1．（3分）下列二次根式是最簡二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）下列計(jì)算正確的是（ ）
A．B．C．＝3D．
3．（3分）關(guān)于方程x（3x+2）＝6（3x+2）的描述，下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．它是一元二次方程
B．解方程時(shí)，方程兩邊先同時(shí)除以（3x+2）
C．它有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
D．用因式分解法解此方程最適宜
4．（3分）在一個(gè)不透明的盒子里裝有m個(gè)球，其中紅球6個(gè)，這些球除顏色外都相同，每次將球攪拌均勻后，任意摸出一個(gè)球記下顏色后再放回，大量重復(fù)試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定到0.2附近，那么可以估算出m的值為（ ）
A．16B．20C．24D．30
5．（3分）如圖，比例規(guī)是伽利略發(fā)明的一種畫圖工具，使用它可以把線段按一定的比例伸長或縮短．它是由長度相等的兩腳AD和BC交叉構(gòu)成的．如果把比例規(guī)的兩腳合上，使螺絲釘固定在刻度3的地方（即同時(shí)使OA＝3OD，OB＝3OC），然后張開兩腳，使A，B兩個(gè)尖端分別在線段l的兩個(gè)端點(diǎn)上，若量得CD的長度，便可知AB的長度．本題依據(jù)的主要數(shù)學(xué)原理是（ ）
A．三邊成比例的兩個(gè)三角形相似
B．兩邊及其夾角分別對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等
C．兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似
D．平行線分線段成比例
6．（3分）在 Rt△ABC中，∠C＝90°，，，則∠B的度數(shù)（ ）
A．30°B．45°C．60°D．無法確定
7．（3分）下列關(guān)于二次函數(shù)y＝（x+2）2﹣3的說法正確的是（ ）
A．圖象是一條開口向下的拋物線
B．圖象與x軸沒有交點(diǎn)
C．當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x增大而增大
D．圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣2，﹣3）
8．（3分）如圖，在長為32m，寬為20m的矩形地面上修筑同樣寬的小路（圖中陰影部分），余下部分種植草坪，要使小路的面積為100m2，設(shè)小路的寬為x m，則下面所列方程正確的是（ ）
A．32×20﹣32x﹣20x＝100
B．32x+20x＝100+x2
C．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝100
D．（32﹣x）（20﹣x）＝100
9．（3分）如圖，小明家的客廳有一張高0.8米的圓桌，直徑BC為1米，在距地面2米的A處有一盞燈，圓桌的影子最外側(cè)兩點(diǎn)分別為D、E，依據(jù)題意建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，其中點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0），則點(diǎn)E的坐標(biāo)是（ ）
A．B．（3，0）C．（3.6，0）D．（4，0）
10．（3分）如圖①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→C→B以1cm/s 的速度勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，圖②是點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)時(shí)，△ADE的面積y（cm2）隨時(shí)間x（s）變化的關(guān)系圖象，其中圖象最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)是，則BC的長為（ ）
A．4cmB．C．8cmD．
二、填空題（每小題3分，共15分）
11．（3分）已知，則的值為 ．
12．（3分）請?jiān)跈M線上填寫一個(gè)恰當(dāng)?shù)恼麛?shù)，使方程2x2﹣5x+ ＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
13．（3分）新高考“3+1+2”選科模式是指除“語文、數(shù)學(xué)、外語”3門科目以外，學(xué)生應(yīng)在2門首選科目“歷史和物理”中選擇1科，然后在4門再選科目“思想政治、地理、化學(xué)、生物”中選擇2科．小剛同學(xué)從4門再選科目中隨機(jī)選擇2科，則恰好選中“思想政治和生物”的概率為 ．
14．（3分）在平面直角坐標(biāo)中，將拋物線y＝x2﹣2x+6向右平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，所得平移后的拋物線（如圖），點(diǎn)A在平移后的拋物線上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C，以AC為對角線作矩形ABCD，連接BD，則對角線BD的最小值為 ．
