新高考數(shù)學(xué)考前考點(diǎn)沖刺精練卷33《等比數(shù)列》（2份，原卷版+教師版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、選擇題
若等比數(shù)列{an}滿足a1＋a2＝1，a4＋a5＝8，則a7等于( )
A.eq \f(64,3) B.﹣eq \f(64,3) C.eq \f(32,3) D.﹣eq \f(32,3)
【答案解析】答案為：A
解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則eq \f(a4＋a5,a1＋a2)＝q3＝8，所以q＝2，又a1＋a2＝a1(1＋q)＝1，
所以a1＝eq \f(1,3)，所以a7＝a1×q6＝eq \f(1,3)×26＝eq \f(64,3).
已知等比數(shù)列{an}滿足a1＝1，a3·a5＝4(a4﹣1)，則a7的值為( )
A.2 B.4 C.eq \f(9,2) D.6
【答案解析】答案為：B
解析：根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得a3a5＝aeq \\al(2,4)，∴aeq \\al(2,4)＝4(a4﹣1)，即(a4﹣2)2＝0，解得a4＝2.
又∵a1＝1，a1a7＝aeq \\al(2,4)＝4，∴a7＝4.
記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，則eq \f(Sn,an)等于( )
A.2n﹣1 B.2﹣21﹣n C.2﹣2n﹣1 D.21﹣n﹣1
【答案解析】答案為：B
解析：方法一設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則q＝eq \f(a6－a4,a5－a3)＝eq \f(24,12)＝2.
由a5﹣a3＝a1q4﹣a1q2＝12a1＝12，得a1＝1.
所以an＝a1qn﹣1＝2n﹣1，Sn＝eq \f(a1?1－qn?,1－q)＝2n﹣1，所以eq \f(Sn,an)＝eq \f(2n－1,2n－1)＝2﹣21﹣n.
方法二設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，
則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a3q2－a3＝12，①,a4q2－a4＝24， ②))eq \f(②,①)得eq \f(a4,a3)＝q＝2.將q＝2代入①，解得a3＝4.
所以a1＝eq \f(a3,q2)＝1，下同方法一.
已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，若a2a6＝﹣2a7，S3＝﹣6，則a6等于( )
A.﹣2或32 B.﹣2或64 C.2或﹣32 D.2或﹣64
【答案解析】答案為：B
解析：∵數(shù)列{an}為等比數(shù)列，a2a6＝﹣2a7＝a1a7，解得a1＝﹣2，
設(shè)數(shù)列的公比為q，S3＝﹣6＝﹣2﹣2q﹣2q2，解得q＝﹣2或q＝1，
當(dāng)q＝﹣2時(shí)，則a6＝(﹣2)6＝64，當(dāng)q＝1時(shí)，則a6＝﹣2.
數(shù)列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215﹣25，則k等于( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案解析】答案為：C
解析：a1＝2，am＋n＝aman，令m＝1，則an＋1＝a1an＝2an，
∴{an}是以a1＝2為首項(xiàng)，q＝2為公比的等比數(shù)列，∴an＝2×2n﹣1＝2n.
又∵ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215﹣25，∴eq \f(2k＋1?1－210?,1－2)＝215﹣25，
即2k＋1(210﹣1)＝25(210﹣1)，∴2k＋1＝25，∴k＋1＝5，∴k＝4.
已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，則S12等于( )
A.40 B.60 C.32 D.50
【答案解析】答案為：B
解析：數(shù)列S3，S6﹣S3，S9﹣S6，S12﹣S9是等比數(shù)列，即4,8，S9﹣S6，S12﹣S9是等比數(shù)列，∴S12＝4＋8＋16＋32＝60.
等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S10＝1，S30＝7，則S40等于( )
A.5 B.10 C.15 D.﹣20
【答案解析】答案為：C
解析：易知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足S10，S20﹣S10，S30﹣S20，S40﹣S30，…成等比數(shù)列.設(shè){an}的公比為q，則eq \f(S20－S10,S10)＝q10＞0，故S10，S20﹣S10，S30﹣S20，S40﹣S30，…均大于0.故(S20﹣S10)2＝S10·(S30﹣S20)，即(S20﹣1)2＝1·(7﹣S20)?Seq \\al(2,20)﹣S20﹣6＝0.
因?yàn)镾20＞0，所以S20＝3.又(S30﹣S20)2＝(S20﹣S10)(S40﹣S30)，
所以(7﹣3)2＝(3﹣1)(S40﹣7)，故S40＝15.
等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝32n﹣1＋r，則r的值為( )
A.eq \f(1,3) B.﹣eq \f(1,3) C.eq \f(1,9) D.﹣eq \f(1,9)
【答案解析】答案為：B
解析：由等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)知，Sn＝32n﹣1＋r＝eq \f(1,3)×9n＋r，∴r＝﹣eq \f(1,3).
