(jié)合律：（λ）?＝λ（）＝?（）；
（3）分配律：（）?≠?（）

【平面向量數(shù)量積的運算】
平面向量數(shù)量積運算的一般定理為①（±）2＝2±2?+2．②（﹣）（+）＝2﹣2．③?（?）≠（?）?，從這里可以看出它的運算法則和數(shù)的運算法則有些是相同的，有些不一樣．
【例題解析】
例：由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運算法則：
①“mn＝nm”類比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（）?＝”；
③“t≠0，mt＝nt?m＝n”類比得到“?”；
④“|m?n|＝|m|?|n|”類比得到“||＝||?||”；
⑤“（m?n）t＝m（n?t）”類比得到“（）?＝”；
⑥“”類比得到．以上的式子中，類比得到的結(jié)論正確的是?、佗凇。?br /> 解：∵向量的數(shù)量積滿足交換律，
∴“mn＝nm”類比得到“”，
即①正確；
∵向量的數(shù)量積滿足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（）?＝”，
即②正確；
∵向量的數(shù)量積不滿足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類比得到“?”，
即③錯誤；
∵||≠|(zhì)|?||，
∴“|m?n|＝|m|?|n|”不能類比得到“||＝||?||”；
即④錯誤；
∵向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，
∴“（m?n）t＝m（n?t）”不能類比得到“（）?＝”，
即⑤錯誤；
∵向量的數(shù)量積不滿足消元律，
∴”不能類比得到，
即⑥錯誤．
故答案為：①②．
向量的數(shù)量積滿足交換律，由“mn＝nm”類比得到“”；向量的數(shù)量積滿足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（）?＝”；向量的數(shù)量積不滿足消元律，故“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類比得到“?”；||≠|(zhì)|?||，故“|m?n|＝|m|?|n|”不能類比得到“||＝||?||”；向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，故“（m?n）t＝m（n?t）”不能類比得到“（）?＝”；向量的數(shù)量積不滿足消元律，故”不能類比得到．
【考點分析】
本知識點應(yīng)該所有考生都要掌握，這個知識點和三角函數(shù)聯(lián)系比較多，也是一個?？键c，題目相對來說也不難，所以是拿分的考點，希望大家都掌握．
12．正弦定理
【知識點的知識】
1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
內(nèi)容
＝2R
（ R是△ABC外接圓半徑）
a2＝b2+c2﹣2bccosA，
b2＝a2+c2﹣2accosB，
c2＝a2+b2﹣2abcosC　
變形
形式
①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
②sinA＝，sinB＝，sinC＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
cosA＝，
cosB＝，
cosC＝
解決
三角
形的
問題
①已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；
②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和其他兩角
①已知三邊，求各角；
②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角
在△ABC中，已知a，b和角A時，解的情況

