1. 下列實數(shù)中，最大的是（ ）
A. 0B. C. 3D.
【答案】C
【解析】∵，
∵，∴所給的四個實數(shù)中，最大的數(shù)是．
故選：C．
2. 下列實物圖中，主視圖和左視圖一樣的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由題意可知主視圖和左視圖一樣只有D選項；
故選D．
3. 2023年我國經(jīng)濟持續(xù)發(fā)展，國內(nèi)生產(chǎn)總值達到126萬億元，同比增長．其中126萬億用科學記數(shù)法可表示為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】126萬億，
故選：C．
4. 如圖，直線與相交于點O，射線在內(nèi)部，且于點O．若，則的度數(shù)為（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故選：D．
5. 計算的結(jié)果是（ ）
A. 2B. C. 0D.
【答案】B
【解析】，
故選：B．
6. 如圖，⊙是的外接圓，是的直徑，點P在上，若，則的度數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】是⊙的直徑，
，
，
，
，
由圓周角定理得：
故選：C．
7. 關于x的一元二次方程根的情況是（ ）
A. 有兩個相等的實數(shù)根B. 有兩個不相等的實數(shù)根
C 有一個實數(shù)根D. 沒有實數(shù)根
【答案】B
【解析】方程整理得：，
，
方程有兩個不相等的實數(shù)根，
故選：B.
8. “二十四節(jié)氣”是中華上古農(nóng)耕文明的智慧結(jié)晶，被國際氣象界譽為“中國第五大發(fā)明”小文購買了“二十四節(jié)氣”主題郵票，他要將“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四張郵票中的兩張送給好朋友小樂，小文將它們背面朝上放在桌面上（郵票背面完全相同），讓小樂從中隨機抽取一張（不放回），再從中隨機抽取一張，則小樂抽到的兩張郵票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】設立春用表示，立夏用表示，秋分用表示，大寒用表示，樹狀圖如下，
由上可得，一共有種可能性，其中小樂抽到的兩張郵票恰好是“立春”和“立夏”的可能性種，
∴小樂抽到的兩張郵票恰好是“立春”和“立夏”的概率是．
故選：A．
9. 如圖1是我國明末《崇禎歷書》之《割圓勾股八線表》中所繪的割圓八線圖．如圖2，根據(jù)割圓八線圖，在扇形中，，和都是的切線，點A和點B是切點，交于點E，交于點D，．若，則的長為（ ）
圖1 圖2
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】與相切于點A，
，
；
，
，
，
∴，
即是等邊三角形，
；
；
，
，
與相切于點B，
，
，
；故選：C．
10. 如圖①，在?ABCD中，動點P從點B出發(fā)，沿折線B→C→D→B運動，設點P經(jīng)過的路程為x，△ABP的面積為y，y是x的函數(shù)，函數(shù)的圖象如圖②所示，則圖②中的a值為（ ）
A. 3B. 4C. 14D. 18
【答案】A
【解析】由圖②知，BC=6，CD=14-6=8，BD=18-14=4，
過點B作BH⊥DC于點H，
設CH=x，則DH=8-x，
則BH2=BC2-CH2=BD2-DH2，即：BH2=42-（8-x）2=62-x2，
解得：，
則：，
則，
故選：A．
二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分．
11. 一種商品每件盈利為a元，售出60件，共盈利______元（用含a的式子表示）
【答案】
【解析】根據(jù)題意得，一種商品每件盈利為a元，售出60件，共盈利元．
故答案為：．
12. 若與互為相反數(shù)，則______．
【答案】
【解析】∵與互為相反數(shù)，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得：，，
∴，
故答案為：．
13. 2023年5月30日是第7個全國科技工作者日，某中學舉行了科普知識手抄報評比活動，共有100件作品獲得一、二、三等獎和優(yōu)勝獎，根據(jù)獲獎結(jié)果繪制如圖所示的條形圖若將獲獎作品按四個等級所占比例繪制成扇形統(tǒng)計圖，則“二等獎”對應扇形的圓心角度數(shù)為______．

