數(shù)學(xué)試卷
注意事項：1．本試卷共6頁，三個大題，滿分120分，答題時間100分鐘；
2．請按答題卡上注意事項的要求直接把答案填寫在答題卡上，答在試卷上的答案無效．
一、選擇題（每小題3分，共30分）請將唯一正確答案的序號涂在答題卡上．
1．二次根式有意義，則的取值范圍是( )
A．B．C．D．
2．關(guān)于的錯誤表述為（ ）
A．是無理數(shù)B．是最簡二次根式
C．D．與不是同類二次根式
3．下列計算正確的是（ ）
A．B．C．D．
4．用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程，正確的是（ ）
A．B．C．D．
5．關(guān)于的方程的根的情況是（ ）
A．方程有兩個相等的實數(shù)根B．方程有兩個不相等的實數(shù)根
C．方程沒有實數(shù)根D．方程的根的情況與的取值有關(guān)
6．射擊時，子彈射出槍口時的速度可用公式進(jìn)行計算，其中為子彈的加速度，為槍筒的長．如果，那么子彈射出槍口時的速度（用科學(xué)記數(shù)法表示）為（ ）
A．B．C．D．
7．如圖，在中，點在上，，交于，則下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．B．C．D．
8．我市為了增強學(xué)生的體質(zhì)，組織了一次排球聯(lián)賽，賽制為單循環(huán)形式（每兩隊之間都賽一場），共進(jìn)行了28場比賽，則參加比賽的球隊共有（ ）
A．4個B．6個C．8個D．10個
9．如圖，數(shù)學(xué)活動課上，為了測量學(xué)校旗桿的高度，小明同學(xué)在腳下水平放置一平面鏡，然后向后退（保持腳、鏡和旗桿底端在同一直線上），直到他剛好在鏡子中看到旗桿的頂端．已知小明的眼睛離地面高度為，同時量得小明與鏡子的水平距離為，鏡子與旗桿的水平距離為，則旗桿高度為（ ）
A．B．C．D．
10．?dāng)?shù)學(xué)課上，大家一起研究三角形中位線定理的證明，小麗和小亮在學(xué)習(xí)思考后各自嘗試作了一種輔助線，如圖1，2，其中輔助線作法能夠用來證明三角形中位線定理的是（ ）
A．小麗和小亮的輔助線作法都可以B．小麗和小亮的輔助線作法都不可以
C．小麗的輔助線作法可以，小亮的不可以D．小亮的輔線作法可以，小麗的不可以
二、填空題（每小題3分，共15分）
11．若一個正方形的面積是12，則它的邊長是 ．
12．若關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，則的值可以為 （寫出一個即可）．
13．為了加快數(shù)字化城市建設(shè)，某市計劃新建一批智能充電樁，第一個月新建了302個充電樁，第三個月新建了503個充電樁，設(shè)該市新建智能充電樁個數(shù)的月平均增長率為x，根據(jù)題意，請列出方程 ．（不必化為一般形式）
14．如圖，、相交于點，，點是的中點，點是的中點，連接，若，，則的長為 ．
15．小華用一張直角三角形紙片玩折紙游戲，如圖1，在中，，，．如圖2，小華在邊找一點，在邊找一點，以為軸折疊，得到，點的對應(yīng)點為點，小華變換的位置，始終讓點落在上，則當(dāng)為直角三角形時，的長為 ．

三、解答題（本大題共8個小題，滿分75分）
16．（1）計算：
（2）先化簡，再求值：，其中．
17．（1）下面是小紅同學(xué)解方程的過程，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．
解：． 第一步
第二步
則或． 第三步
解得． 第四步
任務(wù)一：填空：
①以上解題過程中，第一步變形的名稱是______；
②第______步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是______；
任務(wù)二：請直接寫出該方程的正確解______．
（2）用公式法解方程：．
18．如圖，在正方形中，，在邊上取中點，連接，過點做與交于點，與的延長線交于點．
(1)求證：；
(2)求的面積．
19．如圖，要使用長為的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度為，圍成中間隔有一道籬笆的矩形苗圃．
(1)若要圍成面積為的花圃，則的長為多少米？
(2)能否圍成面積為的花圃？若能，求出的長；若不能，請說明理由．
20．如圖1，在中，，，，是上一點，過點作交于，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置．求圖2中的比值．
21．下表是小明進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)科項目化學(xué)習(xí)時候的記錄表，填寫活動報告的部分內(nèi)容．
項目主題：測量河流的寬度．
項目探究：河流寬度不能直接測量，需要借助一些工具，比如：小鏡子，標(biāo)桿，皮尺，自制的直角三角形模板…，各組確定方案后，選擇測量工具，畫出測量示意圖，并進(jìn)行實地測量，得到具體數(shù)據(jù)，從而計算出河流的寬度．
項目成果：下面是小明進(jìn)行交流展示的部分測量方案及測量數(shù)據(jù)：
請你參與這個項目學(xué)習(xí)，并完成下列任務(wù)
(1)任務(wù)一：請你借助小明的測量數(shù)據(jù)，計算河流的寬度；
(2)任務(wù)二：請你寫出這個方案中求河流的寬度時用的數(shù)學(xué)知識______（定出一條即可）；
(3)任務(wù)三：請你再設(shè)計一個與小明不同的測量方案，并畫圖簡要說明一下。
