1．（3分）下列各數(shù)在數(shù)軸上的位置距離原點(diǎn)最近的是（ ）
A．﹣2B．6C．D．π
2．（3分）為有效保護(hù)視力，提升身體素質(zhì)，我們需要增加體育鍛煉時(shí)間．下列體育鍛煉常見實(shí)物所對應(yīng)的立體圖形中，三視圖相同的是（ ）
A．跳繩B．秒表C．乒乓球D．羽毛球拍
3．（3分）據(jù)統(tǒng)計(jì)，2023年我國出生人口為902萬人，死亡人口為1110萬人．出生人口少于死亡人口，影響我國人口總量比2022年減少208萬人．?dāng)?shù)據(jù)“208萬”用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A．2.08×107B．2.08×106C．9.02×106D．1.11×107
4．（3分）化簡的結(jié)果是（ ）
A．2xB．C．D．
5．（3分）如圖，∠B＝30°，以Rt△ABC的頂點(diǎn)B為圓心，直角邊BC為半徑畫弧，與斜邊AB交于點(diǎn)D，則∠ADC的度數(shù)為（ ）
A．95°B．100°C．105°D．110°
6．（3分）如圖，圓O的半徑為1，點(diǎn)A，B，C在圓周上，∠C＝45°，則弦AB的長度為（ ）
A．1B．2C．D．
7．（3分）若|a|＜2，關(guān)于x的一元二次方程x2+ax+4＝0的根的情況是（ ）
A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．沒有實(shí)數(shù)根
D．不確定
8．（3分）某校春季研學(xué)活動(dòng)安排在美麗的某湖風(fēng)景名勝區(qū)，學(xué)校安排同學(xué)們從“水上大沖關(guān)”、“水槍大戰(zhàn)”、“畫肪游湖”、“龍舟競渡”中隨機(jī)選擇一種活動(dòng)參加．小紅和她的好朋友小麗選擇相同活動(dòng)的概率為（ ）
A．B．C．D．
9．（3分）二次函數(shù)y＝x2+3的圖象與直線AB有交點(diǎn)，若A（0，﹣2），則B的坐標(biāo)一定不是（ ）
A．B．（﹣1，5）C．（0，﹣1）D．（1，﹣1）
10．（3分）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，等腰Rt△ABC的頂點(diǎn)A（1，0）在x軸上，直角頂點(diǎn)C（1，3），將△ABC以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針每秒旋轉(zhuǎn)45°，77秒后，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
二、填空題（每題3分，共15分）
11．（3分）某牧民共有牛羊120只，每只牛每天的食草量是羊的4倍，若每只羊每天需要4千克草，設(shè)牛有x只，該牧民每天需準(zhǔn)備 千克草．
12．（3分）不等式組的正整數(shù)解的和為 ．
13．（3分）某園林公司培育3000棵銀杏樹用來出售，已知樹干周長不小于50cm才可出售，如圖為隨機(jī)抽取50棵銀杏樹測量后所得數(shù)據(jù)．請預(yù)估該公司這批銀杏樹達(dá)到出售標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)量為 棵．
14．（3分）如圖，AC是⊙O的切線，B為切點(diǎn)，連接OA，OC．若∠A＝30°，，BC＝4，則OC的長度是 ．
15．（3分）如圖，Rt△ABC的直角邊AC的中點(diǎn)為D，∠A＝30°，點(diǎn)E在斜邊上，且AE＝1，若△ADE為直角三角形，則BC的值為 ．
三、解答題（本大題共8個(gè)小題，滿分75分）
16．（10分）（1）計(jì)算：． （2）計(jì)算：（a+b）2﹣4（ab+1）
17．（9分）近些年很多家庭喜歡在家里種植幾株草莓，既可以美化環(huán)境，也為生活增添了樂趣．小華家今年種植了甲、乙兩個(gè)品種的草莓各10株，為了對兩個(gè)品種的草莓進(jìn)行比較并推薦給自己的好朋友，他將每株草莓的果實(shí)重量（克）做了如下記錄并分析：
分析：
根據(jù)以上信息，回答下列問題：
（1）表格中的a＝ ；b＝ ； （填“＞”“＝”或“＜”）；
（2）綜合上表的分析，你認(rèn)為小華應(yīng)選擇哪個(gè)品種的草莓推薦給好友？理由是什么？
（3）通過預(yù)估，好朋友家的花園能夠種植草莓一百株，根據(jù)上面信息，分別計(jì)算甲、乙兩個(gè)品種可能收獲果實(shí)多少克？
18．（9分）如圖，△ABC中，∠A＝2∠B．
（1）請用無刻度直尺和圓規(guī)作出線段AB的垂直平分線，與△ABC邊BC交于點(diǎn)D，在AB上截取AE＝AC，連接DE（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）求證：DE＝DC．
19．（9分）如圖，點(diǎn)A（﹣5，1），點(diǎn)B（﹣1，5）為反比例函數(shù)上兩點(diǎn)，點(diǎn)D，E為等腰Rt△ABC兩腰的中點(diǎn)，過點(diǎn)C，D，E做圓F．
（1）求k的值；
（2）取DE的中點(diǎn)F，連接CF，DE，試證明CF垂直平分DE．
