1．（4分）已知平面α∥平面β，直線a?α，直線b?β，則a與b的位置關(guān)系是（ ）
A．平行B．平行或異面
C．異面D．異面或相交
2．（4分）空間中點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3，﹣1，0），若向量，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是（ ）
A．（1，﹣6，3）B．（﹣1，6，﹣3）C．（5，4，﹣3）D．（2，5，﹣3）
3．（4分）一個(gè)水平放置的平面圖形△OAB用斜二測(cè)畫法作出的直觀圖是如圖所示的等腰直角△O′A′B′，其中A′B′＝，則平面圖形△OAB的面積為（ ）
A．B．C．D．
4．（4分）已知cs＜，＞＝﹣，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．若，分別是直線l1，l2的方向向量，則l1，l2所成角余弦值是
B．若，分別是直線l的方向向量與平面α的法向量，則l與α所成角正弦值是
C．若，分別是平面ABC，平面BCD的法向量，則二面角A﹣BC﹣D的余弦值是
D．若分別是直線l的方向向量與平面α的法向量，則l與α所成角余弦值是
5．（4分）一個(gè)三棱錐的各棱長(zhǎng)均相等，其內(nèi)部有一個(gè)內(nèi)切球，即球與三棱錐的各面均相切（球在三棱錐的內(nèi)部，且球與三棱錐的各面只有一個(gè)交點(diǎn)），過一條側(cè)棱和對(duì)邊的中點(diǎn)作三棱錐的截面，所得截面圖形是（ ）
A．B．
C．D．
6．（4分）如圖，平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，其中AB＝2，AD＝4，AA1＝3，且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，則線段AC1的長(zhǎng)為（ ）
A．9B．C．D．
7．（4分）如圖，已知大小為60°的二面角α﹣l﹣β棱上有兩點(diǎn)A，B，AC?α，AC⊥l，BD?β，BD⊥l，若AC＝3，BD＝3，CD＝7，則AB的長(zhǎng)為（ ）
A．22B．40C．D．
8．（4分）魯班鎖是中國(guó)傳統(tǒng)的智力玩具，起源于中國(guó)古代建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)，它的外觀是如圖所示的十字立方體，其上下、左右、前后完全對(duì)稱，六根完全一樣的正四棱柱體分成三組，經(jīng)90°榫卯起來(lái)．若正四棱柱的高為6，底面正方形的邊長(zhǎng)為1，現(xiàn)將該魯班鎖放進(jìn)一個(gè)球形容器（容器壁的厚度忽略不計(jì)），則該球形容器表面積的最小值為（ ）
A．44πB．43πC．42πD．41π
9．（4分）如圖，ABCD﹣A1B1C1D1是棱長(zhǎng)為4的正方體，P﹣QRH是棱長(zhǎng)為4的正四面體，底面ABCD與底面QRH在同一個(gè)平面內(nèi)，且BC∥QH，則正方體中過AD且與平面PHQ平行的截面面積是（ ）
A．B．C．D．
10．（4分）《九章算術(shù)?商功》中有這樣一段話：“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽(yáng)馬，一為鱉臑．陽(yáng)馬居二，鱉臑居一，不易之率也．意思是：如圖，沿正方體對(duì)角面A1B1CD截正方體可得兩個(gè)塹堵，再沿平面B1C1D截塹堵可得一個(gè)陽(yáng)馬（四棱錐D﹣A1B1C1D1），一個(gè)鱉臑（三棱錐D﹣B1C1C），若P為線段CD上一動(dòng)點(diǎn)，平面α過點(diǎn)P，CD⊥平面α，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，PD＝x，α與圖中的鱉臑截面面積為S，則點(diǎn)P從點(diǎn)D移動(dòng)到點(diǎn)C的過程中，S關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分.請(qǐng)把結(jié)果填在答題紙上的相應(yīng)位置.）
11．（5分）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則＝ ．
12．（5分）已知一個(gè)圓錐的軸截面為邊長(zhǎng)為2的正三角形，則此圓錐的表面積為 ．
13．（5分）平面與平面垂直的判定定理符號(hào)語(yǔ)言為： ．
14．（5分）在移動(dòng)通信中，總是有很多用戶希望能夠同享一個(gè)發(fā)射媒介，進(jìn)行無(wú)線通信，這種通信方式稱為多址通信．多址通信的理論基礎(chǔ)是若用戶之間的信號(hào)可以做到正交，這些用戶就可以同享一個(gè)發(fā)射媒介．在n維空間中，正交的定義是兩個(gè)n維向量＝（x1，x2，?，xn），＝（y1，y2?，yn）滿足x1y1+x2y2+…+xnyn＝0．已知某通信方式中用戶的信號(hào)是4維非零向量，有四個(gè)用戶同享一個(gè)發(fā)射媒介，已知前三個(gè)用戶的信號(hào)向量為（0，0，0，1），（0，0，1，0），，寫出一個(gè)滿足條件的第四個(gè)用戶的信號(hào)向量 ．
15．（5分）一個(gè)三棱錐的三個(gè)側(cè)面中有一個(gè)是邊長(zhǎng)為2的正三角形，另兩個(gè)是等腰直角三角形，則該三棱錐的體積可能為 ．
三、解答題（本大題共3小題，共35分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明過程或演算步驟，請(qǐng)將答案寫在答題紙上的相應(yīng)位置.）
16．（10分）已知空間直角坐標(biāo)系中四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：A（1，1，1），B（1，2，3），C（4，5，6），D（7，8，x）．
（1）求；
（2）若，求x的值；
（3）若D點(diǎn)在平面ABC上，直接寫出x的值．
17．（12分）如圖所示，在四棱錐P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，BC＝AD，E是PD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：BC∥AD；
（Ⅱ）求證：CE∥平面PAB；
（Ⅲ）若M是線段CE上一動(dòng)點(diǎn)，則線段AD上是否存在點(diǎn)N，使MN∥平面PAB？說(shuō)明理由．