A為銳角
A為鈍角或直角
圖形




關(guān)系式
a＝bsinA
bsinA＜a＜b
a≥b
a＞b
解的個數(shù)
一解
兩解
一解
一解
由上表可知，當(dāng)A為銳角時，a＜bsinA，無解．當(dāng)A為鈍角或直角時，a≤b，無解．
2、三角形常用面積公式
1．S＝a?ha（ha表示邊a上的高）；
2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．
3．S＝r（a+b+c）（r為內(nèi)切圓半徑）．
【正余弦定理的應(yīng)用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判斷三角形的形狀．
3、解決與面積有關(guān)的問題．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在實際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識
（1）測距離問題：測量一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離問題，用正弦定理就可解決．
解題關(guān)鍵在于明確：
①測量從一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離問題，一般可轉(zhuǎn)化為已知三角形兩個角和一邊解三角形的問題，再運用正弦定理解決；
②測量兩個不可到達的點之間的距離問題，首先把求不可到達的兩點之間的距離轉(zhuǎn)化為應(yīng)用正弦定理求三角形的邊長問題，然后再把未知的邊長問題轉(zhuǎn)化為測量可到達的一點與不可到達的一點之間的距離問題．
（2）測量高度問題：
解題思路：
①測量底部不可到達的建筑物的高度問題，由于底部不可到達，因此不能直接用解直角三角形的方法解決，但常用正弦定理計算出建筑物頂部或底部到一個可到達的點之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題．
②對于頂部不可到達的建筑物高度的測量問題，我們可選擇另一建筑物作為研究的橋梁，然后找到可測建筑物的相關(guān)長度和仰、俯角等構(gòu)成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
點撥：在測量高度時，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一鉛錘面內(nèi)，視線與水平線的夾角．當(dāng)視線在水平線之上時，成為仰角；當(dāng)視線在水平線之下時，稱為俯角．
13．余弦定理
【知識點的知識】
1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
內(nèi)容
＝2R
（ R是△ABC外接圓半徑）
a2＝b2+c2﹣2bccos A，
b2＝a2+c2﹣2accos_B，
c2＝a2+b2﹣2abcos_C　
變形
形式
①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
②sin A＝，sin B＝，sin C＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cos A＝，
cos B＝，
cos C＝
解決
三角
形的
問題
①已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；
②②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和其他兩角
①已知三邊，求各角；
②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角
【正余弦定理的應(yīng)用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判斷三角形的形狀．
3、解決與面積有關(guān)的問題．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在實際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識
（1）測距離問題：測量一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離問題，用正弦定理就可解決．
解題關(guān)鍵在于明確：
①測量從一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離問題，一般可轉(zhuǎn)化為已知三角形兩個角和一邊解三角形的問題，再運用正弦定理解決；
②測量兩個不可到達的點之間的距離問題，首先把求不可到達的兩點之間的距離轉(zhuǎn)化為應(yīng)用正弦定理求三角形的邊長問題，然后再把未知的邊長問題轉(zhuǎn)化為測量可到達的一點與不可到達的一點之間的距離問題．
（2）測量高度問題：
解題思路：
①測量底部不可到達的建筑物的高度問題，由于底部不可到達，因此不能直接用解直角三角形的方法解決，但常用正弦定理計算出建筑物頂部或底部到一個可到達的點之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題．
②對于頂部不可到達的建筑物高度的測量問題，我們可選擇另一建筑物作為研究的橋梁，然后找到可測建筑物的相關(guān)長度和仰、俯角等構(gòu)成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
點撥：在測量高度時，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一鉛錘面內(nèi)，視線與水平線的夾角．當(dāng)視線在水平線之上時，成為仰角；當(dāng)視線在水平線之下時，稱為俯角．
14．解三角形
【知識點的知識】
1．已知兩角和一邊（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．
2．已知兩邊和夾角（如a、b、c），應(yīng)用余弦定理求c邊；再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．
3．已知兩邊和其中一邊的對角（如a、b、A），應(yīng)用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c邊，要注意解可能有多種情況．
4．已知三邊a、b、c，應(yīng)用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．
5．方向角一般是指以觀測者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)的方向線所成的角（一般指銳角），通常表達成．正北或正南，北偏東××度，北偏西××度，南偏東××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，視線在水平線下方的角叫俯角．如圖中OD、OE是視線，是仰角，是俯角．

7．關(guān)于三角形面積問題
①S△ABC＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分別表示a、b、c上的高）；
②S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB；
③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R為外接圓半徑）
④S△ABC＝；
⑤S△ABC＝，（s＝（a+b+c））；
⑥S△ABC＝r?s，（ r為△ABC內(nèi)切圓的半徑）

在解三角形時，常用定理及公式如下表：
名稱
公式
變形
內(nèi)角和定理
A+B+C＝π
+＝﹣，2A+2B＝2π﹣2C
余弦定理
a2＝b2+c2﹣2bccosA
b2＝a2+c2﹣2accosB
c2＝a2+b2﹣2abcosC
cosA＝
cosB＝
cosC＝
正弦定理
＝2R
R為△ABC的外接圓半徑
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC
sinA＝，sinB＝，sinC＝
射影定理
acosB+bcosA＝c
acosC+ccosA＝b
bcosC+ccosB＝a

面積公式
①S△＝aha＝bhb＝chc
②S△＝absinC＝acsinB＝bcsinA
③S△＝
④S△＝，（s＝（a+b+c））；
⑤S△＝（a+b+c）r
（r為△ABC內(nèi)切圓半徑）
sinA＝
sinB＝