（3）求陰影部分的面積．
20．（9分）綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組利用直角尺和皮尺測量建筑物AB和CD的高，因?yàn)檫@兩棟建筑物高度相同，于是這個(gè)小組設(shè)計(jì)出一種簡捷的方案，如圖所示：
（1）把直角尺的頂點(diǎn)E放在兩棟建筑物之間的地面上，調(diào)整位置使直角尺的兩邊EM，EN所在直線分別經(jīng)過建筑物外立面的頂部A和C；
（2）用皮尺度量BE和DE的長度；
（3）通過計(jì)算得到建筑物的高度．若示意圖中點(diǎn)A，B，C，D，E，M，N均在同一平面內(nèi)．測得BE＝9m，DE＝36m．請求出這兩棟建筑的高度．
21．（9分）某品牌體育用品店購進(jìn)一批籃球共花費(fèi)7500元，除了兩個(gè)籃球作為展品不出售外，其他籃球每個(gè)加價(jià)50元后全部售出，獲得9600元的銷售款．
（1）求這款籃球的進(jìn)價(jià)和售價(jià)．
（2）如果該商店準(zhǔn)備再購進(jìn)一批該種籃球用來出售（不再留展品），若要求獲利不少于8000元，求最少需進(jìn)該種籃球多少個(gè)．
22．（10分）安陽市水冶鎮(zhèn)附近有一個(gè)馬氏莊園，莊園中的建筑房頂為懸山頂式構(gòu)造，獨(dú)特的屋頂線條設(shè)計(jì)可以在下雨時(shí)保證雨水流下時(shí)流到院中地面某處．如圖為一棟建筑的側(cè)面示意圖，下雨時(shí)，雨水順著房頂AB，經(jīng)走廊頂部水平管道BC流出，呈拋物線落到院中地面上E點(diǎn)（可視C為拋物線頂點(diǎn)）．若走廊DF和頂部BC的寬度均為1m，屋高BD為3m，雨水落點(diǎn)距屋子的水平距離DE為2m，請根據(jù)題意，解決下列問題．
（1）建立合適的坐標(biāo)系，求出雨水從頂點(diǎn)C落到地面E點(diǎn)的拋物線表達(dá)式；
（2）現(xiàn)計(jì)劃在院中安放一個(gè)高為0.9m的圓柱形洗手池，洗手池下面連接儲水裝置，可以對水資源重復(fù)利用，為使下雨時(shí)雨水正好可以落在洗手池的頂部中心H點(diǎn)，請按設(shè)計(jì)計(jì)算雨水池的底面中心G到墻面的距離DG的長．
23．（10分）類比和轉(zhuǎn)化思想常?？梢詾槲覀兊臄?shù)學(xué)解題提供助力．下面題目是一次綜合復(fù)習(xí)課上老師給出的問題，請你注意數(shù)學(xué)思想的使用，完成下列問題．
如圖，邊長為6的等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)M，MB＝MC．
（1）如圖①，若∠MBC＝30°，求BM的長；
（2）如圖②，若，過M作BC的平行線交△ABC的兩邊為D，E，求DE的長；
（3）如圖③，若，過M作AC的平行線交△ABC的兩邊為F，G，求GF的長．
2024年河南省信陽市息縣中考數(shù)學(xué)二模試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（每題3分，共30分）
1．（3分）下列各數(shù)在數(shù)軸上的位置距離原點(diǎn)最近的是（ ）
A．﹣2B．6C．D．π
【答案】A
【分析】根據(jù)，可得2，因此|﹣2|＜||＜|π|＜|6|，即可得出結(jié)果．
【解答】解：∵，
∴2，
∴|﹣2|＜||＜|π|＜|6|，
∴離原點(diǎn)最近的是﹣2，
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查的是實(shí)數(shù)與數(shù)軸，估算無理數(shù)的大小，熟練掌握的取值范圍是解題的關(guān)鍵．
2．（3分）為有效保護(hù)視力，提升身體素質(zhì)，我們需要增加體育鍛煉時(shí)間．下列體育鍛煉常見實(shí)物所對應(yīng)的立體圖形中，三視圖相同的是（ ）
A．跳繩B．秒表C．乒乓球D．羽毛球拍
【答案】C
【分析】根據(jù)球體、圓錐體、圓柱體、三棱柱的三視圖進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：乒乓球的三視圖都是大小相同的圓，因此選項(xiàng)C符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查的是幾何體的三視圖，理解主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看所得到的圖形是解題的關(guān)鍵．
3．（3分）據(jù)統(tǒng)計(jì)，2023年我國出生人口為902萬人，死亡人口為1110萬人．出生人口少于死亡人口，影響我國人口總量比2022年減少208萬人．?dāng)?shù)據(jù)“208萬”用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A．2.08×107B．2.08×106C．9.02×106D．1.11×107
【答案】B