22．2023年9月，我省各地市中小學(xué)生陸續(xù)正常開學(xué)，開學(xué)之際，學(xué)生對書包的需求量增加．市場調(diào)研：
某班數(shù)學(xué)興趣小組對某商場進(jìn)行調(diào)研后了解到如下信息：
解決問題：
（1）由信息一求得每個B款書包的進(jìn)價為______元；
問題延伸：
（2）商場現(xiàn)在B款書包每天可獲利4420元，請利用一元二次方程的知識求出信息二中每個B款書包的售價．
23．綜合與實踐：
問題背景：鮮艷的中華人民共和國國旗始終是當(dāng)代中華兒女永不褪色的信仰，國旗上的每顆星都是標(biāo)準(zhǔn)五角星，為了增強學(xué)生的國家榮譽感、民族自豪感等，數(shù)學(xué)王老師組織學(xué)生對五角星進(jìn)行了較深入的研究，其中智慧數(shù)學(xué)小組發(fā)現(xiàn)國旗上五角星的五個角都是頂角為的等腰三角形，對此三角形產(chǎn)生了極大的興趣并展開探究．
探究發(fā)現(xiàn)：如圖1，在中，．
（1）操作發(fā)現(xiàn)：將折疊，使邊落在邊上，點的對應(yīng)點是點，折痕交于點，連接，則______，設(shè)，那么______（用含的式子表示）；
（2）進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)：頂角為的等腰三角形的底與腰的比值為，這個比值被稱為黃金比．請在（1）的條件下證明：；
拓展應(yīng)用：當(dāng)?shù)妊切蔚牡着c腰的比等于黃金比時，這個三角形叫做黃金三角形．例如，圖1中的是黃金三角形．如圖2，在菱形中，．請直接寫出這個菱形較長對角線的長．
參考答案與解析
1．C
2．D
3．C
4．D
5．B
6．A
7．D
8．C
9．C
10．A
11．
12．1（即可，答案不唯一）
13．
14．
15．或##或
16．（1）；（2）；
（1）解：原式
．
（2）解：原式
當(dāng)時，原式．
17．（1）任務(wù)一：①移項；②二，去括號時，沒有變號；任務(wù)二：；（2）
任務(wù)一：
①移項；
②二，去括號時，沒有變號；
故答案為：移項，二，去括號時沒有變號；
任務(wù)二：
則或
解得：，
故答案為：，；
（2）解：∵，，，
∴，
∴，
∴，．
18．(1)見解析
(2)
（1）在正方形中，
∵
∴
∴
∴，
（2）在正方形中，，
∵點是的中點，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，且，
∵ ，
∴，
∴，
∴．
19．(1)米；
(2)不能，見解析．
（1）解：設(shè)的長為米，
依題意得：，
整理得：，
解得：，，
當(dāng)時，（舍去），
當(dāng)時，，
答：的長為米；
（2）假設(shè)花圃的面積等于平方米，則，
整理得：，
，
∴此方程無實數(shù)根，
所以花圃的面積不能等于平方米．
20．
解：，
．
在圖1中，，
．
將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，
仍成立．
，且，
，
．
21．(1)
(2)相似三角形對應(yīng)邊成比例
(3)見解析
（1）解：由題知，
．
，
又，
解得：．
答：河流的寬度為．
（2）解：由題意得：相似三角形的對應(yīng)邊成比例（答案不唯一，合理即可）；
（3）解：（答案不唯一，合理即可）．在河對岸找一個參照物A，站在A的正對面的位置，沿著河岸向東走一段距離，到達(dá)處，在處堅立一竹竿，然后繼續(xù)向東行走到處，使得，再沿著與河岸垂直的位置行走，當(dāng)走到與共線時停下，位置記為，這時的長度即表示河流的寬度．
22．（1）50；（2）76元或84元
解：（1）設(shè)每個款書包的進(jìn)價為元，每個款書包的進(jìn)價為元，
根據(jù)題意得，，
解得，
∴，
故答案為50；
（2）解：設(shè)每個款書包的售價為元，根據(jù)題意得，
，
整理得：
解得，
經(jīng)檢驗，都符合題意．
答：每個款書包的售價為76元或84元．
23．（1）72，；（2）見解析；拓展應(yīng)用：
探究發(fā)現(xiàn)：（1）72，；
根據(jù)折疊可知．
∵，
∴；
根據(jù)折疊可知，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案為：72，；
（2）證明：，
．
由折疊知
又，
，
，
即，
整理得：，
解得：（舍去）
；
拓展應(yīng)用：菱形較長對角線．
如圖，在上截取，連接，
得是頂角為的等腰三角形，即黃金三角形，
根據(jù)黃金三角形的底與腰的比值為，由，
可得，
∴．
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
所以．
小麗的輔助線作法：
延長DE到F，使EF=DE，
連接DC、AF、FC．
小亮的輔助線作法：
過點B作GBAB，
過點A作AFBC，
GE與AF交于點F．
題目
測量河流寬度
目標(biāo)示意圖
測量數(shù)據(jù)
信息一
商場從廠家購進(jìn)款式、大小、顏色、價格都不相同的、兩款書包，已知每個款書包的進(jìn)價比每個款書包的進(jìn)價多30元，且購買5個A款書包和購買8個B款書包的費用相同．
信息二
商場將款書包按每個70元出售，每天可售出200個．現(xiàn)在采取提高商品售價的辦法增加利潤．在銷售中發(fā)現(xiàn)，如果每個款書包銷售價每提高2元，其銷售量就減少10個．

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