我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還.”其大意為：“有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛，每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地.”則該人第四天走的路程為( )
A.6里 B.12里 C.24里 D.48里
【答案解析】答案為：C
解析：由題意可知，該人所走路程形成等比數(shù)列{an}，其中q＝eq \f(1,2)，
因?yàn)镾6＝eq \f(a1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,26))),1－\f(1,2))＝378，解得a1＝192，所以a4＝a1·q3＝192×eq \f(1,8)＝24.
若等比數(shù)列{an}中的a5，a2 019是方程x2﹣4x＋3＝0的兩個(gè)根，則lg3a1＋lg3a2＋lg3a3＋…＋lg3a2 023等于( )
A.eq \f(2 024,3) B.1 011 C.eq \f(2 023,2) D.1 012
【答案解析】答案為：C
解析：由題意得a5a2 019＝3，根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)知，a1a2 023＝a2a2 022＝…＝a1 011a1 013＝a1 012a1 012＝3，于是a1 012＝ SKIPIF 1 < 0 錯(cuò)誤！未找到引用源。，則lg3a1＋lg3a2＋lg3a3＋…＋lg3a2 023＝lg3(a1a2a3…a2 023)=eq \f(2 023,2). SKIPIF 1 < 0 錯(cuò)誤！未找到引用源。
在等比數(shù)列{an}中，an＞0，a1＋a2＋a3＋…＋a8＝4，a1a2·…·a8＝16，則eq \f(1,a1)＋eq \f(1,a2)＋…＋eq \f(1,a8)的值為( )
A.2 B.4 C.8 D.16
【答案解析】答案為：A
解析：∵a1a2…a8＝16，∴a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝2，
∴eq \f(1,a1)＋eq \f(1,a2)＋…＋eq \f(1,a8)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a1)＋\f(1,a8)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a2)＋\f(1,a7)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a3)＋\f(1,a6)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a4)＋\f(1,a5)))
＝eq \f(1,2)(a1＋a8)＋eq \f(1,2)(a2＋a7)＋eq \f(1,2)(a3＋a6)＋eq \f(1,2)(a4＋a5)＝eq \f(1,2)(a1＋a2＋…＋a8)＝2.
二、多選題
(多選)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，其前n項(xiàng)和為Sn，前n項(xiàng)積為Tn，并且滿足條件a1＞1，a7·a8＞1，eq \f(a7－1,a8－1)＜0.則下列結(jié)論正確的是( )
A.0＜q＜1 B.a7·a9＞1
C.Sn的最大值為S9 D.Tn的最大值為T7
【答案解析】答案為：AD
解析：∵a1＞1，a7·a8＞1，eq \f(a7－1,a8－1)＜0，∴a7＞1,0＜a8＜1，∴0＜q＜1，故A正確；
a7a9＝aeq \\al(2,8)＜1，故B錯(cuò)誤；
∵a1＞1,0＜q＜1，∴數(shù)列為各項(xiàng)為正的遞減數(shù)列，∴Sn無最大值，故C錯(cuò)誤；
又a7＞1,0＜a8＜1，∴T7是數(shù)列{Tn}中的最大項(xiàng)，故D正確.
三、填空題
已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，a2＝6,6a1＋a3＝30，則a4＝________.
【答案解析】答案為：54或24
解析：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1·q＝6，,6a1＋a1·q2＝30，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(q＝3，,a1＝2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(q＝2，,a1＝3，))
a4＝a1·q3＝2×33＝54或a4＝3×23＝3×8＝24.
已知{an}是等比數(shù)列，且a3a5a7a9a11＝243，則a7＝________；若公比q＝eq \f(1,3)，則a4＝________.
【答案解析】答案為：3 81.
解析：由{an}是等比數(shù)列，得a3a5a7a9a11＝aeq \\al(5,7)＝243，故a7＝3，a4＝eq \f(a7,q3)＝81.
記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a1＝eq \f(1,3)，aeq \\al(2,4)＝a6，則S5＝________.
【答案解析】答案為：eq \f(121,3).
解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因?yàn)閍eq \\al(2,4)＝a6，所以(a1q3)2＝a1q5，
所以a1q＝1，又a1＝eq \f(1,3)，所以q＝3，所以S5＝eq \f(a1?1－q5?,1－q)＝eq \f(121,3).
設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若eq \f(S6,S3)＝3，則eq \f(S9,S6)＝__________.
【答案解析】答案為：eq \f(7,3).
解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，易知q≠﹣1，由等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)可知S3，S6﹣S3，S9﹣S6仍成等比數(shù)列，∴eq \f(S6－S3,S3)＝eq \f(S9－S6,S6－S3)，又由已知得S6＝3S3，∴S9﹣S6＝4S3，∴S9＝7S3，∴eq \f(S9,S6)＝eq \f(7,3).
已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＝7，S6＝63，則a1＝________.
【答案解析】答案為：1
解析：由于S3＝7，S6＝63知公比q≠1，又S6＝S3＋q3S3，得63＝7＋7q3.
