本試卷共4頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.
第I卷選擇題（60分）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 設(shè)，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】D
【解析】
【詳解】試題分析：,對應(yīng)的點為,在第四象限
考點：復(fù)數(shù)運算及其相關(guān)概念
2. 若、是兩個不重合的平面，
①若內(nèi)的兩條相交直線分別平行于內(nèi)的兩條直線，則；
②設(shè)、相交于直線，若內(nèi)有一條直線垂直于，則；
③若外一條直線與內(nèi)的一條直線平行，則.
以上說法中成立的有（）個.
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)平面與平面平行的判定定理，平面與平面垂直的判定定理，直線與平面平行的判定定理可依次判斷得解.
【詳解】對①，面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于面內(nèi)兩條直線，可得這兩條相交直線均平行于面，由平面與平面平行的判定定理可知①正確；
對②，根據(jù)平面與平面垂直的判定定理，一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線可得平面與平面垂直，②錯誤；
對③，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知③正確.
故選：C.
3. 一組數(shù)據(jù)按從大到小的順序排列為8，7，，4，4，1，若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是眾數(shù)的倍，則該組數(shù)據(jù)的平均值、方差和第60百分位數(shù)分別是（）
A. 6，，5B. 5，5，5C. 5，，6D. 4，5，6
【答案】C
【解析】
【分析】利用中位數(shù)與眾數(shù)的定義得到關(guān)于的方程，從而得解.
【詳解】依題意，將這組數(shù)據(jù)從小到大重新排列得，，，，，，
則中位數(shù)，眾數(shù)為，
由題意知，解得，
所以這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，
則這組數(shù)據(jù)的方差是，
因為，所以這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是；
故選：C.
4. 已知中，，，，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由余弦定理即可得到，從而得到其范圍.
詳解】
由題意，在三角形中，由余弦定理可得，
，
且，，所以.
故選:C
5. 已知點D為邊BC上的中點，點E滿足，若，則（）
A. 5B. 7C. 9D. 11
【答案】D
【解析】
【分析】利用平面向量的線性運算，結(jié)合圖形即可得解.
【詳解】依題意，作出圖形如下，
因為點D為BC上的中點，，
所以，
則，故，則.
故選：D.
6. 若，則的值為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用倍角公式結(jié)合齊次式問題運算求解.
【詳解】由題意可得：.
故選：A.
7. 已知，，則值為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知條件列方程組可求出和，再利用兩角差的余弦公式可求得結(jié)果.
【詳解】因為，，
所以，解得，
所以，
故選：C
8. 在中，下列命題正確的個數(shù)是（）
①；②；③若，則為等腰三角形；④，則為銳角三角形．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)向量的運算公式，即可判斷選項.
【詳解】①，故①錯誤；②.故②正確；
③，則，為等腰三角形，故③正確；
④若，只能說明中，角是銳角，不能說明其它角的情況，所以不能判斷為銳角三角形，故④錯誤.
故選：B
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 已知向量，則下列結(jié)論正確的是（）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，則D. 若，則
【答案】AB
【解析】
【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示判斷A，根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示判斷B，根據(jù)向量的模的坐標(biāo)表示判斷C，D.
【詳解】對于A，因為，所以，所以，A正確；
對于B，因為，所以，所以，B正確；
對于C，因為，所以，所以，C錯誤；
對于D，因為，所以，所以或，D錯誤；
故選：AB.
10. 聲音是由物體振動產(chǎn)生的聲波，純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，我們聽到的聲音是由純音合成的，稱之為復(fù)合音，若一個復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，則（）
A. 函數(shù)圖像的一個對稱中心為
B. 函數(shù)圖像的一條對稱軸為直線
C. 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
D. 將函數(shù)圖像向左平移個單位后的圖像關(guān)于y軸對稱
【答案】AC
【解析】
【分析】化簡得到，根據(jù)對稱中心對稱軸判斷A，B選項，根據(jù)單調(diào)性判斷C選項，根據(jù)平移判斷D選項.
【詳解】
，故A正確；
對選項B：當(dāng)時，，故的圖像不關(guān)于對稱，B錯誤；
，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，C正確；
將函數(shù)的圖像向左平移個單位后得到，D錯誤.
故選: AC.
11. 在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，下列說法正確的是（）
A. 若有兩解
B. 若有兩解
C. 若為銳角三角形，則b的取值范圍是
D. 若為鈍角三角形，則b的取值范圍是
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)三角形的構(gòu)成，可判斷三角形有幾個解所要滿足的條件，即，有兩解，或，有一解，，有0解，根據(jù)直角三角形的情況，便可得出為銳角或鈍角三角形時，b的取值范圍.
【詳解】A選項，∵，∴有兩解，故A正確；
B選項，∵，∴有一解，故B錯誤；
C選項，∵為銳角三角形，∴，即，故C正確；
D選項，∵為鈍角三角形，∴或，即或，故D錯誤.
