一、單選題（每題5分，共40分）
1. 如圖，U是全集，集合A、B是集合U的兩個(gè)子集，則圖中陰影部分所表示的集合是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】依題意，陰影部分所表示的集合中任意元素x必須滿足：且，即且，于是得，
所以圖中陰影部分所表示的集合是.
故選：B
2. 已知，，，則（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】A
【解析】設(shè)，則①，
，
則②，
②-①得，，
，
則，
故.
故選：A
3. 已知的展開式中的各項(xiàng)系數(shù)之和為，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因?yàn)榈恼归_式中的各項(xiàng)系數(shù)之和為，即，所以.
又的展開式的通項(xiàng)為,
令，解得，所以展開式的常數(shù)項(xiàng)為.故選：A.
4. 已知橢圓為兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為4，則（ ）
A. 2B. 3C. D.
【答案】D
【解析】設(shè)橢圓的焦距為，則，
的周長(zhǎng)為，解得，故選：D
5. 若點(diǎn)在拋物線上，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，
所以，得，所以拋物線方程為，
所以拋物線的準(zhǔn)線方程為，故選：A
6. 已知斜三棱柱所有棱長(zhǎng)均為，點(diǎn)滿足，則（ ）

A. B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
斜三棱柱所有棱長(zhǎng)均為
.
故選:.
7. 已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（ ）
A. 為遞減數(shù)列B. 為遞增數(shù)列
C. 數(shù)列有最小項(xiàng)D. 數(shù)列有最大項(xiàng)
【答案】C
【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，
由可得，又，所以即，又，所以，即，
故等比數(shù)列首項(xiàng)，公比滿足或，
當(dāng)時(shí)，等比數(shù)列為正負(fù)項(xiàng)交替的擺動(dòng)數(shù)列，故不單調(diào)；
當(dāng)時(shí)，，等比數(shù)列單調(diào)遞減，故A，B不正確；
又，且
所以當(dāng)時(shí)，由于，
則，，
此時(shí)數(shù)列的最小項(xiàng)為，最大項(xiàng)為；
當(dāng)時(shí)，有，
則數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，有最小項(xiàng)，無(wú)最大項(xiàng)，故C正確，D不正確.
故選：C.
8. 若時(shí)，關(guān)于的不等式恒成立，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由在上恒成立，
可得在上恒成立，
即在上恒成立，
即在上恒成立，
設(shè)，則在上恒成立，
又，
所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，由于，則，
此時(shí)，，滿足在上恒成立；
當(dāng)時(shí)，由于，則，
要使在上恒成立，
則需在上恒成立，即在上恒成立，
設(shè)，，則，
易知當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以，則，又，所以
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選：B．
二、多選題（每題5分，共20分）
9. 下列計(jì)算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】A選項(xiàng)，，故A選項(xiàng)正確；
B選項(xiàng)，，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，，故C選項(xiàng)正確；
D選項(xiàng)，，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：AC
10. 已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且成等差數(shù)列，則（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】AD
【解析】由題意，，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得，
由于等比數(shù)列每一項(xiàng)都不是，故，
即，解得或.故選：AD
11. 已知為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)的圖象大致如圖所示，則（ ）

A. 有個(gè)極值點(diǎn)
B. 是的極大值點(diǎn)
C. 是的極大值點(diǎn)
D. 在上單調(diào)遞增
【答案】ABD
【解析】根據(jù)函數(shù)的圖象可知，
在區(qū)間，單調(diào)遞增；
在區(qū)間，單調(diào)遞減.
所以有個(gè)極值點(diǎn)、是的極大值點(diǎn)、在上單調(diào)遞增，
是的極小值點(diǎn)，
所以ABD選項(xiàng)正確，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：ABD
12. 已知等比數(shù)列前項(xiàng)和為，且，是與的等差中項(xiàng)，數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 數(shù)列的通項(xiàng)公式為B.
C. 數(shù)列是等比數(shù)列D.
【答案】ABD
【解析】由于等比數(shù)列前項(xiàng)和為，且，
所以，整理得，所以數(shù)列的公比；
由于是與的等差中項(xiàng)，故，
整理得，解得.
故，故A正確；
所以，故B正確；
由于數(shù)列滿足，
所以當(dāng)時(shí)，不為常數(shù)，
所以數(shù)列不是等比數(shù)列，故C錯(cuò)誤；
，
又，
所以
，故D正確.
故選：ABD
三、填空題（共20分）
13. 已知隨機(jī)變量，且，則______.
【答案】
【解析】因?yàn)椋哉龖B(tài)曲線的對(duì)稱軸為，
因?yàn)椋裕?br>所以.
故答案為：
14. 已知數(shù)列中，，，，則___________.
【答案】
【解析】由題意知，，
，，
，，
，，
易知是周期為6的數(shù)列，
．
故答案為：-3
15. 已知雙曲線 ?的實(shí)軸端點(diǎn)分別為?， 點(diǎn)是雙曲線上異于?另一 點(diǎn)，則?與?的斜率之積為______
【答案】
【解析】設(shè),，，且，，，
則，，
所以，
所以與的斜率之積為，
故答案為：．
16. 已知，函數(shù)在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍為______．
【答案】
【解析】函數(shù)在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，
等價(jià)于在上有2個(gè)不同的實(shí)根（變號(hào)），
即的圖象與直線在上有2個(gè)不同的交點(diǎn)（變號(hào)），
求出，
當(dāng)，時(shí)，,
當(dāng)，時(shí)，
所以在，上單調(diào)遞增，
在，上單調(diào)遞減．
可畫出草圖如圖：
要保證直線（）在上有2個(gè)不同的交點(diǎn)（變號(hào)），
只需，
可得，
故答案為：．
四、解答題（共70分）
17. 已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，，.
（1）求邊上的高所在直線的方程；
（2）求邊上的中線所在直線的方程.
解：（1）由題意得，且，所以.
則邊上的高所在直線的方程為，化簡(jiǎn)得.
（2）由題知中點(diǎn)，所以，
則邊上的中線所在直線的方程為，化簡(jiǎn)得.
18. 某市為了解該市小學(xué)生在“雙減”政策下課外活動(dòng)的時(shí)間，隨機(jī)抽查了50名小學(xué)生，統(tǒng)計(jì)了他們參加課外活動(dòng)的時(shí)間，并繪制了如下的頻率分布直方圖，如圖所示.

