1．（4分）已知集合A＝{x|﹣4＜x＜2}，B＝{x|x2≤9}，則A∪B＝（ ）
A．（﹣4，3]B．[﹣3，2）C．（﹣4，2）D．[﹣3，3]
2．（4分）已知{an}為等差數(shù)列，首項a1＝2，公差d＝3，若an+an+2＝28，則n＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（4分）若兩條直線ax+2y﹣1＝0與x﹣2y﹣1＝0垂直，則a的值為（ ）
A．1B．﹣1C．4D．﹣4
4．（4分）已知角α的終邊經(jīng)過點，則sin2α＝（ ）
A．B．C．D．
5．（4分）過點（1，2）作圓x2+y2＝5的切線，則切線方程為（ ）
A．x＝1B．3x﹣4y+5＝0
C．x+2y﹣5＝0D．x＝1或x+2y﹣5＝0
6．（4分）若f（x）＝是奇函數(shù)，則（ ）
A．a(chǎn)＝1，b＝﹣1B．a(chǎn)＝﹣1，b＝1C．a(chǎn)＝1，b＝1D．a(chǎn)＝﹣1，b＝﹣1
7．（4分）設(shè)x，y∈R，則“”是“θ∈R，”的（ ）
A．充分而不必要條件
B．必要而不充分條件
C．充分必要條件
D．既不充分也不必要條件
8．（4分）已知橢圓E：的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，O為坐標原點，若以F1F2為直徑的圓與橢圓E在第一象限交于點P，且△OPF2是等邊三角形，則橢圓E的離心率為（ ）
A．B．C．D．
9．（4分）已知M為△ABC所在平面內(nèi)的一點，＝＝1，且，，則＝（ ）
A．0B．1C．D．3
10．（4分）某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量P（單位：mg/L）與時間t（單位：h）間的關(guān)系為P＝P0e﹣kt，其中P0，k是正的常數(shù)．如果在前10h污染物減少19%，那么再過5h后污染物還剩余（ ）
A．40.5%B．54%C．65.6%D．72.9%
二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。
11．（5分）已知a，b均為實數(shù)．若b+i＝i（a+i），則a+b＝ ．
12．（5分）已知橢圓的一個焦點為（0，2），則實數(shù)k的值為 ．
13．（5分）若直線y＝kx被圓C：x2+y2+2x＝0截得的弦長為1，則k＝ ．
14．（5分）在平面直角坐標系xOy中，定點A（2，0），點B為曲線上的動點．則線段AB長度的最小值是 ；若第一象限存在點C，使得△ABC為等腰直角三角形，且∠A＝90°，則線段OC的最大值為 ．
15．（5分）無窮數(shù)列{an}滿足：a1∈（0.1），，其前n項和記為Sn．
給出下列四個結(jié)論：
①；
②數(shù)列{an}單調(diào)遞增；
③設(shè)數(shù)列的前n項和為Tn，則存在n0∈N*，使得；
④若，則當時，一定有．
其中，所有正確結(jié)論的序號是 ．
三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。
16．（14分）已知函數(shù)的最小正周期為π，且f（x）的圖像經(jīng)過點．
（1）求ω和m的值；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，a）內(nèi)有且僅有1個零點，求a的取值范圍．
17．（14分）在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
（1）求角A的大小；
（2）若a＝13，c＝15，求△ABC的面積．
18．（14分）已知橢圓M：，圓N：（x+1）2+y2＝5，直線l過橢圓M右焦點F且傾斜角為．
（1）求直線l方程及橢圓M的焦距．
（2）直線l交橢圓M于A、B兩點，直線l交圓N于C、D兩點，求．
19．（14分）已知函數(shù)f（x）＝xex．
（Ⅰ）求曲線y＝f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅲ）若在x∈（1，+∞）上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
