1. 的相反數(shù)是（ ）
A. 2024B. C. ﹣2024D. 1
【答案】B
【解析】相反數(shù)是，
故選：B．
2. “斗”是我國古代稱量糧食的量器，它無蓋，其示意圖如圖所示，下列圖形是“斗”的俯視圖的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】從上面看，看到的圖形為一個正方形，在這個正方形里面還有一個小正方形，且在“斗”中能看到側棱，即看到的圖形為 ，
故選C．
3. 下列運算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】根據(jù)題意得：
選項中，，故本選項不正確，不符合題意；
選項中，，故本選項不正確，不符合題意；
選項中，，故本選項不正確，不符合題意；
選項中，，故本選項正確，符合題意，
故選：．
4. 一只蜘殊爬到如圖所示的一面墻上，停留位置是隨機的，則停留在陰影區(qū)域上的概率是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由圖可知：陰影部分的面積占到總面積的，∴；
故選：C．
5. 《九章算術》是我國古代數(shù)學名著，卷“盈不足”中有題譯文如下：現(xiàn)有一伙人共同買一個物品，每人出錢，還余錢；每人出錢，還差錢，問有人數(shù)、物價各是多少?設物價為錢，根據(jù)題意可列出方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】設物價為錢，根據(jù)題意可列出方程
故選：B
6. 如圖，在矩形中，，，E是邊上一點，連接，沿翻折，得到，連接．當長度最小時，的面積是（ ）

A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】連接，如圖，

沿翻折至，
，
，，
，
當點、、三點共線時，最小，此時的最小值，
四邊形是矩形，
，
，，
，
長度的最小值，
設，則，
，，
，，解得，，
，的面積是，
故選：．
7. 如圖，正方形ABCD的面積為3，點E在邊CD上， 且CE = 1，∠ABE的平分線交AD于點F，點M，N分別是BE，BF的中點，則MN的長為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】如圖，連接EF，
∵正方形ABCD的面積為3，

∵
∴
∴
∴

∵平分

∴
∴ ∴等腰直角三角形，

∵分別為的中點，

故選D
8. 如圖①，點A，B是上兩定點，圓上一動點P從圓上一定點B出發(fā)，沿逆時針方向勻速運動到點A，運動時間是，線段的長度是．圖②是y隨x變化的關系圖象，則圖中m的值是（ ）
A. B. C. D. 5
【答案】C
【解析】從圖②看，當時，，即此時A、O、P三點共線，
則圓的半徑為，
當時，，
∴是直角三角形，且，
則點P從點B走到A、O、P三點共線的位置時，如圖所示，
此時，走過的角度為，則走過的弧長為，
∴點P的運動速度是 ，
當時，，即是等邊三角形，
∴，
∴，
此時點P走過的弧長為：，
∴，
故選：C．
二、填空題（共 8 小題）
9. 若代數(shù)式 有意義，則實數(shù) x 的取值范圍是____________
【答案】
【解析】代數(shù)式有意義，
，
解得．
故答案：．
10. 因式分解：_______．
【答案】
【解析】，
故填：．
11. 古代為便于紀元，乃在無窮延伸的時間中，取天地循環(huán)終始為一巡，稱為元，以元作為計算時間的最大單位，元年，其中用科學記數(shù)法表示為___________．
【答案】
【解析】，
故答案為：．
12. 如圖，網(wǎng)格內(nèi)每個小正方形的邊長都是1個單位長度，，，，都是格點，且與相交于點，則的值為____________
【答案】
【解析】如圖，過點作，
，
過格點，
連接，
，
，
，
，
，
的值為．
故答案為：．
13. 現(xiàn)有甲、乙兩個長方體蓄水池，將甲池中的水勻速注入乙池，甲、乙兩個蓄水池中水的深度（米）與注水時間（小時）之間的函數(shù)圖象如圖所示，當甲、乙兩池中水的深度相同時，注水時間為_____________小時．
【答案】
【解析】設甲蓄水池的函數(shù)解析式為，
由題意，將點代入得：，解得，
則甲蓄水池的函數(shù)解析式為，
設乙蓄水池的函數(shù)解析式為，
由題意，將點代入得：，解得，
則乙蓄水池的函數(shù)解析式為，
聯(lián)立得，解得，
即當甲、乙兩池中水的深度相同時，注水時間為小時，
故答案為：．
14. 如圖，在中，．以點為圓心，以的長為半徑作弧交邊于點，連接．分別以點為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧交于點，作射線交于點，交邊于點，則的值為__________．