【答案】108
【解析】，
“二等獎”對應扇形的圓心角度數(shù)為，
故答案為：108．
14. 黃金分割比是讓無數(shù)科學家、數(shù)學家、藝術家為之著迷的數(shù)字．黃金矩形的長寬之比為黃金分割比，即矩形的短邊為長邊的倍．黃金分割比能夠給畫面帶來美感，令人愉悅，在很多藝術品以及大自然中都能找到它．比如蝸牛殼的螺旋中就隱藏了黃金分割比．如圖，用黃金矩形框住整個蝸牛殼，之后作正方形，得到黃金矩形，再作正方形，得到黃金矩形……，這樣作下去，我們以每個小正方形邊長為半徑畫弧線，然后連接起來，就是黃金螺旋．已知，則陰影部分的面積為______．
【答案】
【解析】∵四邊形是黃金矩形，，
∴，
∵四邊形是正方形，
∴，
∴，
∴陰影部分的面積．
故答案為：．
15. 如圖，在中，，將線段繞點在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，點的對應點為點，連接，當點在的邊上時，恰好，則點到直線的距離為________．
【答案】或
【解析】∵四邊形為平行四邊形，
∴，
由題意知，分在上，在上兩種情況求解：
①當在上，如圖①，過點作于點，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，∴，
又∵，∴為等邊三角形，∴，
∴；
②當在上時，如圖②，連接，過點作于點，
∵，，
∴，
∴為等邊三角形，
∴，
∵四邊形是平行四邊形，∴，
∵，∴，∴，
綜上所述，點到直線的距離為或．
三、解答題：本題共8小題，共75分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
16. （1）計算：；
（2）化簡：．
解：（1）；
（2）.
17. 我國老齡化趨勢越來越嚴重，為積極應對人口老齡化，深入實施積極應對人口老齡化國家戰(zhàn)略，必須大力發(fā)展養(yǎng)老事業(yè)和養(yǎng)老產(chǎn)業(yè)，構(gòu)建居家、社區(qū)機構(gòu)相協(xié)調(diào)、醫(yī)養(yǎng)康養(yǎng)相結(jié)合的養(yǎng)老服務體系，加強老年健康服務和管理．某個社會調(diào)查小組想了解養(yǎng)老機構(gòu)老年人的身體健康狀況，從“國泰”和“民安”兩所養(yǎng)老院各隨機抽取了十名老人兩年中生病住院的次數(shù)的數(shù)據(jù)，（單位：次），并進行整理和分析（住院次數(shù)用x表示，共分為四個等級：A．，B．，C．，D．），下面給出了部分信息：
國泰養(yǎng)老院10個老年人兩年中生病住院的次數(shù)：1，2，3，3，4，4，4，5，8，9．
民安養(yǎng)老院10個老年人兩年中生病住院的次數(shù)里B等級包含的所有數(shù)據(jù)為：
5，3，3，3，4．
民安養(yǎng)老院被抽取的住院次數(shù)扇形統(tǒng)計圖：

國泰、民安養(yǎng)老院被抽取的住院次數(shù)統(tǒng)計表：
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）直接寫出上述表中 ， ， ；
（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認為哪個養(yǎng)老院的老年人身體健康狀況更好？請說明理由；（寫出一條理由即可）
（3）國泰和民安兩所養(yǎng)老院分別有老年人150和120人，請你估計這兩所養(yǎng)老院兩年中住院次數(shù)為B等級的人數(shù)共有多少人？
解：（1）∵國泰養(yǎng)老院10個老年人兩年中生病住院的次數(shù)中4出現(xiàn)的次數(shù)最多，
∴；，
∴；
∴，
∴民安養(yǎng)老院10個老年人兩年中生病住院的次數(shù)里A等級有2個數(shù)據(jù)，
∵一共隨機抽取了十名老人兩年中生病住院的次數(shù)的數(shù)據(jù)，
∴中位數(shù)為第5個數(shù)據(jù)和第6個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，
∵第5個數(shù)據(jù)為3，第6個數(shù)據(jù)為4，
∴，
故答案為：4，3.5，20；
（2）∵兩個養(yǎng)老院的平均數(shù)和A等級占百分比相同，
∵國泰養(yǎng)老院的中位數(shù)和眾數(shù)都大于民安養(yǎng)老院，
∴國泰養(yǎng)老院的老年人身體健康狀況更好；
（3）（人），
∴估計這兩所養(yǎng)老院兩年中住院次數(shù)為B等級的人數(shù)共有150人．,
18. 如圖，是菱形的對角線，．
（1）請用尺規(guī)作圖作的垂直平分線，垂足為E，交于F；（不要求寫作法，保留作圖痕跡）
（2）在（1）條件下，連接，求的值．
解：（1）如圖所示，直線即為所求；
（2）∵四邊形是菱形，
∴，，，
∴，
∴，
∵垂直平分線段，
∴，
∴，
∴，
∴，
作于，則，