sinC＝
15．虛數(shù)單位i、復(fù)數(shù)
【虛數(shù)單位i的概念】
i是數(shù)學(xué)中的虛數(shù)單位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我們把a+bi的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，把a＝0且b≠0的數(shù)叫做純虛數(shù)，a≠0，且b＝0叫做實數(shù)．復(fù)數(shù)的模為．
【復(fù)數(shù)的運算】
①復(fù)數(shù)的加法，若M＝a+bi，N＝c+di，那么M+N＝（a+c）+（b+d）i，即實部與實部相加，虛部與虛部相加．
②復(fù)數(shù)的乘法，若M＝a+bi，N＝c+di，那么M?N＝（ac﹣bd）+（ad+bc）i，與多項式乘法類似，只不過要加上i．
【例題解析】
例：定義運算，則符合條件的復(fù)數(shù)z為．
解：根據(jù)定義，可知1×zi﹣（﹣1）×z＝4+2i，即z（1+i）＝4+2i，∴z＝＝＝3﹣i．
這個題很好地反應(yīng)了復(fù)數(shù)的一般考法，也就是考查復(fù)數(shù)的運算能力，其中常常用到復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)相除．這個題的第一步先把復(fù)數(shù)當(dāng)做一個整體進行運算，第二部相除，思路就是把分母變成實數(shù)，方法就是乘以它的共軛復(fù)數(shù)（虛數(shù)前面的符號變?yōu)橄喾醇仁牵幚磉@種方法外，有的時候還需要設(shè)出復(fù)數(shù)的形式為a+bi，然后在求出a和b，這種類型的題一般用待定系數(shù)法．

【復(fù)數(shù)的概念】形如a+bi（a，b∈R）的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中a，b分別是它的實部和虛部．若b＝0，則a+bi為實數(shù)；若b≠0，則a+bi為虛數(shù)；若a＝0，b≠0，則a+bi為純虛數(shù)．
2、復(fù)數(shù)相等：a+bi＝c+di?a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．
3、共軛復(fù)數(shù)：a+bi與c+di共軛?a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．
4、復(fù)數(shù)的模：的長度叫做復(fù)數(shù)z＝a+bi的模，記作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|＝．
16．復(fù)數(shù)的運算
復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運算法則

17．共軛復(fù)數(shù)
共軛復(fù)數(shù)
18．棱柱、棱錐、棱臺的體積
【知識點的知識】
柱體、錐體、臺體的體積公式：
V柱＝sh，V錐＝Sh．
19．球的體積和表面積
【知識點的認識】
1．球體：在空間中，到定點的距離等于或小于定長的點的集合稱為球體，簡稱球．其中到定點距離等于定長的點的集合為球面．
2．球體的體積公式
設(shè)球體的半徑為R，
V球體＝
3．球體的表面積公式
設(shè)球體的半徑為R，
S球體＝4πR2．
【命題方向】
考查球體的體積和表面積公式的運用，常見結(jié)合其他空間幾何體進行考查，以增加試題難度，根據(jù)題目所給條件得出球體半徑是解題關(guān)鍵．
20．平面與平面平行
【知識點的認識】
兩個平面平行的判定：
（1）兩個平面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行．
（2）垂直于同一直線的兩個平面平行．即a⊥α，且a⊥β，則α∥β．
（3）平行于同一個平面的兩個平面平行．即α∥γ，β∥γ，則α∥β．

平面與平面平行的性質(zhì)：
性質(zhì)定理1：兩個平面平行，在一個平面內(nèi)的任意一條直線平行于另外一個平面．
性質(zhì)定理2：如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行．
性質(zhì)定理3：一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面．
21．平面與平面垂直
【知識點的認識】
平面與平面垂直的判定：
判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直．

平面與平面垂直的性質(zhì)：
性質(zhì)定理1：如果兩個平面垂直，則在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面．
性質(zhì)定理2：如果兩個平面垂直，那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)的一點垂直于第二個平面的直線在第一個平面內(nèi)．
性質(zhì)定理3：如果兩個相交平面都垂直于第三個平面，那么它們的交線垂直于第三個平面．
性質(zhì)定理4：三個兩兩垂直的平面的交線兩兩垂直．
22．直線與平面所成的角
【知識點的知識】
1、直線和平面所成的角，應(yīng)分三種情況：
（1）直線與平面斜交時，直線和平面所成的角是指此直線和它在平面上的射影所成的銳角；
（2）直線和平面垂直時，直線和平面所成的角的大小為90°；
（3）直線和平面平行或在平面內(nèi)時，直線和平面所成的角的大小為0°．
顯然，斜線和平面所成角的范圍是（0，）；直線和平面所成的角的范圍為[0，]．