【答案】
【解析】∵中，，
∴，，
由作圖知平分，，
∴是等邊三角形，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：．
15. 如圖，在平面直角坐標系中，將直線y=-3x向上平移3個單位，與y軸、x軸分別交于點A、B，以線段AB為斜邊在第一象限內(nèi)作等腰直角三角形ABC．若反比例函數(shù)（x＞0）的圖象經(jīng)過點C，則k的值為____．

【答案】4；
【解析】如圖，過點C作軸于點E,作軸于點F，
軸，軸
為等腰直角三角形，
,
在和中
,
將直線y=-3x向上平移3個單位可得出直線AB，
直線AB的表達式為：，
點A，點B，
,
為等腰直角三角形，
,
,
反比例函數(shù)（x＞0）的圖象經(jīng)過點C，
．
16. 如圖，在平行四邊形中，，，是銳角，于點，是的中點，連接，．若，則的長為___________．
【答案】
【解析】如圖，延長交的延長線于，連接，設，
四邊形是平行四邊形，
，，
，
，，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
整理得：，
解得或（舍棄），
，
，
故答案為：．
三、解答題（共 11 小題）
17. 計算：．
解：
．
18. 解不等式組：
解：
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∴不等式組的解集為．
19. 先化簡，再求值：÷（﹣1﹣x），其中x的值是方程x2﹣x﹣7＝0的根．
解：原式＝

＝﹣
∵x的值是方程x2﹣x﹣7＝0的根，
∴x2﹣x＝7，
當x2﹣x＝7時，原式＝．
20. 如圖，在中，D為上一點，E為中點，連接并延長至點F，使得，連．
（1）求證：．
（2）若，，，求的度數(shù)．
解：（1）為中點．，
在和中，
，，
；
（2）由（1）知，
，又，
，又，
，
．
21. 將數(shù)，，分別寫在三張相同的不透明卡片上的正面，將卡片洗勻后背面朝上置于桌面，甲乙兩個同學從中隨機各抽取一張卡片（注：第一個同學抽取到的卡片不放回）．
（1）甲同學抽到的卡片上數(shù)字是的概率是 ；
（2）求甲乙兩個同學抽到的卡片數(shù)字都是無理數(shù)的概率．（用畫樹狀圖或列表的方法求解）
解：（1）有3張卡片，其中只有一張卡片上的數(shù)字是，
（甲同學抽到的卡片上數(shù)字是），故答案為：；
（2），
畫樹狀圖如下：
一共有6種等可能的結果，其中甲乙兩個同學抽到的卡片數(shù)字都是無理數(shù)有2種可能，
（甲乙兩個同學抽到的卡片數(shù)字都是無理數(shù)）．
22. 某樓舉辦了青年大學習知識競賽（百分制），并分別在七、八年級中各隨機抽取20名學生成績進行統(tǒng)計、整理與分析，繪制成如圖所示的兩幅統(tǒng)計圖．成績用x分表示，并且分為A，B，C，D，E五個等級（A：；B：；C：；D：；E：）
七、八年級競賽成績數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下表：
其中，七年級成績在C等級的數(shù)據(jù)為77，75，75，78，79，75，73，75；八年級成績在E等級的有3名學生．
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）扇形統(tǒng)計圖中B等級所在扇形對應的圓心角的度數(shù)是__________，表中m的值為__________．
（2）通過以上數(shù)據(jù)分析，你認為哪個年級對青年大學習知識掌握得更好？請說明理由．
（3）請對該校學生對青年大學習知識的掌握情況作出合理的評價．
解：（1）由條形統(tǒng)計圖可得，調(diào)查人數(shù)為 (人)，
扇形統(tǒng)計圖中B等級所占圓心角的度數(shù)是：，
將七年級這20名學生的成績從小到大排列，處在中間位置的兩個數(shù)的平均數(shù)為，因此中位數(shù)是75分，即，
故答案為：，；
（2）八年級學生的成績較好，
理由：由表可知八年級學生成績的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)均比七年級學生的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)大，所以八年級學生成績較好；
（3）青年學生對深入學習青年大學習知識掌握情況一般，還需要進一步加強學習和宣傳．
23. 火災是最常見、最多發(fā)的威脅公眾安全和社會發(fā)展的主要災害之一，消防車是消防救援的主要裝備．圖1是某種消防車云梯，圖2是其側面示意圖，點，，在同一直線上，可繞著點旋轉，為云梯的液壓桿，點，A，在同一水平線上，其中可伸縮，套管的長度不變，在某種工作狀態(tài)下測得液壓桿，，．