20．（14分）已知橢圓E：過點，E的離心率．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設(shè)點A、B為橢圓左右頂點，過點H（4，0）且不與x軸重合的直線l分別交E于C，D．直線x＝4分別交直線AC和BD于P，Q點，求證：|PH|＝|QH|．
21．（15分）數(shù)列An：a1，a2，…，an（n≥4）滿足：a1＝1，an＝m，ak+1﹣ak＝0或1（k＝1，2，?，n﹣1）．對任意i，j，都存在s，t，使得ai+aj＝as+at，其中i，j，s，t∈{1，2，…，n}且兩兩不相等．
（Ⅰ）若m＝2，寫出下列三個數(shù)列中所有符合題目條件的數(shù)列的序號．
①1，1，1，2，2，2；
②1，1，1，1，2，2，2，2；
③1，1，1，1，1，2，2，2，2．
（Ⅱ）記S＝a1+a2+…+an．若m＝3，證明：S≥20；
（Ⅲ）若m＝2022，求n的最小值．
2022-2023學年北京市清華附中高二（上）期中數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題列出的四個選項中，選出符合題
1．（4分）已知集合A＝{x|﹣4＜x＜2}，B＝{x|x2≤9}，則A∪B＝（ ）
A．（﹣4，3]B．[﹣3，2）C．（﹣4，2）D．[﹣3，3]
【分析】先求出集合B，然后結(jié)合集合的并集運算即可求解．
【解答】解：因為A＝{x|﹣4＜x＜2}，B＝{x|x2≤9}＝{x|﹣3≤x≤3}，
則A∪B＝{x|﹣4＜x≤3}．
故選：A．
【點評】本題主要考查了集合的并集運算，屬于基礎(chǔ)題．
2．（4分）已知{an}為等差數(shù)列，首項a1＝2，公差d＝3，若an+an+2＝28，則n＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的通項公式即可求解．
【解答】解：因為{an}為等差數(shù)列，a1＝2，公差d＝3，
所以an＝2+3（n﹣1）＝3n﹣1，
an+an+2＝3n﹣1+3n+5＝28，
則n＝4．
故選：D．
【點評】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
3．（4分）若兩條直線ax+2y﹣1＝0與x﹣2y﹣1＝0垂直，則a的值為（ ）
A．1B．﹣1C．4D．﹣4
【分析】利用直線與直線垂直的性質(zhì)直接求解．
【解答】解：∵兩條直線ax+2y﹣1＝0與x﹣2y﹣1＝0垂直，
∴a﹣4＝0，
解得a＝4．
故選：C．
【點評】本題考查實數(shù)值的求法，考查直線與直線垂直的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．
4．（4分）已知角α的終邊經(jīng)過點，則sin2α＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】先求出tanα，再將弦化切，即可求解．
【解答】解：角α的終邊經(jīng)過點，
則＝，
故sin2α＝＝＝＝．
故選：A．
【點評】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．
5．（4分）過點（1，2）作圓x2+y2＝5的切線，則切線方程為（ ）
A．x＝1B．3x﹣4y+5＝0
C．x+2y﹣5＝0D．x＝1或x+2y﹣5＝0
【分析】由已知可得，點A（1，2）在圓C：x2+y2＝5上，求出CA所在直線的斜率，然后利用兩直線垂直與斜率的關(guān)系求得切線的斜率，再由直線方程的點斜式得答案．
【解答】解：∵點A（1，2）在圓C：x2+y2＝5上，
∴圓心C與點A的連線與過A點的圓的切線垂直，
又，∴切線方程為y﹣2＝（x﹣1），即x+2y﹣5＝0．
故選：C．
【點評】本題考查圓的切線方程的其求法，考查兩直線垂直與斜率的關(guān)系，是基礎(chǔ)題．
6．（4分）若f（x）＝是奇函數(shù)，則（ ）
A．a(chǎn)＝1，b＝﹣1B．a(chǎn)＝﹣1，b＝1C．a(chǎn)＝1，b＝1D．a(chǎn)＝﹣1，b＝﹣1
【分析】利用奇函數(shù)的定義計算即可．
【解答】解：因為f（x）＝是奇函數(shù)，
當x＜0時，﹣x＞0，