2、一條直線和一個平面斜交，它們所成的角的度量問題（空間問題）是通過斜線在平面內(nèi)的射影轉(zhuǎn)化為兩條相交直線的度量問題（平面問題）來解決的．具體的解題步驟與求異面直線所成的角類似，有如下的環(huán)節(jié)：
（1）作﹣﹣作出斜線與射影所成的角；
（2）證﹣﹣論證所作（或找到的）角就是要求的角；
（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂線段、斜線段、斜線段的射影所組成的直角三角形）求出角．
（4）答﹣﹣回答求解問題．
在求直線和平面所成的角時，垂線段是其中最重要的元素，它可起到聯(lián)系各線段的紐帶的作用．在直線與平面所成的角的定義中體現(xiàn)等價轉(zhuǎn)化和分類與整合的數(shù)學(xué)思想．

3、斜線和平面所成角的最小性：
斜線和平面所成的角是用兩條相交直線所成的銳角來定義的，其中一條直線就是斜線本身，另一條直線是斜線在平面上的射影．在平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線有無數(shù)條，它們和斜線都組成相交的兩條直線，為什么選中射影和斜線這兩條相交直線，用它們所成的銳角來定義斜線和平面所成的角呢？原因是斜線和平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所成的一切角中，它是最小的角．對于已知的斜線來說這個角是唯一確定的，它的大小反映了斜線關(guān)于平面的“傾斜程度”．根據(jù)線面所成的角的定義，有結(jié)論：斜線和平面所成的角，是這條斜線和這個平面內(nèi)的直線所成的一切角中最小的角．

用空間向量直線與平面所成角的求法：
（1）傳統(tǒng)求法：可通過已知條件，在斜線上取一點作該平面的垂線，找出該斜線在平面內(nèi)的射影，通過解直角三角形求得．
（2）向量求法：設(shè)直線l的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為θ，與的夾角為φ，則有sinθ＝|cos φ|＝．
23．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
【知識點的認識】
1．圓的定義：平面內(nèi)與定點距離等于定長的點的集合（軌跡）叫做圓．定點叫做圓心，定長就是半徑．
2．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），
其中圓心C（a，b），半徑為r．
特別地，當(dāng)圓心為坐標(biāo)原點時，半徑為r的圓的方程為：
x2+y2＝r2．
其中，圓心（a，b）是圓的定位條件，半徑r是圓的定形條件．
【解題思路點撥】
已知圓心坐標(biāo)和半徑，可以直接帶入方程寫出，在所給條件不是特別直接的情況下，關(guān)鍵是求出a，b，r的值再代入．一般求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程主要使用待定系數(shù)法．步驟如下：
（1）根據(jù)題意設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2；
（2）根據(jù)已知條件，列出關(guān)于a，b，r的方程組；
（3）求出a，b，r的值，代入所設(shè)方程中即可．
另外，通過對圓的一般方程進行配方，也可以化為標(biāo)準(zhǔn)方程．
【命題方向】
可以是以單獨考點進行考查，一般以選擇、填空題形式出現(xiàn)，a，b，r值的求解可能和直線與圓的位置關(guān)系、圓錐曲線、對稱等內(nèi)容相結(jié)合，以增加解題難度．在解答題中，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程作為基礎(chǔ)考點往往出現(xiàn)在關(guān)于圓的綜合問題的第一問中，難度不大，關(guān)鍵是讀懂題目，找出a，b，r的值或解得圓的一般方程再進行轉(zhuǎn)化．
例1：圓心為（3，﹣2），且經(jīng)過點（1，﹣3）的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是?。▁﹣3）2+（y+2）2＝5　
分析：設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，代入點的坐標(biāo)，求出半徑，求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
