1．（3分）菱形、正方形一定具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是（ ）
A．對邊相等B．對邊平行
C．對角線互相平分D．對角線互相垂直
【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；菱形的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)．
【解答】解：A．菱形、正方形、矩形的對邊相等，本選項(xiàng)正確，故本選項(xiàng)不符合題意；
B．菱形、正方形、矩形的對邊平行，本選項(xiàng)正確，故本選項(xiàng)不符合題意；
C．菱形、正方形、矩形的對角線互相平分，本選項(xiàng)正確故本選項(xiàng)不符合題意；
D．菱形、正方形的對角線互相垂直，矩形的對角線不垂直，本選項(xiàng)錯誤，故本選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)評】本題主要考查菱形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，
2．（3分）已知方程x2﹣5x﹣6＝0的一個根是6，則它的另一個根是（ ）
A．1B．﹣6C．﹣1D．3
【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系．
【解答】解：∵方程x2﹣5x﹣6＝0中，a＝1，b＝﹣5，c＝﹣6，
∴方程的另一個根是﹣﹣6＝﹣﹣6＝﹣1．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，牢記“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根之和等于﹣，兩根之積等于”是解題的關(guān)鍵．
3．（3分）如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，若AC＝6cm，BD＝8cm，則菱形的面積為（ ）
A．12cm2B．6cm2C．24cm2D．48cm2
【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)．
【解答】解：∵四邊形ABCD為菱形，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且AC＝6cm，BD＝8cm，
∴菱形的面積為：；
故選：C．
【點(diǎn)評】本題主要考查了菱形的面積，熟練掌握菱形的面積等于對角線乘積的一半是解決問題的關(guān)鍵．
4．（3分）已知方程x2+3x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，則方程（2x+3）2+3（2x+3）﹣3＝0，它的解是（ ）
A．﹣1或3B．1或3C．﹣1或﹣3D．1或﹣3
【考點(diǎn)】解一元二次方程﹣因式分解法；一元二次方程的解．
【解答】解：（2x+3）2+3（2x+3）﹣3＝0的解為2x+3＝1或2x+3＝﹣3，
解得x＝﹣1或x＝﹣3，
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的解．熟練掌握一元二次方程的解是解題的關(guān)鍵．
5．（3分）下列說法正確的是（ ）
A．了解“浙江省初中生每天體育運(yùn)動時(shí)間的情況”最適合的調(diào)查方式是全面調(diào)查
B．“打開電視機(jī)，恰好播放新聞”這一事件是不可能事件
C．大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率一般會越來越接近概率
D．甲、乙兩人各跳繩10次，其成績的平均數(shù)相等，，則甲的成績比乙穩(wěn)定
【考點(diǎn)】利用頻率估計(jì)概率；全面調(diào)查與抽樣調(diào)查；方差；隨機(jī)事件．
【解答】解：A．了解“浙江省初中生每天體育運(yùn)動時(shí)間的情況”最適合的調(diào)查方式是，故此選項(xiàng)不符合題意；
B．“打開電視機(jī)，恰好播放新聞”這一事件是隨機(jī)事件，故此選項(xiàng)不符合題意；
C．大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率一般會越來越接近概率，故此選項(xiàng)符合題意；
D．甲、乙兩人各跳繩10次，其成績的平均數(shù)相等，，則甲的成績比乙穩(wěn)定，故此選項(xiàng)不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)評】此題主要考查了利用頻率估計(jì)概率，抽樣調(diào)查以及事件分類、方差等知識點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握方差等知識點(diǎn)．