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表現(xiàn)形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同，當(dāng)原數(shù)絕對值大于等于10時(shí)，n是正整數(shù)，當(dāng)原數(shù)絕對值小于1時(shí)，n是負(fù)整數(shù)；由此進(jìn)行求解即可得到答案．
【解答】解：∵208萬＝2080000，
∴208萬用科學(xué)記數(shù)法表示為2.08×106．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法，熟練掌握科學(xué)記數(shù)法的表示方法是解題的關(guān)鍵．
4．（3分）化簡的結(jié)果是（ ）
A．2xB．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)分式的加減法運(yùn)算法則計(jì)算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝，
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查的是分式的加減法，熟練掌握其運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
5．（3分）如圖，∠B＝30°，以Rt△ABC的頂點(diǎn)B為圓心，直角邊BC為半徑畫弧，與斜邊AB交于點(diǎn)D，則∠ADC的度數(shù)為（ ）
A．95°B．100°C．105°D．110°
【答案】C
【分析】根據(jù)題意得出BC＝BD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠BCD＝∠BCD，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BDC＝75°，根據(jù)鄰補(bǔ)角定義求解即可．
【解答】解：∵以頂點(diǎn)B為圓心，直角邊BC為半徑畫弧，與斜邊AB交于點(diǎn)D，
∴BC＝BD，
∴∠BCD＝∠BCD，
∵∠B＝30°，∠BCD＝∠BDC，
∴∠BDC＝75°，
∴∠ADC＝180°﹣∠BDC＝105°，
故選：C．
【點(diǎn)評】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟記等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
6．（3分）如圖，圓O的半徑為1，點(diǎn)A，B，C在圓周上，∠C＝45°，則弦AB的長度為（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)圓周角定理求出∠AOB＝90°，可得△AOB是等腰直角三角形，繼而求得答案．
【解答】解：∵∠ACB＝45°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝90°，
∵⊙O的半徑為1，
∴OA＝OB＝1，
∴AB＝OA＝．
故選：C．
【點(diǎn)評】此題考查了圓周角定理以及等腰直角三角形性質(zhì)．根據(jù)圓周角定理求出∠AOB＝90°是解此題的關(guān)鍵．
7．（3分）若|a|＜2，關(guān)于x的一元二次方程x2+ax+4＝0的根的情況是（ ）
A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．沒有實(shí)數(shù)根
D．不確定
【答案】C
【分析】根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，可得出Δ＝a2﹣16＜0進(jìn)而可得出方程沒有實(shí)數(shù)根．
【解答】解：∵|a|＜2，
∵Δ＝a2﹣4×1×4＝a2﹣16＜0，
∴方程沒有實(shí)數(shù)根．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了根的判別式，牢記“當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．
8．（3分）某校春季研學(xué)活動(dòng)安排在美麗的某湖風(fēng)景名勝區(qū)，學(xué)校安排同學(xué)們從“水上大沖關(guān)”、“水槍大戰(zhàn)”、“畫肪游湖”、“龍舟競渡”中隨機(jī)選擇一種活動(dòng)參加．小紅和她的好朋友小麗選擇相同活動(dòng)的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及小紅和她的好朋友小麗選擇相同活動(dòng)的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：將“水上大沖關(guān)”、“水槍大戰(zhàn)”、“畫肪游湖”、“龍舟競渡”分別記為A，B，C，D，
畫樹狀圖如下：
共有16種等可能的結(jié)果，其中小紅和她的好朋友小麗選擇相同活動(dòng)的結(jié)果有4種，
∴小紅和她的好朋友小麗選擇相同活動(dòng)的概率為．
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查列表法與樹狀圖法，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．
