1. 已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的虛部為（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】，則的虛部為.
故選：B.
2. 已知平面向量，，若，則實(shí)數(shù)（ ）
A. -1B. -2C. D. 1
【答案】A
【解析】由已知，
∵，∴，解得．
故選：A．
3. 已知，且，則等于（ ）
A. 0B. C. D. 2
【答案】C
【解析】由得，
因?yàn)?，所以，進(jìn)而得，故，
所以.
故選：C.
4. 一個(gè)四棱錐和一個(gè)三棱錐恰好可以拼接成一個(gè)三棱柱.這個(gè)四棱錐的底面為正方形，且底面邊長與各側(cè)棱長相等，這個(gè)三棱錐的底面邊長與各側(cè)棱長也都相等. 設(shè)四棱錐、三棱錐、三棱柱的高分別為，則＝（ ）
A. ﹕1﹕1B. ﹕2﹕2
C. ﹕2﹕D. ﹕2﹕
【答案】B
【解析】由題意作圖如圖，幾何體是一個(gè)棱長都相等的斜三棱柱，
設(shè)棱長為1，四棱錐是棱長都相等的正四棱錐，三棱錐是一個(gè)正四面體，
四棱錐的高是P到面的距離，P點(diǎn)到線段的距離是，
令P在底面上的射影為O，連接，
則，故，
三棱錐的高就是P點(diǎn)到面的距離，令P點(diǎn)在面上的射影為，
則是三角形的重心，故，
故，
三棱柱的高也是，
因而.
故選：B.
5. 在中，．P為所在平面內(nèi)的動點(diǎn)，且，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，
因?yàn)?，所以在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動，
設(shè)，，
所以，，
所以
，其中，，
因?yàn)?，所以，?
故選：D.
6. 的內(nèi)角A，B，C所對邊分別為a，b，c，且，則的值為（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】因?yàn)椋裕?br>由正弦定理可得：，
所以，
即，即，
則，所以.
故選：D
7. 已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，且在區(qū)間上恰好取得一次最大值，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
是函數(shù)含原點(diǎn)的遞增區(qū)間，
又∵函數(shù)在上遞增，
∴得不等式組-π2ω≤-π22π3≤π2ω ，得
又∵
又函數(shù)在區(qū)間上恰好取得一次最大值，
根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，
即函數(shù)處取得最大值，可得，
綜上，可得ω∈12，34.
故選：D.
8. 如圖，在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥BD，△BCD為邊長為的等邊三角形，點(diǎn)P為邊BD上一動點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由題意可知，為等邊三角形，則有，，
在中， ，；
如圖以B為原點(diǎn)，所在直線為x軸，所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則有，，由于，故可設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，且，
所以，，
所以，
因?yàn)?，?dāng)時(shí)，取得最小值，
當(dāng)時(shí)，取得最大值為0，
所以.
故選：C.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的．全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 設(shè)復(fù)數(shù)z滿足（其中i是虛數(shù)單位），則下列說法正確的是（ ）
A. z的虛部為B. z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限
C. D.
【答案】BC
【解析】由可得，
對A，z的虛部為，故A錯(cuò)誤；
對B，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，故B正確；
對C，，故C正確；
對D，，故D錯(cuò)誤.
故選：BC.
10. 正方體的棱長為2，、、分別為，，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 直線與直線垂直
B. 直線與平面平行
C. 平面截正方體所得的截面面積為
D. 點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等
【答案】BC
【解析】對于A中，若，因?yàn)榍遥?br>平面，
所以平面，平面，所以，，
可得，因?yàn)椋藭r(shí)的內(nèi)角和超過，故不成立，
所以A錯(cuò)誤；
對于B中，如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，，
因?yàn)椋裕?br>因?yàn)?，，、分別為、的中點(diǎn)，
所以，且，故四邊形為平行四邊形，則，，
又因?yàn)椋?，所以，?br>所以四邊形為平行四邊形，所以，
因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?br>平面，平面，所以平面，
且平面，所以平面平面，
又因?yàn)槠矫?，所以平面，所以B正確；
對于C中，如圖所示，連接，
因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，所以?br>延長交于點(diǎn)，
因?yàn)槠矫?，平面，所以平面平面?br>即，即相交于點(diǎn)，
因?yàn)槠矫嫫矫妫?br>且平面平面，平面平面，
所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，
所以四點(diǎn)共面，截面即為梯形，
又因?yàn)椋?br>所以，
所以梯形，所以C正確；
對于D中，記點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離分別為，
因?yàn)椋?br>又因?yàn)椋?br>所以，所以D錯(cuò)誤.
