一.對數(shù)的概念
1.對數(shù)的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x＝lgaN，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).
2.常用對數(shù)與自然對數(shù)
二.對數(shù)與指數(shù)的關(guān)系與性質(zhì)
1．對數(shù)與指數(shù)的關(guān)系
(1)若a>0，且a≠1，則ax＝N?lgaN＝x.
(2)對數(shù)恒等式：algaN＝N；lgaax＝x(a>0，且a≠1，N>0)．
2．對數(shù)的性質(zhì)
(1)lga1＝0 (a>0，且a≠1)．
(2)lgaa＝1 (a>0，且a≠1)．
(3)零和負(fù)數(shù)沒有對數(shù)．
三.對數(shù)運算性質(zhì)
1.如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)lga(M·N)＝lgaM＋lgaN；
(2)lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；
(3)lgaMn＝nlgaM(n∈R).
拓展：lgamMn＝eq \f(n,m)lgaM(n∈R，m≠0).
2.換底公式
對數(shù)換底公式：lgab＝eq \f(lgcb,lgca)(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).
特別地：（1）lgab·lgba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1).
(2)lgab·lgbc·lgca＝1(a＞0，b＞0，c＞0，且a，b，c≠1)．
一．對數(shù)與指數(shù)的關(guān)系示意圖．
二．指數(shù)式與對數(shù)式互化
1.指數(shù)式化為對數(shù)式：將指數(shù)式的冪作為真數(shù)，指數(shù)作為對數(shù)，底數(shù)不變，寫出對數(shù)式．
2.對數(shù)式化為指數(shù)式：將對數(shù)式的真數(shù)作為冪，對數(shù)作為指數(shù)，底數(shù)不變，寫出指數(shù)式．
三．利用對數(shù)運算性質(zhì)化簡與求值
1.基本原則：
①正用或逆用公式，對真數(shù)進(jìn)行處理，②選哪種策略化簡，取決于問題的實際情況，一般本著便于真數(shù)化簡的原則進(jìn)行.
2.兩種常用的方法：
①“收”，將同底的兩對數(shù)的和(差)收成積(商)的對數(shù)；
②“拆”，將積(商)的對數(shù)拆成同底的兩對數(shù)的和(差).
考點一 對數(shù)的概念
【例1】（2022秋·上海徐匯）若，則的取值范圍是 .
【一隅三反】
1．（2022秋·上海浦東新·高一?？计谥校┤舸鷶?shù)式有意義，則實數(shù)的取值范圍是 .
2．（2022秋·上海虹口）使得表達(dá)式有意義的x范圍是 ．
考點二 指數(shù)式與對數(shù)式的互化
【例2】（2023秋·高一課時練習(xí)）將下列指數(shù)式與對數(shù)式進(jìn)行互化．
(1) (2) (3).(4)；(5)；(6)；(7).
【一隅三反】
（2023·江蘇）將下列指數(shù)式與對數(shù)式互化．
(1)； (2)； (3)； (4).
(5)； (6)； (7)； (8)．
(9)； (10)； (11)； (12)．
考點三 對數(shù)運算性質(zhì)
【例3-1】（2023·江蘇·）求下列各式中x的值．
(1)； (2)； (3).
【例3-2】（2023·江蘇）求下列各式的值．
(1)；(2)；(3)；(4).
【例3-3】（2023廣東潮州）計算下列各式的值：
(1)；
(2).
(3)；
(4)
(5)．
【一隅三反】
1．（2023·廣東深圳）計算下列各式的值（或的值）：
(1)
(2)
(3)
(4)
2．（2023廣東湛江）計算下列各式的值．
(1)；
(2)．
(3)；
(4)．
(5) .
(6) .
(7)；
(8)
(9)；
(10)
(11),
(12),
考點四 對數(shù)與指數(shù)的綜合應(yīng)用
【例4-1】（2023秋·遼寧葫蘆島·高一?？计谀┮阎?，則（ ）
A．B．C．D．
【例4-2】（2023秋·高一課時練習(xí)）已知均為正實數(shù)，若，則＝（ ）
A．或B．
C．D．2或
【例4-3】（2023秋·高一課前預(yù)習(xí)）已知a，b，c均為正數(shù)，且，求證：；
【一隅三反】
1．（2023春·天津）已知，則的值（ ）
A．B．C．1D．2
2．（2023秋·廣東）已知，則 .
3．（2023·全國·高一課堂例題）已知，，則的值為 ．
4．（2023秋·高一課前預(yù)習(xí)）下列計算恒成立的是
A．
B．
C．
D．
考點五 對數(shù)的實際應(yīng)用
【例5】（2023·全國·高一專題練習(xí)）17世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家馬林·梅森在歐幾里得?費馬等人研究的基礎(chǔ)上，對（為素數(shù)）型的數(shù)作了大量的研算，他在著作《物理數(shù)學(xué)隨感》中斷言：在的素數(shù)中，當(dāng)，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257時，是素數(shù)，其它都是合數(shù).除了和兩個數(shù)被后人證明不是素數(shù)外，其余都已被證實.人們?yōu)榱思o(jì)念梅森在型素數(shù)研究中所做的開創(chuàng)性工作，就把型的素數(shù)稱為“梅森素數(shù)”，記為.幾個年來，人類僅發(fā)現(xiàn)51個梅森素數(shù)，由于這種素數(shù)珍奇而迷人，因此被人們答為“數(shù)海明珠”.已知第7個梅森素數(shù)，第8個梅森素數(shù)，則約等于（參考數(shù)據(jù)：）（ ）
A．17.1B．8.4C．6.6D．3.6
【一隅三反】
1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）要測定古物的年代，可以用放射性碳法：在動植物的體內(nèi)都含有微量的放射性．動植物死亡后，停止了新陳代謝，不再產(chǎn)生，且原來的會自動衰變．經(jīng)過5730年，它的殘余量只有原始量的一半．現(xiàn)用放射性碳法測得某古物中含量占原來的，推算該古物約是m年前的遺物（參考數(shù)據(jù)：），則m的值為（ ）
A．12302B．13304C．23004D．24034
2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）二維碼與生活息息相關(guān)，我們使用的二維碼主要是21×21大小的，即441個點，根據(jù)0和1的二進(jìn)制編碼，一共有2441種不同的碼，假設(shè)我們1萬年用掉3×1015個二維碼，那么大約可以用（ ）（，）
A．萬年B．萬年C．萬年D．萬年
3．（2023秋·江蘇南通 ）已知聲強級（單位：分貝），其中常數(shù)是能夠引起聽覺的最弱的聲強，是實際聲強.當(dāng)聲強級降低1分貝時，實際聲強是原來的（ ）
A．倍B．倍C．倍D．倍
名稱
定義
符號
常用對數(shù)
以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)
lg10N記為lg N
自然對數(shù)
以e為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)，e是無理數(shù)，e＝2.718 28…
lgeN記為ln N

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