（1）求的長．
（2）消防人員在云梯末端點高空作業(yè)時，將伸長到最大長度，云梯繞著點順時針旋轉一定的角度，消防人員發(fā)現(xiàn)鉛直高度升高了，求云梯旋轉了多少度．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）
解：（1）如圖，過點B作于點E，
在中，
∴，
在中，，，
∵，∴．答：．

（2）如圖，過點D作于點F，旋轉后點D的對應點為，過點作于點G，過點D作于點H，
在中，，
∴，
∴，
在中，,
∴，∴，
∴，即云梯大約旋轉了．

24. 如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)（，為常數(shù)，且）與反比例函數(shù)（為常數(shù)，且）的圖象交于點，．
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式；
（2）當時，直接寫出自變量的取值范圍；
（3）已知一次函數(shù)的圖象與軸交于點，點在軸上，若的面積為9；求點的坐標．
解：（1）將代入，
解得：，
∴反比例函數(shù)表達式為，
將代入，解得：，
∴，
將，代入，
得，
解得：，
∴一次函數(shù)的表達式為：；
（2）∵，
根據(jù)函數(shù)圖象可得：當時，；
（3）∵，令，解得：，
∴，
設，
則，
∵的面積為9，
∴，
解得：或，
∴或．
25. 如圖，在中，，平分交于點，為上一點，經(jīng)過點、的分別交、于點、．

（1）求證：是的切線；
（2）若，，求的半徑；
（3）在（）的條件下，求的長．
解：（1）如圖，連接，

則，
∴，
∵是的平分線，
∴，
∴，
∴，
∴，
點在上，
∴是的切線；
（2）∵，
∴，
∴，
∴的半徑為；
（3）如圖，連接，

∵是直徑，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
26. 我們定義：有一組鄰邊相等且有一組對角互補的凸四邊形叫做等補四邊形．
（1）如圖1，是等邊三角形，在上任取一點D（B、C除外），連接，我們把繞點A逆時針旋轉，則與重合，點D的對應點E．請根據(jù)給出的定義判斷，四邊形______（選擇是或不是）等補四邊形．
（2）如圖2，等補四邊形中，，，若，求的長．
（3）如圖3，四邊形中，，，，求四邊形面積的最大值．
解：（1）由旋轉得：，，
∵，
∴，
∴四邊形是等補四邊形，
故答案為：是；
（2）如圖2，∵，，
∴將繞點順時針旋轉得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴三點共線，
∵，∴，
∴，∴（負值舍去）；
（3）∵，
∴將繞點逆時針旋轉的大小，得，如圖3，
∴，
∵，∴，∴三點共線，
∴，
當時，的面積最大，為，
則四邊形面積的最大值為8．
27. 如圖1，在平面直角坐標系中，直線與x軸，y軸分別交于A、C兩點，拋物線經(jīng)過A、C兩點，與x軸的另一交點為B．
（1）求拋物線解析式；
（2）若點M為x軸下方拋物線上一動點，當點M運動到某一位置時，的面積等于面積的，求此時點M的坐標；
（3）如圖2，以B為圓心，2為半徑的與x軸交于E、F兩點（F在E右側），若P點是上一動點，連接，以為腰作等腰，使（P、A、D三點為逆時針順序），連接．求長度的取值范圍．
解：（1）直線AC：y=-5x+5，
x=0時，y=5，
∴C（0，5），
y=-5x+5=0時，解得：x=1，
∴A（1，0），
∵拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A，C兩點，
∴，
解得：，
∴拋物線解析式為y=x2-6x+5；
（2）當y=x2-6x+5=0時，
解得：x1=1，x2=5，
∴B（5，0），
∵A（1，0），C（0，5），
∴AB=4，OC=5
∴
設M(x，x2-6x+5)
∴
∵的面積等于面積的
∴
解得，
∴y=x2-6x+5=-3
∴M點的坐標為（2，-3）或（4，-3）；
（3）如圖2，連接BP，過點A作AQ⊥AB，并截取AQ=AB=4，連接DQ，
∵∠PAD=∠BAQ=90°，
∴∠BAP=∠QAD，
∵AB=AQ，AP=AD，
∴△BAP≌△QAD（SAS），
∴PB=DQ=2，
∴點D在以Q為圓心，以2為半徑的圓上運動，
∴當Q在線段DF上時，DF最長，如圖3所示，
Rt△AQF中，AQ=4，AF=4+2=6，
∴，
∴此時DF的最大值是2+2；
當D在線段QF上時，DF的長最小，同理可得DF的最小值是2-2；
∴FD的取值范圍是：．
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
七年級
76
m
75
八年級
77
76
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