解答：設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣3）2+（y+2）2＝R2，
由圓M經(jīng)過點（1，﹣3）得R2＝5，從而所求方程為（x﹣3）2+（y+2）2＝5，
故答案為（x﹣3）2+（y+2）2＝5
點評：本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用了待定系數(shù)法，關(guān)鍵是確定圓的半徑．
例2：若圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線4x﹣3y＝0和x軸都相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（　?。?br /> A．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1
B．（x﹣2）2+（y+1）2＝1
C．（x+2）2+（y﹣1）2＝1
D．（x﹣3）2+（y﹣1）2＝1
分析：要求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，半徑已知，只需找出圓心坐標(biāo)，設(shè)出圓心坐標(biāo)為（a，b），由已知圓與直線4x﹣3y＝0相切，可得圓心到直線的距離等于圓的半徑，可列出關(guān)于a與b的關(guān)系式，又圓與x軸相切，可知圓心縱坐標(biāo)的絕對值等于圓的半徑即|b|等于半徑1，由圓心在第一象限可知b等于圓的半徑，確定出b的值，把b的值代入求出的a與b的關(guān)系式中，求出a的值，從而確定出圓心坐標(biāo)，根據(jù)圓心坐標(biāo)和圓的半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可．
解答：設(shè)圓心坐標(biāo)為（a，b）（a＞0，b＞0），
由圓與直線4x﹣3y＝0相切，可得圓心到直線的距離d＝＝r＝1，
化簡得：|4a﹣3b|＝5①，
又圓與x軸相切，可得|b|＝r＝1，解得b＝1或b＝﹣1（舍去），
把b＝1代入①得：4a﹣3＝5或4a﹣3＝﹣5，解得a＝2或a＝﹣（舍去），
∴圓心坐標(biāo)為（2，1），
則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1．
故選：A
點評：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，以及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，若直線與圓相切時，圓心到直線的距離d等于圓的半徑r，要求學(xué)生靈活運用點到直線的距離公式，以及會根據(jù)圓心坐標(biāo)和半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
例3：圓x2+y2+2y＝1的半徑為（　?。?br /> A．1 B． C．2 D．4
分析：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，即可求出圓的半徑．
解答：圓x2+y2+2y＝1化為標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2+（y+1）2＝2，
故半徑等于，
故選B．
點評：本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式及各量的幾何意義，把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，是解題的關(guān)鍵．
24．圓的一般方程
【知識點的認識】
1．圓的定義：平面內(nèi)與定點距離等于定長的點的集合（軌跡）叫做圓．定點叫做圓心，定長就是半徑．
2．圓的一般方程：
x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0）
其中圓心坐標(biāo)為（﹣，﹣），半徑r＝．
3．圓的一般方程的特點：
（1）x2和y2系數(shù)相同，且不等于0；
（2）沒有xy這樣的二次項．
以上兩點是二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F＝0表示圓的必要非充分條件．
25．直線與橢圓的綜合
v．
26．拋物線的性質(zhì)
【知識點的知識】
拋物線的簡單性質(zhì)：

