考生注意：
1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共150分.考試時間120分鐘.
2.請將各題答案填寫在答題卡上.
3.本試卷主要考試內(nèi)容：北師大版選擇性必修第二冊，必修第一冊預(yù)備知識、函數(shù)及其應(yīng)用.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由題意可得，又，則.
故選：C
2. 下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，則D. 若，則
【答案】D
【解析】當(dāng)，時，，則A錯誤.
當(dāng)，時，，則B錯誤.
當(dāng)，時，，則C錯誤.
由，得，則D正確.
故選：D.
3. 已知函數(shù)，則（ ）
A. -1B. 1C. -2D. 2
【答案】A
【解析】因為，
所以，
解得.
故選：A
4. 在數(shù)列中，，則的最大值是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】由題意可得．
根據(jù)對勾函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，在上遞增，在上遞減，
所以在中，，
當(dāng)時，，；
當(dāng)時，．
因為，所以，
所以的最大值是．
故選：D.
5. 已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】如圖，當(dāng)時，，
因為函數(shù)在上分別單調(diào)遞增，
可得在上單調(diào)遞增，且.
因為是定義在上的奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，且.
由，得或解得或.
則不等式的解集是.

故選：D.
6. 在等比數(shù)列中，若，則“”是“”的（ ）
A. 充要條件B. 充分不必要條件
C. 必要不充分條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】由，得，則.
由，得，即，則或,
故“”是“”的必要不充分條件.
故選：C
7. 已知點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，點(diǎn)在直線上，則，兩點(diǎn)之間距離的最小值是（ ）
A. B. 4C. D. 8
【答案】A
【解析】設(shè)，，過點(diǎn)的切線恰好與直線平行，
則，即，所以，則，
即，此時到直線的距離，
所以，兩點(diǎn)之間距離的最小值為.
故選：A
8. 某公司開發(fā)新項目，今年用于該新項目的投入為10萬元，計劃以后每年用于該新項目的投入都會在上一年的基礎(chǔ)上增加，若該公司計劃對該項目的總投入不超過250萬元，則按計劃最多能連續(xù)投入的時間為（ ）（參考數(shù)據(jù)：）
A. 9年B. 10年C. 11年D. 12年
【答案】A
【解析】設(shè)該公司第年用于該新項目的投入為萬元，則是首項為10，公比為的等比數(shù)列，
從而，
即，即，即．
因為，所以的最大值是9.
故選：A
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 已知一次函數(shù)滿足，則的解析式可能為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】設(shè)，則，
故．
因為，所以，解得或，
則或．
故選：AC.
10. 一百零八塔，位于寧夏回族自治區(qū)吳忠青銅峽市，是始建于西夏時期的喇嘛式實(shí)心塔群，是中國現(xiàn)存最大且排列最整齊的喇嘛塔群之一，總面積為6980平方米.一百零八塔，塔群隨山勢鑿石分階而建，由下而上逐層增高，依山勢自上而下，前六層依次建1，3，3，5，5，7座塔，從第六層起，后面的每一層所建塔的座數(shù)依次比上一層多2座，總計一百零八座，因塔數(shù)而得名.將塔進(jìn)行編號.第一層的一座塔編號為001號塔；第二層從左至右依次編號為002，003，004；第三層從左至右依次編號為005，006，007；…；依此類推.001號塔比較高大，殘高為5.04米、塔底直徑為3.08米，具有塔心室，其余107座皆為實(shí)心塔，大小基本相近，一般殘高約為2.2米、塔底直徑約為2米，塔底座間距相同約為1.2米（例如：002號塔底座右側(cè)與003號塔底座左側(cè)之間的距離為1.2米），記第層的寬度（以最左側(cè)塔身和最右側(cè)塔身最遠(yuǎn)距離計算）為米，則以下說法正確的是（ ）

