1．（4分）復(fù)數(shù)z＝i（1﹣i）的模|z|＝（ ）
A．B．2C．1D．4
2．（4分）橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長軸長為，焦距為4，則該橢圓的方程為（ ）
A．B．+＝1
C．+＝1D．+＝1
3．（4分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＝，則a2＝（ ）
A．B．C．D．
4．（4分）直線的傾斜角為（ ）
A．120°B．150°C．30°D．45°
5．（4分）過點(diǎn)A（2，1）且與直線l：2x﹣4y+3＝0平行的直線方程是（ ）
A．x﹣2y＝0B．2x+y﹣5＝0C．2x﹣y﹣3＝0D．x+2y﹣4＝0
6．（4分）已知△ABC的頂點(diǎn)B、C在橢圓+y2＝1上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，則△ABC的周長是（ ）
A．2B．4C．6D．12
7．（4分）設(shè)數(shù)列{an}是等比數(shù)列，則“a2＞a1”是“{an} 為遞增數(shù)列”的（ ）
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
8．（4分）橢圓的兩焦點(diǎn)為F1、F2，以F1F2為邊作正三角形，若橢圓恰好平分正三角形的兩邊，則橢圓的離心率是（ ）
A．B．C．D．
9．（4分）直線ax+by﹣a﹣b＝0（a2+b2≠0）與圓x2+y2＝2的位置關(guān)系為（ ）
A．相離B．相切
C．相交或相切D．相交
10．（4分）如圖，已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．與三條直線AB，CC1，D1A1所成的角都相等的直線有且僅有一條
B．與三條直線AB，CC1，D1A1所成的角都相等的平面有且僅有一個(gè)
C．到三條直線AB，CC1，D1A1的距離都相等的點(diǎn)恰有兩個(gè)
D．到三條直線AB，CC1，D1A1的距離都相等的點(diǎn)有無數(shù)個(gè)
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分。
11．（5分）已知直線l：x﹣y﹣5＝0，圓C：（x﹣2）2+（y+2）2＝1，則直線l被圓C所截得的線段的長為 ．
12．（5分）在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過（0，0），（﹣2，0），（0，﹣4）三點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
13．（5分）如圖所示，在四面體O﹣ABC中，＝，＝，＝，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，則＝ （用，，表示）．
14．（5分）圓O1：（x+2）2+y2＝4和圓O2：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4的位置關(guān)系是 ．
15．（5分）已知數(shù)列{an}滿足下面說法正確的有 ．
①當(dāng)時(shí)，數(shù)列{an}為遞減數(shù)列；
②當(dāng)時(shí)，數(shù)列{an}為遞減數(shù)列；
③當(dāng)時(shí)，數(shù)列{an}為遞減數(shù)列；
④當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，數(shù)列{an}必有兩項(xiàng)相等的最大項(xiàng)．
三、解答題：本大題共6小題，共85分.