6．（3分）如果兩個三角形滿足下列條件，那么它們一定相似的是（ ）
A．有一個角相等的兩個等腰三角形
B．有一個角相等的兩個直角三角形
C．有一個角是100°的兩個等腰三角形
D．有一組角是對頂角的兩個三角形
【考點(diǎn)】相似三角形的判定；等腰三角形的性質(zhì)．
【解答】解：A、有一個角相等的兩個等腰三角形不一定相似，故不符合題意；
B、有一個角相等的兩個直角三角形不一定相似，故不符合題意；
C、有一個角是100°的兩個等腰三角形，其三個角一定為100°，40°，40°，一定相似，故符合題意；
D、有一組角是對頂角的兩個三角形不一定相似，故不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判斷，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
7．（3分）在如圖所示的電路中，隨機(jī)閉合開關(guān)S1、S2、S3中的任意兩個，能使燈泡發(fā)光的概率是（ ）
A．B．C．D．
【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法．
【解答】解：根據(jù)題意列出表格如下：
由表可知，應(yīng)該有6種情況，能使燈泡發(fā)光的情況有2種，
∴能使燈泡發(fā)光的概率＝．
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查了列表法或樹狀圖法求概率，列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適用于兩步或兩步以上完成的事件；解題時(shí)還要注意是放回實(shí)驗(yàn)還是不放回實(shí)驗(yàn)．用到的知識點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
8．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝9，AC＝12，D為AB上一點(diǎn)，且，在AC上取一點(diǎn)E，若以A、D、E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，則AE的長為（ ）
A．8B．C．8或D．8或
【考點(diǎn)】相似三角形的判定．
【解答】解：分兩種情況：
①當(dāng)△ADE∽△ACB時(shí)，如圖1，
∴，
∵AB＝9，AC＝12，，
∴AD＝6，
∴＝，
∴AE＝；
②當(dāng)△ADE∽△ABC時(shí)，如圖2，
∴，
∵AB＝9，AC＝12，AD＝6，
∴＝，
∴AE＝8．
綜上，AE的長為8或．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，由于題中沒有明確相似三角形的對應(yīng)角和對應(yīng)邊，因此本題要分情況進(jìn)行討論，以免漏解．
9．（3分）如圖，D是△ABC的邊AB上一點(diǎn)，下列條件：①∠ACD＝∠B；②AC2＝AD?AB；③；④∠ACB＝∠ADC．其中一定使△ABC∽△ACD的有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【考點(diǎn)】相似三角形的判定．
【解答】解：∵∠DAC＝∠CAB，
∴當(dāng)∠ACD＝∠B或∠ACB＝∠ADC，可根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似可判斷，故①正確，④正確；
當(dāng)AC2＝AD?AB時(shí)，可根據(jù)兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似可判斷，故②正確；
當(dāng)＝時(shí)，雖∠DAC＝∠CAB但不是其對應(yīng)的夾角，所以兩個三角形不相似，故③不正確．
因此有3個正確．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定：兩邊及其夾角法：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似．解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定方法．
10．（3分）如圖所示，邊長為4的正方形ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，E在線段OD上，連接CE，作EF⊥CE交AB于點(diǎn)F，連接CF交BD于點(diǎn)H，則下列結(jié)論：①EF＝EC；②CF2＝CG?CA；③BE?DH＝16；④若BF＝1，則DE＝，正確的是（ ）
