一、選擇題：（每題5分，共60分）
1. 已知橢圓中心在原點，一個焦點為F（－2，0），且長軸長是短軸長的2倍，則該橢圓的標準方程是 （ ）

2．函數(shù)在區(qū)間上是 ( )
增函數(shù) 減函數(shù)
在上增，在上減 在上減，在上增
3．到兩定點A（0，0），B（3，4）距離之和為5的點的軌跡方程是 ( )
3x–4y=0, 且x＞0 4x–3y=0, 且0≤y≤4
4y–3x=0,且0≤x≤3 3y–4x=0,且y＞0
4. 已知雙曲線的兩條漸近線的夾角為，則 ( )
6 4
5. 已知，，，點在平面內，則（ ）
8 9 10 11
6．設在內的導數(shù)有意義，則是在內單調遞減的（ ）
充分而不必要條件 必要而不充分條件
充要條件 即不充分也不必要條件
7. 若橢圓的離心率為，則雙曲線的離心率為（ ）

8. 設是坐標原點，是拋物線的焦點，是拋物線上的一點，與軸正向的夾角為，則為 （ ）

9．若函數(shù)有3個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）

10．已知是異面直線，，，，且,則與所成的角是（ ）

11．已知圓上有且僅有四個點到直線 的距離為1，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
[-13，13] (-13，13) [-12，12] （-12,12）
12．函數(shù)在處取得極值，則的值為（ ）
1 0 2
二、填空題：（每題5分，共20分）
13. 以雙曲線的右焦點為圓心，且與其漸近線相切的圓的方程是_______
14. 曲線在點處的切線與直線垂直，則__________
15．已知函數(shù)，且，則的值為________
16. 以兩個腰長均是1的等腰直角三角形和等腰直角三角形為面組成的二面角，則兩點與之間的距離是__________
三、解答題：（17、18、19、20、21每題12分，22題10分）
17. 已知函數(shù),（1）求的單調區(qū)間；（2）若，求在區(qū)間上的最值；
18. 正的邊長為4，CD是AB邊上的高，E、F分別是AC和BC的中點，現(xiàn)將沿CD翻折成直二面角,（1）求證：；（2）若點P在線段BC上，且BC=3BP，求證.
A
D
B
C
F
E
C
F
E
D
A
B
P
19. 已知正三棱柱的側棱長和底面邊長均為2，
N為側棱上的點，若平面與平面所成二面角
A
B
C
B1
C1
A1
N
（銳角）的余弦值為，試確定點N的位置。
20. 已知拋物線上一點M(1,1)，動弦ME、MF分別交軸與A、B兩點，且MA=MB。證明：直線EF的斜率為定值。
21. 已知函數(shù).（1）若在R上為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（2）若當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍。
22. 已知是圓上滿足條件的兩個點，其中O是坐標原點，分別過A、B作軸的垂線段，交橢圓于點，動點P滿足.（1）求動點P的軌跡方程；（2）設和分別表示和的面積，當點P在軸的上方，點A在軸的下方時，求+的最大值。
2010-2011學年上學期高二期中考試數(shù)學試題（理）參考答案
一．選擇題：BAB CDA BAA BBA
二．填空題：13. 14. 2 15. 2 16.
三．解答題：
17. 解：已知，則.
（1）若時，總成立，則為單調遞增；
若時，當時，即，單調遞增；
當時，即，單調遞減。
綜上：當時函數(shù)的增區(qū)間為，當時，的遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為
（2）若，有，，
C
F
E
D
A
B
P
當時，由（1）得的增區(qū)間為，，減區(qū)間為，所以，有極小值，極大值。又由于，，因此，函數(shù)在區(qū)間上的最大值是最小值是-
18.（1）已知E、F分別是AC和BC的中點，所以,
又,且，
（2）,為二面角的平面角，
，所以，建系如圖，
得,,,
已知點P在線段BC上，且BC=3BP，所以,
，，于是,
A
B
C
B1
C1
A1
N
19．解：取線段AC中點O，線段中點，
連接OB、，由已知得，
,建系如圖。
有,,C(-1,0,0)，
,,，設
設是平面的法向量，
是平面的法向量，
由,，可求的，
由,，可求的，
已知平面與平面所成二面角（銳角）的余弦值為，
所以，于是，解得：。
于是點N是線段中點。
20.解：設，，有，
因為, 所以,
即：
于是，直線EF的斜率為定值
21. 解：（1），，
在R上是單調遞增函數(shù)，恒成立，
于是，，解得：
（2）令
若當時，不等式恒成立，則
當時，時，總成立，則是增函數(shù)，
，滿足題意；
當時，時，得，有
由圖表可知：，所以，
解得：或。又，所以
當時，時，總成立，2函數(shù)是減函數(shù)，
所以，解得與矛盾，舍
綜上可得：的取值范圍是。
22. 解：（1）設，，,則，
從而,,由于,所以=0，進而
根據(jù)，可得點是線段AP的中22點，所以有，由以上各式得：
所以動點P的軌跡方程為
（2）根據(jù)（1）得直線AB的直線方程為：，從而點P到直線AB的距離為
，又|AB|=，所以
而，
所以=
又有=，當且僅當時取等號。所以=，即的最大值是2
x
0
2
__
0
+
減函數(shù)
極小值
增函數(shù)

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