∴q3＝8，q＝2.由S3＝eq \f(a1?1－q3?,1－q)＝7，得a1＝1.
如圖所示，正方形上連接著等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再連接正方形，……，如此繼續(xù)下去得到一個(gè)樹狀圖形，稱為“勾股樹”.若某勾股樹含有1 023個(gè)正方形，且其最大的正方形的邊長(zhǎng)為eq \f(\r(2),2)，則其最小正方形的邊長(zhǎng)為________.
【答案解析】答案為：eq \f(1,32).
解析：由題意，得正方形的邊長(zhǎng)構(gòu)成以eq \f(\r(2),2)為首項(xiàng),eq \f(\r(2),2)為公比的等比數(shù)列，現(xiàn)已知共含有1 023個(gè)正方形，則有1＋2＋…＋2n﹣1＝1 023，所以n＝10，所以最小正方形的邊長(zhǎng)為(eq \f(\r(2),2))10＝eq \f(1,32).
四、解答題
已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an，設(shè)bn＝eq \f(an,n).
(1)求b1，b2，b3；
(2)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并說明理由；
(3)求{an}的通項(xiàng)公式.
【答案解析】解：(1)由條件可得an＋1＝eq \f(2?n＋1?,n)an.將n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.
將n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.從而b1＝1，b2＝2，b3＝4.
(2){bn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，由條件可得eq \f(an＋1,n＋1)＝eq \f(2an,n)，即bn＋1＝2bn，
又b1＝1，所以{bn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列.
(3)由(2)可得eq \f(an,n)＝2n﹣1，所以an＝n·2n﹣1.
已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足an＋2＝2an＋1＋3an.
(1)證明：數(shù)列{an＋an＋1}為等比數(shù)列；
(2)若a1＝eq \f(1,2)，a2＝eq \f(3,2)，求{an}的通項(xiàng)公式.
【答案解析】 (1)證明：an＋2＝2an＋1＋3an，所以an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an)，
因?yàn)閧an}中各項(xiàng)均為正數(shù)，所以an＋1＋an＞0，所以eq \f(an＋2＋an＋1,an＋1＋an)＝3，
所以數(shù)列{an＋an＋1}是公比為3的等比數(shù)列.
(2)解：由題意知an＋an＋1＝(a1＋a2)3n﹣1＝2×3n﹣1，
因?yàn)閍n＋2＝2an＋1＋3an，所以an＋2﹣3an＋1＝﹣(an＋1﹣3an)，a2＝3a1，
所以a2﹣3a1＝0，所以an＋1﹣3an＝0，故an＋1＝3an，
所以4an＝2×3n﹣1，an＝eq \f(1,2)×3n﹣1.
已知公比大于1的等比數(shù)列{an}滿足a2＋a4＝20，a3＝8.
①求{an}的通項(xiàng)公式；
②求a1a2﹣a2a3＋…＋(﹣1)n﹣1anan＋1.
【答案解析】解：①設(shè){an}的公比為q(q＞1).
由題設(shè)得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1q＋a1q3＝20，,a1q2＝8，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(q＝2，,a1＝2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(q＝\f(1,2)，,a1＝32))(舍去).
所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n，n∈N*.
②由于(﹣1)n﹣1anan＋1＝(﹣1)n﹣1×2n×2n＋1＝(﹣1)n﹣122n＋1，
故a1a2﹣a2a3＋…＋(﹣1)n﹣1anan＋1
＝23﹣25＋27﹣29＋…＋(﹣1)n﹣1·22n＋1＝eq \f(8,5)﹣(﹣1)neq \f(22n＋3,5).
記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋1.設(shè)bn＝an＋1﹣2an.
(1)求證：數(shù)列{bn}為等比數(shù)列；
(2)設(shè)cn＝|bn﹣100|，Tn為數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和.求T10.
【答案解析】 (1)證明：由Sn＋1＝4an＋1，
得Sn＝4an﹣1＋1(n≥2，n∈N*)，
兩式相減得an＋1＝4an﹣4an﹣1(n≥2)，
所以an＋1﹣2an＝2(an﹣2an﹣1)，
所以eq \f(bn,bn－1)＝eq \f(an＋1－2an,an－2an－1)＝eq \f(2?an－2an－1?,an－2an－1)＝2(n≥2)，
又a1＝1，S2＝4a1＋1，
故a2＝4，a2﹣2a1＝2＝b1≠0，
所以數(shù)列{bn}為首項(xiàng)與公比均為2的等比數(shù)列.
(2)解：由(1)可得bn＝2·2n﹣1＝2n，
所以cn＝|2n﹣100|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(100－2n，n≤6，,2n－100，n>6，))
所以T10＝600﹣(21＋22＋…＋26)＋27＋28＋29＋210﹣400
＝200﹣eq \f(2?1－26?,1－2)＋27＋28＋29＋210
＝200＋2＋28＋29＋210
＝1 994.

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