A．①②④B．①③④C．①②③D．①②③④
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．
【解答】解：如圖，連接AE，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADB＝∠CDB＝∠BAC＝∠DAC＝45°，
又∵DE＝DE，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴AE＝EC，∠DAE＝∠DCE，
∴∠EAF＝∠BCE，
∵∠ABC+∠FEC+∠EFB+∠BCE＝360°，
∴∠BCE+∠EFB＝180°，
又∵∠AFE+∠BFE＝180°，
∴∠AFE＝∠BCE＝∠EAF，
∴AE＝EF，
∴EF＝EC，故①正確；
∵EF＝EC，∠FEC＝90°，
∴∠EFC＝∠ECF＝45°，
∴∠FAC＝∠EFC＝45°，
又∵∠ACF＝∠FCG，
∴△FCG∽△ACF，
∴，
∴CF2＝CG?CA，故②正確；
∵∠ECH＝∠CDB，∠EHC＝∠DHC，
∴△ECH∽△CDH，
∴，
∴，
∵∠ECH＝∠DBC，∠BEC＝∠CEH，
∴△ECH∽△EBC，
∴，
∴，
∴，
∴BC?CD＝DH?BE＝16，故③正確；
∵BF＝1，AB＝4，
∴AF＝3，AC＝4，
∵∠ECF＝∠ACD＝45°，
∴∠ACF＝∠DCE，
又∵∠FAC＝∠CDE＝45°，
∴△AFC∽△DEC，
∴，
∴，
∴DE＝，故④正確，
故選：D．
二．填空題（共5小題）
11．（3分）關(guān)于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝1有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是 k＞﹣1且k≠0 ．
【考點(diǎn)】根的判別式．
【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝1有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，
∴22﹣4k×（﹣1）＞0且k≠0，
解得：k＞﹣1且k≠0，
∴k的取值范圍是k＞﹣1且k≠0．
故答案為：k＞﹣1且k≠0．
【點(diǎn)評】本題考查一元二次方程根的判別式及一元二次方程的定義，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程根的判別式：式子Δ＝b2﹣4ac是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的判別式，Δ＞0?方程有兩個不等的實(shí)數(shù)根；Δ＝0?方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；Δ＜0?方程無實(shí)數(shù)根．
12．（3分）一個盒子中裝有15顆藍(lán)色幸運(yùn)星，若干顆紅色幸運(yùn)星，小明通過多次摸取幸運(yùn)星試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸取到紅色幸運(yùn)星的頻率穩(wěn)定在0.4左右，別紅色幸運(yùn)星顆數(shù)約為 10 顆．
【考點(diǎn)】利用頻率估計(jì)概率．
【解答】解：設(shè)袋中紅色幸運(yùn)星有x顆，
根據(jù)題意，得：，
解得：x＝10，
經(jīng)檢驗(yàn)x＝10是原分式方程的解，
故答案為：10．
【點(diǎn)評】本題主要考查了利用頻率估計(jì)概率，大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計(jì)概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．熟練掌握利用頻率估計(jì)概率的方法是解題的關(guān)鍵；
13．（3分）已知，則的值為 ．
【考點(diǎn)】比例的性質(zhì)．
【解答】解：由＝＝，
b＝，c＝．
＝
＝
＝．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查了比例的性質(zhì)，利用比例的性質(zhì)得出b＝，c＝是解題關(guān)鍵，又利用了分式的性質(zhì)．
14．（3分）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)P是線段BC上一動點(diǎn)，且PE⊥AC，PF⊥BD，E，F(xiàn)為垂足，AB＝6，BC＝8，則PE+PF的值為 ．
【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)．
【解答】解：連接OP，如圖所示：
∵四邊形ABCD是矩形，