15．（3分）在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝120°，點(diǎn)M是對角線BD的中點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿著邊按由A→D→C的路徑運(yùn)動(dòng)，到達(dá)終點(diǎn)C停止，當(dāng)以點(diǎn)P、M、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似時(shí)，則線段AP的長為 ．
三、解答題（共8小題，滿分75分）
16．（10分）（1）計(jì)算：；
（2）解方程：x2﹣8x﹣2＝0．
17．（9分）如圖，AC為菱形ABCD的對角線，點(diǎn)E在AC的延長線上，且∠E＝∠ABC．
（1）求證：△ACD∽△ABE；
（2）若點(diǎn)C是AE的中點(diǎn)，AC＝4，求菱形ABCD的邊長．
18．（9分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)都在網(wǎng)格的格點(diǎn)上，按要求解決下列問題．
（1）畫出△ABC關(guān)于y軸的軸對稱圖形△A1B1C1；
（2）以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)出畫出△A2B2C2，使得△A1B1C1與△A2B2C2位似，且相似比為1：3．并寫出△ABC與△A2B2C2的面積之比為 ；
（3）在（1）、（2）的條件下，設(shè)△ABC內(nèi)一點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，b），則△A2B2C2內(nèi)與點(diǎn)P對應(yīng)的對應(yīng)點(diǎn)P2的坐標(biāo)為 ．
19．（9分）某綜合實(shí)踐研究小組為了測量觀察目標(biāo)時(shí)的仰角和俯角，利用量角器和鉛錘自制了一個(gè)簡易測角儀，如圖1所示．
（1）如圖2，在P點(diǎn)觀察所測物體最高點(diǎn)C，當(dāng)量角器零刻度線上A，B兩點(diǎn)均在視線PC上時(shí)，測得視線與鉛垂線所夾的銳角為α，設(shè)仰角為β，請直接用含α的代數(shù)式表示β．
（2）如圖3，為了測量廣場上空氣球A離地面的高度，該小組利用自制簡易測角儀在點(diǎn)B，C分別測得氣球A的仰角∠ABD為37°，∠ACD為45°，地面上點(diǎn)B，C，D在同一水平直線上，BC＝26m，求氣球A離地面的高度AD．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
20．（9分）某公園要建造一個(gè)圓形的噴水池，在水池中央垂直于水面豎一根柱子，在柱子的頂端A處安裝一個(gè)噴頭向外噴水．柱子在水面以上部分的高度OA為3m．水流在各個(gè)方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1m處達(dá)到最大高度為4m，如圖所示．
（1）建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，求在第一象限部分的拋物線解析式（不必寫出自變量取值范圍）；
（2）張師傅在噴水池維修設(shè)備期間，噴水管意外噴水，如果他站在與池中心水平距離為2.5m處，通過計(jì)算說明身高1.8m的張師傅是否被淋濕？
（3）如果不計(jì)其他因素，為使水不濺落在水池外，那么水池的直徑至少為多少時(shí)，才能使噴出的水流都落在水池內(nèi)？
21．（9分）“直播帶貨”已經(jīng)成為信息社會(huì)中商家的一種新型促銷手段．某主播小紅在直播間銷售一種進(jìn)價(jià)為每件20元的日用商品，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系y＝﹣10x+400．（注：在計(jì)算利潤時(shí)，不考慮快遞費(fèi)用等其他因素）；
（1）設(shè)小紅每天的銷售利潤為w元，求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式（要求函數(shù)關(guān)系式化為一般式，并寫出自變量x的取值范圍）；
（2）若小紅每天想獲得的銷售利潤w為750元，又要盡可能地減少庫存，應(yīng)將銷售單價(jià)定為多少元？
（3）當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，每天銷售該商品獲得利潤最大，并求出最大銷售利潤
22．（10分）請仔細(xì)閱讀下面的材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．
利用圖象法解一元二次方程
數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師提出這樣一個(gè)問題：我們曾經(jīng)利用一次函數(shù)的圖象解一元一次方程，類比前面的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，我們能否利用二次函數(shù)的圖象解一元二次方程呢？
例如，解方程：x2﹣2x﹣3＝﹣3．
王老師倡導(dǎo)同學(xué)們以小組為單位進(jìn)行合作探究，同學(xué)們經(jīng)過幾分鐘熱烈的討論交流，智慧小組率先展示了他們的方法：將方程進(jìn)一步變形為x2﹣2x＝0，如圖1，畫出二次函數(shù)y＝x2﹣2x的圖象，發(fā)現(xiàn)拋物線與x軸相交于（0，0）和（2，0）兩點(diǎn)，當(dāng)x＝0或x＝2時(shí)，此時(shí)y＝0，所以x2﹣2x＝0，即x2﹣2x﹣3＝﹣3，所以此方程的解為x1＝0，