18．（13分）如圖所示，已知四棱錐E﹣ABCD中，ABCD是直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，平面EAB⊥平面ABCD，AB＝BC＝BE＝6，AD＝3，．
（Ⅰ）證明：EB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求B到平面ADE的距離；
（Ⅲ）求二面角A﹣DE﹣C的余弦值．
四、選擇題（共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確答案填涂在答題紙上的相應(yīng)位置.）
19．（5分）關(guān)于空間中的角，下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
①空間中兩條直線所成角的取值范圍是
②空間中直線與平面所成角的取值范圍是
③空間中二面角的平面角的取值范圍是
④空間中平面與平面所成角的取值范圍是
A．1B．2C．3D．4
20．（5分）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊BC，AD的中點(diǎn)，將△ABF沿BF所在直線進(jìn)行翻折，將△CDE沿DE所在直線進(jìn)行翻折，在翻折的過程中，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．點(diǎn)A與點(diǎn)C在某一位置可能重合
B．點(diǎn)A與點(diǎn)C的最大距離為
C．直線AB與直線DE可能垂直
D．直線AF與直線CE可能垂直
21．（5分）在正方體ABCD﹣A′B′C′D′中，P為棱AA′上一動(dòng)點(diǎn)，Q為底面ABCD上一動(dòng)點(diǎn)，M是PQ的中點(diǎn)，若點(diǎn)P，Q都運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M構(gòu)成的點(diǎn)集是一個(gè)空間幾何體，則這個(gè)幾何體是（ ）
A．棱柱B．棱臺(tái)
C．棱錐D．球的一部分
22．（5分）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P為線段A1C1的中點(diǎn)，Q為線段BC1上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．存在點(diǎn)Q，使得PQ∥BD
B．存在點(diǎn)Q，使得PQ⊥平面AB1C1D
C．三棱錐Q﹣APD的體積是定值
D．存在點(diǎn)Q，使得PQ與AD所成的角為
五、填空題（共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在答題紙上的相應(yīng)位置.）
23．（5分）如圖，在棱長(zhǎng)為2正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在正方體表面上移動(dòng)，且滿足B1P⊥D1E，則點(diǎn)B1和滿足條件的所有點(diǎn)P構(gòu)成的圖形的面積是 ．
24．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有側(cè)棱長(zhǎng)及底面邊長(zhǎng)都為2，D是CC1的中點(diǎn)，則直線AD與平面A1BD所成角的正弦值為 ．
25．（5分）點(diǎn)O是正四面體A1A2A3A4的外接球球心，|OAi|＝1（i＝1，2，3，4）．若，其中0≤λ1≤1（i＝1，2，3，4），則動(dòng)點(diǎn)P掃過的區(qū)域的體積為 ．
六、解答題（本小題15分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明過程或演算步驟，請(qǐng)將答案寫在答題紙上的相應(yīng)位置.）
26．（15分）已知自然數(shù)集A＝{1，2，3，?，n}（n∈N*），非空集合．若集合E滿足：對(duì)任意a∈A，存在ei，ej∈E（1≤i≤j≤m），使得a＝xei+yej，x，y∈{﹣1，0，1}，稱集合E為集合A的一組m元基底．
（1）分別判斷下列集合E是否為集合A的一組二元基底，并說(shuō)明理由：
①E＝{1，2}，A＝{1，2，3，4，5}；
②E＝{2，3}，A＝{1，2，3，4，5，6}．
（2）若集合E是集合A的一組m元基底，證明：n≤m（m+1）；
（3）若集合E為集合A＝{1，2，3，?，19}的一組m元基底，求m的最小值．
2023-2024學(xué)年北京市中國(guó)人民大學(xué)附中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確答案填涂在答題紙上的相應(yīng)位置.）
1．（4分）已知平面α∥平面β，直線a?α，直線b?β，則a與b的位置關(guān)系是（ ）
A．平行B．平行或異面
C．異面D．異面或相交
【分析】利用直線與平面的位置關(guān)系判斷即可．
【解答】解：因?yàn)槠矫姒痢纹矫姒?，直線a?α，直線b?β，
所以a與b沒有交點(diǎn)，即a與b可能平行，也可能異面．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間思維能力，是中檔題．
2．（4分）空間中點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3，﹣1，0），若向量，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是（ ）
A．（1，﹣6，3）B．（﹣1，6，﹣3）C．（5，4，﹣3）D．（2，5，﹣3）
【分析】直接利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出結(jié)果．
【解答】解：由于點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3，﹣1，0），若向量，
設(shè)B（x，y，z），故（x，y，z）﹣（3，﹣1，0）＝（2，5，﹣3），
整理得x＝5，y＝4，z＝﹣3；
故B（5，4，﹣3）．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：向量的坐標(biāo)運(yùn)算，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．
3．（4分）一個(gè)水平放置的平面圖形△OAB用斜二測(cè)畫法作出的直觀圖是如圖所示的等腰直角△O′A′B′，其中A′B′＝，則平面圖形△OAB的面積為（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)題意，求出直觀圖的面積，由原圖面積與直觀圖面積的關(guān)系，分析可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，在直觀圖等腰直角△O′A′B′，其中A′B′＝，則O′A′＝，