A. 一百零八塔共有12層塔B. 088號塔在第11層
C. D. 的值約為53.2
【答案】ABD
【解析】設(shè)數(shù)列1，3，3，5，5，7…為，
由題意，構(gòu)成等差數(shù)列，公差，，
設(shè)塔共有層，則，
解得，故A正確；
由于第12層有座塔，，
所以088號塔在11層最后第二個，故B正確；
由題意，從第六層起，后面的每一層所建塔的座數(shù)依次比上一層多2座，
所以寬度上會多出2個塔底直徑的長和兩個間距的長，即有，故C錯誤；
由C的分析可知，構(gòu)成等差數(shù)列，公差，，所以，故D正確.
故選：ABD
11. 已知，且，則（ ）
A. 的最小值是
B. 的最小值是4
C. 的最小值是8
D. 的最小值是
【答案】BC
【解析】因為，且，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，則A錯誤；
由題意可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，則B正確；
因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，則C正確；
由題意可得，此時，．
因為，所以不存在，使得，則D錯誤．
故選:BC.
12. 已知定義域為的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.
因為，所以，即，所以，，故A錯誤.
因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，
所以，即，
所以，
故B正確.
令，則.
當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
因為，所以，所以，
所以，即，故C正確.
因為，所以，
所以，所以，
所以，即，故D錯誤.
故選：BC
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是______.
【答案】
【解析】因為函數(shù)的定義域是，
所以由題意可得，
解得.
故答案：
14. 若命題“，”是真命題，則a的取值范圍是______.
【答案】
【解析】由題意可知，，
令，
，
令，解得或（舍去），
，，，則
則
故答案為：.
15. “中國剩余定理”又稱“孫子定理”或“中國余數(shù)定理”，討論的是關(guān)于整除的問題.現(xiàn)有這樣一個整除問題：被2除余1且被5除余3的正整數(shù)從小到大排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則數(shù)列的前50項和是______.
【答案】12400
【解析】因為被2除余1，所以為奇數(shù)，又因為被5除余3，
所以是5的倍數(shù)余3的奇數(shù)，所以
所以是首項為3，公差為10的等差數(shù)列，則數(shù)列的前50項和是.
故答案為：
16. 已知，，使得成立，則m的取值范圍為______.
【答案】
【解析】由，得.
由題意可得，使得成立，
即，使得成立.
記，由對勾函數(shù)性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，
所以，故.
故答案為：
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 已知函數(shù)在處取得極值.
（1）求a，b的值；
（2）求在上的最大值和最小值.
解：（1）因為，所以，
則
解得，.
當(dāng)，時，，
當(dāng)或，單調(diào)遞增，
當(dāng)單調(diào)遞減，故是的極值點(diǎn)，
所以，.
（2）由（1）可知.
由，得或，由，得，
則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
因為，，，，
所以，
18. 已知函數(shù)，且.
（1）求的定義域；
（2）求不等式解集.
解：（1）由題意可得，
即，所以，故，
從而，解得，
故的定義域為；
（2）由題意可得，，
因為，所以，
即，
則，解得，
故不等式的解集為.
19. 設(shè)數(shù)列的前項和為，，且.
（1）求的通項公式；
（2）若，求數(shù)列的前n項和.
解：（1）因為，
故時，，
兩式相減得，
又，，所以，故，滿足上式，
故，且，
所以為等比數(shù)列，且首項為2，公比為3，從而.
（2），
故，
故，
所以
，
所以.
20. 民族要復(fù)興，鄉(xiāng)村要振興，合作社助力鄉(xiāng)村產(chǎn)業(yè)振興，農(nóng)民專業(yè)合作社已成為新型農(nóng)業(yè)經(jīng)營主體和現(xiàn)代農(nóng)業(yè)建設(shè)的中堅力量，為實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略作出了巨大的貢獻(xiàn).某農(nóng)民專業(yè)合作社為某品牌服裝進(jìn)行代加工，已知代加工該品牌服裝每年需投入固定成本30萬元，每代加工萬件該品牌服裝，需另投入萬元，且根據(jù)市場行情，該農(nóng)民專業(yè)合作社為這一品牌服裝每代加工一件服裝，可獲得12元的代加工費(fèi).
（1）求該農(nóng)民專業(yè)合作社為這一品牌服裝代加工費(fèi)的年利潤y（單位：萬元）關(guān)于年代加工量x（單位：萬件）的函數(shù)解析式.
（2）當(dāng)年代加工量為多少萬件時，該農(nóng)民專業(yè)合作社為這一品牌服裝代加工費(fèi)的年利潤最大?并求出年利潤的最大值.
解：（1）當(dāng)時，；
當(dāng)時，.
故
（2）當(dāng)時，函數(shù)為開口向下的二次函數(shù)，且對稱軸為直線
所以在上單調(diào)遞增，
故（萬元）；
當(dāng)時，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.
即當(dāng)時，（萬元）.
因為，所以當(dāng)年代加工量為15萬件時，該農(nóng)民專業(yè)合作社為這一品牌服裝代加工費(fèi)的年利潤最大，最大值為25萬元.
21. 在數(shù)列中，，，且.設(shè)為滿足的的個數(shù).
（1）求，的值；
（2）設(shè)，數(shù)列的前n項和為，對任意的，不等式恒成立，求m的取值范圍.
解：（1）因為，所以，
則是等差數(shù)列，
設(shè)數(shù)列的公差為，由，則，
解得，則，
因為是滿足的的個數(shù)，所以，則，.
（2）由（1）得，
則，
設(shè)，則，
即遞增，故，
因為對任意，恒成立，
即恒成立，
整理得恒成立，
即恒成立，解得，
所以的取值范圍是.
22. 已知函數(shù).
（1）若曲線在處的切線與直線平行，求a的值；
（2）當(dāng)時，對任意的，恒成立，求整數(shù)k的最大值.（參考數(shù)據(jù)：）
解：（1）由題意可得，
則，解得.
故.
（2）當(dāng)時，.
設(shè)，則，
故在上單調(diào)遞增.
因為，，
所以存在唯一的，使得，即，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故.
設(shè)，則，
所以在上單調(diào)遞減，所以，即，
即.
因為對任意的，恒成立，且k為整數(shù)，所以，
極大值

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