x2＝2．
善思小組受智慧小組的啟發(fā)，展示了他們的方法：畫出二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的圖象和直線y＝﹣3．如圖2所示，它們相交于（0，﹣3）和 （2，﹣3）兩點(diǎn)，當(dāng)x＝0或x＝2時(shí)，此時(shí)y＝﹣3，即x2﹣2x﹣3＝﹣3，所以此方程的解為x1＝0，
x2＝2．
任務(wù)：
（1）利用圖象法解上述材料中的方程，下列敘述錯(cuò)誤的是
A..利用圖象法解方程體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想；
B．畫出拋物線y＝x2和直線y＝2x，觀察圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，也可得出該方程的根；
C．畫出拋物線y＝x2﹣3和直線y＝﹣2x+3，觀察圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，也可得出該方程的根；
D．畫出拋物線y＝x2+3和直線y＝2x+3，觀察圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，也可得出該方程的根．
（2）請類比閱讀材料和 （1）中的思想方法解方程x2﹣4x＝﹣3，把你解方程所利用的函數(shù)圖象畫在圖3的平面直角坐標(biāo)系中，并寫出解方程的分析過程．
（3）若方程x2﹣4x＝a無實(shí)數(shù)根，從圖形的角度看就是拋物線y＝x2﹣4x與直線 無交點(diǎn)，此時(shí)a的取值范圍是 ；
（4）拓展遷移：方程x2﹣4x＝|x﹣2|的根的情況是 ．
23．（10分）綜合與實(shí)踐：
（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是外角∠CAE的平分線，則AD與BC的位置關(guān)系如何，并加以證明．
（2）問題解決：如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝8，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，將△ABE沿直線AE翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，連結(jié)CF，求cs∠ECF和線段CF的長．
（3）拓展遷移：如圖，正方形ABCD的邊長為10，E是邊AD上一動(dòng)點(diǎn)，將正方形沿CE翻折，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)為D′，過點(diǎn)D′作折痕CE的平行線，分別交正方形ABCD的邊于點(diǎn)M、N（點(diǎn)M在點(diǎn)N上方），若2AM＝CN，請直接寫出DE的長為 ．
2023-2024學(xué)年河南省南陽市鄧州市九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（每小題3分，共30分）
1．【分析】化簡得到結(jié)果，即可作出判斷．
【解答】解：A、，故錯(cuò)誤；
B、正確；
C、＝4，故錯(cuò)誤；
D、＝3，故錯(cuò)誤；
故選：B．
【點(diǎn)評】此題考查了最簡二次根式，熟練掌握二次根式的化簡公式是解本題的關(guān)鍵．
2．【分析】A、利用二次根式的化簡公式計(jì)算得到結(jié)果，即可做出判斷；
B、原式不能合并，錯(cuò)誤；
C、原式利用二次根式的除法法則計(jì)算得到結(jié)果，即可做出判斷；
D、原式化為最簡二次根式得到結(jié)果，即可做出判斷．
【解答】解：A、＝|﹣3|＝3，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、2+4不能合并，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、÷＝＝3，故選項(xiàng)正確；
D、＝2，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：C．
【點(diǎn)評】此題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
3．【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，根的判別式，解一元二次方程﹣因式分解法即可求解．
【解答】解：x（3x+2）＝6（3x+2），
3x2+2x＝18x+12，
3x2﹣16x﹣12＝0，
∴它是一元二次方程，故A選項(xiàng)不符合題意；
解方程時(shí)，方程兩邊不能先同時(shí)除以（3x+2），故B選項(xiàng)符合題意；
Δ＝（﹣16）2﹣4×3×（﹣12）＝256+144＝400＞0，
∴它有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故C選項(xiàng)不符合題意；