9．（3分）二次函數(shù)y＝x2+3的圖象與直線AB有交點(diǎn)，若A（0，﹣2），則B的坐標(biāo)一定不是（ ）
A．B．（﹣1，5）C．（0，﹣1）D．（1，﹣1）
【答案】D
【分析】求得函數(shù)y＝x2+3在x＝1、x＝﹣1時(shí)的函數(shù)值即可判斷．
【解答】解：∵y＝x2+3，
∴二次函數(shù)y＝x2+3的圖象開口向上，對稱軸為y軸，最低點(diǎn)為（0，3），
當(dāng)x＝1時(shí)，y＝x2+3＝4，
∴二次函數(shù)y＝x2+3的圖象與直線AB有交點(diǎn)，
故A不合題意；
當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝x2+3＝4＜5，
∴二次函數(shù)y＝x2+3的圖象與直線AB有交點(diǎn)，
故B不合題意；
當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，﹣1）時(shí)，直線AB是y軸，
∴二次函數(shù)y＝x2+3的圖象與直線AB有交點(diǎn)，
故C不合題意；
當(dāng)x＝1時(shí)，y＝x2+3＝4＞﹣1，
∴二次函數(shù)y＝x2+3的圖象與直線AB沒有交點(diǎn)，
故D符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，求得x＝1、x＝﹣1時(shí)的函數(shù)值，與點(diǎn)B的坐標(biāo)比較是解題的關(guān)鍵．
10．（3分）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，等腰Rt△ABC的頂點(diǎn)A（1，0）在x軸上，直角頂點(diǎn)C（1，3），將△ABC以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針每秒旋轉(zhuǎn)45°，77秒后，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)所給旋轉(zhuǎn)方式，依次求出每次旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)B對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．
【解答】解：由題知，
∵△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針每秒旋轉(zhuǎn)45°，且360°÷45°＝8，
∴每旋轉(zhuǎn)8次，點(diǎn)B對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)循環(huán)一次．
∵A（1，0），C（1，3），且△ABC是等腰直角三角形，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，3）．
在Rt△ABC中，
AB＝．
∴1秒后，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）．
依次類推，
2秒后，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，﹣3）；
3秒后，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，﹣3）；
4秒后，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣2，﹣3）；
5秒后，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1﹣，0）；
6秒后，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣2，3）；
7秒后，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，3）；
8秒后，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，3）；
又因?yàn)?7÷8＝9余5，
所以77秒后，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1﹣3，0）．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)，能通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)點(diǎn)B對應(yīng)點(diǎn)的循環(huán)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（每題3分，共15分）
11．（3分）某牧民共有牛羊120只，每只牛每天的食草量是羊的4倍，若每只羊每天需要4千克草，設(shè)牛有x只，該牧民每天需準(zhǔn)備 （12x+480） 千克草．
【答案】（12x+480）．