∴OA＝OC＝OB＝OD，∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，
由勾股定理得：AC＝＝10，
∴S△ABC＝AB×BC＝＝24，OB＝OC＝5，
∴S△OBC＝S△ABC＝12，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴S△POB＝OB?PF＝×5?PF＝PF，S△OPC＝OC?PE＝×5?PE＝PE，
∵S△POB+S△OPC＝S△OBC＝12，
∴PF+PE＝12，
∴PE+PF＝．
故答案為：．
【點(diǎn)評】此題主要了矩形的性質(zhì)，理解矩形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用勾股定理及三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．
15．（3分故答案為：（，）或（4，3）．
三．解答題（共11小題）
16．（8分）解方程
（1）（x+3）2＝25
（2）x2﹣4x＝6
【考點(diǎn)】解一元二次方程﹣配方法；解一元二次方程﹣直接開平方法．
【解答】解：（1）x+3＝±5，
∴x1＝2，x2＝﹣8；
（2）（x﹣2）2＝10，
，
∴．
【點(diǎn)評】本題主要考查一元二次方程的解法，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．
17．（9分）在初中物理中我們學(xué)過凸透鏡的成像規(guī)律．如圖MN為一凸透鏡，F(xiàn)是凸透鏡的焦點(diǎn)．在焦點(diǎn)以外的主光軸上垂直放置一小蠟燭AB，透過透鏡后呈的像為CD．光路圖如圖所示：經(jīng)過焦點(diǎn)的光線AE，通過透鏡折射后平行于主光軸，并與經(jīng)過凸透鏡光心的光線AO匯聚于C點(diǎn)．
（1）若焦距OF＝4，物距OB＝6，小蠟燭的高度AB＝1，求蠟燭的像CD的長度；
（2）設(shè)，，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并通過計(jì)算說明當(dāng)物距大于2倍焦距時(shí)，呈縮小的像．
【考點(diǎn)】相似三角形的應(yīng)用．
【解答】解：（1）由題意得，AB∥OE，
∴△ABF∽△EOF，
∴，即＝，
∴OE＝2，
∵OE∥CD，CE∥OD，
∴四邊形OECD是平行四邊形，
∴CD＝OE＝2，
∴蠟燭的像CD的長度為2；
（2）由題可知，CD＝OE，
∴＝＝y(tǒng)，
∵AB∥OE，
∴△ABF∽△EOF，
∴＝＝y(tǒng)，
∴＝，
∴＝y(tǒng)+1，
∴＝y(tǒng)+1，
∴x＝y(tǒng)+1，
∴y＝x﹣1，
當(dāng)＞2，即x＞2時(shí)，y＝x﹣1＞1，
∴＞1，即AB＞CD，
∴當(dāng)物距大于2倍焦距時(shí)，呈縮小的像．
18．（9分）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別在AB、AD上，AE＝AF，連接EF，且AC⊥EF．
（1）求證：四邊形ABCD是菱形；
（2）連接OE，若點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，，，求四邊形ABCD的周長和面積．
【考點(diǎn)】菱形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．
【解答】（1）證明：∵AE＝AF，
∴△AEF是等腰三角形，
∵AC⊥EF，
∴AB平分∠BAD，
又∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴平行四邊形ABCD為菱形；
（2）解：由（1）可知：四邊形ABCD為菱形，
∵AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC，AB＝BC＝CD＝AD，
在Rt△AOB中，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，OE＝，
∴AB＝2OE＝，
∴四邊形ABCD的周長為：4AB＝；
∵OA＝OB，
∴OB＝2OA，
由勾股定理得：AB＝＝，
∴，
∴OA＝2，
∴OB＝2OA＝4，
∴AC＝2OA＝4，BD＝2OB＝8，
∴四邊形ABCD的面積為：AC?BD＝×4×8＝16．
【點(diǎn)評】此題主要考查了菱形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，理解平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
19．（9分）已知△ABC的一邊為5，另兩邊是方程x2﹣（2k﹣3）x+k2﹣3k+2＝0的解
（1）求證：無論k為何值，方程總有兩個不等實(shí)根