x（3x+2）＝6（3x+2），用因式分解法解此方程最適宜，故D選項(xiàng)不符合題意．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題主要考查解一元二次方程﹣因式分解法，一元二次方程的定義，根的判別式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：①當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；②當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；③當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．
4．【分析】在同樣條件下，大量反復(fù)試驗(yàn)時(shí)，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近，可以從比例關(guān)系入手，根據(jù)紅球的個(gè)數(shù)除以總數(shù)等于頻率，求解即可．
【解答】解：∵大量重復(fù)試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定到0.2附近，
∴任意摸出一個(gè)球，摸到紅球的概率為0.2，
∴m＝6÷0.2＝30．
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查了利用頻率估計(jì)概率的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解“大量重復(fù)試驗(yàn)下事件發(fā)生的頻率可以估計(jì)該事件發(fā)生的概率”，難度一般．
5．【分析】利用兩組對邊的比相等且夾角相等的三角形是相似三角形判定相似解答．
【解答】解：∵OA＝3OD，OB＝3OC，
∴OA：OD＝OB：OC＝3：1，
∵∠AOB＝∠DOC，
∴△AOB∽△DOC．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定方法，學(xué)會(huì)利用相似三角形的性質(zhì)解決問題．
6．【分析】由勾股定理得AC＝，則AC＝BC，再證△ABC是等腰直角三角形，即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵∠C＝90°，，，
∴AC＝＝＝，
∴AC＝BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝45°，
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理以及等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
7．【分析】直接利用二次函數(shù)的性質(zhì)對A、C、D選項(xiàng)進(jìn)行判斷；通過計(jì)算根的判別式的值和根的判別式的意義對B選項(xiàng)進(jìn)行判斷．
【解答】解：拋物線y＝（x+2）2﹣3，
∵a＝1＞0，
∴拋物線開口向上，所以A選項(xiàng)不符合題意；
∵y＝（x+2）2﹣3＝x2+4x+1，
∴Δ＝42﹣4×1×1＝12＞0，
∴拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，所以B選項(xiàng)不符合題意；
當(dāng)x＞﹣2時(shí)，y隨x增大而增大，所以C選項(xiàng)不符合題意；
拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣3），所以D選項(xiàng)符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程；Δ＝b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．
8．【分析】設(shè)道路的寬x米，小路的面積+x2＝一個(gè)長32寬x的矩形面積+一個(gè)長20寬x的矩形的面積，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．
【解答】解：設(shè)道路的寬x米，
則32x+20x＝100+x2．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
9．【分析】根據(jù)相似三角形的相似比等于等于高的比，列方程求出DE，進(jìn)而求出OE，確定點(diǎn)E的坐標(biāo)．
【解答】解：過點(diǎn)B作BF⊥x軸，垂足為F，由題意得，BF＝0.75米，BC＝1米，
∵BC∥DE，
∴△ABC∽△ADE，
∴，
即：，
解得DE＝
∴OE＝2+＝，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)是（，0）．
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查的是中心投影，熟知將中心投影的問題轉(zhuǎn)化為相似三角形的問題進(jìn)行解答是解題的關(guān)鍵．
10．【分析】動(dòng)點(diǎn)D速度為1cm/s，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s），所以運(yùn)動(dòng)路程為x cm．拐點(diǎn)的縱坐標(biāo)是，可判斷此時(shí)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C處，根據(jù)△ADE的面積可得AC長，進(jìn)而除以可得BC的長．
【解答】解：∵動(dòng)點(diǎn)D速度為1cm/s，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x s，
∴運(yùn)動(dòng)路程為x cm．
