【清單01】 銳角的三角比定義
一個銳角的正切、余切、正弦、余弦統(tǒng)稱為這個銳角的三角比.
正切：把直角三角形中一個銳角的對邊與鄰邊的比叫這個銳角的正切.即；
余切：把直角三角形中一個銳角的鄰邊與對邊的比叫這個銳角的余切.即；
正弦：把直角三角形中一個銳角的對邊與斜邊的比叫這個銳角的正弦.即；
余弦：把直角三角形中一個銳角的鄰邊與斜邊的比叫這個銳角的余弦.即；
【清單02】 銳角的三角比性質(zhì)
①當(dāng)銳角增大時，這個銳角的正切與正弦值都增大，這個銳角的余切與余弦值都減?。?br>②若，則；
③.
【清單03】特殊角的三角比
【清單04】銳角的三角比
【考點題型一】銳角三角比的意義
【例1】在中，，那么邊的長為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-1】在中，，，那么等于（ ）
A．B．C．D．
【變式1-2】.在中，，，，那么下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．C．D．
【變式1-3】如圖，在中，，CD、CE分別是斜邊AB上的高和中線，下列結(jié)論不一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【變式1-4】已知是銳角，化簡： ．
【變式1-5】如圖，已知在中，，分別是邊上的高，連接，那么和的周長比為 ．
【變式1-5】.若定義等腰三角形頂角的值為等腰三角形底邊和底邊上高的比值，即頂角，若等腰，，且，則 ．
【變式1-6】.如圖，在△ABC中，點D是BC的中點，聯(lián)結(jié)AD，AB=AD，BD=4，．
（1）求AB的長；
（2）求點C到直線AB的距離．
【考點題型二】求角的三角比
【例2】（24-25九年級上·上海·期中）在中，，那么的值等于（ ）
A．B．C．D．
【變式2-1（23-24九年級上·上?！て谥校┰谥苯亲鴺?biāo)系中，已知，為坐標(biāo)原點，與軸負半軸的夾角為，則的正切為 ．
【變式2-2】（24-25九年級上·上海·期中）中，，，那么頂角的正弦值等于 ．
【變式2-3】（21-22九年級下·上?！て谥校┰谡叫尉W(wǎng)格中，的位置如圖所示，則的值為


【變式2-4】（24-25九年級上·上?！て谥校┤鐖D，中，，將沿圖中的虛線翻折，使點落在邊上的點處，如果，那么 ．
【變式2-5】（2024·上海青浦·模擬預(yù)測）如圖是一張矩形紙片，點M是對角線的中點，點E在邊上，把沿直線折疊，使點C落在對角線上的點F處，連接．若，則的正弦值為 ．
【變式2-6】（2024·上海奉賢·二模）如圖，正方形的邊長為，點在延長線上，連接，如果與相似，那么 ．
【變式2-7】（2024九年級上·上海·專題練習(xí)）如圖，在中，，求的值．
【變式2-8】（2024·上海普陀·二模）如圖，在中，，點在邊上，，．

(1)求BD的長；
(2)求的值．
【變式2-9】（2024九年級上·上?！ｎ}練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)（為常數(shù)且）上有一點，且與直線交于另一點．

(1)求與的值；
(2)過點作直線軸與直線交于點，求的值．
【變式2-10】（2024·上海長寧·三模）如圖，在直角梯形中 ，，， ．
(1)求梯形的面積；
(2)連接，求的正切值．
【變式2-11】（23-24九年級上·上?！るA段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知分別是 與 軸，軸的交點．
(1)在線段 AB上， ，求的坐標(biāo)；
(2)在第一問的條件下，求 的值；
(3)若 在直線 AB上，，求的坐標(biāo)．
【考點題型三】已知三角比求邊長
【例3】（2023·上海虹口·一模）如圖，在中，已知，，，那么的長為（ ）
A．B．C．4D．5
【變式3-1】（23-24九年級上·上海奉賢·期末）在中，，，，那么的長是（ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】（23-24九年級上·上?！るA段練習(xí)）已知平面直角坐標(biāo)系中點和，滿足（為原點），那么的值為 ．
【變式3-3】（23-24九年級下·上海寶山·期中）如圖，菱形ABCD的邊長為5，，E是邊CD上一點（不與點C、D重合），把△ADE沿著直線AE翻折，如果點D落在菱形一條邊的延長線上，那么CE的長為 ．
【變式3-4】（23-24九年級上·上海靜安·期末）如圖，中，，，.點、分別在邊、上，，那么的長為 .（用含的代數(shù)式表示）