所以f（﹣x）＝﹣bx﹣1，
即﹣f（x）＝﹣bx﹣1，
所以f（x）＝bx+1，
又因為當x＜0時，f（x）＝x+a，
所以x+a＝bx+1，
所以a＝1，b＝1．
故選：C．
【點評】本題考查了奇函數(shù)的定義及性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
7．（4分）設(shè)x，y∈R，則“”是“θ∈R，”的（ ）
A．充分而不必要條件
B．必要而不充分條件
C．充分必要條件
D．既不充分也不必要條件
【分析】利用橢圓的有關(guān)性質(zhì)、三角函數(shù)的定義和三角函數(shù)的同角公式，結(jié)合充分、必要條件的定義計算化簡，即可得到結(jié)果．
【解答】解：若，其軌跡為一個橢圓，則﹣2≤x≤2，﹣1≤y≤1，
得，令，得，
所以充分性成立；
由，得，
有，
所以必要性成立．
所以“”是“”的充分必要條件．
故選：C．
【點評】本題考查了橢圓的有關(guān)性質(zhì)、三角函數(shù)的定義和三角函數(shù)的同角公式以及充分、必要條件的定義，是基礎(chǔ)題．
8．（4分）已知橢圓E：的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，O為坐標原點，若以F1F2為直徑的圓與橢圓E在第一象限交于點P，且△OPF2是等邊三角形，則橢圓E的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)題意推出|OP|＝c，繼而由△OPF2是等邊三角形求得，再利用橢圓定義即可求得答案．
【解答】解：由題意知∠F1PF2＝90°，
又O為F1F2的中點，
故，
又△OPF2是等邊三角形，
即有|PF2|＝c，∠PF2F1＝60°，
∴，
又P在橢圓上，
故|PF1|+|PF2|＝2a，
即，
∴，
即橢圓E的離心率為．
故選：D．
【點評】本題考查了橢圓的性質(zhì)，重點考查了橢圓離心率的求法，屬基礎(chǔ)題．
9．（4分）已知M為△ABC所在平面內(nèi)的一點，＝＝1，且，，則＝（ ）
A．0B．1C．D．3
【分析】由平面向量數(shù)量積運算，結(jié)合向量的線性運算求解即可．
【解答】解：由，
則，
即，
又＝＝1，，
則，
即BC＝，，
又AC＝2MC＝2，
則＝||||csC＝2×，
故選：D．
【點評】本題考查了平面向量數(shù)量積運算，重點考查了向量的線性運算，屬基礎(chǔ)題．
10．（4分）某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量P（單位：mg/L）與時間t（單位：h）間的關(guān)系為P＝P0e﹣kt，其中P0，k是正的常數(shù)．如果在前10h污染物減少19%，那么再過5h后污染物還剩余（ ）
A．40.5%B．54%C．65.6%D．72.9%
【分析】根據(jù)題意，前10h污染物減少19%，有P0e0﹣P0e﹣10k＝P0e0×19%，再表示出再過5h（即t＝15時）的P，即可求出再過5h后污染物含量．
【解答】解：由題設(shè)，P0e0﹣P0e﹣10k＝P0e0×19%
即（1﹣19%）＝e﹣10k，可得 e﹣5k＝0.9，
再過5個小時，P＝P0e﹣15k＝P0（ e﹣5k）3＝0.93P0＝0.729P0，
所以再過5h后污染物還剩余72.9%．
故選：D．
【點評】本題主要考查指數(shù)型函數(shù)模型在實際生活中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。
11．（5分）已知a，b均為實數(shù)．若b+i＝i（a+i），則a+b＝ 0 ．
【分析】由復(fù)數(shù)相等的條件求得a與b的值，則答案可求．
【解答】解：由b+i＝i（a+i）＝﹣1+ai，得b＝﹣1，a＝1，
∴a+b＝0．
故答案為：0．
【點評】本題考查復(fù)數(shù)相等的條件，是基礎(chǔ)題．
12．（5分）已知橢圓的一個焦點為（0，2），則實數(shù)k的值為 5 ．
【分析】由題意可得焦點在y軸上，由a2＝c2+b2，可得k的值．
【解答】解：∵橢圓的一個焦點是（0，2），焦點在y軸上，
∴c2＝4，a2＝k，b2＝1，
∴k＝4+1＝5．
故答案為：5．