【分析】根據(jù)題意，每只羊每天需要4千克草，每只牛每天需要16千克草，設(shè)牛有x只，則羊有（120﹣x）只，則該牧民每天需準(zhǔn)備：16x+4（120﹣x）千克草，計(jì)算即可．
【解答】解：∵每只牛每天的食草量是羊的4倍，若每只羊每天需要4千克草，
∴每只牛每天需要（4×4）千克草，即16千克草，
設(shè)牛有x只，則羊有（120﹣x）只，
∴該牧民每天需準(zhǔn)備：16x+4（120﹣x）＝（12x+480）千克草，
故答案為：（12x+480）．
【點(diǎn)評】本題考查的是列代數(shù)式，根據(jù)題目正確列出代數(shù)式是解題的關(guān)鍵．
12．（3分）不等式組的正整數(shù)解的和為 10 ．
【答案】10．
【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集，繼而可得答案．
【解答】解：由2x＜5+x得：x＜5，
由x﹣2≤4x+1得：x≥﹣1，
則﹣1≤x＜5，
所以不等式組的正整數(shù)解的和為1+2+3+4＝10，
故答案為：10．
【點(diǎn)評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．
13．（3分）某園林公司培育3000棵銀杏樹用來出售，已知樹干周長不小于50cm才可出售，如圖為隨機(jī)抽取50棵銀杏樹測量后所得數(shù)據(jù)．請預(yù)估該公司這批銀杏樹達(dá)到出售標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)量為 2520 棵．
【答案】2520．
【分析】總數(shù)量乘以樣本中達(dá)到出售標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)量所占比例即可．
【解答】解：估計(jì)該公司這批銀杏樹達(dá)到出售標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)量為3000×＝2520（棵），
故答案為：2520．
【點(diǎn)評】本題主要考查用樣本估計(jì)總體，一般來說，用樣本去估計(jì)總體時(shí)，樣本越具有代表性、容量越大，這時(shí)對總體的估計(jì)也就越精確．
14．（3分）如圖，AC是⊙O的切線，B為切點(diǎn)，連接OA，OC．若∠A＝30°，，BC＝4，則OC的長度是 ．
【答案】2．
【分析】連接OB，由切線的性質(zhì)定理得到半徑OB⊥AC，由含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出OB＝AB＝2，由勾股定理求出OC＝＝2．
【解答】解：連接OB，
∵AC是⊙O的切線，B為切點(diǎn)，
∴半徑OB⊥AC，
∵∠A＝30°，，
∴OB＝AB＝2，
∵BC＝4，
∴OC＝＝2．
故答案為：2．
【點(diǎn)評】本題考查切線的性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是由切線的性質(zhì)定理推出OB⊥AC，由含30角的直角三角形的性質(zhì)求出OB的長．
15．（3分）如圖，Rt△ABC的直角邊AC的中點(diǎn)為D，∠A＝30°，點(diǎn)E在斜邊上，且AE＝1，若△ADE為直角三角形，則BC的值為 1或 ．
【答案】1或．
【分析】分情況討論，當(dāng)∠EDA＝90°時(shí)，利用中位線的性質(zhì)即可得到結(jié)論，當(dāng)∠EDA＝90°時(shí)，利用特殊角的銳角三角函數(shù)求解，即可得結(jié)論．
【解答】解：①當(dāng)∠EDA＝90°時(shí)，
∵AE＝1，∠A＝30°，
∴AD＝，
∵AC的中點(diǎn)為D，
∴BC＝1；
②當(dāng)∠AED＝90°，
∵AE＝1，∠A＝30°，
∴AD＝，
∵Rt△ABC的直角邊AC的中點(diǎn)為D，
∴AC＝2AD＝，
∴BC＝＝．
故答案為：1或．
【點(diǎn)評】本題考查勾股定理．正確記憶相關(guān)知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共8個(gè)小題，滿分75分）
16．（10分）（1）計(jì)算：．
（2）計(jì)算：（a+b）2﹣4（ab+1）
【答案】（1）7；（2）a2+b2﹣2ab﹣4．
【分析】（1）根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則運(yùn)算即可；
（2）根據(jù)完全平方公式和去括號法則運(yùn)算即可．
【解答】解：（1）原式＝3﹣+5
＝7；
（2）（a+b）2﹣4（ab+1）
＝a2+2ab+b2﹣4ab﹣4
＝a2+b2﹣2ab﹣4．
【點(diǎn)評】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算和完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是關(guān)鍵．
17．（9分）近些年很多家庭喜歡在家里種植幾株草莓，既可以美化環(huán)境，也為生活增添了樂趣．小華家今年種植了甲、乙兩個(gè)品種的草莓各10株，為了對兩個(gè)品種的草莓進(jìn)行比較并推薦給自己的好朋友，他將每株草莓的果實(shí)重量（克）做了如下記錄并分析：