27．雙曲線的性質(zhì)
【知識點的知識】
雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)方程
（a＞0，b＞0）
（a＞0，b＞0）
圖形








性





質(zhì)
焦點
F1（﹣c，0），F(xiàn)2（ c，0）
F1（0，﹣c），F(xiàn)2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
|F1F2|＝2c
范圍
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
對稱
關(guān)于x軸，y軸和原點對稱
頂點
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
軸
實軸長2a，虛軸長2b
離心率
e＝（e＞1）
準(zhǔn)線
x＝±
y＝±
漸近線
±＝0
±＝0
28．古典概型及其概率計算公式
【考點歸納】
1．定義：如果一個試驗具有下列特征：
（1）有限性：每次試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果（即基本事件）只有有限個；
（2）等可能性：每次試驗中，各基本事件的發(fā)生都是等可能的．
則稱這種隨機試驗的概率模型為古典概型．
*古典概型由于滿足基本事件的有限性和基本事件發(fā)生的等可能性這兩個重要特征，所以求事件的概率就可以不通過大量的重復(fù)試驗，而只要通過對一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果進行分析和計算即可．
2．古典概率的計算公式
如果一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個基本事件的概率都是；
如果某個事件A包含的結(jié)果有m個，那么事件A的概率為P（A）＝＝．
【解題技巧】
1．注意要點：解決古典概型的問題的關(guān)鍵是：分清基本事件個數(shù)n與事件A中所包含的基本事件數(shù)．
因此要注意清楚以下三個方面：
（1）本試驗是否具有等可能性；
（2）本試驗的基本事件有多少個；
（3）事件A是什么．
2．解題實現(xiàn)步驟：
（1）仔細閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；
（2）判斷本試驗的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件A；
（3）分別求出基本事件的個數(shù)n與所求事件A中所包含的基本事件個數(shù)m；
（4）利用公式P（A）＝求出事件A的概率．
3．解題方法技巧：
（1）利用對立事件、加法公式求古典概型的概率
（2）利用分析法求解古典概型．
29．相互獨立事件和相互獨立事件的概率乘法公式
【知識點的認識】
1．相互獨立事件：事件A（或B）是否發(fā)生，對事件B（或A）發(fā)生的概率沒有影響，這樣兩個事件叫做相互獨立事件．
2．相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式：
將事件A和事件B同時發(fā)生的事件即為A?B，若兩個相互獨立事件A、B同時發(fā)生，則事件A?B發(fā)生的概率為：
P（A?B）＝P（A）?P（B）
推廣：一般地，如果事件A1，A2，…，An相互獨立，那么這n個事件同時發(fā)生的概率等于每個事件發(fā)生的概率之積，即：
P（A1?A2…An）＝P（A1）?P（A2）…P（An）
3．區(qū)分
互斥事件和相互獨立事件是兩個不同的概念：
（1）互斥事件：兩個事件不可能同時發(fā)生；
（2）相互獨立事件：一個事件的發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響．
30．線性回歸方程
【概念】
線性回歸是利用數(shù)理統(tǒng)計中的回歸分析，來確定兩種或兩種以上變數(shù)間相互依賴的定量關(guān)系的一種統(tǒng)計分析方法之一，運用十分廣泛．分析按照自變量和因變量之間的關(guān)系類型，可分為線性回歸分析和非線性回歸分析．如果在回歸分析中，只包括一個自變量和一個因變量，且二者的關(guān)系可用一條直線近似表示，這種回歸分析稱為一元線性回歸分析．如果回歸分析中包括兩個或兩個以上的自變量，且因變量和自變量之間是線性關(guān)系，則稱為多元線性回歸分析．變量的相關(guān)關(guān)系中最為簡單的是線性相關(guān)關(guān)系，設(shè)隨機變量與變量之間存在線性相關(guān)關(guān)系，則由試驗數(shù)據(jù)得到的點將散布在某一直線周圍．因此，可以認為關(guān)于的回歸函數(shù)的類型為線性函數(shù)．
【實例解析】
例：對于線性回歸方程，則＝
解：，因為回歸直線必過樣本中心（），
所以．
故答案為：58.5．
方法就是根據(jù)線性回歸直線必過樣本中心（），求出，代入即可求．這里面可以看出線性規(guī)劃這類題解題方法比較套路化，需要熟記公式．
【考點點評】
這類題記住公式就可以了，也是高考中一個比較重要的點．
31．程序框圖
【知識點的知識】
1．程序框圖
（1）程序框圖的概念：程序框圖又稱流程圖，是一種用規(guī)定的圖形、指向線及文字說明來準(zhǔn)確、直觀地表示算法的圖形；
（2）構(gòu)成程序框的圖形符號及其作用
程序框
名稱
功能


起止框
表示一個算法的起始和結(jié)束，是任何算法程序框圖不可缺少的．

輸入、輸出框
表示一個算法輸入和輸出的信息，可用在算法中任何需要輸入、輸出的位置．

處理框
賦值、計算．算法中處理數(shù)據(jù)需要的算式、公式等，它們分別寫在不同的用以處理數(shù)據(jù)的處理框內(nèi)．

判斷框
判斷某一條件是否成立，成立時在出口處標(biāo)明“是”或“Y”；不成立時在出口處標(biāo)明則標(biāo)明“否”或“N”．

流程線
算法進行的前進方向以及先后順序

連結(jié)點
連接另一頁或另一部分的框圖

注釋框
幫助編者或閱讀者理解框圖

（3）程序框圖的構(gòu)成．
一個程序框圖包括以下幾部分：實現(xiàn)不同算法功能的相對應(yīng)的程序框；帶箭頭的流程線；程序框內(nèi)必要的說明文字．
32．歸納推理
【知識點的認識】
1．歸納推理：由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或由個別事實概括出一般結(jié)論的推理．
推理形式：設(shè)S＝{A1，A2，A3，…，An，…}，