【點評】本題主要考查橢圓的性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
13．（5分）若直線y＝kx被圓C：x2+y2+2x＝0截得的弦長為1，則k＝ ± ．
【分析】確定圓心和半徑，求得圓心到直線的距離，根據(jù)圓的弦長公式，即可求得答案．
【解答】解：圓C：x2+y2+2x＝0，整理可得：（x+1）2+y2＝1，
所以圓心為（1，0），半徑為1，
則（1，0）到直線y＝kx的距離為d＝，
由于直線y＝kx被圓C：x2+y2+2x＝0截得的弦長為1，
所以12＝4（r2﹣d2）＝4（1﹣），
整理可得：k2＝3，解得k＝±．
故答案為：±．
【點評】本題考查直線與圓的的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．
14．（5分）在平面直角坐標系xOy中，定點A（2，0），點B為曲線上的動點．則線段AB長度的最小值是 1 ；若第一象限存在點C，使得△ABC為等腰直角三角形，且∠A＝90°，則線段OC的最大值為 ．
【分析】設(shè)B（csθ，sinθ），0≤θ≤π，C（m，n）（m，n＞0），運用兩點的距離公式三角函數(shù)的性質(zhì)和兩直線垂直的條件，可得m，n的方程，解方程可得C的坐標，運用兩點的距離公式，化簡整理，運用正弦函數(shù)的值域，即可得到所求最大值．
【解答】解：曲線是以O(shè)為圓心，1為半徑的上半圓，
可設(shè)B（csθ，sinθ），0≤θ≤π，
則（當θ＝0時取得最小值）；
設(shè)C（m，n）（m＞0，n＞0），
由等腰直角三角形ABC，可得AB⊥AC，即有，
（csθ﹣2，sinθ）?（m﹣2，n）＝0即（m﹣2）（csθ﹣2）+nsinθ＝0，①
|AB|＝|AC|，即有，
即為（m﹣2）2+n2＝（csθ﹣2）2+sin2θ，②
由①②解得m＝2+sinθ，n＝2﹣csθ，
或m＝2﹣sinθ，n＝csθ﹣2（舍去）．
則＝＝，
當，即，取得最大值．
故答案為：1；．
【點評】本題主要考查三角形中的幾何計算，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．
15．（5分）無窮數(shù)列{an}滿足：a1∈（0.1），，其前n項和記為Sn．
給出下列四個結(jié)論：
①；
②數(shù)列{an}單調(diào)遞增；
③設(shè)數(shù)列的前n項和為Tn，則存在n0∈N*，使得；
④若，則當時，一定有．
其中，所有正確結(jié)論的序號是 ①②④ ．
【分析】根據(jù)題意和基本不等式的應(yīng)用即可判斷①；利用作差法和數(shù)列的單調(diào)性即可判斷②；由題意可得＝，即可判斷③；利用放縮法和累加法得an+1≥（2n+1）a1，即可判斷④．
【解答】解：對于①，，
當且僅當即時等號成立；
又，所以，故①正確；
對于②，，得an＜1，由知an＞0，
所以，即數(shù)列{an}單調(diào)遞增，故②正確；
對于③，
＝
＝，故③錯誤；
對于④，，
若，則，
由累加法，得an+1≥（2n+1）a1，
當時，，若，則，故④正確．
故答案為：①②④．
【點評】本題考查數(shù)列的單調(diào)性和前n項和的求法，考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力、推理能力，屬于中檔題．
三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。
16．（14分）已知函數(shù)的最小正周期為π，且f（x）的圖像經(jīng)過點．
（1）求ω和m的值；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，a）內(nèi)有且僅有1個零點，求a的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)恒等變換化簡f（x）的表達式，結(jié)合其周期以及函數(shù)圖像過的點即可求得答案；
（2）根據(jù)x∈（0，a），確定，結(jié)合正弦函數(shù)的零點，列出相應(yīng)不等式，即可求得答案．
【解答】解：（1）由題意得f（x）＝
＝
＝，
