本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至4頁，共150分，考試時間120分鐘．
第Ⅰ卷（選擇題共60分）
一、選擇題：本題共8小感，每小題5分共40分.在每小題給出的四個選項中.只有一項是符合題目要求的．
1. 已知集合，，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出集合，，再求兩個集合的交集即可.
【詳解】因為，，所以.
故選：D
2. 下列四組函數(shù)中與是同一函數(shù)的是（）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】借助同一函數(shù)的定義逐一判斷即可.
【詳解】對于選項A:函數(shù)的定義域為的定義域為，定義域不同，不是同一函數(shù),故選項A錯誤；
對于選項B:函數(shù)的定義域為的定義域為，定義域不同，不是同一函數(shù), 故選項B錯誤；
對于選項C:函數(shù)的定義域為的定義域為，定義域不同，不是同一函數(shù)，故選項C錯誤；
對于選項D:函數(shù)的定義域為的定義域為，定義域相同，且，解析式相同，故是同一函數(shù)，故選項D正確；
故選：D.
3. 函數(shù)的零點所在區(qū)間是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)零點存在定理依次判斷各選項中區(qū)域端點處的符號即可.
【詳解】對于A，當時，，，，在內無零點，A錯誤；
對于B，當從正方向無限趨近于時，，則；又，在內無零點，B錯誤；
對于C，，，且在上連續(xù)，在內有零點，C正確；
對于D，，，在內無零點，D錯誤.
故選：C.
4. 函數(shù)的單調遞增區(qū)間為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出函數(shù)的定義域，根據(jù)二次函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)的單調性求出復合函數(shù)的遞增區(qū)間即可.
【詳解】由，解得：，故函數(shù)的定義域是，
函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，
而函數(shù)在定義域內是單調遞減函數(shù)，
根據(jù)復合函數(shù)單調性之間的關系可知，函數(shù)的單調遞增區(qū)間是.
故選：D
5. “”是“一元二次不等式的解集為”的（）
A. 充分非必要條件B. 必要非充分條件
C. 充要條件D. 既非充分又非必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】
利用充分條件、必要條件的定義結合一元二次不等式在上恒成立的等價條件判斷即可.
【詳解】充分性：若，，一元二次不等式的解集為，即充分性不成立；
必要性：若一元二次不等式的解集為，則，即必要性成立.
因此，“”是“一元二次不等式的解集為”的必要非充分條件.
故選：B.
【點睛】本題考查必要不充分條件的判斷，同時也考查了一元二次不等式在上恒成立的等價條件的應用，考查推理能力，屬于基礎題.
6. 已知，，，則（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)單調性及中間值比較出大小.
【詳解】函數(shù)在R上單調遞增，故，
在R上單調遞減，，
在上單調遞減，，
故.
故選：C.
7. 已知冪函數(shù)的圖像過點，則下列結論正確的是（）
A. 的定義域為B. 在其定義域內為減函數(shù)
C. 是偶函數(shù)D. 是奇函數(shù)
【答案】B
【解析】
【分析】先代點求出冪函數(shù)解析式，然后判斷冪函數(shù)的性質即可.
【詳解】設，代入點可得，所以，
所以，
對于A：函數(shù)的定義域為，所以A錯誤；
對于B：因為，所以在內單調遞減，B正確；
對于C：因為的定義域為，所以不是偶函數(shù)，C錯誤；
對于D：因為的定義域為，所以不是奇函數(shù)，D錯誤，
故選：B
8. 設函數(shù)若存在且，使得，則的取值范圍是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意，需將看成整體角，由范圍求得范圍，結合函數(shù)的圖象，求得使的兩個解，由題只需使即可，計算即得.
【詳解】
不妨取，由可得：，
由可得，
由圖可取要使存在且，使得，
需使，，解得.
故選：A.
【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查與正弦型函數(shù)圖象有關的等高線問題.
解決的關鍵在于將看成整體角，作出正弦函數(shù)的圖象，結合求得的整體角的范圍求得最近的符合要求的角，從而界定參數(shù)范圍.
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中.有多項符合題目要求全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．
9. 下列函數(shù)具有奇偶性的是（）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用奇偶性定義來逐項分析即可.
【詳解】選項A，函數(shù)的定義域為關于原點對稱，
又，
所以，
所以為偶函數(shù)；
選項B，函數(shù)的定義域為關于原點對稱，
又，
所以，
所以為偶函數(shù)；
選項C，函數(shù)的定義域為關于原點對稱，
又，
所以，
所以為奇函數(shù)；
選項D，函數(shù)的定義域為關于原點對稱，
又，
所以，
所以為非奇非偶函數(shù)；
故選：ABC.
