2022-2023學(xué)年甘肅省慶陽市寧縣第二中學(xué)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．直線的縱截距為（    ）A． B． C． D．3【答案】A【分析】根據(jù)直線方程即得.【詳解】因?yàn)橹本€，令，可得，所以直線的縱截距為.故選：A.2．已知直線與直線平行，則實(shí)數(shù)a的值為（    ）A． B． C．1 D．或1【答案】D【分析】由兩直線平行的條件直接列式求解，注意檢驗(yàn)是否重合．【詳解】由，解得或，經(jīng)過驗(yàn)證滿足題意.故選：D.3．已知圓：，圓：，則兩圓的位置關(guān)系為（　?。?/span>A．外離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切【答案】C【分析】求出兩圓的圓心和半徑，根據(jù)圓心距與半徑和與差的關(guān)系，判斷圓與圓的位置關(guān)系．【詳解】圓：的圓心為，半徑，圓：，即，圓心，半徑，兩圓的圓心距，顯然，即，所以圓與圓相交.故選：C4．五聲音階（漢族古代音律）是按五度的相生順序，從宮音開始到羽音，依次為宮，商，角，徵，羽．若將這五個(gè)音階排成一列，形成一個(gè)音序，且要求宮、羽兩音節(jié)不相鄰，可排成不同的音序的種數(shù)為（    ）A．12種 B．48種 C．72種 D．120種【答案】C【分析】先排其它三個(gè)，然后在空檔插入宮、羽兩音節(jié)即可得．【詳解】先排其它三個(gè)，然后在空檔插入宮、羽兩音節(jié)，方法數(shù)為.故選：C．5．已知雙曲線的一條漸近線的斜率為，一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，則雙曲線的頂點(diǎn)到漸近線的距離為（    ）A．6 B． C．3 D．【答案】D【分析】由題可得，，然后根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即得.【詳解】因?yàn)?/span>的準(zhǔn)線為，所以雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，即，由題意可知，即，所以，所以，，所以頂點(diǎn)到漸近線的距離為.故選：D．6．若圓上恰有一個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則a的值為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，因?yàn)閳A上恰有一個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，所以圓心到直線的距離為3，所以有.故選：A.7．已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，若對于任意的正整數(shù)p，q總有，且，則（    ）A．81 B．162 C．243 D．486【答案】C【分析】由題意條件能夠求出，從而可求.【詳解】由題意可得，，，所以，，所以.故選：C.8．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，A為雙曲線右支上一點(diǎn)，直線交y軸于點(diǎn)M，原點(diǎn)O到直線距離為，且﹐則雙曲線的離心率為（    ）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)定義結(jié)合條件，取的中點(diǎn)為，可得，進(jìn)而可得，即得.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以，又，所以，取的中點(diǎn)為，連接，則，因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，原點(diǎn)O到直線距離為，所以，又，所以，所以，所以，即.故選：B. 二、多選題9．在的二項(xiàng)展開式中，下列說法正確的是（    ）A．展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為256 B．展開式中所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為128C．展開式中含x項(xiàng)的系數(shù)為 D．展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)為第四項(xiàng)【答案】BC【分析】令可判斷選項(xiàng)A；所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為可判斷選項(xiàng)B；由展開式的通項(xiàng)可判斷選項(xiàng)C； 利用展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)D.【詳解】對于A：令，可得展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為，故A不正確；對于B：展開式中所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，故B正確；對于C：的展開式的通項(xiàng)為，令得，所以展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為，故C正確；對于D：展開式中共有項(xiàng)，中間項(xiàng)即為第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，故選項(xiàng)D不正確.