分析：
根據(jù)以上信息，回答下列問題：
（1）表格中的a＝ 130 ；b＝ 135 ； ＜ （填“＞”“＝”或“＜”）；
（2）綜合上表的分析，你認(rèn)為小華應(yīng)選擇哪個(gè)品種的草莓推薦給好友？理由是什么？
（3）通過預(yù)估，好朋友家的花園能夠種植草莓一百株，根據(jù)上面信息，分別計(jì)算甲、乙兩個(gè)品種可能收獲果實(shí)多少克？
【答案】（1）130，135，＜；
（2）推薦甲品種，理由見解答內(nèi)容（答案不唯一，合理即可）；
（3）甲、乙兩個(gè)品種可能收獲果實(shí)均為13000克．
【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)和方差的定義即可解答；
（2）結(jié)合統(tǒng)計(jì)表，合理分析即可（答案不唯一）；
（3）用平均數(shù)乘種植的株數(shù)，即可解答．
【解答】解：（1）（110+160+170+140+130+190+60+80+100+160）÷10＝130，所以平均數(shù)a＝130；
將乙品種的數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列，可得60、80、100、110、130、140、160、160、170、190，
從中可以發(fā)現(xiàn)中間的兩個(gè)數(shù)分別為130、140，
（130+140）÷2＝135，所以中位數(shù)b＝135；
從表格中可以發(fā)現(xiàn)甲品種的數(shù)據(jù)大約分布在100至160之間，甲品種的數(shù)據(jù)大約分布在60至190之間，
可以得出甲品種的數(shù)據(jù)比乙品種的數(shù)據(jù)波動(dòng)更小，所以，甲品種數(shù)據(jù)的方差也比乙品種數(shù)據(jù)的方差??；
故答案為130，135，＜．
（2）推薦甲品種，因?yàn)樵谄骄鶖?shù)相同的情況下，甲的方差小于乙的方差，所以甲品種的果實(shí)重量更均勻（答案不唯一，合理即可）．
（3）130×100＝13000（克），
答：甲、乙兩個(gè)品種可能收獲果實(shí)均為13000克．
【點(diǎn)評】本題考查了方差，它反映了一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，方差越大，波動(dòng)性越大，反之也成立，也考查了平均數(shù)、中位數(shù)．關(guān)鍵是能根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、方差的意義對本題進(jìn)行分析．
18．（9分）如圖，△ABC中，∠A＝2∠B．
（1）請用無刻度直尺和圓規(guī)作出線段AB的垂直平分線，與△ABC邊BC交于點(diǎn)D，在AB上截取AE＝AC，連接DE（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）求證：DE＝DC．
【答案】（1）作圖見解答；
（2）證明過程見解答．
【分析】（1）先利用基本作圖作AB的垂直平分線，再在AB上截取AE＝AC，從而得到DE；
（2）連接AD，如圖，先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA＝DB，則∠DAB＝∠B，再證明∠DAB＝∠DAC，然后證明△ADE≌△ADC得到DE＝DC．
【解答】（1）解：如圖，DE為所作；
（2）證明：連接AD，如圖，
∵點(diǎn)DAB的垂直平分線與BC的交點(diǎn)，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B，
∵∠BAC＝2∠B，
∴∠DAB＝∠DAC，
在△ADE和△ADC中，
，
∴△ADE≌△ADC（SAS），
∴DE＝DC．
【點(diǎn)評】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)．
19．（9分）如圖，點(diǎn)A（﹣5，1），點(diǎn)B（﹣1，5）為反比例函數(shù)上兩點(diǎn)，點(diǎn)D，E為等腰Rt△ABC兩腰的中點(diǎn)，過點(diǎn)C，D，E做圓F．
（1）求k的值；
（2）取DE的中點(diǎn)F，連接CF，DE，試證明CF垂直平分DE．
（3）求陰影部分的面積．
【答案】（1）k＝﹣5．（2）見詳解；（3）6﹣π．
【分析】（1）將點(diǎn)A坐標(biāo)代入解析式求出k值即可；
（2）根據(jù)等腰三角形三線合一證明垂直即可；
（3）根據(jù)條件，先求出圓的半徑r＝，再利用S陰影＝S四邊形ABDE﹣S圓F＝S△ABC﹣S△CDE﹣S圓F，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可．
【解答】解：（1）將點(diǎn)A（﹣5，1）代入得：1＝，
解得：k＝﹣5．
（2）∵點(diǎn)D，E為等腰Rt△ABC兩腰的中點(diǎn)，
∴CE＝CD，
∵點(diǎn)F為DE的中點(diǎn)，
∴CF垂直平分DE．
（3）設(shè)圓的半徑為r，根據(jù)題意可知，CF＝EF＝DF＝r，