10. 已知函數(shù)，則下列敘述中，正確的是（）．
A. 函數(shù)的圖象關于點對稱B. 函數(shù)在上單調遞增
C. 函數(shù)的最小正周期為D. 函數(shù)是偶函數(shù)
【答案】AB
【解析】
【分析】由正切函數(shù)性質判斷AB，利用特殊值及周期性、奇偶性的定義判斷CD．
【詳解】，A正確；
時，，因此此時遞增，B正確；
，但不存在，C，D均不正確，
故選：AB．
11. 由知實數(shù)a，b滿足，則（）
A. ab的最大值為
B. 的最大值為
C.
D. 當時，的最大值為
【答案】AC
【解析】
【分析】由不等式，可判定A正確；設，聯(lián)立方程組，結合，可判定B不正確；設，聯(lián)立方程組，可判定C正確；，轉化為，結合三角函數(shù)的性質，可判定D不正確.
【詳解】對于A中，由不等式，可得，解得，
當且僅當時，等號成立，所以A正確；
對于B中，設，聯(lián)立方程組，整理得，
由，解得，可得，
所以的最大值為，所以B不正確；
對于C中，設，聯(lián)立方程組，整理得，
由，解得，可得，
所以的最大值為，所以C正確；
對于D中，由，即，
設，則，
設，可得，可得，
因為，可得，即，
不妨設，可得
則，
所以
又因為為單調遞增函數(shù)，所以無最大值，所以D不正確.
故選：AC
12. 已知函數(shù)，函數(shù)，則下列結論正確的是（）
A. 若關于的方程有2個不同實根，則的取值范圍是
B. 若關于的方程有3個不同實根，則的取值范圍是
C. 若有5個零點，則的取值范圍是
D. 最多有6個零點
【答案】BC
【解析】
【分析】由題意根據(jù)對數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的性質作出的函數(shù)圖象，對于AB，只需通過平移直線觀察它與的圖象的交點情況即可得解，對于CD，首先若，則有或，進一步列出不等式組即可判斷.
【詳解】如圖：
作出的大致圖象，由圖可知若關于的方程有2個不同實根，則的取值范圍是，故A錯誤；
由圖可知若關于的方程有3個不同實根，則的取值范圍是，故B正確；
令，得，
解得或，
若有5個零點，則或，解得，故C正確；
若有6個零點，則，該不等式組的解集為空集，所以最多有5個零點.
故選：BC.
【點睛】關鍵點睛：本題CD選項的關鍵是由，得到或，進一步通過數(shù)形結合即可順利得解.
第Ⅱ卷（非選擇題共90分）
注意事項：
（1）非選擇題的答案必須用0.5毫米黑色簽字筆直接答在答題卡上，作圖題可先用鉛筆繪出，確認后再用0.5毫米黑色簽字筆描清楚，答在試題卷和草稿紙上無效．
（2）本部分共10個小題，共90分．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. ______．
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)和對數(shù)的運算性質計算即可．
【詳解】原式
故答案為：．
14. 已知圓心角為2的扇形，其弧長為5，則扇形的面積為___________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意，結合扇形的弧長和面積公式，準確運算，即可求解.
【詳解】設扇形所在圓的半徑為，
因為扇形的圓心角為且弧長為，可得，解得，
所以扇形的面積為.
故答案為：.
15. 已知是第二象限角，其終邊上一點，且，則x的值為______.
【答案】
【解析】
【分析】直接根據(jù)三角函數(shù)定義得到，根據(jù)是第二象限角得到答案.
【詳解】由終邊上一點，得，解得，
是第二象限角，所以x的值為.
故答案：.
【點睛】本題考查根據(jù)三角函數(shù)定義求參數(shù)，意在考查學生計算能力.
16. 已知，且，則的最小值為______.
【答案】17
【解析】
【分析】由題得，再利用基本不等式求函數(shù)的最小值.
【詳解】，
當且僅當，即，亦即時，等號成立.
所以函數(shù)的最小值為17.
故答案為17
【點睛】本題主要考查基本不等式求最值，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和計算能力.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
17. 已知是第二象限角，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關系求解即可；
（2）根據(jù)誘導公式和同角三角函數(shù)的基本關系求解即可.
【小問1詳解】
因為，所以，
因為，所以，
因為是第二象限角，所以，
則.
【小問2詳解】
.
18. 已知集合，，定義兩個集合P，Q的差運算：．
（1）當時，求與；
（2）若“”是“”的必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】（1），．
（2）
【解析】
【分析】（1）用集合的新定義求解即可；
（2）由“”是“”的必要條件得到，再利用范圍求出即可.