∵拐點(diǎn)的縱坐標(biāo)是，
∴此時(shí)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C處，AD＝x cm．△ADE的面積為：12cm2．
∵DE⊥AB，
∴∠CEA＝90°．
∵∠A＝30°，
∴CE＝．
∴AE＝x．
∴×x?＝12．
∴x＝4（取正值）．
∴AC＝4．
∵∠ACB＝90°，
∴BC＝AC÷＝4．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象．關(guān)鍵是理解拐點(diǎn)縱坐標(biāo)的意義及此時(shí)動(dòng)點(diǎn)所在的位置．用到的知識(shí)點(diǎn)為：30°的直角三角形三邊比是：1：：2．
二、填空題（每小題3分，共15分）
11．【分析】由題干可得5（a﹣b）＝3b，根據(jù)等式的性質(zhì)即可解得a、b的比值．
【解答】解：∵，
∴5（a﹣b）＝3b，
∴＝．
故答案為．
【點(diǎn)評】本題是基礎(chǔ)題，考查了比例的基本性質(zhì)，比較簡單．
12．【分析】設(shè)常數(shù)項(xiàng)為c，由原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，可得出Δ＞0，即關(guān)于c的一元一次不等式，解之可求出c的取值范圍，再取其中的任意一個(gè)整數(shù)，即可得出結(jié)論．
【解答】解：設(shè)常數(shù)項(xiàng)為c，
根據(jù)題意得：（﹣5）2﹣4×2×c＞0，
解得：c＜，
∴c的值可以為3．
故答案為：3（答案不唯一）．
【點(diǎn)評】本題考查了根的判別式以及解一元一次不等式，牢記“當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．
13．【分析】列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及恰好選中“思想政治和生物”的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：列表如下：
共有12種等可能的結(jié)果，其中恰好選中“思想政治和生物”的結(jié)果有2種，
∴恰好選中“思想政治和生物”的概率為＝．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查列表法與樹狀圖法，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．
14．【分析】根據(jù)平移的規(guī)律得到平移后的函數(shù)解析式，即可得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，8），再根據(jù)矩形的性質(zhì)得BD＝AC，由于AC的長等于點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，所以當(dāng)點(diǎn)A在拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)A到x軸的距離最小，最小值為8，從而得到BD的最小值．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x+6＝（x﹣1）2+5，
∴將拋物線y＝x2﹣2x+6向右平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，所得平移后的拋物線y＝（x﹣3）2+8，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，8），
∵四邊形ABCD為矩形，
∴BD＝AC，
而AC⊥x軸，
∴AC的長等于點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，
當(dāng)點(diǎn)A在拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)A到x軸的距離最小，最小值為8，
∴對角線BD的最小值為8．
故答案為：8．
【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式．也考查了矩形的性質(zhì)．
15．【分析】分兩種情況，當(dāng)P在AD上時(shí)，當(dāng)∠MPD＝∠A時(shí)，△DPM∽△DAB，由平行線分線段成比例推出AP＝PD＝AD＝2，當(dāng)P在DC上時(shí)，連接AC，由菱形的性質(zhì)推出AB∥CD，AD＝CD＝AB＝4，∠BCD＝∠BAD，得到∠BAD+∠ADC＝180°，求出∠ADB＝60°，判定△ACD是等邊三角形，當(dāng)∠DPM＝∠BAD時(shí)，△DPM∽△DAB，由平行線分線段成比例推出DP＝PC，由等邊三角形的性質(zhì)得到，AP＝AD＝×4＝2，
【解答】解：如圖，當(dāng)P在AD上時(shí)，
∵∠PDM＝∠ADB，
∴當(dāng)∠MPD＝∠A時(shí)，△DPM∽△DAB，
此時(shí)PM∥AB，
∴DP：PA＝DM：MB，
∵M(jìn)是BD中點(diǎn)，
∴AP＝PD＝AD，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝4，
∴AP＝×4＝2．
如圖，當(dāng)P在DC上時(shí)，