故選：BC.
11. 在銳角三角形ABC中，A，B，C為三個(gè)內(nèi)角，a，b，c分別為A，B，C所對的三邊，則下列結(jié)論成立的是（ ）
A. 若，則B. 若，則B的取值范圍是
C. D.
【答案】ACD
【解析】對于選項(xiàng)A，因?yàn)锳>B，所以有，所以，故正確；
對于選項(xiàng)B，因?yàn)?，則，所以，
由可得的取值范圍是，故錯(cuò)誤；
對于選項(xiàng)C，銳角三角形ABC中，，，∴，
同理，，所以故正確；
對于選項(xiàng)D，銳角三角形ABC中，因?yàn)?，即，?br>又∵，∴，故正確．
故選：ACD．
12. 對于函數(shù)，下列結(jié)論正確得是（ ）
A. 的值域?yàn)锽. 在單調(diào)遞增
C. 的圖象關(guān)于直線對稱D. 的最小正周期為
【答案】AD
【解析】，，
所以，所以是偶函數(shù)，
又，
所以是函數(shù)的周期，
又，
故的最小正周期為，
對于A，因?yàn)榈淖钚≌芷跒?，令，此時(shí)，
所以，
令，所以有，可知其值域?yàn)椋?br>故A正確；
對于B，由A可知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
因?yàn)?，所以在上不是單調(diào)遞增，故B不正確；
對于C，因?yàn)?，，所以?br>所以的圖象不關(guān)于直線對稱，故C不正確；
對于D，前面已證明正確.
故選：AD.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 如圖，是在斜二測畫法下的直觀圖，其中，且，則的面積為___________.
【答案】
【解析】，且，
故，
∴.
故答案為：.
14. 已知是實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)虛數(shù)根，且，若向量，則向量的取值范圍為_________
【答案】
【解析】不妨設(shè)，，
因?yàn)槭菍?shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)虛數(shù)根，
所以也是的一個(gè)虛數(shù)根，
從而 ①，
又因?yàn)闊o實(shí)根，
所以 ②，
由①②可得，，
因?yàn)?，所以?br>由一元二次函數(shù)性質(zhì)易知，當(dāng)時(shí)，有最小值5；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
故當(dāng)時(shí)，，即，
故向量的取值范圍為：.
故答案為：.
15. 在中，O是的外心，G是的重心，且，則的最小值為________.
【答案】
【解析】記內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，取的中點(diǎn)D，如圖，
則，
所以，即，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，此時(shí).
故答案為：.
16. 函數(shù)，，且的最大值為3，則實(shí)數(shù)______．
【答案】
【解析】函數(shù)
，
令，，
則，
令，，則，
因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號，
所以，
解得.
故答案為：.
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 已知是關(guān)于的方程的一個(gè)根，其中為虛數(shù)單位.
（1）求的值;
（2）記復(fù)數(shù)，求復(fù)數(shù)的模.
解：（1）由題意得：，
即，
所以，
所以，，
解得：.
（2），，
所以.
18. 如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，平面平面，E是的中點(diǎn)，，，.
（1）證明：；
（2）求平面與平面夾角的余弦值.
解：（1）延長，過點(diǎn)P作，垂足為F，連接，，
由平面平面，平面平面，
平面，
又平面，，
∵，，，
∴，，是正三角形，
又∵直角梯形，∴，即也是正三角形，
故為菱形，所以F，E，B三點(diǎn)共線，且，∴平面，
又平面，從而.
（2）幾何法：過A作，連接，
∵，∴平面，即，
所以就是平面與平面所成二面角的平面角，
在中，，，得，
，
所以平面與平面夾角的余弦值是.
坐標(biāo)法：由（1）知，以點(diǎn)F為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），
∴，，，，，，
，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，取，
又∵平面，所以平面的法向量為，
設(shè)平面與平面所成二面角的平面角為，則，
所以平面與平面夾角的余弦值是.