因為最小正周期為π，
所以可得，
所以ω＝1，
又因為f（x）的圖像經(jīng)過點，
所以，
所以；
（2）由（1）可得，
當x∈（0，a）時，，
因為函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，a）內(nèi)有且僅有1個零點，
故令，
解得，
所以a的取值范圍為．
【點評】本題考查了三角函數(shù)恒等變換以及正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，考查了函數(shù)思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
17．（14分）在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
（1）求角A的大小；
（2）若a＝13，c＝15，求△ABC的面積．
【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，即可求出，從而得解；
（2）利用余弦定理求出b，再利用面積公式計算可得．
【解答】解：（1）因為，由正弦定理得，
因為，所以sinB≠0，
所以，即，
因為，所以；
（2）因為a＝13，c＝15，，
由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccsA，即169＝b2+225﹣15b，解得b＝7或b＝8，
當b＝7時，則C為鈍角，不符合題意，
當b＝8時，所以C為銳角，符合題意，
所以△ABC面積為．
【點評】本題考查了正弦、余弦定理，三角形面積公式，屬中檔題．
18．（14分）已知橢圓M：，圓N：（x+1）2+y2＝5，直線l過橢圓M右焦點F且傾斜角為．
（1）求直線l方程及橢圓M的焦距．
（2）直線l交橢圓M于A、B兩點，直線l交圓N于C、D兩點，求．
【分析】（1）由橢圓方程，即可求出橢圓右焦點坐標以及焦距，根據(jù)直線的點斜式即可求得直線方程；
（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，根據(jù)橢圓的弦長公式可求得|AB|，根據(jù)圓的半徑、弦心距以及弦長的關(guān)系可求得|CD|，即可求得答案．
【解答】解：（1）由題意知橢圓M：，
則長半軸長，短半軸長，
則焦距為，其右焦點F（1，0），
直線l過橢圓M右焦點F且傾斜角為，其斜率為1，
故直線l的方程為y＝x﹣1；
（2）將y＝x﹣1代入中，
可得5x2﹣6x﹣3＝0，Δ＝96＞0，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
則，
故，
圓N：（x+1）2+y2＝5的圓心（﹣1，0）到直線y＝x﹣1的距離為，
則，
故．
【點評】本題考查橢圓的標準方程及其性質(zhì)，考查直線與橢圓的綜合運用，考查運算求解能力，屬于中檔題．
19．（14分）已知函數(shù)f（x）＝xex．
（Ⅰ）求曲線y＝f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅲ）若在x∈（1，+∞）上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
【分析】（Ⅰ）由題意，對函數(shù)f（x）進行求導，得到f′（0）和f（0），代入切線方程中即可求解；
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）中所得信息，利用導數(shù)的幾何意義得到函數(shù)f（x）的單調(diào)性，進而即可求解；
（Ⅲ）將問題轉(zhuǎn)化成a＜在x∈（1，+∞）上恒成立，構(gòu)造函數(shù)g（x）＝，對函數(shù)g（x）進行求導，利用導數(shù)得到函數(shù)g（x）的單調(diào)性，進而即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）已知f（x）＝xex，函數(shù)定義域為R，
可得f′（x）＝（x+1）ex，
此時f′（0）＝1，
又f（0）＝0，
所以曲線y＝f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y﹣0＝1×（x﹣0），