故選：BC.10．已知，直線l的方程為，則直線l的傾斜角可能為（    ）A．0 B． C． D．【答案】CD【分析】對分類討論結(jié)合斜率與傾斜角的關(guān)系即得.【詳解】當(dāng)時(shí)，則直線的斜率為，所以直線的傾斜角可能為，當(dāng)時(shí)，則直線的斜率不存在，所以直線的傾斜角為，當(dāng)時(shí)，則直線的斜率為，所以直線的傾斜角范圍為，不可能為0和.故選：CD.11．某學(xué)生想在物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理、技術(shù)這七門課程中選三門作為選考科目，下列說法錯(cuò)誤的是（    ）A．若任意選擇三門課程，選法總數(shù)為B．若物理和化學(xué)至少選一門，選法總數(shù)為C．若物理和歷史不能同時(shí)選，選法總數(shù)為D．若物理和化學(xué)至少選一門，且物理和歷史不同時(shí)選，選法總數(shù)為【答案】ABD【分析】若任意選擇三門課程，由組合的概念可知選法總數(shù)為種，可判斷A錯(cuò)誤；若物理和化學(xué)至少選一門，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知選法總數(shù)為種，可判斷B錯(cuò)誤；若物理和歷史不能同時(shí)選，利用間接法可知選法總數(shù)為種，可判斷C正確；若物理和化學(xué)至少選一門，有3種情況，分別討論計(jì)算，可判斷D錯(cuò)誤．【詳解】對于A，若任意選擇三門課程，選法總數(shù)為種，故A錯(cuò)誤對于B，若物理和化學(xué)選一門，有種方法，其余兩門從剩余的5門中選2門，有種選法若物理和化學(xué)選兩門，有種選法，剩下一門從剩余的5門中選1門，有種選法由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，總數(shù)為種選法，故B錯(cuò)誤對于C，若物理和歷史不能同時(shí)選，選法總數(shù)為種，故C正確對于D，若物理和化學(xué)至少選一門，有3種情況，只選物理不選歷史，有種選法選化學(xué)，不選物理，有種選法物理與化學(xué)都選，不選歷史，有種選法故總數(shù)為種，故D錯(cuò)誤故選：ABD12．已知橢圓的離心率為,雙曲線的離心率為,兩曲線有公共焦點(diǎn)，P是橢圓與雙曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，，以下結(jié)論正確的是（    ）A． B．C． D．的最小值為【答案】BCD【分析】根據(jù)橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)可判斷A，根據(jù)橢圓與雙曲線的定義及余弦定理可判斷B；由分析B中所得結(jié)論可判斷C；利用“1”的變形及均值不等式即可判斷D.【詳解】由題意可得，所以A錯(cuò)誤；可設(shè)是第一象限的點(diǎn)，，，由題可得，，解得，，又，因?yàn)?/span>，在△中，由余弦定理可得，化為，則，故B正確；由，可得，即有，故C正確；由，當(dāng)且僅當(dāng)，取得等號，即有的最小值為，故D正確．故選：BCD. 三、填空題13．_________．【答案】0 【分析】根據(jù)排列數(shù)的定義計(jì)算．【詳解】.故答案為：0.14．已知點(diǎn)，若拋物線的一條弦AB恰好是以P為中點(diǎn)，則弦AB所在直線方程是_______．【答案】【分析】設(shè)，得，代入拋物線方程相減可得直線斜率，從而得到所求直線方程．【詳解】時(shí)，，在拋物線內(nèi)部（含焦點(diǎn)的部分），設(shè)，，由，相減得，∴，即，直線方程為，即，故答案為：．15．某地病毒爆發(fā)，全省支援，需要從我市某醫(yī)院選派5名醫(yī)生支援，5名醫(yī)生要分配到3個(gè)不同的病毒疫情嚴(yán)重的地方，要求每一個(gè)地方至少有一名醫(yī)生．則有_________種不同的分配方法．【答案】150【分析】把5名醫(yī)生分成3組，然后再分配即得.【詳解】根據(jù)題意，先把5名醫(yī)生分成3組再分配，一是分成3,1,1然后分配，共有種分配方法，二是分成2,2,1然后分配，共有種分配方法，所以共有種分配方法.故答案為：150.16．已知圓的方程為，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線、，、為切點(diǎn)，則四邊形的面積的最小值為______【答案】【分析】依題意可得，由點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合勾股定理求出的最小值，即可求得四邊形的面積的最小值；【詳解】解：由圓，得到圓心，半徑由題意可得：，，，，在中，由勾股定理可得：，當(dāng)最小時(shí)，最小，此時(shí)所求的面積也最小，點(diǎn)是直線上的動點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有最小值，此時(shí)，所求四邊形的面積的最小值為；故答案為： 四、解答題17．