一、單選題
1．將自然數(shù)1，2，3，4，5，……，按照如圖排列，我們將2，4，7，11，16，……都稱為“拐角數(shù)”，則下列哪個(gè)數(shù)不是“拐角數(shù)”．（ ）
A．22B．30C．37D．46
2．在等差數(shù)列an中，已知，，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式可以為（ ）
A．B． C．D．
3．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，若，，則（ ）
A．550B．520C．450D．425
4．過(guò)點(diǎn)作直線，若直線與連接，兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，則直線的傾斜角范圍為（ ）
A．B．
C．D．
5．直線：，：，若，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．0B．1C．0或1D．或1
6．已知直線與直線平行，則與之間的距離為（ ）
A．2B．3C．4D．5
7．若點(diǎn)在圓C：的外部，則m的取值可能為（ ）
A．5B．1C．D．
8．已知線段的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是，端點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程為（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題
9．已知是的前項(xiàng)和，，，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．B．
C．D．是以為周期的周期數(shù)列
10．已知等比數(shù)列中，，，則（ ）
A．公比為B．
C．當(dāng)時(shí)，D．的前10項(xiàng)積為1
11．若方程表示的曲線為圓，則實(shí)數(shù)的值可以為（ ）
A．0B．C．1D．2
三、填空題
12．設(shè)等差數(shù)列與的前n項(xiàng)和分別為，，且，則 ．
13．設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為P，則P到直線的距離的最大值為 ．
14．已知，，，第三個(gè)頂點(diǎn)C在曲線上移動(dòng)，則的重心的軌跡方程是 ．
四、解答題
15．等差數(shù)列an的前項(xiàng)和為，已知，.
(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
16．已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，且，，成等差數(shù)列．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．
17．已知點(diǎn)，直線.
(1)求點(diǎn)P到直線l的距離；
(2)求點(diǎn)P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo).
18．已知的圓心在x軸上，經(jīng)過(guò)點(diǎn)和．
(1)求的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)的直線l與交于A、B兩點(diǎn)．
（?。┤簦笾本€l的方程；
（ⅱ）求弦AB最短時(shí)直線l的方程．
19．把滿足任意總有的函數(shù)稱為和弦型函數(shù).
(1)已知為和弦型函數(shù)且，求的值；
(2)在（1）的條件下，定義數(shù)列：，求的值；
(3)若為和弦型函數(shù)且對(duì)任意非零實(shí)數(shù)，總有．設(shè)有理數(shù)滿足，判斷與的大小關(guān)系，并給出證明．
參考答案：
1．B
【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)規(guī)律填寫(xiě)數(shù)列中的某項(xiàng)、觀察法求數(shù)列通項(xiàng)
【分析】先根據(jù)題中規(guī)律找到拐角數(shù)的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得.
【詳解】由題意得第1個(gè)“拐角數(shù)”為，第2個(gè)“拐角數(shù)”為，
第3個(gè)“拐角數(shù)”為，第4個(gè)“拐角數(shù)”為，
則第個(gè)“拐角數(shù)”為．
對(duì)于A：第6個(gè)“拐角數(shù)”是，故A不合題意；
對(duì)于B、C：第7個(gè)“拐角數(shù)”是，第8個(gè)“拐角數(shù)”是，
則30不是“拐角數(shù)”，故B適合題意，C不合題意；
對(duì)于D：第9個(gè)“拐角數(shù)”是，故D不合題意．
故選：B.
2．C
【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、利用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算
【分析】方法一，設(shè)出首項(xiàng)，公差為d，代入已知條件即可求解；方法二，根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可求出，代入到已知可求出公差為d，即可求解；方法三，根據(jù)韋達(dá)定理可求出，是方程的兩根，再根據(jù)等差數(shù)列可求出通項(xiàng)公式.
【詳解】方法一（基本量法）設(shè)an的首項(xiàng)為，公差為d，
則由，得，∴．
代入，整理得，解得．
當(dāng)時(shí)，，；
當(dāng)時(shí)，，．
方法二（等差數(shù)列的性質(zhì)）∵，∴．
，
∴，∴．
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，．
方法三（方程思想）∵，∴，
∴，（由和與積，聯(lián)想到根與系數(shù)的關(guān)系）
∴，是方程的兩根，∴或
由，，得，∴．
同理，由，，得．
故選：
3．D
【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列片段和性質(zhì)及應(yīng)用
【分析】由等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)可得答案.