16．（13分）如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為DD1的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：BD1∥平面ACE；
（Ⅱ）求直線AD與平面ACE所成角的正弦值．
17．（14分）已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，滿足a1＝3，a4＝24，數(shù)列{bn}滿足b1＝4，b4＝22，設(shè)cn＝an﹣bn，且{cn}是等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{an}和{cn}的通項(xiàng)公式；
（2）求{bn}的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和Tn．
18．（13分）在△ABC中，csC＝，c＝8，再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：
（Ⅰ）b的值；
（Ⅱ）角A的大小和△ABC的面積．
條件①：a＝7；
條件②：csB＝．
19．（15分）如圖，四棱錐P﹣ABCD中，AD⊥平面ABP，BC∥AD，∠PAB＝90°．PA＝AB＝2，AD＝3，BC＝m，E是PB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：AE⊥平面PBC；
（Ⅱ）若二面角C﹣AE﹣D的余弦值是，求m的值；
（Ⅲ）若m＝2，在線段AD上是否存在一點(diǎn)F，使得PF⊥CE．若存在，確定F點(diǎn)的位置；若不存在，說明理由．
20．（15分）已知橢圓C：的一個(gè)頂點(diǎn)為P（0，1），離心率為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點(diǎn)定點(diǎn)G（0，﹣3）作斜率為k的直線l與橢圓交于A，B，直線PA，PB的斜率分別記為k1，k2．求k1?k2的值．
21．（15分）設(shè)D＝{1，2，3，…，10}，如果函數(shù)f：D→D的值域也是D，則稱之為一個(gè)泛函數(shù)，并定義其迭代函數(shù)列{fn（x）}：f1（x）＝f（x），．
（1）請用列表法補(bǔ)全如下函數(shù)列；
（2）求證：對任意一個(gè)i∈D，存在正整數(shù)Ni≤10（Ni是與i有關(guān)的一個(gè)數(shù)），使得；
（3）類比排序不等式：a＜b，c＜d?ac+bd＞ad+bc，把D中的10個(gè)元素按順序排成一列記為（x1，x2，…，x10），使得10項(xiàng)數(shù)列A：f2520（1）?x1，f2520（2）?x2，f2520（3）?x3，…，f2520（10）?x10的所有項(xiàng)和S最小，并計(jì)算出最小值Smin及此時(shí)對應(yīng)的（x1，x2，…，x10）．
2023-2024學(xué)年北京市清華附中朝陽學(xué)校、望京學(xué)校高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.
1．（4分）復(fù)數(shù)z＝i（1﹣i）的模|z|＝（ ）
A．B．2C．1D．4
【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解．
【解答】解：∵z＝i（1﹣i）＝1+i，
∴|z|＝．
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．
2．（4分）橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長軸長為，焦距為4，則該橢圓的方程為（ ）
A．B．+＝1
C．+＝1D．+＝1
【分析】設(shè)橢圓的方程為（a＞b＞0），根據(jù)題意算出a＝且c＝2，利用平方關(guān)系算出b＝2，從而可得該橢圓的方程．
【解答】解：∵橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，
∴設(shè)橢圓的方程為（a＞b＞0），
又∵長軸2a＝，焦距2c＝4，
∴a＝，c＝2，可得b＝＝2，
即橢圓方程為．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的長軸長與焦距，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題．
3．（4分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＝，則a2＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)題意，分析可得a2＝S2﹣S1，代入Sn＝，計(jì)算可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝，
則a2＝S2﹣S1＝﹣1＝﹣；
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列的表示方法，涉及數(shù)列的前n項(xiàng)和與an的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．
4．（4分）直線的傾斜角為（ ）
A．120°B．150°C．30°D．45°
【分析】利用直線的斜率與傾斜角的關(guān)系即可得出結(jié)論．
【解答】解：設(shè)直線的傾斜角為θ，θ∈[0°，180°），
則tanθ＝﹣＝，
∴θ＝30°，
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
5．（4分）過點(diǎn)A（2，1）且與直線l：2x﹣4y+3＝0平行的直線方程是（ ）