故其面積S′＝×A′B′×O′A′＝5，
故原圖平面圖形△OAB的面積S＝2S′＝10．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面圖形的直觀圖，涉及斜二測(cè)畫法，屬于基礎(chǔ)題．
4．（4分）已知cs＜，＞＝﹣，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．若，分別是直線l1，l2的方向向量，則l1，l2所成角余弦值是
B．若，分別是直線l的方向向量與平面α的法向量，則l與α所成角正弦值是
C．若，分別是平面ABC，平面BCD的法向量，則二面角A﹣BC﹣D的余弦值是
D．若分別是直線l的方向向量與平面α的法向量，則l與α所成角余弦值是
【分析】根據(jù)向量法逐一判斷即可．
【解答】解：對(duì)于A：因?yàn)橹本€與直線所成角范圍為，
所以l1，l2所成角余弦值為|cs＜，＞|＝，故A正確；
對(duì)于B：因?yàn)橹本€與平面所成角范圍為，
所以l與α所成角的正弦值，
l與α所成角的余弦值為，故B、D正確；
對(duì)于C：因?yàn)槎娼堑钠矫娼撬山欠秶鸀閇0，π），
所以二面角A﹣BC﹣D的余弦值可能為負(fù)值，故C錯(cuò)誤．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量判斷線線角、線面角、二面角，屬中檔題．
5．（4分）一個(gè)三棱錐的各棱長(zhǎng)均相等，其內(nèi)部有一個(gè)內(nèi)切球，即球與三棱錐的各面均相切（球在三棱錐的內(nèi)部，且球與三棱錐的各面只有一個(gè)交點(diǎn)），過一條側(cè)棱和對(duì)邊的中點(diǎn)作三棱錐的截面，所得截面圖形是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)題意，設(shè)三棱錐S﹣ABC的各棱長(zhǎng)均相等，作出經(jīng)過側(cè)棱SC與AB中點(diǎn)D的截面，得到截面△SCD，平面SCD截內(nèi)切圓于圓O，由正四面體的性質(zhì)與圖形的對(duì)稱性質(zhì)加以分析，可知圓O與SD、CD相切而與SC相離．由此對(duì)照各個(gè)選項(xiàng)，即可得到本題答案．
【解答】解：如圖所示，設(shè)三棱錐S﹣ABC的各棱長(zhǎng)均相等，球O是它的內(nèi)切球，
設(shè)H為底面△ABC的中心，根據(jù)對(duì)稱性可得內(nèi)切球的球心0在三棱錐的高SH上，
由SC、SH確定的平面交AB于D，連結(jié)SD、CD，得到截面△SCD，
截面SCD就是經(jīng)過側(cè)棱SC與AB中點(diǎn)的截面．
平面SCD與內(nèi)切球相交，截得球大圓如圖所示．
∵△SCD中，圓O分別與SD、CD相切于點(diǎn)E、H，且SD＝CD，圓O與SC相離，
∴對(duì)照各個(gè)選項(xiàng)，可得只有B項(xiàng)的截面圖形符合題意．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題給出正四面體的內(nèi)切球，經(jīng)過一條側(cè)棱與對(duì)棱中點(diǎn)的截面與內(nèi)切球相交，求所得的截面的形狀．著重考查了正四面體的性質(zhì)、球的性質(zhì)、球與多面體的內(nèi)接外切等知識(shí)，屬于中檔題．
6．（4分）如圖，平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，其中AB＝2，AD＝4，AA1＝3，且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，則線段AC1的長(zhǎng)為（ ）
A．9B．C．D．
【分析】由，兩邊平方，利用勾股定理以及數(shù)量積的定義求出的值，進(jìn)而可得答案．
【解答】解：由，
得到，
因?yàn)榈酌鍭BCD是矩形，AB＝2，AD＝4，AA1＝3，
所以，，
因?yàn)椤螦1AB＝∠A1AD＝60°，
所以，
所以，
．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間中點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，屬于中檔題．
7．（4分）如圖，已知大小為60°的二面角α﹣l﹣β棱上有兩點(diǎn)A，B，AC?α，AC⊥l，BD?β，BD⊥l，若AC＝3，BD＝3，CD＝7，則AB的長(zhǎng)為（ ）
A．22B．40C．D．
【分析】過A作AE∥BD且AE＝BD，連接CE，DE，易得∠CAE＝60°，通過線面垂直的判定定理可得ED⊥平面AEC，繼而得到ED⊥EC，由勾股定理即可求出答案．
【解答】解：過A作AE∥BD且AE＝BD，連接CE，DE，
則四邊形ABDE是平行四邊形，因?yàn)锽D⊥AB，
所以平行四邊形ABDE是矩形，
因?yàn)锽D⊥l，即AE⊥l，而AC⊥l，
則∠CAE是二面角α﹣l﹣β的平面角，即∠CAE＝60°，
因?yàn)锽D＝AE＝AC＝3，即△ACE為正三角形，所以CE＝3，
因?yàn)镋D⊥AE，l⊥AC，即ED⊥AC，
AE∩AC＝A，AE，AC?平面AEC，
所以ED⊥平面AEC，
因?yàn)镋C?平面AEC，所以ED⊥EC，
所以在Rt△EDC中，，
所以．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間距離求法，考查二面角的平面角，屬中檔題．
8．（4分）魯班鎖是中國(guó)傳統(tǒng)的智力玩具，起源于中國(guó)古代建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)，它的外觀是如圖所示的十字立方體，其上下、左右、前后完全對(duì)稱，六根完全一樣的正四棱柱體分成三組，經(jīng)90°榫卯起來(lái)．若正四棱柱的高為6，底面正方形的邊長(zhǎng)為1，現(xiàn)將該魯班鎖放進(jìn)一個(gè)球形容器（容器壁的厚度忽略不計(jì)），則該球形容器表面積的最小值為（ ）
A．44πB．43πC．42πD．41π
【分析】由題意，該球形容器的半徑的最小值為：，即可求出該球形容器的表面積的最小值．
【解答】解：由題意，該球形容器的半徑的最小值為并在一起的兩個(gè)長(zhǎng)方體體對(duì)角線的一半，
即為×＝，