19. 在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面問題中，并解答．
記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知_____________．
（1）求A；
（2）若，求面積的取值范圍．
（如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）
解：（1）若選①：因?yàn)椋?br>根據(jù)正弦定理得，
所以，
所以，
則，因?yàn)椋?br>所以，又，所以．
若選②化簡得：，則，
又，所以．
若選③：因?yàn)?，根?jù)正弦定理得，
所以．即，
因?yàn)?，所以?br>（2）因?yàn)椋?，則，
，
又，所以，
則的取值范圍為．
20. 已知向量，函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求的最小值；
（2）是否存在實(shí)數(shù)，使不等式對任意恒成立，若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由．
解：（1）由題可知，因?yàn)椋?br>所以
，
又，令，
當(dāng)時(shí)，所以，
對稱軸，開口向上，由二次函數(shù)的單調(diào)性知，所以在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為，
所以的最小值為.
（2）由（1）知，，
所以，
對任意的恒成立，
令，，則，
因?yàn)?，所以，所以?br>即，所以，
由，得，
則，整理得，
所以，故在上恒成立，
由對勾函數(shù)的性質(zhì)知：在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，取到最大值4，所以，
故存在，且的范圍為.
21. 某大學(xué)科研團(tuán)隊(duì)在如下圖所示的長方形區(qū)域內(nèi)（包含邊界）進(jìn)行粒子撞擊實(shí)驗(yàn)，科研人員在A、O兩處同時(shí)釋放甲、乙兩顆粒子.甲粒子在A處按方向做勻速直線運(yùn)動，乙粒子在O處按方向做勻速直線運(yùn)動，兩顆粒子碰撞之處記為點(diǎn)P，且粒子相互碰撞或觸碰邊界后爆炸消失.已知長度為6分米，O為中點(diǎn).
（1）已知向量與的夾角為，且足夠長.若兩顆粒子成功發(fā)生碰撞，求兩顆粒子運(yùn)動路程之和的最大值；
（2）設(shè)向量與向量的夾角為（），向量與向量的夾角為（），甲粒子的運(yùn)動速度是乙粒子運(yùn)動速度的2倍.請問的長度至少為多少分米，才能確保對任意的，總可以通過調(diào)整甲粒子的釋放角度，使兩顆粒子能成功發(fā)生碰撞？
解：（1）設(shè)兩顆粒子在點(diǎn)相撞，在中，
由余弦定理得，
即，
，
，
即，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，
所以兩顆粒子運(yùn)動路程和的最大值為.
（2）過作，垂足為，
設(shè)，則，
由余弦定理可得，
，，，
，
當(dāng)即時(shí)，即取得最大值，
易知恒成立，
，
的長度至少為分米，才能確保對任意的，
總可以通過調(diào)整乙粒子的釋放角度，使兩顆粒子成功碰撞.
22. 已知函數(shù)，.
（1）判斷的奇偶性并證明；
（2）若，求的最小值和最大值；
（3）定義，設(shè). 若在內(nèi)恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求a的取值集合.
解：（1）是偶函數(shù)，
證：因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且?br>∴f(x)是偶函數(shù).
（2）當(dāng)，則，
又，
∴當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，
（3）因?yàn)?br>都是偶函數(shù)，
所以在上是偶函數(shù)，因?yàn)榍∮?個(gè)零點(diǎn)，所以，
則有：或，
①當(dāng)時(shí)，即且時(shí)，因?yàn)楫?dāng)，
令，因?yàn)?，解得或?br>所以恰有3個(gè)零點(diǎn)，即滿足條件；
②當(dāng)時(shí)，即且時(shí)，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，只有1個(gè)零點(diǎn)，且，
所以恰有3個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于恰有2個(gè)零點(diǎn)，
所以，解得，此時(shí)有2個(gè)零點(diǎn)符合要求，
當(dāng)時(shí)只有一個(gè)零點(diǎn)x=0，有2個(gè)零點(diǎn)符合要求，
當(dāng)時(shí)，解得或，
令解得或（舍去），
所以的根為，要使恰有3個(gè)零點(diǎn)，則，
綜上：.

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