（1）由頻率分布直方圖估計(jì)小學(xué)生課外活動(dòng)時(shí)間的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）；
（2）由頻率分布直方圖可認(rèn)為：課外活動(dòng)時(shí)間t（分鐘）近似服從正態(tài)分布，其中為樣本中課外活動(dòng)時(shí)間的平均數(shù).用頻率估計(jì)概率，在該市隨機(jī)抽取10名學(xué)生，記課外活動(dòng)時(shí)間在內(nèi)的人數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望（精確到0.1）.
參考數(shù)據(jù)：當(dāng)t服從正態(tài)分布時(shí)，，，.
解：（1）由圖知：平均數(shù)為：；
（2）由題設(shè)，，則，，
，
由題意知：，則.
19. 如圖，在四棱錐中，底面，，，，，為棱的中點(diǎn)，是線段上一動(dòng)點(diǎn).

（1）求證：平面平面；
（2）若直線與平面所成角的正弦值為時(shí)，求平面與平面夾角的余弦值.
解：（1）因?yàn)?，，則，又平面，
平面，則，
而，平面，因此平面，又平面，
所以平面平面.

（2）因?yàn)榈酌妫?br>以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則、、、、、，
設(shè)，，其中，
顯然平面的一個(gè)法向量為，
依題意，，解得，
于是為的中點(diǎn)，即，設(shè)平面的法向量為，，，
則，取，得，
而平面的一個(gè)法向量為，
所以平面與平面夾角余弦值為.
20. 在數(shù)列中，，，且.設(shè)為滿足的的個(gè)數(shù).
（1）求，的值；
（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對(duì)任意的，不等式恒成立，求m的取值范圍.
解：（1）因?yàn)?，所以?br>則是等差數(shù)列，
設(shè)數(shù)列的公差為，由，則，解得，則，
因?yàn)槭菨M足的的個(gè)數(shù)，所以，
則，.
（2）由（1）得，
則，
設(shè)，則，即遞增，故，
因?yàn)閷?duì)任意，恒成立，即恒成立，
整理得恒成立，即恒成立，解得，
所以的取值范圍是.
21. 已知，分別是橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，C的焦距為2．，，P是橢圓C上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)，直線PM與C的另一交點(diǎn)為D，直線PN與C的另一交點(diǎn)為E．
（1）求橢圓C的方程；
（2）證明：直線DE的傾斜角為定值．
解：（1）由題意，a＝2，2c＝2，c＝1，∴．
∴橢圓C的方程為．
（2）設(shè)，，，
則．①
當(dāng)直線PN的斜率存在時(shí)，其方程為，代入橢圓C的方程，
整理得．
∴．
直線PM的方程為，代入橢圓C的方程，
整理得．
∴．
因此，此時(shí)DE⊥x軸，即直線DE的傾斜角為．
②當(dāng)直線PN的斜率不存在時(shí)，其方程為，此時(shí)．
由①知，∴．
∴，此時(shí)DE⊥x軸，即直線DE的傾斜角為．
綜上所述，直線DE的傾斜角為．
22. 已知函數(shù)，．
（1）若在上是增函數(shù)，求的取值范圍；
（2）若在上的最小值，求的取值范圍．
解：（1）因?yàn)椋?br>所以，
令，則，
因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，所以，則恒成立，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
所以，故，則，此時(shí)在上是增函數(shù)，
所以的取值范圍是，
（2）由（1）知在上是增函數(shù)，，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，，
令，得，故；
當(dāng)，即時(shí)，
，在上單調(diào)遞減，，
令，解得，此時(shí)不存在；
當(dāng)時(shí)，，存在，使得，
即，
故當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，顯然，等號(hào)不成立，
所以，令，解得，此時(shí)不存在；
綜上所述，的取值范圍是.

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