（2）如果△ABC是直角三角形，求k的值；
（3）如果△ABC是等腰三角形，求△ABC的面積．
【考點(diǎn)】根的判別式；三角形三邊關(guān)系；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理．
【解答】（1）證明：∵x2﹣（2k﹣3）x+k2﹣3k+2＝0，
∴Δ＝[﹣（2k﹣3）]2﹣4×1×（k2﹣3k+2）
＝4k2﹣12k+9﹣4k2+12k﹣8
＝1＞0，
∴無論k為何值，方程總有兩個不等實(shí)根；
（2）解：原方程變形得x2﹣（2k﹣3）x+（k﹣1）（k﹣2）＝0，
∴（x﹣k+1）（x﹣k+2）＝0，
∴x﹣k+1＝0或x﹣k+2＝0，
解得x1＝k﹣1，x2＝k﹣2，
∵△ABC是直角三角形，
∴若5為斜邊時(shí)，則有（k﹣1）2+（k﹣2）2＝52，
整理，得k2﹣3k﹣10＝0，
∴（x﹣5）（x+2）＝0，
∴x﹣5＝0或x+2＝0，
解得k1＝5，k2＝﹣2，
當(dāng)k＝﹣2時(shí)，k﹣2＝﹣4＜0，不合題意，舍去；
當(dāng)k＝5時(shí)，三邊為3，4，5，符合題意；
∵k﹣1＞k﹣2，
∴若k﹣1為斜邊時(shí)，則有（k﹣2）2+52＝（k﹣1）2，
解得k＝14，
此時(shí)三邊為5，12，13，符合題意，
綜上，當(dāng)△ABC是直角三角形時(shí)，k的值為5或14；
（3）解：由（2）知x1＝k﹣1，x2＝k﹣2，
由于k﹣1≠k﹣2，△ABC是等腰三角形，
∴當(dāng)k﹣2＝5時(shí)，k＝7，此時(shí)底邊長為k﹣1＝6，
∴底邊上的高為，
∴△ABC的面積為；
當(dāng)k﹣1＝5時(shí)，k＝6，此時(shí)底邊長為k﹣2＝4，
∴底邊上的高為，
∴△ABC的面積為，
綜上，當(dāng)△ABC是等腰三角形時(shí)，△ABC的面積為12或．
【點(diǎn)評】本題考查解一元二次方程、一元二次方程根的判別式、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，解答的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用分類討論的數(shù)學(xué)思想解答．
20．（9分）已知：如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AC上，∠ADE＝60°．
（1）求證：△ABD∽△DCE；
（2）如果AB＝3，EC＝，求DC的長．
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)．
【解答】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，AB＝AC，
∵∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∠B＝∠ADE＝60°，
∴∠BAD＝∠CDE
∴△ABD∽△DCE；
（2）解：由（1）證得△ABD∽△DCE，
∴＝，
設(shè)CD＝x，則BD＝3﹣x，
∴＝，
∴x＝1或x＝2，
∴DC＝1或DC＝2．
【點(diǎn)評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，注意數(shù)形結(jié)合和方程思想的應(yīng)用．
21．（9分）某商場為開展“暑假消暑活動”，對某款空調(diào)進(jìn)行了兩次降價(jià)活動，且兩次降價(jià)率相同，降價(jià)前為3500元，降價(jià)后為2835元．對某款風(fēng)扇進(jìn)行降價(jià)活動，每下降10元，可以增加2臺銷售量，當(dāng)按照原價(jià)為800元銷售時(shí)可每月有1200的銷售量．
（1）求空調(diào)的下降率；
（2）若要求風(fēng)扇的營業(yè)額為854000元，則空調(diào)應(yīng)按照多少元銷售．
【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用．
【解答】解：（1）空調(diào)進(jìn)行了兩次降價(jià)活動，且兩次降價(jià)率相同，降價(jià)前為3500元，降價(jià)后為2835元，
∴設(shè)降價(jià)率為x，
∴3500（1﹣x）2＝2835，則，
∴，
解得，x＝10%或x＝190%，
∵是降價(jià)，
∴x＝10%，即空調(diào)的下降率為10%；
（2）設(shè)下降了y個10元，則現(xiàn)在的售價(jià)為（800﹣10y）元，現(xiàn)在的銷售量為（1200+2y）臺，
∴（800﹣10y）（1200+2y）＝854000，
整理得，y2+520y﹣5300＝0，
解得，y1＝﹣530（不符合題意，舍去），y2＝10，
