一、單項(xiàng)選擇題（本大題有20小題，每小題2分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）
1. 的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】.
故選：C.
2. 如圖，是水平放置的直觀圖，其中，軸，軸，則（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】C
【解析】在，，，
由余弦定理可得：，
即，而，解得，
由斜二測畫法可知：中，，，，
故.
故選：C.
3. 下列各式中，值為的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】對于A，
，故A錯誤；
對于B，，故B正確；
對于C，，故C錯誤；
對于D，，故D錯誤.
故選：B.
4. 函數(shù)的部分圖象可能為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，
又因?yàn)?，所以是奇函?shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，
故D不正確；
當(dāng)時，，則，故B不正確；
當(dāng)時，，故，故C不正確.
故選：A.
5. 已知空間中三條不同的直線a，b，c，三個不同的平面，，，則下列說法錯誤的是（ ）
A. 若，，，則
B. 若，，則與平行或相交
C. 若，，，則
D. 若，，，則
【答案】D
【解析】對于A，由線面平行判定定理可知A正確；
對于B，，，則與平行或相交，故B正確；
對于C，垂直于同一平面的直線和平面平行或線在面內(nèi)，而，故C正確；
對于D，，，，三條交線平行或交于一點(diǎn)，
如圖1，正方體兩兩相交的三個平面ABCD，平面，平面，
平面平面，平面平面，
平面平面，但AB，AD，不平行，故D錯誤.
故選：D．
6. 若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由可得，，解得，
則.
故選：C.
7. 如下圖，在中，，，以BC的中點(diǎn)O為圓心，BC為直徑在三角形的外部作半圓弧BC，點(diǎn)P在半圓上運(yùn)動，設(shè)，，則的最大值為（ ）
A. 5B. 6C. D.
【答案】D
【解析】以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸、軸建立平面直角坐標(biāo)系，
如圖所示，
在中，，為的中點(diǎn)，所以，
則，其中，
可得，
所以，其中，
當(dāng)時，即時，有最大值，最大值為.
故選：D.
8. 如圖所示，在直三棱柱中，棱柱的側(cè)面均為矩形，，，，P是上的一動點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】D
【解析】連接，得，以所在直線為軸，
將所在平面旋轉(zhuǎn)到平面，
設(shè)點(diǎn)的新位置為，連接，則有，如圖，
當(dāng)三點(diǎn)共線時，則即為的最小值，
在三角形ABC中，，，
由余弦定理得：，
所以，即，
在三角形中，，，
由勾股定理可得：，且，
同理可求：，因?yàn)椋?br>所以為等邊三角形，所以，
所以在三角形中，，，
由余弦定理得：.
故選：D.
二、多項(xiàng)選擇題：（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選的得0分．）
9. 下列說法中，錯誤的是（ ）
A. 向量，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底
B. 若，則在方向上的投影向量的模為
C. z是虛數(shù)的一個充要條件是
D. 若a，b是兩個相等的實(shí)數(shù)，則是純虛數(shù)
【答案】CD
【解析】對于A，因?yàn)橄蛄?，所以、共線，
不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底，故A正確；
對于B，若，則與同向或者反向，
則在方向上的投影向量的模為，故B正確；
對于C，設(shè)，若z是虛數(shù)，則，且，
因?yàn)?，可得，但z不一定是虛數(shù)，故C錯誤；
對于D，當(dāng)時，則不是純虛數(shù)，故D錯誤.
故選：CD.
10. 下列命題中正確是（ ）
A. 命題“，”的否定為“，”
B. 已知，，且，則的最小值為
C. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)?br>D.
【答案】BD
【解析】選項(xiàng)A：命題“，”的否定為“，”，
故不正確；
選項(xiàng)B：，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，即的最小值為，
故正確；
選項(xiàng)C：由函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域滿足：，
解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，故不正確；
選項(xiàng)D：，
故選項(xiàng)D正確.
故選：BD.