2．特點：
（1）歸納推理的前提是幾個已知的特殊現(xiàn)象，歸納得出的結(jié)論是尚屬未知的一般現(xiàn)象，該結(jié)論超越了前提所包容的范圍；
（2）歸納推理得到的結(jié)論具有猜測性質(zhì)，結(jié)論是否真實，需要通過邏輯證明和實踐檢驗，不能作為數(shù)學(xué)證明的工具；
（3）歸納推理是一種具有創(chuàng)造性的推理，通過歸納推理得到的猜想，可以作為進一步研究的起點，幫助人們發(fā)現(xiàn)問題和提出問題．
3．作用：
（1）獲取新知，發(fā)現(xiàn)真理；
（2）說明和論證問題．
【解題技巧點撥】
歸納推理一般步驟：
（1）對有限的資料進行觀察、分析、歸納、整理；
（2）提出帶有規(guī)律性的結(jié)論，即猜想；
（3）檢驗猜想．
【命題方向】
歸納推理主要以填空、選擇題的形式出現(xiàn)，比較基礎(chǔ)，考查對歸納推理的理解，會運用歸納推理得出一般性結(jié)論．
（1）考查對歸納推理理解
掌握歸納推理的定義與特點，注意區(qū)分與類比推理、演繹推理的不同．
例1：下列表述正確的是（　?。?br /> ①歸納推理是由部分到整體的推理；
②歸納推理是由一般到一般的推理；
③演繹推理是由一般到特殊的推理；
④類比推理是由特殊到一般的推理；
⑤類比推理是由特殊到特殊的推理．
A．①②③B．②③④C．②④⑤D．①③⑤
分析：本題考查的知識點是歸納推理、類比推理和演繹推理的定義，根據(jù)定義對5個命題逐一判斷即可得到答案．
解答：歸納推理是由部分到整體的推理，
演繹推理是由一般到特殊的推理，
類比推理是由特殊到特殊的推理．
故①③⑤是正確的
故選D
點評：判斷一個推理過程是否是歸納推理關(guān)鍵是看他是否符合歸納推理的定義，即是否是由特殊到一般的推理過程．判斷一個推理過程是否是類比推理關(guān)鍵是看他是否符合類比推理的定義，即是否是由特殊到與它類似的另一個特殊的推理過程．判斷一個推理過程是否是演繹推理關(guān)鍵是看他是否符合演繹推理的定義，即是否是由一般到特殊的推理過程．
例2：下列推理是歸納推理的是（　?。?br /> A．A，B為定點，動點P滿足||PA|﹣|PB||＝2a＜|AB|（a＞0），則動點P的軌跡是以A，B為焦點的雙曲線
B．由a1＝2，an＝3n﹣1求出S1，S2，S3，猜想出數(shù)列{an}的前n項和Sn的表達式
C．由圓x2+y2＝r2的面積S＝πr2，猜想出橢圓的面積S＝πab
D．科學(xué)家利用魚的沉浮原理制造潛水艇
分析：根據(jù)歸納推理的定義，對各個選項進行判斷．
解答：A選項用的雙曲線的定義進行推理，不符合要求．
B選項根據(jù)前3個S1，S2，S3的值，猜想出Sn的表達式，屬于歸納推理，符合要求．
C選項由圓x2+y2＝r2的面積S＝πr2，猜想出橢圓的面積S＝πab，用的是類比推理，不符合要求．
D選項用的是演繹推理，不符合要求．
故選B．
點評：本題主要考查歸納推理的定義，歸納推理、類比推理、演繹推理的區(qū)別聯(lián)系，屬于基礎(chǔ)題．
（2）考查歸納推理的運用
做題的關(guān)鍵是讀懂題意．
例：對大于或等于2的自然數(shù)的正整數(shù)冪運算有如下分解方式：
22＝1+3　 　
32＝1+3+5　　
42＝1+3+5+7
23＝3+5　 　
33＝7+9+11 　　
43＝13+15+17+19
根據(jù)上述分解規(guī)律，若m2＝1+3+5+…+11，n3的分解中最小的正整數(shù)是21，則m+n＝（　?。?br /> A．10 B．11 C．12 D．13
分析：根據(jù)m2＝1+3+5+…+11，n3的分解中最小的正整數(shù)是21，利用所給的分解規(guī)律，求出m、n，即可求得m+n的值．
解答：：m2＝1+3+5+…+11＝＝36，
∴m＝6
∵23＝3+5，33＝7+9+11，
43＝13+15+17+19，
∴53＝21+23+25+27+29，
∵n3的分解中最小的數(shù)是21，
∴n3＝53，n＝5
∴m+n＝6+5＝11
故選B．
點評：本題考查歸納推理，考查學(xué)生的閱讀能力，確定m、n的值是解題的關(guān)鍵．
33．簡單曲線的極坐標(biāo)方程
【知識點的認識】
一、曲線的極坐標(biāo)方程
定義：如果曲線C上的點與方程f（ρ，θ）＝0有如下關(guān)系
（1）曲線C上任一點的坐標(biāo)（所有坐標(biāo)中至少有一個）符合方程f（ρ，θ）＝0；
（2）以方程f（ρ，θ）＝0的所有解為坐標(biāo)的點都在曲線C上．
則曲線C的方程是f（ρ，θ）＝0．