【詳解】由等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)可得，，，，成等比數(shù)列，
則，設(shè)，則，∵等比數(shù)列中，，
∴解得，，故，∴，
故選：D．
4．B
【知識(shí)點(diǎn)】已知兩點(diǎn)求斜率、直線與線段的相交關(guān)系求斜率范圍、斜率與傾斜角的變化關(guān)系
【分析】由題知直線的斜率，再根據(jù)斜率范圍求解傾斜角的范圍即可.
【詳解】
設(shè)直線的傾斜角為，，
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，符合，
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的斜率為，
因?yàn)辄c(diǎn)， ，，則，，
因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與線段總有公共點(diǎn)，所以，
因?yàn)椋?，所以?br>所以直線的傾斜角范圍為.
故選：B.
5．C
【知識(shí)點(diǎn)】已知直線垂直求參數(shù)
【分析】根據(jù)兩直線垂直的公式求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?，：垂直?br>所以，
解得或，
將，代入方程，均滿足題意，
所以當(dāng)或時(shí)，.
故選：.
6．A
【知識(shí)點(diǎn)】已知直線平行求參數(shù)、求平行線間的距離
【分析】根據(jù)兩條直線平行，求出值，再應(yīng)用平行線間的距離公式求值即可.
【詳解】因?yàn)橹本€與直線平行，
所以，解之得.
于是直線，即，
所以與之間的距離為.
故選：A
7．C
【知識(shí)點(diǎn)】二元二次方程表示的曲線與圓的關(guān)系、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求參數(shù)
【分析】根據(jù)點(diǎn)在圓外及方程表示圓求出的范圍得解.
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在圓C：的外部，
所以，解得，
又方程表示圓，則，即，
所以，結(jié)合選項(xiàng)可知，m的取值可以為.
故選：C
8．B
【知識(shí)點(diǎn)】軌跡問(wèn)題——圓
【分析】設(shè)出動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，找到動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，再利用相關(guān)點(diǎn)法求解軌跡方程即可.
【詳解】設(shè)，，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，
所以，故，
因?yàn)锳在圓上運(yùn)動(dòng)，
所以，
化簡(jiǎn)得，故B正確.
故選：B
9．BD
【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列周期性的應(yīng)用、由遞推數(shù)列研究數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)
【分析】由已知數(shù)列遞推式，可得an是以3為周期的周期數(shù)列，判斷；結(jié)合數(shù)列的周期性逐一分析選項(xiàng)
【詳解】，，
，，，，
則數(shù)列an是以為周期的周期數(shù)列，故正確；
則，故錯(cuò)誤；
，故正確；
可得，故錯(cuò)誤．
故選：
10．ABD
【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)及應(yīng)用、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算
【分析】由等比數(shù)列an中，，，可求得公比，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可判斷各個(gè)選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，設(shè)等比數(shù)列an的公比為，
由，得，解得，故A正確；
對(duì)于B項(xiàng)，，則，故B正確；
對(duì)于C項(xiàng)，，當(dāng)時(shí)，，則，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D項(xiàng)，由，可得an的前10項(xiàng)積為，故D正確．
故選：ABD.
11．AD
【知識(shí)點(diǎn)】二元二次方程表示的曲線與圓的關(guān)系
【分析】先將方程合理轉(zhuǎn)化，后結(jié)合二元二次方程表示圓的條件求解即可.
【詳解】方程，即，
若方程表示圓，則，解得或，
結(jié)合選項(xiàng)可知AD正確，BC錯(cuò)誤.
故選：AD
12．
【知識(shí)點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和之比問(wèn)題、利用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算
【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)，推導(dǎo)出，代入題干所給公式得到結(jié)果.
【詳解】，
故答案為：．
13．
【知識(shí)點(diǎn)】求直線交點(diǎn)坐標(biāo)、求平面兩點(diǎn)間的距離、直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題
【分析】先求出的坐標(biāo)，再求出直線所過(guò)的定點(diǎn)，則所求距離的最大值就是的長(zhǎng)度.
【詳解】由可以得到，故，
直線的方程可整理為：，故直線過(guò)定點(diǎn)，
因?yàn)榈街本€的距離，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
故，
故答案為：.
14．
【知識(shí)點(diǎn)】求平面軌跡方程
【分析】設(shè)，由題可得重心坐標(biāo)為：，后由橫縱坐標(biāo)間關(guān)系可得答案.
【詳解】設(shè)，因，則.
因，，則重心坐標(biāo)為.
設(shè)，則，則.