【變式3-5】（23-24九年級上·上海浦東新·階段練習(xí)）如圖，已知是等邊三角形，，是邊上一動點（不與、點重合），垂直平分BD，分別交AB、于點、，設(shè)，．

(1)求證：；
(2)求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出定義域；
(3)過點作，垂足為點，當(dāng)時，求線段CD的長．
【考點題型四】特殊角三角比混合運算
【例4】（22-23九年級上·上海青浦·期中）計算：
【變式4-1】（23-24九年級上·上海閔行·期中）計算：
【變式4-2】（2024九年級下·上?！ｎ}練習(xí)）計算：．
【變式4-3】（21-22九年級上·上海青浦·期中）計算：．
【變式4-4】（23-24九年級上·上?！るA段練習(xí)）計算：．
【變式4-5】（23-24九年級上·上?！るA段練習(xí)）計算： ．
【考點題型五】根據(jù)特殊角三角比求角度
【例5】．（2024九年級上·上?！ｎ}練習(xí)）已知α為銳角，，則α等于（ ）
A．B．C．D．
【變式5-1】（22-23九年級上·上海松江·期中）在中，與是銳角，且，，那么 度．
【變式5-2】（23-24九年級上·上海浦東新·期中）如果銳角的正切值為，那么銳角為 度
【變式5-3】（22-23九年級上·上海浦東新·階段練習(xí)）已知為銳角，，那么 度．
【變式5-4】（22-23九年級·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）求滿足下列條件的銳角：
(1)； (2)．
【變式5-5】（22-23九年級上·上海青浦·階段練習(xí)）如圖，已知，，問：的大小確定嗎？ 若確定，求其度數(shù)；若不確定，請說明理由

【考點題型六】根據(jù)特殊角三角比求角度
【例6】（23-24九年級上·上?！るA段練習(xí)）如圖，在中，，點為斜邊上一點，且，將沿直線翻折，點的對應(yīng)點為，則 ．

【變式6-1】（21-22九年級上·上海閔行·期中）如圖，某梯子長10米，斜靠在豎直的墻面上，當(dāng)梯子與水平地面所成角為時，梯子頂端靠在墻面上的點處，底端落在水平地面的點處，如果將梯子底端向墻面靠近，使梯子與地面所成角為，且，則梯子頂端上升了 米．
【變式6-2】（2023·上海普陀·三模）如圖，已知是等邊三角形，點B、C、D、E在同一直線上，且，，則 ．
【變式6-3】（21-22九年級上·上海長寧·期末）如圖, 某種路燈燈柱 垂直于地面, 與燈桿 相連. 已知直線 與直線 的夾角是 . 在地面點 處測得點 的仰角是 , 點 仰角是 , 點 與點 之間的距離為 米．

求：（1）點 到地面的距離；
（2） 的長度．（精確到 米）
（參考數(shù)據(jù): ）
【變式6-4】（21-22九年級上·上海虹口·期末）如圖，在梯形ABCD中，，，，對角線AC與BD交于點E．點F是線段EC上一點，且．
(1)求證：；
(2)如果，，求FC的長．
【變式6-5】（21-22九年級上·上海閔行·期中）如圖，已知點、分別在中的邊、的延長線上，且．
(1)如果，，，求的長；
(2)如果，，，過點作，垂足為點，求的長．
【變式6-6】（21-22九年級上·上海嘉定·期末）在平行四邊形中，對角線與邊垂直，，四邊形的周長是，點是在延長線上的一點，點是在射線上的一點，．
(1)如圖1，如果點與點重合，求的余切值；
(2)如圖2，點在邊上的一點．設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式并寫出它的定義域；
(3)如果，求的面積．
【變式6-7】（22-23九年級上·上海·期中）已知在正方形ABCD中，，點P在邊CD上，，點Q是射線AP上的一個動點，過點Q作AB的平行線交射線BC于點M，點R在直線BC上，使RQ始終與射線AP垂直．
(1)如圖1，當(dāng)點R與點C重合時，求PQ的長；
(2)如圖2，試探索：的值是否隨點Q的運動而發(fā)生變化？若有變化，請說明理由并求出變化規(guī)律；若沒有變化，請求出它的比值；
(3)如圖3，當(dāng)點Q在線段AP上，設(shè)，請用含x的式子表示RM．
【變式6-8】（22-23九年級上·上海長寧·期中）已知在中，，點D在的平分線上，聯(lián)結(jié)并延長，交邊于點E．
(1)點F在延長線上，，
①如圖1，若平分，，求的值；
②如圖2，若E是的中點，，求的值；
(2)如圖3，若，，，求的長．
1
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