∴該球形容器表面積的最小值為：4＝41π．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查正棱柱的外接球的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是基礎(chǔ)題．
9．（4分）如圖，ABCD﹣A1B1C1D1是棱長(zhǎng)為4的正方體，P﹣QRH是棱長(zhǎng)為4的正四面體，底面ABCD與底面QRH在同一個(gè)平面內(nèi)，且BC∥QH，則正方體中過AD且與平面PHQ平行的截面面積是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理確定截面的形狀，再根據(jù)正四面體的性質(zhì)和等角定理確定E、F的具體位置，AE的長(zhǎng)度，從而求出截面面積．
【解答】解：設(shè)截面與A1B1，C1D1分別相交于E，F(xiàn)，則EF∥AD，
過點(diǎn)P作平面QRH的垂線，垂足為O，則O是底面QRH的中心，
設(shè)OR∩HQ＝G，則∠EAB＝∠PGO，
又因?yàn)镽G＝4×sin60°＝2，所以RO＝2OG＝，
所以PO＝＝，
所以sin∠EAB＝sin∠PGO＝＝＝，
所以＝，解得EA＝3，
所以四邊形AEFD的面積為S＝4×3＝12．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正棱錐的平行關(guān)系與等角定理的應(yīng)用問題，也考查了運(yùn)算求解能力，是中檔題．
10．（4分）《九章算術(shù)?商功》中有這樣一段話：“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽(yáng)馬，一為鱉臑．陽(yáng)馬居二，鱉臑居一，不易之率也．意思是：如圖，沿正方體對(duì)角面A1B1CD截正方體可得兩個(gè)塹堵，再沿平面B1C1D截塹堵可得一個(gè)陽(yáng)馬（四棱錐D﹣A1B1C1D1），一個(gè)鱉臑（三棱錐D﹣B1C1C），若P為線段CD上一動(dòng)點(diǎn)，平面α過點(diǎn)P，CD⊥平面α，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，PD＝x，α與圖中的鱉臑截面面積為S，則點(diǎn)P從點(diǎn)D移動(dòng)到點(diǎn)C的過程中，S關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由題意畫出截面圖，證明平面α截三棱錐D﹣B1C1C所得截面為等腰直角三角形，求其面積關(guān)于x的關(guān)系式，則答案可求．
【解答】解：如圖，
設(shè)α∩DC1＝N，α∩DB1＝M，
∵CD⊥α，∴CD⊥PN，則△DPN為等腰直角三角形，則PN＝x，
，
∵B1C1⊥平面DCC1，∴B1C1⊥DC1，
∵DC⊥平面PMN，DC⊥平面B1C1C，∴平面PMN∥平面CB1C1，
而平面DC1B1∩平面PMN＝MN，平面DC1B1∩平面CB1C1＝C1B1，
∴MN∥B1C1，可得MN⊥DC1，則
由DP＝PN＝x，得DN＝，∴，
即MN＝，
∴S＝（0≤x≤1）．
則S關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是B．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，考查空間想象能力與思維能力，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．
二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分.請(qǐng)把結(jié)果填在答題紙上的相應(yīng)位置.）
11．（5分）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則＝ ．
【分析】根據(jù)向量數(shù)量積以及模長(zhǎng)公式即可求解．
【解答】解：由題意可知，
∴＝2×＝4，
故||＝＝＝2．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了向量數(shù)量積的性質(zhì)及性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
12．（5分）已知一個(gè)圓錐的軸截面為邊長(zhǎng)為2的正三角形，則此圓錐的表面積為 3π ．
【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)、圓錐的表面積計(jì)算公式即可得出．
【解答】解：一個(gè)圓錐的軸截面為邊長(zhǎng)為2的正三角形，
可得：底面半徑r＝1，母線長(zhǎng)為2．
∴此圓錐的表面積＝π×12+＝3π．
故答案為：3π．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、圓錐的表面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
13．（5分）平面與平面垂直的判定定理符號(hào)語(yǔ)言為： a?α，a⊥β?α⊥β（答案不唯一） ．
【分析】根據(jù)“平面與平面垂直的判定定理”寫出正確答案．
【解答】解：平面與平面垂直的判定定理：a?α，a⊥β?α⊥β．
故答案為：a?α，a⊥β?α⊥β（答案不唯一）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查面面垂直的判定定理的符號(hào)語(yǔ)言，屬基礎(chǔ)題．
14．（5分）在移動(dòng)通信中，總是有很多用戶希望能夠同享一個(gè)發(fā)射媒介，進(jìn)行無(wú)線通信，這種通信方式稱為多址通信．多址通信的理論基礎(chǔ)是若用戶之間的信號(hào)可以做到正交，這些用戶就可以同享一個(gè)發(fā)射媒介．在n維空間中，正交的定義是兩個(gè)n維向量＝（x1，x2，?，xn），＝（y1，y2?，yn）滿足x1y1+x2y2+…+xnyn＝0．已知某通信方式中用戶的信號(hào)是4維非零向量，有四個(gè)用戶同享一個(gè)發(fā)射媒介，已知前三個(gè)用戶的信號(hào)向量為（0，0，0，1），（0，0，1，0），，寫出一個(gè)滿足條件的第四個(gè)用戶的信號(hào)向量 （1，1，0，0）．（答案不唯一，形如（a，a，0，0）都可以） ．
【分析】根據(jù)新定義計(jì)算即可．
【解答】解：設(shè)第四個(gè)用戶的信號(hào)向量為（x1，x2，x3，x4），
根據(jù)已知有?（x1，x2，x3，x4）＝0，
則?x1﹣?x2+0?x3+0?x4＝0，所以x1＝x2，
又（0，0，0，1）?（x1，x2，x3，x4）＝0，則x4＝0，