故重心軌跡方程為：.
故答案為：.
15．(1)
(2)
【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算、含絕對(duì)值的等差數(shù)列前n項(xiàng)和、等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算
【分析】（1）根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為首項(xiàng)和公差的方程，即可求解；
（2）根據(jù)數(shù)列正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)的分界，討論與的關(guān)系，求解.
【詳解】（1）設(shè)數(shù)列an的公差為，
∵，∴，∵，∴ ，∴公差為，∴，
∴ ；
（2）由已知，
時(shí)，；
時(shí)，；
綜上.
16．(1)
(2)
【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、分組（并項(xiàng)）法求和、寫(xiě)出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式
【分析】（1）設(shè)公比為，根據(jù)等差中項(xiàng)可得，根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式列式求解即可；
（2）由（1）可知：，利用分組求和結(jié)合等差、等比數(shù)列求和公式運(yùn)算求解.
【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，且，
因?yàn)?，，成等差?shù)列，則，
即，解得或（舍去），
所以的通項(xiàng)公式為.
（2）由（1）可知：，
則
，
所以.
17．(1)
(2)
【知識(shí)點(diǎn)】求點(diǎn)到直線的距離、求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)
【分析】（1）由點(diǎn)到直線距離公式即可得解；
（2）設(shè)對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為，利用兩直線垂直的性質(zhì)與中點(diǎn)坐標(biāo)公式列方程組即可得解.
【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)，直線，
所以點(diǎn)P到直線l的距離為；
（2）設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，
則中點(diǎn)的坐標(biāo)為，又直線的斜率為，
所以，解得，即.
18．(1)
(2)①或；②.
【知識(shí)點(diǎn)】由圓心（或半徑）求圓的方程、圓的弦長(zhǎng)與中點(diǎn)弦、直線的點(diǎn)斜式方程及辨析、已知圓的弦長(zhǎng)求方程或參數(shù)
【分析】（1）設(shè)圓心為，根據(jù)題中條件求出的值，可求出圓的半徑，即可得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）①求出圓心到直線的距離，對(duì)直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，在直線的斜率不存在時(shí)，直線寫(xiě)出直線的方程，直接驗(yàn)證即可；
在直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出的值，綜合可得出結(jié)果；
②分析可知，當(dāng)時(shí)，AB取最小值，求出直線的斜率，可得出直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式可得出直線的方程.
【詳解】（1）設(shè)圓心為，由題意可得，解得，
所以，圓的半徑為，因此，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）①當(dāng)時(shí)，圓心到直線的距離為，
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)，圓心到直線的距離為，合題意，
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，
則，解得，此時(shí)，直線的方程為.
綜上所述，直線的方程為或.
②當(dāng)時(shí)，圓心到直線的距離最大，此時(shí)，AB取最小值，
因?yàn)?，則，
此時(shí)，直線的方程為，即.
19．(1)；
(2)
(3)，證明見(jiàn)解析
【知識(shí)點(diǎn)】寫(xiě)出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、函數(shù)新定義、求函數(shù)值、函數(shù)奇偶性的定義與判斷
【分析】（1）利用所給定義，使用賦值法分別令、代入計(jì)算即可得解；
（2）令代入計(jì)算可得，即可得其通項(xiàng)公式，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算與等差數(shù)列求和公式計(jì)算即可得解；
（3）令，數(shù)列滿足，從而只需證明數(shù)列為遞增數(shù)列即可得證.
【詳解】（1）令，則，可得，
令，則，則；
（2）令，則，
，
即，又，所以數(shù)列為以為公比，為首項(xiàng)的等比數(shù)列，
即，則
；
（3）由題意得：函數(shù)定義域?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，令為任意實(shí)數(shù)，
則，即是偶函數(shù)，
因?yàn)椋?br>又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，有，所以，
為有理數(shù)，不妨設(shè)，令為，分母的最小公倍數(shù)，
且均為自然數(shù)，且，
設(shè)，則，
令，則，
即，，
故數(shù)列單調(diào)遞增，則，
又是偶函數(shù)，所以有.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)遞推關(guān)系的特點(diǎn)，靈活應(yīng)用特殊值法求函數(shù)值及函數(shù)關(guān)系，最后一問(wèn)需根據(jù)有理數(shù)的性質(zhì)：令，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為判斷的增減性.
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
D
B
C
A
C
B
BD
ABD
題號(hào)
11









答案
AD









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