故選：AC
12. 在正方體中，點是線段上一動點，則下列各選項正確的是（）
A.
B. 平面
C. 三棱錐的體積是定值
D. 直線與平面所成角隨長度變化先變小再變大
【答案】ABC
【解析】
【分析】本題利用立體幾何中線面垂直的判定、面面平行的判定對A,B選項進行判斷；由等體積法可判斷C；D選項需要結(jié)合線面角的相關(guān)知識點，通過轉(zhuǎn)化的思想去解決.
【詳解】解：對于A，連接，，，，
由正方體的性質(zhì)可得：，平面，
平面，所以，，
平面，所以平面，
因為平面，所以同理可得，
，平面，平面
平面，，故A正確；
對于B，連接，易證：，
因為平面，平面，所以平面，
因為平面，平面，所以平面，
又平面，
故平面平面，平面，平面，故B正確；
對于C，設(shè)到平面的距離為，連接，
，
因為平面，所以，
點是線段上一動點，又因為，因為平面，平面，
所以平面，所以點到平面的距離為定值，
也為定值，所以三棱錐的體積是定值，故C正確；
對于D，連接，平面，即為直線與平面所成角，
，當(dāng)從移動至的過程中，增大，先變小再變大，
即先變大再變小，故D錯誤；
故選：ABC.
第II卷非選擇題（90分）
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 某校高二年級有1000名學(xué)生，其中文科生有300名，按文理生比例用分層抽樣的方法，從該年級學(xué)生中抽取一個容量為50的樣本，則應(yīng)抽取的理科生人數(shù)為________.
【答案】35
【解析】
【分析】直接根據(jù)分層抽樣的比例關(guān)系得到答案.
【詳解】應(yīng)抽取的理科生人數(shù)為：.
故答案為：.
【點睛】本題考查了分層抽樣，意在考查學(xué)生的理解能力和計算能力.
14. 某圓錐體積為1，用一個平行于圓錐底面的平面截該圓錐得到一個圓臺，若圓臺上底面和下底面半徑之比為，則該圓臺體積為______
【答案】##
【解析】
【分析】先利用比值與錐體的體積公式求得小圓錐的體積，再利用作差法即可得到圓臺的體積.
【詳解】依題意，設(shè)小錐體的底面半徑為，小錐體的高為，則大錐體的底面半徑為，大錐體的高為為，
因為大圓錐的體積即為，整理得，
所以小圓錐的體積為，
因此該圓臺體積為.
故答案為：.
15. 已知函數(shù)滿足為奇函數(shù)，則函數(shù)的解析式可能為______________（寫出一個即可）．
【答案】(答案不唯一)
【解析】
【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義選擇函數(shù)的解析式即可.
【詳解】取，則符合題意．
故答案為：.
16. 直四棱柱的各個頂點都在一個球的表面上，且，，，側(cè)棱，則直四棱柱外接球的表面積是________________；
【答案】
【解析】
【分析】連接，由題意可得底面四邊形與有相同的外接圓，且，由余弦定理得，再由余弦定理求出及，由正弦定理可得圓的半徑，設(shè)直四棱柱的外接球的球心為，即為直四棱柱外接球的半徑，利用勾股定理可得，再由球的表面積公式計算可得答案.
【詳解】連接，因為直四棱柱底面有外接球，
所以底面四邊形與有相同的外接圓，且，
所以，
由余弦定理可得，
即，解得，
所以，
因為，所以，
由正弦定理可得，所以圓的半徑為，
即，設(shè)直四棱柱的外接球的球心為，
連接、，即為直四棱柱外接球的半徑，
所以底面，，
可得，
直四棱柱外接球的表面積是.
故答案為：.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：解題的關(guān)鍵點是在中利用勾股定理求出球的半徑，考查了學(xué)生的空間想象能力.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 已知向量，.
（1）求；
（2）求向量與向量的夾角的余弦值；
（3）若，且，求向量與向量夾角.
【答案】（1）；（2）；（3）..
【解析】
【分析】（1）先求出的坐標(biāo)，再求其模；
（2）利用向量的夾角公式直接求解即可；
（3）由，得化簡結(jié)合已知條件可得答案
【詳解】解：（1）因為，，
所以.
所以.
（2）因為，
，
，
所以.
（3）因為，
所以.
即.
所以.
即，
所以.
因為，
所以.
18. 已知.
（1）求的值域；
（2）若，，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
分析】（1）先根據(jù)兩角和差正弦余弦公式化簡解析式，再應(yīng)用三角函數(shù)值域求解即得；
（2）先用已知角表示未知角，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系求函數(shù)值，再應(yīng)用兩角和差公式求解即可.
【小問1詳解】
，
所以的值域為
【小問2詳解】
由（1）得，
因為，
所以，
所以.