連接AC，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AD＝CD＝AB＝4，∠BCD＝∠BAD，∠ADB＝∠PDM，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
∵∠BAD＝120°，
∴∠ADB＝60°，
∴△ACD是等邊三角形，
∵∠ADB＝∠PDM，
∴當(dāng)∠DPM＝∠BAD時(shí)，△DPM∽△DAB，
∵∠BCD＝∠BAD，
∴∠DPM＝∠BCD，
∴PM∥BC，
∴DP：PC＝DM：MB，
∵M(jìn)是BD中點(diǎn)，
∴MB＝DM，
∴DP＝PC，
∵△ACD是等邊三角形，
∴AP⊥CD，
∴AP＝AD＝×4＝2，
∴線段AP的長為2或2．
故答案為：2或2．
【點(diǎn)評】本題考查菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定，等邊三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是要分兩種情況討論．
三、解答題（共8小題，滿分75分）
16．【分析】（1）先計(jì)算二次根式的乘法，再算加減，即可解答；
（2）根據(jù)解一元二次方程﹣配方法進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
【解答】解：（1）×+﹣3tan30°﹣2sin45°
＝5+﹣3×﹣2×
＝5+﹣﹣
＝4﹣；
（2）x2﹣8x﹣2＝0，
x2﹣8x＝2，
x2﹣8x+16＝2+16，
（x﹣4）2＝18，
x﹣4＝±3，
x1＝4+3，x2＝4﹣3．
【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程﹣配方法，二次根式的混合運(yùn)算，特殊角的三角函數(shù)值，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
17．【分析】（1）根據(jù)四邊形ABCD是菱形，得出∠ACD＝∠BCA，結(jié)合∠ACD＝∠ABE，得出∠BCA＝∠ABE，即可證明結(jié)論；
（2）根據(jù)△ABC∽△AEB，得出，代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，即可得出AB的值．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD為菱形，
∴∠ACD＝∠BCA，
又∠ACD＝∠ABE，
∴∠BCA＝∠ABE，
∵∠BAC＝∠EAB，
∴△ABC∽△AEB；
（2）解：∵點(diǎn)C是AE的中點(diǎn)，AC＝4，
∴AE＝2AC＝8，
∵△ABC∽△AEB，
∴，
∴，
即AB2＝32，
∴AB＝4或﹣4（舍去），
∴菱形ABCD邊長為4．
【點(diǎn)評】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
18．【分析】（1）根據(jù)軸對稱變換的性質(zhì)找出對應(yīng)點(diǎn)即可求解；
（2）根據(jù)位似變換的性質(zhì)找出對應(yīng)點(diǎn)即可求解；
（3）根據(jù)（1）（2）條件下得出變換規(guī)律即可求解．
【解答】解：（1）如圖所示，△A1B1C1即為所求；
（2）如圖所示，△A2B2C2即為所求，
由題意可知，△ABC與△A2B2C2的面積之比為（），
故答案為：；
（3）∵△ABC內(nèi)一點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，b），
∴在△A1B1C1內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣a，b），
∴△A2B2C2內(nèi)與點(diǎn)P對應(yīng)的對應(yīng)點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（﹣3a，3b），
故答案為：（﹣3a，3b）．
【點(diǎn)評】本題考查了作圖﹣軸對稱變換，位似變換，熟記相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．
19．【分析】（1）由已知直接可得答案；
（2）設(shè)AD＝x m，可得CD＝AD＝x m，BD＝（26+x）m，而tan∠ABD＝，有0.75＝，即可解得答案．
【解答】解：（1）根據(jù)題意得：β＝90°﹣α；
（2）設(shè)AD＝x m，
∵∠ACD＝45°，∠ADB＝90°，
∴CD＝AD＝x m，
∵BC＝26m，
∴BD＝（26+x）m，
在Rt△ABD中，tan∠ABD＝，
∴tan37°＝，即0.75＝，
解得：x＝78，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝78是分式方程的解，
∴AD＝78（m），
答：氣球A離地面的高度AD是78m．
【點(diǎn)評】本題考查解直角三角形﹣仰角俯角問題，解題的關(guān)鍵是掌握銳角三角函數(shù)的定義．
20．【分析】（1）依據(jù)題意，由拋物線的頂點(diǎn)為（1，4），可設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2+4，又拋物線過點(diǎn)A（0，3），最后代入求出a后即可得解；
（2）依據(jù)題意，當(dāng)x＝2.5時(shí)，y＝﹣（2.5﹣1）2+4＝﹣2.25+4＝1.75＜1.8，進(jìn)而可以判斷得解；
（3）依據(jù)題意，令y＝0，從而0＝﹣（x﹣1）2+4，進(jìn)而可得水池的半徑，最后計(jì)算可得水池的直徑即可判斷得解．