（0，0，1，0）?（x1，x2，x3，x4）＝0，則x3＝0，
則第四個(gè)用戶的信號(hào)向量可表示為（a，a，0，0）．
故答案為：（1，1，0，0）．（答案不唯一，形如（a，a，0，0）都可以）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查新定義運(yùn)算，考查向量的計(jì)算，屬于中檔題．
15．（5分）一個(gè)三棱錐的三個(gè)側(cè)面中有一個(gè)是邊長(zhǎng)為2的正三角形，另兩個(gè)是等腰直角三角形，則該三棱錐的體積可能為 或或 ．
【分析】根據(jù)題意分類作出滿足條件的三棱錐，再由棱錐體積公式求解．
【解答】解：如圖所示：
①若AB⊥平面BCD，△BCD為邊長(zhǎng)為2的正三角形，AB＝2，△ABD，△ABC都是等腰直角三角形，滿足題目條件，故其體積為V＝×2××2×2×sin60°＝；
②若AB⊥平面BCD，△ACD為是邊長(zhǎng)為2的正三角形，AB＝，△ABD，△ABC都是等腰直角三角形，滿足題目條件，故其體積為V＝××××＝；
③若△BCD為邊長(zhǎng)為2的正三角形，△ABD，△ABC都是等腰直角三角形，AB＝BC＝CD＝AD＝2，AC＝2，滿足題目條件，取AC中點(diǎn)E，∵BE⊥AC，而BE2+DE2＝BD2，∴BE⊥DE，即有BE⊥平面ACD，
故其體積為V＝×××2×2＝．
∴該三棱錐的體積可能為或或．
故答案為：或或．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三棱錐的體積計(jì)算，考查分類討論思想，屬于中檔題．
三、解答題（本大題共3小題，共35分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明過程或演算步驟，請(qǐng)將答案寫在答題紙上的相應(yīng)位置.）
16．（10分）已知空間直角坐標(biāo)系中四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：A（1，1，1），B（1，2，3），C（4，5，6），D（7，8，x）．
（1）求；
（2）若，求x的值；
（3）若D點(diǎn)在平面ABC上，直接寫出x的值．
【分析】（1）根據(jù)空間向量的模求得正確答案．
（2）根據(jù)向量垂直列方程，化簡(jiǎn)求得x的值．
（3）根據(jù)向量共面列方程，從而求得x的值．
【解答】解：（1）．
（2），
由于，所以，
解得．
（3），
設(shè)，即（6，7，x﹣1）＝（0，a，2a）+（3b，4b，5b）＝（3b，a+4b，2a+5b），
所以，解得a＝﹣1，b＝2，x＝9．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間中點(diǎn)的坐標(biāo)，屬于基礎(chǔ)題．
17．（12分）如圖所示，在四棱錐P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，BC＝AD，E是PD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：BC∥AD；
（Ⅱ）求證：CE∥平面PAB；
（Ⅲ）若M是線段CE上一動(dòng)點(diǎn)，則線段AD上是否存在點(diǎn)N，使MN∥平面PAB？說(shuō)明理由．
【分析】（Ⅰ）根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理即可證明；
（Ⅱ）取PA的中點(diǎn)F，連接EF，BF，利用中位線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，以及線面平行的判斷定理即可證明；
（Ⅲ）取AD中點(diǎn)N，連接CN，EN，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理和判斷定理即可證明．
【解答】證明：（Ⅰ）在四棱錐P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，BC?平面ABCD，
平面ABCD∩平面PAD＝AD，
∴BC∥AD，
（Ⅱ）取PA的中點(diǎn)F，連接EF，BF，
∵E是PD的中點(diǎn)，
∴EF∥AD，EF＝AD，
又由（Ⅰ）可得BC∥AD，BC＝AD，
∴BC∥EF，BC＝EF，
∴四邊形BCEF是平行四邊形，
∴CE∥BF，
∵CE?平面PAB，BF?平面PAB，
∴CE∥平面PAB．
（Ⅲ）取AD中點(diǎn)N，連接CN，EN，
∵E，N分別為PD，AD的中點(diǎn)，
∴EN∥PA，
∵EN?平面PAB，PA?平面PAB，
∴EN∥平面PAB，
又由（Ⅱ）可得CE∥平面PAB，CE∩EN＝E，
∴平面CEN∥平面PAB，
∵M(jìn)是CE上的動(dòng)點(diǎn)，MN?平面CEN，
∴MN∥平面PAB，
∴線段AD存在點(diǎn)N，使得MN∥平面PAB．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行、線線平行的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理能力，是中檔題．
18．（13分）如圖所示，已知四棱錐E﹣ABCD中，ABCD是直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，平面EAB⊥平面ABCD，AB＝BC＝BE＝6，AD＝3，．
（Ⅰ）證明：EB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求B到平面ADE的距離；
（Ⅲ）求二面角A﹣DE﹣C的余弦值．
【分析】（1）通過證明BE⊥AB，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理，證得BE⊥平面ABCD；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得B到平面ADE的距離；
（3）利用向量法求得二面角A﹣DE﹣C的余弦值．
【解答】（1）證明：由于AB2+BE2＝AE2，所以BE⊥AB，
由于平面EAB⊥平面ABCD，且交線為AB，BE?平面EAB，
所以BE⊥平面ABCD；
（2）解：由于BC?平面ABCD，所以BE⊥BC，所以BC，BA，BE兩兩相互垂直，
由此建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則C（6，0，0），A（0，6，0），E（0，0，6），D（3，6，0），
故，，
設(shè)平面ADE的法向量為，
則，令y＝1，可得，
又＝（0，6，0），
所以B到平面ADE的距離為；
（3）解：由（2）得平面ADE的法向量為＝（0，1，1），