二、求曲線的極坐標(biāo)方程的步驟：
與直角坐標(biāo)系里的情況一樣
①建系 （適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系）
②設(shè)點 （設(shè)M（ ρ，θ）為要求方程的曲線上任意一點）
③列等式（構(gòu)造△，利用三角形邊角關(guān)系的定理列關(guān)于M的等式）
④將等式坐標(biāo)化
⑤化簡 （此方程f（ρ，θ）＝0即為曲線的方程）

三、圓的極坐標(biāo)方程
（1）圓心在極點，半徑為r，ρ＝r．
（2）中心在C（ρ0，θ0），半徑為r．
ρ2+ρ02﹣2ρρ0cos（θ﹣θ0）＝r2．

四、直線的極坐標(biāo)方程
（1）過極點，θ＝θ0（ρ∈R）
（2）過某個定點垂直于極軸，ρcosθ＝a
（3）過某個定點平行于極軸，rsinθ＝a
（4）過某個定點（ρ1，θ1），且與極軸成的角度α，ρsin（α﹣θ）＝ρ1sin（α﹣θ1）

五、直線的極坐標(biāo)方程步驟
1、據(jù)題意畫出草圖；
2、設(shè)點M（ρ，θ）是直線上任意一點；
3、連接MO；
4、根據(jù)幾何條件建立關(guān)于ρ，θ的方程，并化簡；
5、檢驗并確認所得的方程即為所求．
34．參數(shù)方程化成普通方程
【知識點的認識】
參數(shù)方程和普通方程的互化
由參數(shù)方程化為普通方程：消去參數(shù)，消參數(shù)的方法有代入法、加減（或乘除）消元法、三角代換法等．如果知道變數(shù)x，y中的一個與參數(shù)t的關(guān)系，例如x＝f（t），把它代入普通方程，求出另一個變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系y＝g（t），那么就是曲線的參數(shù)方程，在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x，y的取值范圍保持一致．
35．不等式的證明
【知識點的知識】
證明不等式的基本方法：
1、比較法：
（1）作差比較法
①理論依據(jù)：a＞b?a﹣b＞0；a＜b?a﹣b＜0．
②證明步驟：作差→變形→判斷符號→得出結(jié)論．
注：作差比較法的實質(zhì)是把兩個數(shù)或式子的大小判斷問題轉(zhuǎn)化為一個數(shù)（或式子）與0的大小關(guān)系．
（2）作商比較法
①理論依據(jù)：b＞0，＞1?a＞b；b＜0，＜1?a＜b；
②證明步驟：作商→變形→判斷與1的大小關(guān)系→得出結(jié)論．
2、綜合法
（1）定義：從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過一系列的推理、論證而得到命題成立，這種證明方法叫做綜合法．綜合法又叫做推證法或由因?qū)Чǎ?br /> （2）思路：綜合法的思索路線是“由因?qū)Ч?，也就是從一個（組）已知的不等式出發(fā)，不斷地用必要條件代替前面的不等式，直至推導(dǎo)出要求證明的不等式．
3、分析法
（1）定義：從要證的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實（定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等），從而得出要證的命題成立，這種證明方法叫做分析法．
（2）思路：分析法的思索路線是“執(zhí)果索因”，即從要證的不等式出發(fā)，不斷地用充分條件來代替前面的不等式，直到打到已知不等式為止．
注：綜合法和分析法的內(nèi)在聯(lián)系是綜合法往往是分析法的相反過程，其表述簡單、條理清楚．當(dāng)問題比較復(fù)雜時，通常把分析法和綜合法結(jié)合起來使用，以分析法尋找證明的思路，用綜合法敘述、表達整個證明過程．
4、放縮法
（1）定義：證明不等式時，通常把不等式中的某些部分的值放大或縮小，簡化不等式，從而達到證明的目的，這種證明方法稱為放縮法．
（2）思路：分析證明式的形式特點，適當(dāng)放大或縮小是證題關(guān)鍵．
常用的放縮技巧有：

聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2023/1/5 11:03:02；用戶：陳元；郵箱：17666135761；學(xué)號：42949630

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