【解答】解：（1）由題意，拋物線的頂點(diǎn)為（1，4），
∴可設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2+4．
又拋物線過點(diǎn)A（0，3），
∴3＝a+4．
∴a＝﹣1．
∴在第一象限部分的拋物線的解析式為y＝﹣（x﹣1）2+4．
（2）由題意，當(dāng)x＝2.5時(shí)，y＝﹣（2.5﹣1）2+4＝﹣2.25+4＝1.75＜1.8，
∴身高1.8m的張師傅會(huì)被淋濕．
（3）由題意，令y＝0，
∴0＝﹣（x﹣1）2+4．
∴x1＝3，x2＝﹣1（不合題意，舍去）．
∴水池的半徑至少為3m．
∴水池的直徑至少為6m時(shí)，才能使噴出的水流都落在水池內(nèi)．
【點(diǎn)評】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題時(shí)要熟練掌握并能學(xué)會(huì)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．
21．【分析】（1）依據(jù)題意，小紅每天的銷售利潤為w＝（x﹣20）（﹣10x+400）＝﹣10x2+600x﹣8000，又由題意，，進(jìn)而計(jì)算可以得解；
（2）依據(jù)題意，750＝﹣10x2+600x﹣8000，求出x后再結(jié)合要盡可能地減少庫存y＝﹣10x+400，即可判斷得解；
（3）依據(jù)題意，小紅每天的銷售利潤為w＝（x﹣20）（﹣10x+400）＝﹣10x2+600x﹣8000＝﹣10（x﹣30）2+1000，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷得解．
【解答】解：（1）由題意，小紅每天的銷售利潤為w＝（x﹣20）（﹣10x+400），
∴w＝﹣10x2+600x﹣8000．
由題意，，
∴20≤x≤40．
（2）由題意得，750＝﹣10x2+600x﹣8000，
∴x2﹣60x+875＝0．
∴x＝25或x＝35．
又∵要盡可能地減少庫存y＝﹣10x+400，
∴x＝25．
∴應(yīng)將銷售單價(jià)定為25元．
（3）由題意，小紅每天的銷售利潤為w＝（x﹣20）（﹣10x+400）＝﹣10x2+600x﹣8000＝﹣10（x﹣30）2+1000，
∴當(dāng)x＝30時(shí)，w的最大值為1000．
∴當(dāng)銷售單價(jià)定為30元時(shí)，每天銷售該商品獲得利潤最大，最大銷售利潤為1000元．
【點(diǎn)評】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題時(shí)要熟練掌握并能靈活運(yùn)用是關(guān)鍵．
22．【分析】（1）C選項(xiàng)中，聯(lián)立拋物線y＝x2﹣3和直線y＝﹣2x+3，可得方程x2﹣3＝﹣2x+3，整理得x2+2x＝0，不符合題目的方程，因此C錯(cuò)誤；
（2）將方程變形為x2﹣4x+3＝0，如圖，畫出二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3的圖象，通過交點(diǎn)的坐標(biāo)得到方程x2﹣4x＝﹣3的解；
（3）畫出二次函數(shù)y＝x2﹣4x的圖象，觀察圖象可得若方程x2﹣4x＝a無實(shí)數(shù)根，即直線x＝a在直線x＝﹣4的下方，即可得到結(jié)果；
（4）由，畫出y＝x2﹣4x和y＝|x﹣2|得圖象，通過觀察交點(diǎn)的情況得到方程x2﹣4x＝|x﹣2|的根的情況．
【解答】解：（1）A選項(xiàng)，圖象法是畫出函數(shù)圖象，通過交點(diǎn)的情況研究方程的解的情況，滿足數(shù)形結(jié)合思想，因此A正確；
B選項(xiàng)，聯(lián)立拋物線y＝x2和直線y＝2x，可得方程x2＝2x，整理得x2﹣2x＝0，符合題目的方程，因此B正確；
C選項(xiàng)，聯(lián)立拋物線y＝x2﹣3和直線y＝﹣2x+3，可得方程x2﹣3＝﹣2x+3，整理得x2+2x＝0，不符合題目的方程，因此C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，聯(lián)立拋物線y＝x2+3和直線y＝2x+3，可得方程x2+3＝2x+3，整理得x2﹣2x＝0，符合題目得方程，因此D正確；
故答案為：C；
（2）將方程變形為x2﹣4x+3＝0，如圖，畫出二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3的圖象，發(fā)現(xiàn)拋物線與x軸交于（1，0）和（3，0）兩點(diǎn)，則當(dāng)x＝1或x＝3時(shí)，y＝0，所以x2﹣4x+3＝0，即x2﹣4x＝﹣3，所以方程的解是x1＝1，x2＝3；
（3）如圖，畫出二次函數(shù)y＝x2﹣4x的圖象，
通過圖象可得若方程x2﹣4x＝a無實(shí)數(shù)根，得拋物線y＝x2﹣4x與直線x＝a無交點(diǎn)，由圖象可知直線x＝﹣4與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)，得若方程x2﹣4x＝a無實(shí)數(shù)根，即直線x＝a在直線x＝﹣4的下方，此時(shí)a的范圍是a＜﹣4；
故答案為：x＝a，a＜﹣4；
（4）當(dāng)x＞2時(shí)，|x﹣2|＝x﹣2，當(dāng)x＜2時(shí)，|x﹣2|＝﹣x+2，
則，
即當(dāng)x≥2時(shí)，y＝x﹣2，當(dāng)x＜2，時(shí)，y＝﹣x+2，