而＝（﹣3，6，0），，
設(shè)平面CDE的法向量為，
則，令a＝2，可得b＝1，c＝2，
故可得＝（2，1，2），
由圖可知二面角A﹣DE﹣C為鈍角，設(shè)為θ，
則＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查面面垂直的性質(zhì)定理，考查點(diǎn)到平面的距離，考查二面角的余弦值求法，屬中檔題．
四、選擇題（共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確答案填涂在答題紙上的相應(yīng)位置.）
19．（5分）關(guān)于空間中的角，下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
①空間中兩條直線所成角的取值范圍是
②空間中直線與平面所成角的取值范圍是
③空間中二面角的平面角的取值范圍是
④空間中平面與平面所成角的取值范圍是
A．1B．2C．3D．4
【分析】由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面所成角范圍判斷即可．
【解答】解：對(duì)于①：由空間中兩條直線所成角的取值范圍是，可知①正確；
對(duì)于②：由空間中直線與平面所成角的取值范圍是，可知②正確；
對(duì)于③：空間中二面角的平面角的取值范圍是[0，π]，可知③錯(cuò)誤；
對(duì)于④：空間中平面與平面所成角的取值范圍是，可知④正確．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面所成角范圍，屬于中檔題．
20．（5分）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊BC，AD的中點(diǎn)，將△ABF沿BF所在直線進(jìn)行翻折，將△CDE沿DE所在直線進(jìn)行翻折，在翻折的過程中，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．點(diǎn)A與點(diǎn)C在某一位置可能重合
B．點(diǎn)A與點(diǎn)C的最大距離為
C．直線AB與直線DE可能垂直
D．直線AF與直線CE可能垂直
【分析】在翻折的過程中，分析點(diǎn)A，C及直線AB，AF與CE，CD的運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)點(diǎn)與點(diǎn)的位置關(guān)系及線與線的位置關(guān)系分析能求出結(jié)果．
【解答】解：由題意，在翻折的過程中，A，C的運(yùn)動(dòng)軌跡分別是兩個(gè)平行的圓，不能重合，故A錯(cuò)誤；
點(diǎn)A與點(diǎn)C的最大距離為正方形的對(duì)角線AC＝AB，故B錯(cuò)誤；
∵△ABF與△CDE全等，把△CDE平移使得DC與AB重合，如圖，
△ABF繞BF旋轉(zhuǎn)形成兩個(gè)公用底面的圓錐，AB，CD是稍大的圓錐的母線，
∵∠ABF小于45°，
∴AB，CD的最大夾角為銳角，不可能垂直，故C錯(cuò)誤，
同理得∠AFB大于45°，∴AF和CE可能垂直，故D正確．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查翻折問題、點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡、空間中線線間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．
21．（5分）在正方體ABCD﹣A′B′C′D′中，P為棱AA′上一動(dòng)點(diǎn)，Q為底面ABCD上一動(dòng)點(diǎn)，M是PQ的中點(diǎn)，若點(diǎn)P，Q都運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M構(gòu)成的點(diǎn)集是一個(gè)空間幾何體，則這個(gè)幾何體是（ ）
A．棱柱B．棱臺(tái)
C．棱錐D．球的一部分
【分析】分別取P、Q為特殊位置，得到M的部分軌跡，然后靠空間想象得到M點(diǎn)的其它位置，得到點(diǎn)M構(gòu)成的點(diǎn)集是一個(gè)棱柱體．
【解答】解：由題意知，當(dāng)P在A′處，Q在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，M的軌跡為過AA′的中點(diǎn)，在平面AA′B′B內(nèi)平行于AB的線段（靠近AA′），當(dāng)P在A′處，Q在AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，M的軌跡為過AA′的中點(diǎn)，在平面AA′D′D內(nèi)平行于AD的線段（靠近AA′），
當(dāng)Q在B處，P在AA′上運(yùn)動(dòng)時(shí)，M的軌跡為過AB的中點(diǎn)，在平面AA′B′B內(nèi)平行于AA′的線段（靠近AB），
當(dāng)Q在D處，P在AA′上運(yùn)動(dòng)時(shí)，M的軌跡為過AD的中點(diǎn)，在平面AA′B′B內(nèi)平行于AA′的線段（靠近AD），
當(dāng)P在A處，Q在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，M的軌跡為過AB的中點(diǎn)，在平面ABCD內(nèi)平行于AD的線段（靠近AB），
當(dāng)P在A處，Q在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，M的軌跡為過AD的中點(diǎn)，在平面ABCD內(nèi)平行于AB的線段（靠近AB），
同理得到：P在A′處，Q在BC上運(yùn)動(dòng)；P在A′處，Q在CD上運(yùn)動(dòng)；P在A′處，Q在C處，P在AA′上運(yùn)動(dòng)；
P、Q都在AB，AD，AA′上運(yùn)動(dòng)的軌跡．進(jìn)一步分析其它情形即可得到M的軌跡為棱柱體．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軌跡方程問題，考查了學(xué)生的空間想象能力和思維能力，是中檔題．
22．（5分）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P為線段A1C1的中點(diǎn)，Q為線段BC1上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．存在點(diǎn)Q，使得PQ∥BD
B．存在點(diǎn)Q，使得PQ⊥平面AB1C1D
C．三棱錐Q﹣APD的體積是定值