A．x﹣2y＝0B．2x+y﹣5＝0C．2x﹣y﹣3＝0D．x+2y﹣4＝0
【分析】根據(jù)題意，所求直線的斜率為且經(jīng)過點(diǎn)A（2，1），利用直線的點(diǎn)斜式方程列式，化簡即可得到所求直線方程．
【解答】解：設(shè)所求直線為l，
∵直線l直線平行于直線2x﹣4y+3＝0，
∴直線l的斜率與直線y＝x+的斜率相等，即k＝．
又∵直線l經(jīng)過點(diǎn)A（2，1），
∴直線l的點(diǎn)斜式方程為y﹣1＝（x﹣2），化為一般式得x﹣2y＝0
故選：A．
【點(diǎn)評】本題給出經(jīng)過定點(diǎn)且與已知直線平行的直線，求直線的方程．著重考查了直線的基本量與基本形式、直線的位置關(guān)系等知識，屬于基礎(chǔ)題．
6．（4分）已知△ABC的頂點(diǎn)B、C在橢圓+y2＝1上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，則△ABC的周長是（ ）
A．2B．4C．6D．12
【分析】由橢圓+y2＝1，長軸長2a＝2，則a＝，設(shè)直線AB過橢圓的右焦點(diǎn)F2，則根據(jù)橢圓的定義可知：|AB|+|BF2|＝2a＝2，|AC|+|F2C|＝2a＝2．三角形的周長為：|AB|+|BF2|+|AC|+|F2C|＝4a＝4．即可求得△ABC的周長．
【解答】解：橢圓+y2＝1，長軸長2a＝2，則a＝，
設(shè)直線AB過橢圓的右焦點(diǎn)F2，根據(jù)橢圓的定義可知：
|AB|+|BF2|＝2a＝2，|AC|+|F2C|＝2a＝2．
∴三角形的周長為：|AB|+|BF2|+|AC|+|F2C|＝4a＝4．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查橢圓的定義，考查焦點(diǎn)三角形的周長公式，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
7．（4分）設(shè)數(shù)列{an}是等比數(shù)列，則“a2＞a1”是“{an} 為遞增數(shù)列”的（ ）
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
【分析】由數(shù)列{an}為等比數(shù)列，結(jié)合已知不等式分別檢驗(yàn)充分及必要性即可判斷．
【解答】解：因?yàn)閿?shù)列{an}為等比數(shù)列，
當(dāng)a2＝1，a1＝﹣1滿足a2＞a1，此時(shí)數(shù)列{an}不為遞增數(shù)列，
當(dāng)數(shù)列{an}為遞增數(shù)列時(shí)，則a2＞a1一定成立．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查充分條件、必要條件的判斷，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是基礎(chǔ)題．
8．（4分）橢圓的兩焦點(diǎn)為F1、F2，以F1F2為邊作正三角形，若橢圓恰好平分正三角形的兩邊，則橢圓的離心率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】由題意得到，利用橢圓的定義式，進(jìn)而可得結(jié)果．
【解答】解：∵以F1F2為邊作正三角形，橢圓恰好平分正三角形的兩邊，
∴，
∴，
∴．
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查了橢圓的性質(zhì)，屬于中檔題．
9．（4分）直線ax+by﹣a﹣b＝0（a2+b2≠0）與圓x2+y2＝2的位置關(guān)系為（ ）
A．相離B．相切
C．相交或相切D．相交
【分析】利用點(diǎn)到直線距離公式求出圓心到直線的距離與半徑比較大小即可得出結(jié)論．
【解答】解：圓x2+y2＝2的圓心O（0，0），半徑r＝．
圓心O到直線的距離d＝＝，
∵≤，
當(dāng)且僅當(dāng)ab＞0，a＝b時(shí)取等號，
∴≤，
∴直線ax+by﹣a﹣b＝0（a2+b2≠0）與圓x2+y2＝2的位置關(guān)系為相交或相切．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了點(diǎn)到直線距離公式、直線與圓的位置關(guān)系、基本不等式的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．
10．（4分）如圖，已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．與三條直線AB，CC1，D1A1所成的角都相等的直線有且僅有一條
B．與三條直線AB，CC1，D1A1所成的角都相等的平面有且僅有一個(gè)
C．到三條直線AB，CC1，D1A1的距離都相等的點(diǎn)恰有兩個(gè)
D．到三條直線AB，CC1，D1A1的距離都相等的點(diǎn)有無數(shù)個(gè)
【分析】利用空間幾何體的性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷即可．
【解答】解：∵D1A1∥AD，CC1∥AA1，
AC1與三直線直線AB，CC1，D1A1所成的角都相等，
與直線AC1平行的直線均與三直線直線AB，CC1，D1A1所成的角都相等，故有無數(shù)條，故A錯(cuò)誤；
平面AB1D1與三直線直線AB，CC1，D1A1所成的角都相等，
而與平面AB1D1平行的平面均與直線AB，CC1，D1A1所成的角都相等，故B錯(cuò)誤；
以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則P（a，a，a），A（1，0，0），B（1，1，0），
∴＝（a﹣1，a，a），＝（0，1，0），
