一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）
1．若集合，，則（ ）
A．B．C．D．
2．若命題：，，則命題的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．若，則下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
4．記等差數(shù)列的前n項和為.若，，則（ ）
A．49B．63C．70D．126
5．已知函數(shù)為偶函數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
6．已知把物體放在空氣中冷卻時，若物體原來的溫度是，空氣的溫度是，則后物體的溫度滿足公式（其中是一個隨著物體與空氣的接觸狀況而定的正常數(shù)）.某天小明同學(xué)將溫度是的牛奶放在空氣中，冷卻后牛奶的溫度是，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．
C．牛奶的溫度降至還需
D．牛奶的溫度降至還需
7．根據(jù)變量和的成對樣本數(shù)據(jù)，由一元線性回歸模型得到經(jīng)驗回歸模型，求得殘差圖. 對于以下四幅殘差圖，滿足一元線性回歸模型中對隨機(jī)誤差假設(shè)的是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函數(shù)，若存在唯一的整數(shù)，使得成立，則所有滿足條件的整數(shù)a的取值集合為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）
9．下列函數(shù)中，是增函數(shù)的是（ ）
A．B．
C．D．
10．某制藥公司為了研究某種治療高血壓的藥物在飯前和飯后服用的藥效差異，隨機(jī)抽取了200名高血壓患者開展試驗，其中100名患者飯前服藥，另外100名患者飯后服藥，隨后觀察藥效，將試驗數(shù)據(jù)繪制成如圖所示的等高條形圖，已知，且，則下列說法正確的是（ ）

A．飯前服藥的患者中，藥效強(qiáng)的頻率為
B．藥效弱的患者中，飯后服藥的頻率為
C．在犯錯誤的概率不超過0.01的條件下，可以認(rèn)為這種藥物飯前和飯后服用的藥效有差異
D．在犯錯誤的概率不超過0.01的條件下，不能認(rèn)為這種藥物飯前和飯后服用的藥效有差異
11．已知函數(shù)（）是奇函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)（），且有滿足，則下列說法正確的是（ ）
A．B．函數(shù)為偶函數(shù)
C．D．函數(shù)的周期為4
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在題中的橫線上.)
12．已知，，則 .
13．函數(shù)且的所有零點的和等于 .
14．對任意的，不等式恒成立，則實數(shù) .
四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）
15．中，內(nèi)角的對邊分別為，且.
(1)若，求；
(2)若的面積為，求.
16．在數(shù)列中，是其前項和，且．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，恒成立，求的取值范圍．
17．習(xí)近平總書記在十九大報告中指出，必須樹立和踐行“綠水青山就是金山銀山”的生態(tài)文明發(fā)展理念，某城市選用某種植物進(jìn)行綠化，設(shè)其中一株幼苗從觀察之日起，第天的高度為，測得一些數(shù)據(jù)圖如下表所示:
(1)由表中數(shù)據(jù)可看出，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以證明；
(2)求關(guān)于的回歸直線方程，并預(yù)測第7天這株幼苗的高度.
參考數(shù)據(jù):.
參考公式:相關(guān)系數(shù)，
回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為.
18．函數(shù).
(1)若，求函數(shù)在處的切線方程；
(2)證明：存在實數(shù)使得曲線關(guān)于點成中心對稱圖形；
(3)討論函數(shù)零點的個數(shù).
19．已知.
(1)當(dāng)時，求的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)若有兩個極值點，.
（i）求的取值范圍；
（ii）證明：.
第天
1
2
3
4
5
高度
1.3
1.7
2.2
2.8
3.5
1．C
【分析】首先求出集合，再根據(jù)交集的定義計算可得.
【詳解】由，則，
所以，
又，
所以.
故選：C
2．C
【分析】存在性命題的否定,,對條件進(jìn)行否定
【詳解】由題,則的否定為,
故選：C
【點睛】本題考查存在性命題的否定,屬于基礎(chǔ)題
3．B
【分析】結(jié)合作差比較法，利用不等式的性質(zhì)逐項判斷.
【詳解】對于A：由，，可得，故A錯誤；
對于B：因為，所以，即，
又因為且，所以，故B正確；
對于C：設(shè)，滿足題意，則，故C錯誤；
對于D：由，，可得，故D錯誤.
故選：B.
4．B
【分析】利用等差數(shù)列的項的“等和性”得到，再運(yùn)用等差數(shù)列的前n項和公式計算即得.
【詳解】因an是等差數(shù)列，故，于是
故選：B
5．C
【分析】結(jié)合偶函數(shù)的定義利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.
【詳解】因為函數(shù)為偶函數(shù)，
所以，即，
，即，
即，即，
化簡得，解得.
故選：C.
6．D
【分析】運(yùn)用代入法，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算逐一判斷即可.