如圖，畫出y＝x2﹣4x和y＝|x﹣2|得圖象，
由圖象可得y＝x2﹣4x和y＝|x﹣2|有兩個(gè)交點(diǎn)，
即x2﹣4x＝|x﹣2|有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
故答案為：有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
【點(diǎn)評】本題考查了圖象法解方程，本題的關(guān)鍵是熟悉二次函數(shù)圖象的畫法，通過數(shù)形結(jié)合思想，觀察圖象中交點(diǎn)的情況，得到方程的根的情況．
23．【分析】（1）利用三角形外角性質(zhì)和平行線的判定即可；
（2）運(yùn)用勾股定理可得AE＝＝＝2，由折疊可得FE＝BE，AF＝AB，∠AEF＝∠AEB，進(jìn)而可得cs∠ECF＝cs∠AEB＝＝＝；過點(diǎn)E作EG⊥CF于點(diǎn)G，可得＝cn∠ECG＝cs∠AEB＝，再由CF＝2CG即可求得答案；
（3）分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)M在AD邊上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)M在AB邊上時(shí)，分別求出DE即可．
【解答】解：（1）AD∥BC，理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠CAE是△ABC的外角，
∴∠CAE＝∠B+∠C＝2∠B，
∵AD是外角∠CAE的平分線，
∴∠1＝∠2＝∠CAE＝∠B，
∴AD∥BC；
（2）∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，
∴BE＝CE＝BC＝4，（2）問題解決：如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝8，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，將△ABE沿直線AE翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，連結(jié)CF，求cs∠ECF和線段CF的長．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴AE＝＝＝2，
∵將△ABE沿直線AE翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，
∴FE＝BE，AF＝AB，∠AEF＝∠AEB，
∴FE＝CE，
∴∠ECF＝∠EFC，
∵∠BEF＝∠ECF+∠EFC＝2∠ECF，
∴∠AEB＝∠ECF，
∴cs∠ECF＝cs∠AEB＝＝＝；
如圖，過點(diǎn)E作EG⊥CF于點(diǎn)G，
則∠EGC＝90°，
∴＝cn∠ECG＝cs∠AEB＝，
∴CG＝CE＝×4＝，
∴CF＝2CG＝；
（3）當(dāng)點(diǎn)M在AD邊上時(shí)，如圖，
∵四邊形ABCD是邊長為10的正方形，
∴AD＝10，AD∥BC，
∵M(jìn)N∥CE，
∴四邊形CEMN為平行四邊形，
∴∠D′ME＝∠ECN，CN＝EM，
∵2AM＝CN，
∴EM＝2AM，
設(shè)AM＝x，則EM＝2x，
∴DE＝AD﹣AM﹣EM＝10﹣3x，
根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，DE＝D′E＝10﹣3x，∠DEC＝∠D′EC，
∵AD∥BC，
∴∠DEC＝∠ECN＝∠D′ME，
∵M(jìn)N∥CE，
∴∠D′EC＝∠MD′E，
∴∠D′ME＝∠MD′E，
∴EM＝D′E，
∴2x＝10﹣3x，
解得：x＝2，
∴DE＝10﹣3x＝4；
當(dāng)點(diǎn)M在AB邊上時(shí)，如圖，延長DA交MN于點(diǎn)F，
∵四邊形ABCD是邊長為10的正方形，
∴AB＝AD＝10，AD∥BC，AB∥CD，
設(shè)AM＝x，則BM＝10﹣x，
∵2AM＝CN，
∴CN＝2x，BN＝10﹣2x，
∵M(jìn)N∥CE，AD∥BC，
∴四邊形CEFN是平行四邊形，
∴EF＝CN＝2x，
∵AD∥BC，
∴∠AFM＝∠BNM，
∵∠AMF＝∠BMN，
∴△AMF∽△BMN，
∴＝，即＝，
∴AF＝，
∴AE＝EF﹣AF＝2x﹣＝，
∴DE＝AD﹣AE＝10﹣＝，
根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，DE＝D′E＝，∠DEC＝∠D′EC，
∵M(jìn)N∥CE，
∴∠DEC＝∠EFN，∠ED′F＝∠D′EC，
∴∠EFN＝∠ED′F，
∴EF＝D′E，
∴2x＝，
解得：x1＝10﹣5，x2＝10+5（不符合題意，舍去），
∴DE＝2x＝2×（10﹣5）＝20﹣10，
故答案為：4或20﹣10．
【點(diǎn)評】本題主要考查正方形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
思想政治
地理
化學(xué)
生物
思想政治
（思想政治
，地理）
（思想政治
，化學(xué)）
（思想政治
，生物）
地理
（地理，思想政治）
（地理，化學(xué)）
（地理，生物）
化學(xué)
（化學(xué)，思想政治）
（化學(xué)，地理）
（化學(xué)，生物）
生物
（生物，思想政治）
（生物，地理）
（生物，化學(xué)）

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