∵CF垂直平分DE，
∴CF2+DF2＝CD2，即2r2＝CD2，
∵D為BC的中點(diǎn)，CB＝﹣1﹣（﹣5）＝4，
∴CD＝2，
∴r＝，
∴S陰影＝S四邊形ABDE﹣S圓F
＝S△ABC﹣S△CDE﹣S圓F
＝
＝﹣﹣
＝6﹣π．
【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練掌握三線合一及與圓有關(guān)的計(jì)算是解答本題的關(guān)鍵．
20．（9分）綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組利用直角尺和皮尺測量建筑物AB和CD的高，因?yàn)檫@兩棟建筑物高度相同，于是這個(gè)小組設(shè)計(jì)出一種簡捷的方案，如圖所示：
（1）把直角尺的頂點(diǎn)E放在兩棟建筑物之間的地面上，調(diào)整位置使直角尺的兩邊EM，EN所在直線分別經(jīng)過建筑物外立面的頂部A和C；
（2）用皮尺度量BE和DE的長度；
（3）通過計(jì)算得到建筑物的高度．若示意圖中點(diǎn)A，B，C，D，E，M，N均在同一平面內(nèi)．測得BE＝9m，DE＝36m．請求出這兩棟建筑的高度．
【答案】18m．
【分析】根據(jù)題意可得出∠BAE＝∠DEC．再根據(jù)tan∠BAE＝tan∠DEC．得出比例式即可求出答案．
【解答】解：由題意得，AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠BEA+∠BAE＝90°，∠ECD+∠DEC＝90°，
∵∠MEN＝90°，
∴∠BEA+∠DEC＝90°．
∴∠BAE＝∠DEC．
∴tan∠BAE＝tan∠DEC．
即．
設(shè)AB＝CD＝x m，
則，
解得 x＝18（負(fù)值舍去）．
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝18是原方程的解．
答：兩棟樓的高度為18m．
【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟記相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
21．（9分）某品牌體育用品店購進(jìn)一批籃球共花費(fèi)7500元，除了兩個(gè)籃球作為展品不出售外，其他籃球每個(gè)加價(jià)50元后全部售出，獲得9600元的銷售款．
（1）求這款籃球的進(jìn)價(jià)和售價(jià)．
（2）如果該商店準(zhǔn)備再購進(jìn)一批該種籃球用來出售（不再留展品），若要求獲利不少于8000元，求最少需進(jìn)該種籃球多少個(gè)．
【答案】（1）這款籃球的進(jìn)價(jià)為150元/個(gè)，售價(jià)為200元/個(gè)；
（2）最少需要進(jìn)該種籃球160個(gè)．
【分析】（1）根據(jù)購買的籃球數(shù)量得出等式，進(jìn)而得出答案；
（2）利用獲利不少于8000元，得出不等式進(jìn)而得出答案．
【解答】解：（1）設(shè)籃球的進(jìn)價(jià)為x元/個(gè)，則售價(jià)為（x+50）元/個(gè)，依據(jù)題意可得：
﹣2＝，
解得：x1＝150，x2＝﹣1250（舍去），
則x+50＝200，
經(jīng)檢驗(yàn)得，x＝150是原方程的解，
答：這款籃球的進(jìn)價(jià)為150元/個(gè)，售價(jià)為200元/個(gè)；
（2）設(shè)進(jìn)該種籃球x個(gè)，可列不等式（200﹣150）x≥8000，
解得：x≥160，
答：最少需要進(jìn)該種籃球160個(gè)．
【點(diǎn)評】此題主要考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，正確得出等式與不等關(guān)系是解題關(guān)鍵．
22．（10分）安陽市水冶鎮(zhèn)附近有一個(gè)馬氏莊園，莊園中的建筑房頂為懸山頂式構(gòu)造，獨(dú)特的屋頂線條設(shè)計(jì)可以在下雨時(shí)保證雨水流下時(shí)流到院中地面某處．如圖為一棟建筑的側(cè)面示意圖，下雨時(shí)，雨水順著房頂AB，經(jīng)走廊頂部水平管道BC流出，呈拋物線落到院中地面上E點(diǎn)（可視C為拋物線頂點(diǎn)）．若走廊DF和頂部BC的寬度均為1m，屋高BD為3m，雨水落點(diǎn)距屋子的水平距離DE為2m，請根據(jù)題意，解決下列問題．
（1）建立合適的坐標(biāo)系，求出雨水從頂點(diǎn)C落到地面E點(diǎn)的拋物線表達(dá)式；
（2）現(xiàn)計(jì)劃在院中安放一個(gè)高為0.9m的圓柱形洗手池，洗手池下面連接儲水裝置，可以對水資源重復(fù)利用，為使下雨時(shí)雨水正好可以落在洗手池的頂部中心H點(diǎn)，請按設(shè)計(jì)計(jì)算雨水池的底面中心G到墻面的距離DG的長．
【答案】（1）（答案不唯一）以點(diǎn)C為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，B→C方向?yàn)檎较蚪⑵矫嬷苯亲鴺?biāo)系，拋物線的表達(dá)式為 y＝﹣3x2；