P到直線AB的距離d＝|||?＝?＝，
同理可得P到直線CC1和D1A1的距離為，
故DB1上的點(diǎn)到三條直線AB，CC1，D1A1的距離相等，
故有無數(shù)個(gè)點(diǎn)到三條直線AB，CC1，D1A1的距離相等，故C錯(cuò)誤，D正確．
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查空間幾何體的性持，考查線面角，點(diǎn)到線的距離，屬中檔題．
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分。
11．（5分）已知直線l：x﹣y﹣5＝0，圓C：（x﹣2）2+（y+2）2＝1，則直線l被圓C所截得的線段的長為 ．
【分析】根據(jù)圓的方程找出圓心坐標(biāo)和半徑，求得圓心到直線的距離，由垂徑定理可求直線l被圓C所截得的線段的長．
【解答】解：由圓C：（x﹣2）2+（y+2）2＝1，可得圓心C（2，﹣2），半徑r＝1，
圓心C（2，﹣2）到直線l：x﹣y﹣5＝0的距離d＝＝，
所以直線l被圓C所截得的線段的長為2＝2×＝．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查直線線與圓的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，考查點(diǎn)到線的距離，屬基礎(chǔ)題．
12．（5分）在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過（0，0），（﹣2，0），（0，﹣4）三點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 （x+1）2+（y+2）2＝5 ．
【分析】設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，代入各點(diǎn)坐標(biāo)求出a，b，r的值即可．
【解答】解：由題意設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，代入各點(diǎn)坐標(biāo)得，
，解得，
故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+1）2+（y+2）2＝5．
故答案為：（x+1）2+（y+2）2＝5．
【點(diǎn)評】本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，屬于基礎(chǔ)題．
13．（5分）如圖所示，在四面體O﹣ABC中，＝，＝，＝，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，則＝ （用，，表示）．
【分析】根據(jù)向量加法與減法法則可以直接得到結(jié)果．
【解答】解：∵E為AD的中點(diǎn)，
∴，
又∵D為BC中點(diǎn)，
∴，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題主要考查向量的加法與減法法則，屬于基礎(chǔ)題．
14．（5分）圓O1：（x+2）2+y2＝4和圓O2：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4的位置關(guān)系是 外離 ．
【分析】根據(jù)圓的位置關(guān)系直接得出．
【解答】解：根據(jù)兩圓的方程可知O1（﹣2，0），O2（2，1），得，r1＝2，r2＝2，
所以，
所以兩圓外離．
故答案為：外離．
【點(diǎn)評】本題主要考查兩圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．
15．（5分）已知數(shù)列{an}滿足下面說法正確的有 ②③④ ．
①當(dāng)時(shí)，數(shù)列{an}為遞減數(shù)列；
②當(dāng)時(shí)，數(shù)列{an}為遞減數(shù)列；
③當(dāng)時(shí)，數(shù)列{an}為遞減數(shù)列；
④當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，數(shù)列{an}必有兩項(xiàng)相等的最大項(xiàng)．
【分析】根據(jù)題意，求出數(shù)列的遞推式，進(jìn)而分析n與之間的關(guān)系，即可得出結(jié)論．
【解答】解：由題意，在數(shù)列{an}中，，
則有，
∵0＜k＜1，
∴當(dāng) 時(shí)，，即 an+1＞an；
當(dāng) 時(shí)，，即 an+1＜an．
當(dāng) 時(shí)，a1＝，a2＝2×（）2＝，
故數(shù)列 {an} 不是遞減數(shù)列，故①不正確．
當(dāng) 時(shí)，，an+1＜an，
故數(shù)列 {an} 是遞減數(shù)列，故②正確．
當(dāng) 時(shí)，，所以數(shù)列 {an} 是遞減數(shù)列，故③正確．
當(dāng) 為正數(shù)時(shí)，令 ，所以 ．
時(shí)，，數(shù)列 {an} 從第二項(xiàng)起遞減，
所以此時(shí)數(shù)列 {an} 有兩項(xiàng)相等的最大值；
時(shí)，數(shù)列從第一項(xiàng)到第n﹣1項(xiàng)遞增，從第n+1項(xiàng)起遞減，
則有，所以 an＞an﹣1，
，所以 an＝an+1，
所以此時(shí)數(shù)列 {an} 有兩項(xiàng)相等的最大值，
故④正確．
選答案為：②③④．
【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列的遞推式，遞增遞減數(shù)列的判斷，涉及數(shù)列的函數(shù)特性，屬于中檔題．
三、解答題：本大題共6小題，共85分.