【詳解】由，得，
即，故，A、B錯誤；
又由，，得，
故牛奶的溫度從降至需，
從降至還需.
故選：D
7．D
【分析】根據(jù)一元線性回歸模型中對隨機(jī)誤差的假定進(jìn)行判斷.
【詳解】根據(jù)一元線性回歸模型中對隨機(jī)誤差的假定，殘差應(yīng)是均值為、方差為的隨機(jī)變量的觀測值.
對于A選項，殘差與有線性關(guān)系，故A錯誤；
對于B選項，殘差的方差不是一個常數(shù)，隨著觀測時間變大而變小，故B錯；
對于C選項，殘差與有非線性關(guān)系，故C錯；
對于D選項，殘差比較均勻地分布在以取值為的橫軸為對稱軸的水平帶狀區(qū)域內(nèi)，故D正確.
故選：D.
8．A
【分析】作出的圖象，由不等式的幾何意義：曲線上一點與連線的直線斜率小于0，結(jié)合圖象即可求得范圍.
【詳解】作出的函數(shù)圖象如圖所示：
表示點與點所在直線的斜率，
可得曲線上只有一個點（x為整數(shù)）和點所在直線的斜率小于0，
而點在動直線上運(yùn)動，
由，，，，且為整數(shù)，
可得當(dāng)時，至少有點兩個點滿足，不滿足題意；
當(dāng)時，只有點滿足，滿足題意；
當(dāng)時，只有點滿足，滿足題意；
當(dāng)時，至少有兩個點滿足，不滿足題意；
綜上所述，由a為整數(shù)，可得a的取值集合為.
故選：A.
9．ACD
【分析】利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可得A正確，由反比例函數(shù)性質(zhì)可得B錯誤，根據(jù)冪函數(shù)性質(zhì)可得C正確，求導(dǎo)得出恒成立，可得D正確.
【詳解】對于A，易知的定義域為，是由函數(shù)和組成，
易知為單調(diào)遞增函數(shù)，為單調(diào)遞增函數(shù)，因此A正確；
對于B，函數(shù)定義域為，
根據(jù)反比例函數(shù)性質(zhì)可得在和上分別單調(diào)遞增，但不是增函數(shù)，即B錯誤；
對于C，易知的定義域為，由冪函數(shù)性質(zhì)可得其在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，即C正確；
對于D，函數(shù)的定義域為，則恒成立，
所以函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，即D正確.
故選：ACD
10．AC
【分析】根據(jù)等高條形圖即可得飯前飯后藥效強(qiáng)和弱的人數(shù)，即可判斷AB，計算卡方與臨界值比較即可判斷CD.
【詳解】對于A，飯前服藥的100名患者中，藥效強(qiáng)的有80人，所以頻率為，故A正確；
對于B，飯前服藥的有20人藥效弱，飯后服藥的有70人藥效弱，所以藥效弱的有90名患者，飯后服藥的頻率為，故B錯誤；
對于C，D，因為，
故在犯錯誤的概率不超過0.01的條件下，可以認(rèn)為這種藥物飯前和飯后服用的藥效有差異，故C正確，D錯誤．
故選：AC
11．ABD
【分析】根據(jù)奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，結(jié)合函數(shù)的周期性和對稱性，以及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)即可判斷.
【詳解】由，則，
又函數(shù)（x∈R）是奇函數(shù)，則，，
因此可得，，即函數(shù)的周期為4，
由，則，
，因此A正確；
由函數(shù)（x∈R）是奇函數(shù)，則，
故，
又是的導(dǎo)函數(shù)，則，故函數(shù)為偶函數(shù)，因此B正確；
由，則為y=fx的對稱軸，
因此y=fx在左右附近的單調(diào)性發(fā)生改變，即為y=fx的極值點，
故，因此C不正確；
由，則，即，
因此函數(shù)的周期為4，因此D正確.
故選：ABD.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：解答本題的關(guān)鍵是正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，必須把握好兩個問題：
(1)定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要不充分條件；
(2)或是定義域上的恒等式.奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，反之也成立.利用這一性質(zhì)可簡化一些函數(shù)圖象的畫法，也可以利用它去判斷函數(shù)的奇偶性．
12．
【分析】由，可知，再結(jié)合，及，可求出答案.
【詳解】因為，所以，所以，
所以．
故答案為：.
13．0
【分析】利用函數(shù)與方程的思想分別畫出函數(shù)和函數(shù)的圖象，利用奇函數(shù)性質(zhì)即可得出結(jié)果.
【詳解】由可得，
易知函數(shù)和函數(shù)都為奇函數(shù)，
在同一坐標(biāo)系下作出兩函數(shù)在內(nèi)的圖象，如下圖所示：
所以兩函數(shù)圖象交點都關(guān)于原點成中心對稱，
因此函數(shù)且的所有零點的和等于0.