已知圓，點(diǎn)，動點(diǎn)P與點(diǎn)A的距離等于過點(diǎn)P所作圓O切線的長的倍．(1)求點(diǎn)P的軌跡：(2)過點(diǎn)的直線交點(diǎn)P的軌跡于B，C兩點(diǎn)，且弦BC被Q點(diǎn)平分，求直線BC的方程．【答案】(1)點(diǎn)P的軌跡為為圓心，以為半徑的圓；(2). 【分析】（1）設(shè)出，根據(jù)題意列出方程，化簡即得由；（2）根據(jù)圓的性質(zhì)可知，然后根據(jù)直線垂直的斜率關(guān)系及點(diǎn)斜式即得.【詳解】（1）由圓，可知圓心為，半徑為1，設(shè)，， 則，平方得：，化簡得：，即，所以點(diǎn)P的軌跡為以為圓心，為半徑的圓；（2）由上可知點(diǎn)P的軌跡為為圓心，以為半徑的圓，由圓的性質(zhì)可知，又，所以，，所以直線BC的方程為，即.18．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系即得；（2）根據(jù)等差數(shù)列的定義結(jié)合條件求出，然后利用分組求和法即得.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)也滿足上式，所以；（2）因?yàn)閿?shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，所以，即，.19．已知直線和直線相交于點(diǎn)P，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線經(jīng)過點(diǎn)P且與OP垂直．(1)求直線的方程；(2)求以O點(diǎn)為圓心10為半徑的圓與直線的交點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)或． 【分析】（1）解方程組求得點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線斜率后，由點(diǎn)斜式得直線方程并整理；（2）由直線方程設(shè)，然后由可得．【詳解】（1）由得，即，，∴，的方程為，即；（2）設(shè)，由，解得或，所以點(diǎn)坐標(biāo)為或．20．已知圓，直線，直線l與圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，M為線段PQ的中點(diǎn)．(1)若﹐求直線l的方程：(2)若直線l與直線交于點(diǎn)N，直線l過定點(diǎn)A，求證：為定值．【答案】(1)或；(2)證明見解析. 【分析】（1）根據(jù)圓的弦長公式結(jié)合條件即得；（2）根據(jù)圓的性質(zhì)結(jié)合平面幾何知識可得，然后根據(jù)距離公式即得.【詳解】（1）由圓，可知圓心為，半徑為2，因?yàn)?/span>，直線，即，所以，解得或，所以直線方程為或，即或；（2）由直線可知直線過定點(diǎn)，又，可知，又直線，，所以，如圖設(shè)，又M為線段PQ的中點(diǎn)，直線l與直線交于點(diǎn)N，所以，，所以，即，又，，所以為定值，若直線過圓心，則與重合，與重合，顯然，綜上，為定值.21．設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且．(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和；【答案】(1)詳見解析；(2). 【分析】（1）首先根據(jù)與的關(guān)系得到，即可證明數(shù)列是等差數(shù)列；（2）利用裂項(xiàng)相消法求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，，所以，兩邊同除以得，因?yàn)?/span>，所以，因此數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列；（2）由（1）知，即，∴，∴.22．已知雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，雙曲線C上一點(diǎn)P到距離差的絕對值等于2．(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)經(jīng)過點(diǎn)作直線l交雙曲線C的右支于A，B兩點(diǎn)，且M為AB的中點(diǎn)，求直線l的方程：(3)已知定點(diǎn)，點(diǎn)D是雙曲線C右支上的動點(diǎn)，求的最小值．【答案】(1)；(2)；(3). 【分析】（1）根據(jù)雙曲線的定義及焦點(diǎn)坐標(biāo)可得雙曲線方程；（2）利用點(diǎn)差法求直線方程；（3）根據(jù)雙曲線的定義可得，進(jìn)而即得.【詳解】（1）由題可設(shè)雙曲線方程為，由雙曲線的焦點(diǎn)為，，得，又雙曲線C上一點(diǎn)P到距離差的絕對值等于2，則，所以，所以雙曲線方程為；（2）設(shè)，，則，作差可得，即，又為的中點(diǎn)，即，，代入得，即直線的斜率，直線的方程為，即，此時(shí)由可得，，故所求直線為.（3）由題可知，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)在線段上時(shí)等號成立，又，，，所以的最小值為. 

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