16．（13分）如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為DD1的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：BD1∥平面ACE；
（Ⅱ）求直線AD與平面ACE所成角的正弦值．
【分析】（Ⅰ）連接BD交AC于點(diǎn)O，連接OE，證明OE∥BD1.然后證明BD1∥平面ACE．
（Ⅱ）不妨設(shè)正方體的棱長為2，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz．求出平面ACE的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解直線AD與平面ACE所成角的正弦值即可．
【解答】（Ⅰ）證明：連接BD交AC于點(diǎn)O，連接OE，
在正方形ABCD中，OB＝OD．
因?yàn)镋為DD1的中點(diǎn)，
所以O(shè)E∥BD1.………………（3分）
因?yàn)锽D1?平面ACE，OE?平面ACE，
所以BD1∥平面ACE． ………………（5分）
（Ⅱ）解：不妨設(shè)正方體的棱長為2，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz．
則A（0，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），E（0，2，1），
所以，，． ………………（8分）
設(shè)平面ACE的法向量為＝（x，y，z），
所以所以即………………（10分）
令y＝﹣1，則x＝1，z＝2，
于是＝（1，﹣1，2）．………………（11分）
設(shè)直線AD與平面ACE所成角為θ，
則．………………（13分）
所以直線AD與平面ACE所成角的正弦值為．
【點(diǎn)評】本題考查直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，直線與平面所成角的求法，考查空間想象能力，轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題．
17．（14分）已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，滿足a1＝3，a4＝24，數(shù)列{bn}滿足b1＝4，b4＝22，設(shè)cn＝an﹣bn，且{cn}是等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{an}和{cn}的通項(xiàng)公式；
（2）求{bn}的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和Tn．
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列定義求解；
（2）先寫出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，再分組求和即可求解．
【解答】解：（1）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，
因?yàn)閍1＝3，，所以q＝2，即，
設(shè)等差數(shù)列{cn}公差為d，
因?yàn)閏1＝a1﹣b1＝﹣1，c4＝a4﹣b4＝c1+3d＝2，所以d＝1，即cn＝n﹣2．
（2）因?yàn)閏n＝an﹣bn，所以bn＝an﹣cn，
由（1）可得，
設(shè){bn}前n項(xiàng)和為Tn，
＝
＝．
【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，數(shù)列的求和，分組法的求和，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．
18．（13分）在△ABC中，csC＝，c＝8，再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：
（Ⅰ）b的值；
（Ⅱ）角A的大小和△ABC的面積．
條件①：a＝7；
條件②：csB＝．
【分析】選條件①：（Ⅰ）利用余弦定理的應(yīng)用求出結(jié)果；（Ⅱ）利用三角函數(shù)關(guān)系式的變換，正弦定理和三角形的面積求出結(jié)果；