【小問1詳解】
，
當時，，
所以，
．
【小問2詳解】
因為“”是“”的必要條件，
所以，
故，
解得，
即實數(shù)a的取值范圍是．
19. 已知是定義在上的奇函數(shù)，且時有．
（1）寫出函數(shù)的單調區(qū)間（不要證明）；
（2）解不等式；
（3）求函數(shù)在,上的最大值和最小值．
【答案】（1）單調遞增區(qū)間為,,,，遞減區(qū)間為,
（2）
（3）答案見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式結合函數(shù)的奇偶性可得的單調區(qū)間；
（2）根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性可得函數(shù)的解析式，則有或，解可得不等式的解集，即可得答案；
（3）由函數(shù)的解析式可得在區(qū)間上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，在為增函數(shù)；對的值進行分情況討論，求出函數(shù)的最值，即可得答案
【小問1詳解】
根據(jù)題意，是定義在上的奇函數(shù)，且時有；
則的單調遞增區(qū)間為,,,，遞減區(qū)間為,；
【小問2詳解】
是定義在上的奇函數(shù)，且時有，
設，則，
則，
則，
綜合可得：，
若或，
解可得：或，
則不等式的解集為
【小問3詳解】
由（2）的結論，，在區(qū)間上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，在為增函數(shù)；
對于區(qū)間，，必有，解可得；
故當時，，，
當，時，，（2），
當時，，，
20. 交通運輸部數(shù)據(jù)顯示，2023年中秋國慶假期（9月29日至10月6日）期間，營業(yè)性旅客運輸人數(shù)累計4.58億人次.游客旅游熱情高漲，全國各類景區(qū)景點非?；鸨?據(jù)統(tǒng)計，某景區(qū)平時日均接納旅客1萬人次，門票是120元/人，中秋國慶期間日均接客量是平時的4倍.為進一步提升中秋國慶期間的旅游門票營業(yè)額，該景區(qū)作了深度的市場調查，發(fā)現(xiàn)當門票每便宜10元時，旅游日均人數(shù)可增加m萬人（便宜幅度是10元一檔，但優(yōu)惠后的最終門票價格不低于80元）．
（1）當時，要使該景區(qū)降價后的門票日均營業(yè)額不低于495萬元，則該景區(qū)可以如何確定門票價格？
（2）當m在區(qū)間上變化時，總能使得門票日均營業(yè)額不低于520萬元，則該景區(qū)應如何確定門票價格？
【答案】（1）元，元，元.
（2）元，元.
【解析】
【分析】根據(jù)題意列出景區(qū)營業(yè)額和景區(qū)門票的關系，再通過解不等式得出答案.
【小問1詳解】
設景區(qū)降價后的門票日均營業(yè)額為萬元，景區(qū)門票價格下降了元，
因為優(yōu)惠后的最終門票價格不低于80元，所以，即，
由題意得，
當時，要使該景區(qū)降價后的門票日均營業(yè)額不低于495萬元，
則，即，
即，解得，
又因為，所以，，
所以景區(qū)門票價格可以為元，元，元.
【小問2詳解】
由（1）知，
，
因為，
所以當m在區(qū)間上變化時，總能使得門票日均營業(yè)額不低于520萬元，
只要時門票日均營業(yè)額不低于520萬元即可，
即，
即，
即，解得，
又因為，所以，，
所以景區(qū)門票價格可以為元，元.
21. 已知函數(shù)的定義域為，，，且在區(qū)間上單調遞減．
（1）求證：；
（2）求值；
（3）當時，求不等式的解集．
【答案】21. 證明見解析
22.
23.
【解析】
【分析】（1）借助賦值法令即可得；
（2）借助賦值法可得為周期為的周期函數(shù)、并可計算出、、、，結合周期性即可得.
（3）借助賦值法令，可將原不等式轉化為，解出可得的范圍，結合函數(shù)性質即可得.
【小問1詳解】
令，則有，
由，故；
【小問2詳解】
令，則有，
則，即，
故，即，
則，即，
故，即有，
故函數(shù)為周期為的周期函數(shù)，
令、，則有，即，
令、，則有，即，
由，故，
，，，
故
.
【小問3詳解】
令，則有，
即，
則，
即可化為，
即解，即，
即，
由、，且在區(qū)間上單調遞減，
故是該不等式的解，
又，即，
故在區(qū)間上單調遞增，
又、，故是該不等式的解，
又函數(shù)為周期為的周期函數(shù)，
故該不等式的解集為.
【點睛】關鍵點睛：本題最后一問關鍵在于正確使用賦值法，將轉化為，從而將原不等式轉化為.
22. 己知函數(shù)．
（1）判斷的奇偶性；
（2）己知，都有，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】（1）偶函數(shù)（2）或.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進行判斷，即可得答案；
（2）化簡，利用換元法，令，將化為，結合函數(shù)單調性求得其最小值，進而將不等式恒成立問題化為恒成立，繼而可得恒成立或恒成立，結合二次函數(shù)知識，即可求解.
【小問1詳解】
由題意知函數(shù)的定義域為R，
故，
故為偶函數(shù)；
【小問2詳解】
由于
，
令，則，當且僅當，即時取等號，
故，即為，，
由于在上單調遞增，故的最小值為，
即的最小值為；
由于，都有，
故只需，即，恒成立，
令，則恒成立，
即恒成立或恒成立，
而，當時取到最大值；
恒成立，
故或.

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