所以
.
19. 在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.
（1）求角A的大??；
（2）若，求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由二倍角的正弦公式、余弦定理化簡已知式可得，進而求出的值，結(jié)合，可求出.
（2）由三角恒等變換的應(yīng)用可求，由題意可求出，由正切函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
【小問1詳解】
由
，
所以，可得：，
即，由余弦定理可得：，
又，所以.
【小問2詳解】
由
，
因為，所以，又，
所以，所以，得，
所以，所以，所以.
的取值范圍為.
20. 如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面為直角梯形，CD//AB，AD⊥AB，且PA＝AD＝CD＝2，AB＝3，E為PD的中點.
（1）證明：AE⊥平面PCD；
（2）過A，B，E作四棱錐P﹣ABCD的截面，請寫出作法和理由，并求截面的面積.
【答案】（1）證明見解析
（2）作法和理由見解析，
【解析】
【分析】（1）由結(jié)合線面垂直的判定證明即可；
（2）作EF//CD，得出EF//AB，從而得出截面，再由梯形的面積公式得出截面面積.
【小問1詳解】
證明：因為PA⊥平面ABCD，所以CD⊥PA.
又CD//AB，AD⊥AB，所以CD⊥AD.
因為AD∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD，則CD⊥AE.
因為PA＝AD，E為PD的中點，所以AE⊥PD.又CD∩PD＝D，所以AE⊥平面PCD.
【小問2詳解】
解：如圖，過E作EF//CD，交PC于F，連接BF，則截面為四邊形ABFE.
理由如下：
因為AB//CD，EF//CD，所以EF//AB，所以A，B，F(xiàn)，E四點共面，從而過A，B，E的截面為四邊形ABFE.
由（1）知AE⊥平面PCD，所以AE⊥EF，
又，，AB＝3，
所以四邊形ABFE為直角梯形，其面積.
21. 的內(nèi)角A，B，C所對邊分別為a，b，c，點O為的內(nèi)心，記△OBC，的面積分別為，，，已知，．
（1）若為銳角三角形，求AC的取值范圍；
（2）在①；②；③中選一個作為條件，判斷△ABC是否存在，若存在，求出的面積，若不存在，說明理由．（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．）
【答案】（1）
（2）答案見解析
【解析】
【分析】（1）由題意，根據(jù)的內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，利用正、余弦定理可得，結(jié)合角C的取值范圍即可求解；
（2）選擇①，根據(jù)正弦定理可得，由（1）得，方程無解即△ABC不存在．選擇②，根據(jù)三角恒等變換可得，由（1）得，解得，結(jié)合三角形的面積公式計算即可.選擇③，由（1），根據(jù)余弦定理可得，方程無解即△ABC不存在．
【小問1詳解】
設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r，因為，
所以，化簡得：，
所以，因為，所以，所以，
因為，所以，
因為為銳角三角形，
所以，，解得：，
所以，所以AC的取值范圍為．
【小問2詳解】
選擇①，因為，所以，
因為，所以，所以，
由（1）知，，所以，
整理得，方程無實數(shù)解，所以不存在．
選擇②，由得：，
所以，即，所以，
由（1）知，，
所以，所以，解得，
所以存在且唯一，的面積．
選擇③，因為，所以，
由（1）知，，所以，
整理得，
方程無實數(shù)解，所以不存在．
22. 已知函數(shù).
（1）若，判斷函數(shù)的奇偶性，并加以證明；
（2）若函數(shù)在R上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若存在實數(shù)，使得關(guān)于x的方程有三個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)t的取值范圍（寫出結(jié)論即可，無需論證）.
【答案】（1）奇函數(shù)，證明見解析；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進行求解證明即可；
（2）根據(jù)絕對值的性質(zhì)，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，運用分類討論法，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可.
【小問1詳解】
當(dāng)時，，，
所以，
所以函數(shù)為奇函數(shù)；
【小問2詳解】
，當(dāng)時，的對稱軸為；
當(dāng)時，的對稱軸為；
所以當(dāng)時，在R上是增函數(shù)，
即時，函數(shù)在R上是增函數(shù)；
【小問3詳解】
方程的解即為方程的解.
①當(dāng)時，函數(shù)在R上是增函數(shù)，關(guān)于x的方程不可能有三個不相等的實數(shù)根；
②當(dāng)時，即時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時，關(guān)于x的方程有三個不相等的實數(shù)根；即，因為，所以.
設(shè)，因為存在實數(shù)，使得關(guān)于x的方程有三個不相等的實數(shù)根，所以，又可證在上單調(diào)遞增，所以，故；
③當(dāng)時，即，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時，關(guān)于x的方程有三個不相等的實數(shù)根；即，因為，所以，設(shè)，因為存在實數(shù)，使得關(guān)于x的方程有三個不相等的實數(shù)根，所以，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，故；
綜上：.

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