選條件②時(shí)，（Ⅰ）利用三角函數(shù)的角的變換和正弦定理的應(yīng)用求出結(jié)果；（Ⅱ）利用三角函數(shù)的角的變換和三角形的面積公式的應(yīng)用求出結(jié)果．
【解答】解：選條件①：
（Ⅰ）a＝7時(shí)，csC＝，c＝8，
利用c2＝a2+b2﹣2abcsC，
整理得b2﹣2b﹣15＝0，解得b＝5或﹣3（負(fù)值舍去），
故：b＝5．
（Ⅱ）由于csC＝，0＜C＜π，
所以sinC＝，
利用正弦定理，所以，解得sinA＝，
由于c＞a，所以A＝，
則．
選條件②時(shí)，
（Ⅰ）csB＝，所以，
csC＝，所以sinC＝，
由正弦定理，整理得，解得b＝5，
（Ⅱ）csB＝，所以，
csC＝，所以sinC＝，
所以csA＝﹣cs（B+C）＝＝，
由于A∈（0，π），
所以A＝．
所以．
【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的變換，正弦定理余弦定理和三角形面積公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．
19．（15分）如圖，四棱錐P﹣ABCD中，AD⊥平面ABP，BC∥AD，∠PAB＝90°．PA＝AB＝2，AD＝3，BC＝m，E是PB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：AE⊥平面PBC；
（Ⅱ）若二面角C﹣AE﹣D的余弦值是，求m的值；
（Ⅲ）若m＝2，在線段AD上是否存在一點(diǎn)F，使得PF⊥CE．若存在，確定F點(diǎn)的位置；若不存在，說明理由．
【分析】（Ⅰ）推導(dǎo)出BC⊥平面PAB． AE⊥BC． AE⊥PB．由此能證明AE⊥平面PBC．
（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz．利用向量法能求出m的值．
（Ⅲ）設(shè)F（0，0，t）（0≤t≤3）．當(dāng)m＝2時(shí)，C（0，2，2）.，．由PF⊥CE知，，﹣2﹣2t＝0，t＝﹣1．這與0≤t≤3矛盾．從而在線段AD上不存在點(diǎn)F，使得PF⊥CE．
【解答】解：（Ⅰ）證明：因?yàn)?AD⊥平面PAB，BC∥AD，
所以 BC⊥平面PAB．
又因?yàn)?AE?平面PAB，所以 AE⊥BC．
在△PAB中，PA＝AB，E是PB的中點(diǎn)，所以 AE⊥PB．
又因?yàn)?BC∩PB＝B，所以 AE⊥平面PBC．
（Ⅱ）解：因?yàn)?AD⊥平面PAB，所以AD⊥AB，AD⊥PA．
又因?yàn)? PA⊥AB，所以，如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz．
則A（0，0，0），B（0，2，0），C（0，2，m），E（1，1，0），P（2，0，0），D（0，0，3），
，．
設(shè)平面AEC的法向量為＝（x，y，z）．
則即 令x＝1，則y＝﹣1，，于是＝（1，﹣1，）．
因?yàn)锳D⊥平面PAB，所以AD⊥PB．又PB⊥AE，所以PB⊥平面AED．
又因?yàn)?，所?取平面AED的法向量為＝（﹣1，1，0）．
所以|cs＜＞|＝＝，即，解得m2＝1．
又因?yàn)閙＞0，所以m＝1．
（Ⅲ）解：結(jié)論：不存在．理由如下：
證明：設(shè)F（0，0，t）（0≤t≤3）．
當(dāng)m＝2時(shí)，C（0，2，2）.，．
由PF⊥CE知，，﹣2﹣2t＝0，t＝﹣1．這與0≤t≤3矛盾．
所以，在線段AD上不存在點(diǎn)F，使得PF⊥CE．
【點(diǎn)評】本題考查線面垂直的證明，考查實(shí)數(shù)值的求法，考查滿足線線垂直的點(diǎn)是否存在的判斷與證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．
20．（15分）已知橢圓C：的一個(gè)頂點(diǎn)為P（0，1），離心率為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點(diǎn)定點(diǎn)G（0，﹣3）作斜率為k的直線l與橢圓交于A，B，直線PA，PB的斜率分別記為k1，k2．求k1?k2的值．