D．存在點(diǎn)Q，使得PQ與AD所成的角為
【分析】對(duì)A由BD∥B1D1、B1D1∩PQ＝P即可判斷；對(duì)B若Q為BC1中點(diǎn)，根據(jù)正方體、線面的性質(zhì)及判定即可判斷；對(duì)C只需求證BC1與面APD是否平行；對(duì)D利用空間向量求直線夾角的范圍即可判斷．
【解答】解：對(duì)于A：正方體中BD∥B1D1，而P為線段A1C1的中點(diǎn)，即為B1D1的中點(diǎn)，
所以B1D1∩PQ＝P，故BD，PQ不可能平行，所以A錯(cuò)；
對(duì)于B：若Q為BC1中點(diǎn)，則PQ∥A1B，而A1B⊥AB1，故PQ⊥AB1，
又AD⊥面ABB1A1，A1B?面ABB1A1，則A1B⊥AD，故PQ⊥AD，
AB1∩AD＝A，AB1，AD?面AB1C1D，則PQ⊥面AB1C1D，
所以存在Q使得PQ⊥平面AB1C1D，所以B對(duì)；
對(duì)于C：由正方體性質(zhì)知：BC1∥AD1，而AD1∩面APD＝A，故BC1與面APD不平行，
所以Q在線段BC1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，到面APD的距離不一定相等，
故三棱錐Q﹣APD的體積不是定值，所以C錯(cuò)；
對(duì)于D：構(gòu)建如下圖示空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，
則A（2，0，0），P（1，1，2），Q（2﹣a，2，a）且0≤a≤2，
所以，，設(shè)＜，＞＝θ，
則，
令t＝1﹣a∈[﹣1，1]，則，
當(dāng)t∈（0，1]，則，；
當(dāng)t＝0則csθ＝0；
當(dāng)t∈[﹣1，0），則，；
所以不在上述范圍內(nèi)，所以D錯(cuò)．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查線線平行的判斷，線面垂直的判定定理，三棱錐的體積，線線角的求解，屬中檔題．
五、填空題（共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在答題紙上的相應(yīng)位置.）
23．（5分）如圖，在棱長(zhǎng)為2正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在正方體表面上移動(dòng)，且滿足B1P⊥D1E，則點(diǎn)B1和滿足條件的所有點(diǎn)P構(gòu)成的圖形的面積是 ．
【分析】根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用B1P⊥D1E得出?＝0，得出x+2y﹣2z﹣2＝0，根據(jù)點(diǎn)P在正方體的表面上，討論z＝0與z＝1以及x＝0與x＝1和y＝0、y＝1時(shí)方程表示的圖形，再由向量法求解．
【解答】解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，DD1所在直線為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示；
則D1（0，0，2），E（1，2，0），B1（2，2，2），
設(shè)點(diǎn)P（x，y，z），則 ＝（x﹣2，y﹣2，z﹣2），＝（1，2，﹣2），
又B1P⊥D1E，∴?＝（x﹣2）+2（y﹣2）﹣2（z﹣2）＝0，
即x+2y﹣2z﹣2＝0．
又點(diǎn)P在正方體的表面上，
當(dāng)z＝0時(shí)，x+2y﹣2＝0，是線段AM，點(diǎn)M（0，1，0）；
當(dāng)z＝1時(shí)，x+2y﹣4＝0，是點(diǎn)B1（2，2，2）；
當(dāng)x＝0時(shí)，2y﹣2z﹣2＝0，是線段MN，點(diǎn)N（0，2，1）；
當(dāng)x＝1時(shí)，2y﹣2z﹣1＝0，是線段AB1；
當(dāng)y＝0時(shí)，x﹣2z﹣2＝0，是點(diǎn)A（2，0，0）；
當(dāng)y＝1時(shí)，x﹣2z＝0，是線段B1N．
如圖所示，點(diǎn)P的軌跡構(gòu)成的圖形是四邊形AB1NM．
∵M(jìn)N∥AB1，AB1＝2，MN＝＝，
A（2，0，0），M（0，1，0），B1（2，2，2），＝（﹣2，1，0），＝（0，2，2），
∴點(diǎn)M到AB1的距離d＝||?＝＝，
∴點(diǎn)B1和滿足條件的所有點(diǎn)P構(gòu)成的圖形的面積是：
＝＝．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了立體幾何中的軌跡問題，考查了分析問題與解決問題的能力，解題的關(guān)鍵建立空間直角坐標(biāo)系，確定點(diǎn)P所構(gòu)成的軌跡，是中檔題．
24．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有側(cè)棱長(zhǎng)及底面邊長(zhǎng)都為2，D是CC1的中點(diǎn)，則直線AD與平面A1BD所成角的正弦值為 ．
【分析】建立以A為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，可得和平面A1BD的一個(gè)法向量為，利用向量法，即可得出答案．
【解答】解：建立以A為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，如圖所示：
∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有側(cè)棱長(zhǎng)及底面邊長(zhǎng)都為2，
∴，
則，
設(shè)平面A1BD的法向量為，
則，取y＝1，則，
∴平面A1BD的法向量為，
設(shè)直線AD與平面A1BD所成的角為θ，
∴，
∴直線AD與平面A1BD所成的角的正弦值為．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面的夾角，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
25．（5分）點(diǎn)O是正四面體A1A2A3A4的外接球球心，|OAi|＝1（i＝1，2，3，4）．若，其中0≤λ1≤1（i＝1，2，3，4），則動(dòng)點(diǎn)P掃過的區(qū)域的體積為 ．
【分析】將正四面體A1A2A3A4放入正方體中，得到正方體的體對(duì)角線是2|OA1|，從而得到該正方體的棱長(zhǎng)，再根據(jù)條件得到P掃過的區(qū)域的體積即可．
【解答】解：如圖，作出正四面體A1A2A3A4，
將正四面體A1A2A3A4放入正方體中，如下圖所示：
則O是該正方體的中心，