（2）m．
【分析】（1）（答案不唯一）以點(diǎn)C為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，B→C方向?yàn)檎较蚪⑵矫嬷苯亲鴺?biāo)系，得到點(diǎn)C，E的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出此時(shí)的函數(shù)解析式；
（2）先求出BH的長，設(shè)H（x，﹣2.1），G（x，﹣3），將H點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，求出x的值，再根據(jù)DG＝DF+FG即可求出DG的長．
【解答】解：（1）（答案不唯一）以點(diǎn)C為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，B→C方向?yàn)檎较蚪⑵矫嬷苯亲鴺?biāo)系，如圖．
∵DF＝BC＝1，DE＝2，BD＝3，
∴C（0，0），E（1，﹣3）．
設(shè)拋物線解析式為 y＝ax2，
∵將點(diǎn)E（1，﹣3）代入解析式，
得﹣3＝a?12，
解得 a＝﹣3，
∴拋物線的表達(dá)式為 y＝﹣3x2；
（2）若想讓雨滴正好落在H點(diǎn)，則點(diǎn)H需在CE所在的拋物線上，
∵BD＝3，HG＝0.9，
則B與H的距離為 3﹣0.9＝2.1，
可設(shè)H（x，﹣2.1），G（x，﹣3），
將 H（x，﹣2.1）代入解析式，
得﹣2.1＝﹣3x2，
解得 （負(fù)值已舍），
∴（m），
答：雨水池的底面中心G到墻面的距離DG的長為m．
【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意，掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．
23．（10分）類比和轉(zhuǎn)化思想常常可以為我們的數(shù)學(xué)解題提供助力．下面題目是一次綜合復(fù)習(xí)課上老師給出的問題，請你注意數(shù)學(xué)思想的使用，完成下列問題．
如圖，邊長為6的等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)M，MB＝MC．
（1）如圖①，若∠MBC＝30°，求BM的長；
（2）如圖②，若，過M作BC的平行線交△ABC的兩邊為D，E，求DE的長；
（3）如圖③，若，過M作AC的平行線交△ABC的兩邊為F，G，求GF的長．
【答案】（1）BM＝2；
（2）DE＝6﹣2；
（3）GF＝．
【分析】（1）如圖①，連接AM并延長交BC于點(diǎn)H，根據(jù)含30度角的直角三角形即可解決問題；
（2）根據(jù)勾股定理求出MH，AH，再利用特殊角的三角函數(shù)即可解決問題；
（3）先證明△BGF與△ABC均為等邊三角形，再利用特殊角的三角函數(shù)即可解決問題．
【解答】解：（1）如圖①，連接AM并延長交BC于點(diǎn)H，
∵△ABC與△BCM均為等腰三角形，
∴AB＝AC，BM＝CM，
∴AH為BC的垂直平分線，
即BH＝HC＝BC，AH⊥BC，
∴∠BHM＝90°，
∵ABC為等邊三角形，
∴BC＝AB＝6，
∴BH＝3，
在Rt△BHM中，∠HBM＝30°，
∵cs30°＝＝，
∴BM＝2；
（2）如圖②，∵BM＝3，BH＝3，
在Rt△BMH中，根據(jù)勾股定理得：MH＝＝＝3，
在Rt△ABH中，AB＝6，BH＝3，
∴AH＝＝＝3，
∴AM＝AH﹣MH＝3﹣3，
在Rt△ABH與Rt△ADM中，
∵tan60°＝＝＝，
∴DM＝＝3，
∴DE＝2DM＝2（3﹣）＝6﹣2；
（3）如圖③，∵GF∥AC，
∴∠BAC＝∠BGF＝60°，∠ABC＝60°，
∴△BGF與△ABC均為等邊三角形，
∴＝，
∵AH為△ABC的垂直平分線，
∴△BMC為等腰三角形，MH⊥BC，
在Rt△BMH中，BH2+MH2＝BM2，BH＝3，
∴MH＝，
在Rt△MHF中，
tan∠HFG＝tan60°＝，
∴HF＝，
∴BF＝BH+HF＝3+＝，
∵三角形BGF為等邊三角形，
∴GF＝BF＝．
【點(diǎn)評】本題是三角形綜合題，考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，解決本題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/4/29 16:23:11；用戶：因材教育；郵箱：307053203@qq.cm；學(xué)號：3994153
甲
120
130
140
150
100
160
130
110
150
110
乙
110
160
170
140
130
190
60
80
100
160
平均數(shù)
中位數(shù)
方差
甲
130
130
乙
a
b
甲
120
130
140
150
100
160
130
110
150
110
乙
110
160
170
140
130
190
60
80
100
160
平均數(shù)
中位數(shù)
方差
甲
130
130
乙
a
b

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