∴下降了10個10元，即下降了100元，則800﹣100＝700（元），
∴空調(diào)應(yīng)按照700元銷售．
【點(diǎn)評】本題主要考查一元二次方程的運(yùn)用，正確找到等量關(guān)系列出方程是解題關(guān)鍵．
22．（10分）如圖，點(diǎn)E是菱形ABCD對角線CA的延長線上任意一點(diǎn)，以線段AE為邊作一個菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是：2，連接EB，GD．
（1）求證：EB＝GD；
（2）若∠DAB＝60°，AB＝2，求GD的長．
【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)．
【解答】（1）證明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，∴∠EAG＝∠BAD，
∴∠EAG+∠GAB＝∠BAD+∠GAB，
∴∠EAB＝∠GAD，
∵AE＝AG，AB＝AD，
∴△AEB≌△AGD，
∴EB＝GD；
（2）連接BD交AC于點(diǎn)P，則BP⊥AC，
∵∠DAB＝60°，
∴∠PAB＝30°，
∵菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是：2，AB＝2，
∴AE＝，BP＝AB＝1，
∴AP＝，
∴EP＝，
∴EB＝，
∴GD＝．
【點(diǎn)評】本題主要考查相似多邊形形的性質(zhì)與判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)等知識的綜合運(yùn)用．
23．小明和小剛走進(jìn)教室，跟隨李老師探究“矩形折疊中的相似三角形”問題．請你一同作答：
如圖，已知在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，點(diǎn)E為邊AB上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合），先將矩形ABCD沿CE折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，CF交AD于點(diǎn)H．
（1）觀察發(fā)現(xiàn)
寫出圖1中一個與△AEG相似的三角形： △FHG或△DHC（寫出一個即可） ．
（2）遷移探究
當(dāng)CF與AD的交點(diǎn)H恰好是AD的中點(diǎn)時(shí)，如圖2．求陰影部分的面積．
（3）拓展應(yīng)用
當(dāng)點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)F落在矩形ABCD的對稱軸上時(shí)，求BE的長．
【考點(diǎn)】相似形綜合題．
【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝∠D＝90°，
∵將矩形ABCD沿CE折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，CF交AD于點(diǎn)H，
∴∠A＝∠B＝∠F＝∠D＝90°，
∵∠AGE＝∠FGH，
∴△AEG∽△FHG，
∴∠AEG＝∠FHG＝∠DHC，
∴△AEG∽△DHC，
故答案為：△FHG或△DHC（寫出一個即可）；
（2）∵點(diǎn)H是AD的中點(diǎn)，
∴AH＝HD＝3，
∴，
∴FH＝CF﹣CH＝1，
∵∠CDH＝∠GFH，∠CHD＝∠GHF，
∴△HDC∽△HFG，
∴，即，
∴，
∴，
∴陰影部分的面積是；
（3）①設(shè)AB的中點(diǎn)為K，CD的中點(diǎn)為T，直線KT為矩形ABCD的對稱軸，當(dāng)F在KT上時(shí)，如圖所示：
∵CF＝BC＝6，，∠FTC＝90°，
∴，
∴，
設(shè)BE＝x，則KE＝BK﹣BE＝2﹣x，
∵∠EFC＝∠B＝90°，
∴∠KFE＝90°﹣∠TFC＝∠TCF，
∵∠EKF＝∠FTC＝90°，
∴△EKF∽△FTC，
∴，即，
解得；
∴；
②設(shè)AD的中點(diǎn)為N，BC的中點(diǎn)為M，直線MN為矩形ABCD的對稱軸，當(dāng)F在直線MN上時(shí)，如圖所示：
∵∠FMC＝90°，，CF＝BC＝6，
∴，
∴∠MFC＝30°，
∴∠FCM＝60°，
∴，
∵，
∴，解得；
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)F落在矩形ABCD的對稱軸上時(shí)，BE的長為或．
S1
S2
S3
S1
（S1，S2）
（S1，S3）
S2
（S2，S1）
（S2，S3）
S3
（S3，S1）
（S3，S2）

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