【分析】（1）由題意，列出關(guān)于a，b，c的標(biāo)準(zhǔn)方程，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；
（2）設(shè)出直線l的方程和A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，將直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，再進(jìn)行求解即可．
【解答】解：（1）已知橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)為P（0，1），離心率為，
所以，
解得，
則橢圓C的方程為；
（2）不妨設(shè)直線l的方程為y＝kx﹣3，A（x1，y1），B（x2，y2），
聯(lián)立，消去y并整理得（1+2k2）x2﹣12kx+16＝0，
此時(shí)Δ＝144k2﹣64（1+2k2）＞0，
所以k∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），
由韋達(dá)定理得，，
因?yàn)镻（0，1），
所以，，
則
＝＝＝1．
【點(diǎn)評】本題考查橢圓的方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力．
21．（15分）設(shè)D＝{1，2，3，…，10}，如果函數(shù)f：D→D的值域也是D，則稱之為一個(gè)泛函數(shù)，并定義其迭代函數(shù)列{fn（x）}：f1（x）＝f（x），．
（1）請用列表法補(bǔ)全如下函數(shù)列；
（2）求證：對任意一個(gè)i∈D，存在正整數(shù)Ni≤10（Ni是與i有關(guān)的一個(gè)數(shù)），使得；
（3）類比排序不等式：a＜b，c＜d?ac+bd＞ad+bc，把D中的10個(gè)元素按順序排成一列記為（x1，x2，…，x10），使得10項(xiàng)數(shù)列A：f2520（1）?x1，f2520（2）?x2，f2520（3）?x3，…，f2520（10）?x10的所有項(xiàng)和S最小，并計(jì)算出最小值Smin及此時(shí)對應(yīng)的（x1，x2，…，x10）．
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的定義以及定義域與值域的定義，可得答案；
（2）利用分類討論的思想，結(jié)合題意，可得答案；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，化簡數(shù)列，根據(jù)運(yùn)算，可得答案．
【解答】解：（1）
（2）證明：按泛函數(shù)的定義，i≠j?f（i）≠f（j）（?i，j∈D）①
任取i∈D，則i，f1（i），f2（i），…，f10（i）∈D，所以，其中必有兩個(gè)相等．
情形一，存在fj（i）＝i（1≤j≤10），則取ni＝j(luò)即可；
情形二，存在fj（i）＝fk（i）（1≤j＜k≤10），由①，得fj﹣1（i）＝fk﹣1（i），
連續(xù)應(yīng)用①j次，即得fk﹣j（i）＝i，取正整數(shù)ni＝k﹣j即可．
綜上，命題得證．
（3）因?yàn)?520＝23×32×5×7，所以2520是1，2，3，…，10的公倍數(shù)，
從而2520是（2）中每個(gè)ni的倍數(shù)，因此f2520（i）＝i，?i∈D，
故S＝f2520（1）x1，f2520（2）x2，f2520（3）x3，…，f2520（10）x10
＝1?x1+2?x2+3?x3+…+10?x10，
由排序不等式，可知當(dāng)π＝（10，9，8，7，6，5，4，3，2，1）時(shí)，
S最小，并且Smin＝1?10+2?9+3?8+…+10?1
＝11（1+2+3+…+10）﹣（12+22+32+…+102）
＝．
【點(diǎn)評】本題考查新定義問題，以及類比法的應(yīng)用，屬于難題．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/7/17 10:05:15；用戶：笑涵數(shù)學(xué)；郵箱：15699920825；學(xué)號：36906111x
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