設(shè)該正方體的棱長(zhǎng)為a，則a2+a2+a2＝1×2，解得：，
又，
則知P掃過的區(qū)域的邊界是以該正方體的六個(gè)面作延伸的六個(gè)全等的正方體的中心為頂點(diǎn)的正方體，其中兩個(gè)面如下圖所示：
可得動(dòng)點(diǎn)P掃過的區(qū)域的體積為該正方體體積的2倍，即動(dòng)點(diǎn)P掃過的區(qū)域的體積．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了動(dòng)點(diǎn)掃過的區(qū)域體積的計(jì)算，屬于中檔題．
六、解答題（本小題15分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明過程或演算步驟，請(qǐng)將答案寫在答題紙上的相應(yīng)位置.）
26．（15分）已知自然數(shù)集A＝{1，2，3，?，n}（n∈N*），非空集合．若集合E滿足：對(duì)任意a∈A，存在ei，ej∈E（1≤i≤j≤m），使得a＝xei+yej，x，y∈{﹣1，0，1}，稱集合E為集合A的一組m元基底．
（1）分別判斷下列集合E是否為集合A的一組二元基底，并說(shuō)明理由：
①E＝{1，2}，A＝{1，2，3，4，5}；
②E＝{2，3}，A＝{1，2，3，4，5，6}．
（2）若集合E是集合A的一組m元基底，證明：n≤m（m+1）；
（3）若集合E為集合A＝{1，2，3，?，19}的一組m元基底，求m的最小值．
【分析】（1）根據(jù)題干信息，利用二元基底的定義加以驗(yàn)證即可；
（2）首先設(shè)e1＜e2＜…＜em，計(jì)算出a＝xei+yej的各種情況下的正整數(shù)個(gè)數(shù)并求出它們的和，結(jié)合題意可得：，即可得證：n≤m（m+1）；
（3）由（2）可知m（m+1）≥19，所以m≥4，并且得到結(jié)論“基底中元素表示出的數(shù)最多重復(fù)一個(gè)”，再討論當(dāng)m＝4時(shí)，集合E的所有情況均不可能是A的4元基底，而當(dāng)m＝5時(shí)，A的一個(gè)基底E＝{1，3，5，9，16}，由此可得m的最小值為5．
【解答】解：（1）E＝{1，2}不是A＝{1，2，3，4，5}的一個(gè)二元基底
理由是4≠x?1+y?2（x，y∈{﹣1，0，1}）
E＝{2，3}是A＝{1，2，3，4，5，6}的一個(gè)二元基底
理由是1＝﹣1×2+1×3；2＝1×2+0×3；3＝0×2+1×3；
4＝1×2+1×2，5＝1×2+1×3，6＝1×3+1×3．
（2）證明：不妨設(shè)e1＜e2＜…＜em，則
形如1?ei+0?ej（1≤i＜j≤m）的正整數(shù)共有m個(gè)；
形如1?ei+1?ei（1≤i≤m）的正整數(shù)共有m個(gè)；
形如1?ei+1?ej（1≤i＜j≤m）的正整數(shù)至多有個(gè)；
形如（﹣1）ei+1?ej（1≤i＜j≤m）的正整數(shù)至多有個(gè)；
又集合A＝{1，2，3，…，n}含有n個(gè)不同的正整數(shù)，E為集合A的一個(gè)m元基底．
故，即m（m+1）≥n．
（3）由（2）可知m（m+1）≥19，所以m≥4．
當(dāng)m＝4時(shí)，m（m+1）﹣19＝1，即用基底中元素表示出的數(shù)最多重復(fù)一個(gè)．
假設(shè)E＝{e1，e2，e3，e4}為A＝{1，2，3，…，19}的一個(gè)4元基底，
不妨設(shè)e1＜e2＜e3＜e4，則e4≥10．
當(dāng)e4＝10時(shí)，有e3＝9，這時(shí)e2＝8或e2＝7．
如果e2＝8，則1＝10﹣9，1＝9﹣8，18＝9+9，18＝10+8，重復(fù)元素超出一個(gè)，不符合條件；
如果e2＝7，則e1＝6或e1＝5，易知E＝{6，7，9，10}和E＝{5，7，9，10}都不是A＝{1，2，3，…，19}的4元基底，不符合條件；
當(dāng)e4＝11時(shí)，有e3＝8，這時(shí)e2＝7，e1＝6，易知E＝{6，7，8，11}不是A＝{1，2，3，…，19}的4元基底，不符合條件；
當(dāng)e4＝12時(shí)，有e3＝7，這時(shí)e2＝6，e1＝5，易知E＝{5，6，7，12}不是A＝{1，2，3，…，19}的4元基底，不符合條件；
當(dāng)e4＝13時(shí)，有e3＝6，這時(shí)e2＝5，e1＝4，易知E＝{4，5，6，13}不是A＝{1，2，3，…，19}的4元基底，不符合條件；
當(dāng)e4＝14時(shí)，有e3＝5，這時(shí)e2＝4，e1＝3，易知E＝{3，4，5，14}不是A＝{1，2，3，…，19}的4元基底，不符合條件；
當(dāng)e4＝15時(shí)，有e3＝4，這時(shí)e2＝3，e1＝2，易知E＝{2，3，4，15}不是A＝{1，2，3，…，19}的4元基底，不符合條件；
當(dāng)e4＝16時(shí)，有e3＝3，這時(shí)e2＝2，e1＝1，易知E＝{1，2，3，16}不是A＝{1，2，3，…，19}的4元基底，不符合條件；
當(dāng)e4≥17時(shí)，E均不可能是A的4元基底．
當(dāng)m＝5時(shí)，易驗(yàn)證A的一個(gè)基底E＝{1，3，5，9，16}，
理由：1＝1×1+0×1；2＝1×1+1×1；3＝1×3+0×1；4＝1×1+1×3；5＝1×5+0×1；
6＝1×3+1×3；7＝﹣1×9+1×16；8＝1×3+1×5；9＝1×9+0×1；10＝1×5+1×5；
11＝﹣1×5+1×16；12＝1×3+1×9；13＝﹣1×3+1×16；14＝1×5+1×9；15＝﹣1×1+1×16；
16＝1×16+0×1；17＝1×16+1×1；18＝1×9+1×9；19＝1×16+1×3．
綜上所述，m的最小值為5．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了通過給出一個(gè)新概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來(lái)創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的；遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，照章辦事，逐條分析、驗(yàn)證、運(yùn)算，使問題得以解決，屬于中檔題．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/7/17 10:04:41；用戶：笑涵數(shù)學(xué)；郵箱：15699920825；學(xué)號(hào)：36906111

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