設，則，，，
∴．
19. 小王同學學習了銳角三角函數(shù)后，通過觀察廣場的臺階與信號塔之間的相對位置，他認為利用臺階的可測數(shù)據(jù)與在點，處測出點的仰角度數(shù)，可以求出信號塔的高．如圖，的長為，高為．他在點處測得點的仰角為，在點處測得點的仰角為，在同一平面內(nèi)．你認為小王同學能求出信號塔的高嗎？若能，請求出信號塔的高；若不能，請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：，，，結(jié)果保留整數(shù)）
解：過作，垂足為，
∵，，
∴四邊形是矩形，
∴，．
∵的長為，高為，
∴．
∴在中，()．
∵，，
∴．
∴．
∴設．
∴，．
∴．
∵，，
∴．
∴．∴．
即信號塔的高為．
∴能求出信號塔的高，信號塔的高為．
20. 某初級中學為了提高教職工的身體素質(zhì)，舉辦了“堅持鍛煉，活力無限”的健身活動，并準備購買一些體育器材為活動做準備．已知購買1副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需要175元，購買2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需要140元．
（1）購買一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？
（2）已知該中學需要購買兩種球拍共40副，羽毛球拍的數(shù)量不超過20副．現(xiàn)商店推出兩種購買方案，方案A：購買一副羽毛球拍贈送一副乒乓球拍；方案B：按總價的八折付款試說明選擇哪種購買方案更實惠．
解：（1）設購買一副乒乓球拍需x元，購買一副羽毛球拍需y元．
由題意．得，解得，
答：購買一副乒乓球拍需35元，購買一副羽毛球拍需70元．
（2）設購買羽毛球拍a副，則購買乒乓球拍副，按方案A購買，總費用為元，按方案B購買，總費用為元．
根據(jù)題意，得，
．
當時，有，解得．
∴．
當時，有，解得．
當時，有，解得．∴．
綜上所述，當時，選擇購買方案A更實惠；
當時，選擇購買方案A、購買方案B一樣實惠；
當時，選擇購買方案B更實惠．
21. 如圖，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象交于點，點，一次函數(shù)與y軸交于點C．
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式；
（2）連接，求的面積；
（3）如圖2，點E是反比例函數(shù)圖象上A點右側(cè)一點，連接，把線段繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，點E的對應點F恰好也落在這個反比例函數(shù)的圖象上，求點E的坐標．
解：（1）將代入反比例函數(shù)，解得，
∴，將代入，得，
將，點代入，，解得，
∴；
（2）設一次函數(shù)與x軸交于點D，
令，則，令，則，
∴面積
；
；
（3）設點，又，
由旋轉(zhuǎn)知：為等腰直角三角形，
∴，
解得，
∴.
22. 年月日新晉高速全線通車，它把山西往河南路程由小時縮短為小時前期規(guī)劃開挖一條雙向四車道隧道時，王師傅想把入口設計成拋物線形狀（如圖），入口底寬為，入口最高處為米．
（1）求拋物線解析式；
（2）王師傅實地考察后，發(fā)現(xiàn)施工難度大，有人建議拋物線的形狀不變，將隧道入口往左平移，最高處降為米，求平移后的拋物線解析式；
（3）雙向四車道的地面寬至少要米，則（2）中的建議是否符合要求？
解：（1）由圖知，此拋物線對稱軸為軸，頂點坐標，，
故設拋物線解析式為，
把點坐標代入解析式得：，
解得，
拋物線解析式為；
（2）由題意可知，拋物線向左平移，向下平移使最高點降為，
拋物線解析式為；
（3）（2）中的建議不符合要求，理由：
令中的，
則，
整理得，
解得，，
，
，
∴（2）中的建議不符合要求．
23. 數(shù)學興趣小組的同學在學習中點知識時，遇到如下一個問題：如圖①，在邊長為4的正方形中，點是邊的中點，，連接，點分別是的中點，連接，求的長．小組成員展開討論，方法多樣、其中小佳同學的做法最具有推廣性．

根據(jù)以上信息，請回答以下問題：
（1）點是中點的依據(jù)是__________________________
（2）請根據(jù)小佳同學的思路寫出具體的證明過程．
（3）如圖③，在中，，，將繞著點順時針旋轉(zhuǎn)，，分別是，的中點，當點落在的邊上時（不包含頂點），求的長度．

解：（1）由題意可知：四邊形是矩形，，
點是對角線的中點，
，
，
點是的中點，
點是中點的依據(jù)是：矩形的對角線平分且相等，
故答案為：矩形的對角線平分且相等；
（2）如圖①，過點作，垂足為，連接，

四邊形是正方形，
，
，
，
四邊形是矩形，
點是對角線的中點，
點是的中點．
點是的中點，點是的中點，
是的中位線，
，
正方形邊長為4，點是的中點，
，
四邊形是矩形，
，
，
在中，由勾股定理可得，
；
（3）當點落在邊上時，分兩種情況，情況1，落在邊上，情況2，落在邊上，
在中，，，
，
，
，
情況1：當點落在邊上時，如圖②，

由旋轉(zhuǎn)可知：，
，
是等邊三角形，
此時點恰好與點重合，且，
，分別是，的中點，
；
情況2：方法一：當點落在邊上時，分別以和為對角線構(gòu)造矩形，如圖③，連接，

則點和點為的中點，
是的中位線，
延長，交于點，
，
在中，，
由勾股定理可得，，
；
方法二：如圖③，矩形和矩形，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
綜上所述：當點落在的邊上時（不包含頂點），的長度為2或．平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
A等級占百分比
國泰養(yǎng)老院
4.3
4
a
民安養(yǎng)老院
4.3
b
3
小佳同學是這樣思考的：
題目中有兩個中點，我想到用中位線，但是這兩個中點所在的線段是交叉狀態(tài)，所以可以通過軸對稱將它變成“共頂點”的圖形、這樣就可以構(gòu)造出三角形的中位線．具體如下：如圖②．過點作，垂足為，易證四邊形是矩形，連接、則點也是的中點，連接，則是的中位線，計算出的長度即可求出的長度．

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