11. 已知正方體的棱長為4，點(diǎn)分別是BC，，的中點(diǎn)，則（ ）
A. 異面直線與所成的角的正切值為
B. 平面截正方體所得截面的面積為18
C. 四面體的外接球表面積為
D. 三棱錐的體積為
【答案】ABC
【解析】對于A中，取的中點(diǎn)，連接，再取的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)榍遥运倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以?br>所以異面直線與所成的角，即為直線與所成的角，即，
因?yàn)檎襟w的棱長為4，可得，
可得為等腰三角形，取的中點(diǎn)，則，
在直角中，可得，所以，
直線與所成的角的正切值為，所以A正確；
對于B中，延長交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，
因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以，可得為的中點(diǎn)，
又因?yàn)?，所以為的中點(diǎn)，所以，
因?yàn)?，所以為平行四邊形，所以?br>所以，平面截正方體所得截面為等腰梯形，
在等腰梯形中，，
所以梯形的高為，
所以梯形的面積為，所以B正確；
對于C中，畫出以為對角線的長方體，
則該長方體的外接球即為四面體的外接球，
可得外接球的直徑為，
所以外接球的表面積為，所以C正確；
對于D中，連接，則，
因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>又因?yàn)榍移矫?，所以平面?br>因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，
所以三棱錐的高為，，
所以，所以D錯誤.
故選：ABC.
12. 函數(shù)（其中，，）的圖象如圖所示，下列說法正確的是（ ）
A. 是它的一條對稱軸
B. 的增區(qū)間為，
C. 函數(shù)為奇函數(shù)
D. 若，，則
【答案】ABD
【解析】由函數(shù)的圖象可得，
又由，因?yàn)椋傻茫?br>因?yàn)?，可得?br>解得，
又因?yàn)?，且，即，可得?br>取，所以，所以，
對于A中，當(dāng)時，可得，
所以是函數(shù)的對稱軸，所以A正確；
對于B中，令，解得，
所以的增區(qū)間為，所以B正確；
對于C中，由，
其中當(dāng)時，，所以函數(shù)為不是奇函數(shù)，
所以C錯誤；
對于D中，由，可得，
因?yàn)?，可得?br>則，
所以D正確.
故選：ABD.
三、填空題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分．請將正確答案填在答題卷相應(yīng)位置.）
13. 如圖所示，已知扇形的圓心角為，半徑長為，則陰影部分的面積是_______．
【答案】
【解析】由圖像知，記陰影部分面積為，扇形面積為，則，
由題意得，，
所以，
所以陰影部分的面積為.
故答案為：.
14. 我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1536石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得256粒內(nèi)夾谷18粒，則這批米內(nèi)夾谷約為_______
【答案】（石）
【解析】因?yàn)?56粒內(nèi)夾谷18粒，故可得米中含谷的頻率為，
則1536石中米夾谷約為1536（石）.
故答案為：（石）.
15. 位于河北省承德避暑山莊西南十公里處的雙塔山，因1300多年以前，契丹人在雙塔峰頂建造的兩座古塔增添了諸多神秘色彩．雙塔山無法攀登，現(xiàn)準(zhǔn)備測量兩峰峰頂處的兩塔塔尖的距離．如圖，在與兩座山峰、山腳同一水平面處選一點(diǎn)A，從A處看塔尖的仰角是，看塔尖的仰角是，又測量得，若塔尖到山腳底部的距離為米，塔尖到山腳底部的距離為米，則兩塔塔尖之間的距離為________米．
【答案】
【解析】在中，米，，則米，
同理，在中，米，
在中，米，米，，
由余弦定理，得
米．
故答案為：.
16. 已知（其中），其函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱，若函數(shù)在區(qū)間上有且只有三個零點(diǎn)，則的范圍為______．
【答案】
【解析】函數(shù)關(guān)于直線對稱，
所以，所以，
因?yàn)?，所以，所以?br>當(dāng)，則，
要使函數(shù)在區(qū)間上有且只有三個零點(diǎn)，所以，
所以的范圍為：.
故答案為：.
四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
17. 已知向量．
（1）若向量的夾角為銳角，求x的取值范圍；
（2）若，求．
解：（1）因?yàn)橄蛄康膴A角為銳角，所以，且與不同向共線，
則，解得且，
故x的取值范圍為.
（2）由，得，
若，則，即，解得，
所以，
所以.
18. 已知 ，和均為實(shí)數(shù)，其中是虛數(shù)單位.
（1）求復(fù)數(shù)；
（2）若對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
解：（1）由為實(shí)數(shù)，可得，則，
又為實(shí)數(shù)，則，得，
.