故答案為：0
14．
【分析】由對數(shù)有意義可得：，將不等式等價轉(zhuǎn)化為在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)
，由函數(shù)在上單調(diào)遞增，故時，則，當(dāng)時，
，則，再根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求出實數(shù)的值，最后取交集即可求解.
【詳解】由題意可知：且成立，則，
因為對任意的，不等式恒成立，
也即在上恒成立，
記，則在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，即恒成立，則，所以，解得：；
當(dāng)時，不等式顯然成立；
當(dāng)時，，即在恒成立，
則，因為在上單調(diào)遞減，所以時，，解得：，
因為對任意的，不等式恒成立，
則綜上可知：實數(shù)的值為.
故答案為：.
15．(1)
(2)或
【分析】（1）已知三邊求角由余弦定理可得；
（2）由三角形面積公式可得，分銳鈍兩類情況分別求解可得.
【詳解】（1）由余弦定理知
，又，故；
（2）由三角形的面積公式，
從而，
若，，
由余弦定理可得；
若，，
由余弦定理可得；
綜上，或.
16．(1)
(2)
【分析】（1）由，作差得到，從而得到an是以為首項，為公比的等比數(shù)列，即可求出其通項公式；
（2）由（1）求出，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出的最值，即可得解.
【詳解】（1）因為，
當(dāng)時，，解得；
當(dāng)時，，所以，所以；
所以an是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
所以.
（2）由（1）可得，
又在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)為偶數(shù)時，，
當(dāng)為奇數(shù)時，，
所以當(dāng)時取得最大值為，當(dāng)時取得最小值為，
因為，恒成立，
所以，解得，
所以的取值范圍為.
17．(1)證明見詳解
(2)，預(yù)測當(dāng)年份序號為第7天這株幼苗的高度為4.5
【分析】（1）求出，結(jié)合公式求出r，即可下結(jié)論；
（2）利用最小二乘法求出回歸直線方程，令計算，即可求解.
【詳解】（1）由，，，
所以，
因為與1非常接近，故可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系．
（2）由題意可得：，
所以關(guān)于的回歸直線方程為．
當(dāng)時，，
由此預(yù)測當(dāng)年份序號為第7天這株幼苗的高度為4.5.
18．(1)
(2)證明見解析
(3)答案見解析
【分析】（1）把代入并求導(dǎo)，求出切線斜率和切點坐標(biāo)利用點斜式寫出直線方程即可；
（2）首先利用在上，求出的值，再證明即可；
（3）求導(dǎo)利用導(dǎo)函數(shù)判斷單調(diào)性，再結(jié)合零點存在性定理判斷零點的個數(shù).
【詳解】（1）當(dāng)時，，，
則，，
故在處的切線方程為，即.
（2）由，
若存在這樣的，使得為的對稱中心，
則，
現(xiàn)在只需證明當(dāng)時，，
事實上，，
于是
即存在實數(shù)使得即是的對稱中心.
（3），
當(dāng)時，時，，故在上單調(diào)遞增，
時，，在單調(diào)遞減，
則在處取到極大值，在處取到極小值，
由，而，根據(jù)零點存在定理在上有一個零點；
①若，即， 在無零點，從而在上有1個零點；
②若，即，，在有一個零點，
，故在有一個零點，
從而在上有3個零點；
③若，即，在有一個零點，從而在上有2個零點；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，， 時，，
從而在上有一個零點；
當(dāng)時，時，故在上單調(diào)遞增，時，，在上單調(diào)遞減.
而，，故在無零點，
又，由，
故，，從而在有一個零點，
從而在上有一個零點.
綜上：當(dāng)時，在上只有1個零點；
時，在上有2個零點；
時在上有3個零點.
【點睛】方法點睛：函數(shù)零點的求解與判斷方法：
(1)直接求零點：令，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點；
(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，
還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點；
(3)利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標(biāo)有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．
19．(1)
(2)（i）;（ii）證明見解析.
【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，化簡后求f′x>0的解集；
（2）（?。┦紫惹蠛瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)，令，換元后轉(zhuǎn)化為方程有兩個正根，利用判別式以及韋達(dá)定理，求參數(shù)的取值范圍；
（ⅱ）首先求，根據(jù)（1）的換元結(jié)果，以及韋達(dá)定理，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最大值，即證明不等式.
【詳解】（1）當(dāng)時，，
，
當(dāng)，即時，f′x>0，
故單調(diào)遞增區(qū)間為；
（2），令，即，
令，，則、是方程的兩個正根，
則，即，
有，，即，
（ii）
，
要證，即證，
令，
則，
令，則，
則在上單調(diào)遞減，
又，，
故存在，使，即，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則，
又，則，故，
即gx

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