（2），，
則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，
而對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，
，解得或，
故的取值范圍為.
19. 在①，②，③這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答.
在中，角，，所對的邊分別為，，，且滿足___________.
（1）求的值；
（2）若為邊上一點(diǎn)，且，，，求.
解：（1）選擇①，由，可得，于是得，
即，所以；
選擇②，由，有，
于是得；
選擇③，由，有，
即，即，又因?yàn)?，所以?br>于是得，即，所以.
（2）由在中，，，，
由余弦定理得，所以，
在中，由正弦定理有，得.
20. 某電視臺舉行沖關(guān)直播活動，該活動共有三關(guān)，只有一等獎和二等獎兩個獎項(xiàng)，參加活動的選手從第一關(guān)開始依次通關(guān)，只有通過本關(guān)才能沖下一關(guān)．已知第一關(guān)的通過率為0.6，第二關(guān)通過率為0.5，第三關(guān)的通過率為0.4，三關(guān)全部通過可以獲得一等獎（獎金為300元），通過前兩關(guān)就可以獲得二等獎（獎金為200元），如果獲得二等獎又獲得一等獎，則獎金可以累加為500元，假設(shè)選手是否通過每一關(guān)相互獨(dú)立，現(xiàn)有甲、乙兩位選手參加本次活動．
（1）求甲最后沒有得獎的概率；
（2）已知甲和乙都通過了第一關(guān)，求甲和乙最后所得獎金總和為700元的概率．
解：（1）甲第一關(guān)沒通過的概率為，
第一關(guān)通過且第二關(guān)沒通過的概率為，
故甲沒有得獎的概率．
（2）記一個人通過了第二關(guān)且最后獲得二等獎為事件E，
通過了第二關(guān)且最后獲得一等獎為事件F，
則，，
甲和乙最后所得獎金總和為700元，∴甲和乙一人得一等獎，一人得二等獎，
若甲得了一等獎，乙得了二等獎的概率為，
若乙得了一等獎，甲得了二等獎的概率為，
∴甲和乙最后所得獎金總和為700元的概率．
21. 如圖，四棱錐的側(cè)面PAD是邊長為2的正三角形，底面ABCD為正方形，且平面平面ABCD，Q，M，N分別為PB，AB，AD的中點(diǎn)．
（1）證明：平面PDC；
（2）證明：；
（3）求直線PM與平面PNC所成角正弦值．
解：（1）證明：如圖1，取PC中點(diǎn)E，連接QE，DE，
在正方形ABCD中，，，
∵Q，N分別為PB，DA的中點(diǎn)，∴且，，
∴且，∴四邊形QEDN為平行四邊形，∴，
又平面PDC，平面PDC，∴平面PDC．
（2）證明：∵是邊長為2的正三角形，N為AD中點(diǎn)，∴，，
又∵平面平面ABCD，平面平面，且平面，
∴平面ABCD，
又平面ABCD，∴，
在正方形ABCD中，易知，∴，
而，∴，∴，
∵，且平面，∴平面PNC，
∵平面PNC，∴．
（3）如圖2，設(shè)，連接PO，PM，MN，
∵平面PNC，∴，且∠MPO為直線PM與平面PNC所成的角，
∵，，∴，，
∴，
∵，，∴，
∴直線PM與平面PNC所成角的正弦值為．
22. 設(shè)函數(shù)
（1）若，，求角；
（2）若不等式對任意時恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）將函數(shù)的圖像向左平移個單位，然后保持圖像上點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，得到函?shù)的圖像，若存在非零常數(shù)，對任意，有成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
解：（1）
，
又∵，即，
∴或，，
即或，
∵，∴或．
（2）
，
令，∵，∴，
∴，∴，，即，
，
令，，
設(shè)，，由對勾函數(shù)單調(diào)性可知，
在上單調(diào)遞減，
∴，∴，解得：．
（3）∵，∴的圖像向左平移個單位，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模?br>可得，
∵，存在非零常數(shù)，對任意的，成立，
∵在R上的值域?yàn)椋瑒t在R上的值域?yàn)?，∴?br>當(dāng)時，，1為的一個周期，即1為最小正周期的整數(shù)倍，
所以，即（且），
當(dāng)時，，
由誘導(dǎo)公式可得，，即，，
∴當(dāng)時，，
當(dāng)時，．

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