即y＝x；
（Ⅱ）因為f′（x）＝（x+1）ex，
當x＜﹣1時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當x＞﹣1時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
所以當x＝﹣1時，函數(shù)f（x）取得極小值，極小值f（﹣1）＝﹣，無極大值；
（Ⅲ）若在x∈（1，+∞）上恒成立，
即xex＞a（+x）+1在x∈（1，+∞）上恒成立，
易知+x＞0，
則a＜在x∈（1，+∞）上恒成立，
不妨設(shè)g（x）＝，函數(shù)定義域為（1，+∞），
可得g′（x）＝＞0，
所以函數(shù)g（x）在定義域上單調(diào)遞增，
則g（x）＞g（1）＝，
故實數(shù)a的取值范圍為（﹣∞，]．
【點評】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，考查了邏輯推理、轉(zhuǎn)化思想和運算能力．
20．（14分）已知橢圓E：過點，E的離心率．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設(shè)點A、B為橢圓左右頂點，過點H（4，0）且不與x軸重合的直線l分別交E于C，D．直線x＝4分別交直線AC和BD于P，Q點，求證：|PH|＝|QH|．
【分析】（1）由題意，列出關(guān)于a，b，c的方程，即可求得答案；
（2）設(shè)直線l方程，聯(lián)立橢圓方程，設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），可得根與系數(shù)的關(guān)系，求出|PH|，|QH|的表達式，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系化簡計算|PH|﹣|QH|的值，即可證明結(jié)論．
【解答】解：（1）因為橢圓E：過點，
所以，①
因為橢圓的離心率，
所以，②
又a2＝b2+c2，③
聯(lián)立①②③，解得a2＝4，b2＝3，
則橢圓的標準方程為；
（2）證明：易知直線l的斜率一定存在，
不妨設(shè)直線l的方程為y＝k（x﹣4），
聯(lián)立，消去y并整理得（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12＝0，
此時Δ＝144（1﹣4k2）＞0，
解得，
設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），
由韋達定理得，
又A（﹣2，0），B（2，0），
所以直線AC的方程為，
令x＝4，
解得，
此時，
直線BD的方程為，
令x＝4，
解得，
此時，
不妨假設(shè)k＞0，
可得x1，x2∈（﹣2，2），y1，y2為負值，
所以
＝
＝，
因為
＝，
所以，
則|PH|＝|QH|，
當k＝0時，顯然|PH|＝|QH|＝0；
當k＞0時，同理可證明|PH|＝|QH|，
綜上可得|PH|＝|QH|．
【點評】本題考查橢圓的性質(zhì)以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理和運算能力．
21．（15分）數(shù)列An：a1，a2，…，an（n≥4）滿足：a1＝1，an＝m，ak+1﹣ak＝0或1（k＝1，2，?，n﹣1）．對任意i，j，都存在s，t，使得ai+aj＝as+at，其中i，j，s，t∈{1，2，…，n}且兩兩不相等．
（Ⅰ）若m＝2，寫出下列三個數(shù)列中所有符合題目條件的數(shù)列的序號．
①1，1，1，2，2，2；
②1，1，1，1，2，2，2，2；
③1，1，1，1，1，2，2，2，2．
（Ⅱ）記S＝a1+a2+…+an．若m＝3，證明：S≥20；
（Ⅲ）若m＝2022，求n的最小值．
【分析】（Ⅰ）分別把所給的三個數(shù)列代入題目條件中進行驗證，能出結(jié)果．
（Ⅱ）當m＝3時，設(shè)數(shù)列An中1，2，3出現(xiàn)頻數(shù)依次為q1，q2，q3，由題意qi≥1（i＝1，2，3）．假設(shè)q1＜4，則與已知矛盾，從而q1≥4，同理可證：q3≥4．假設(shè)q2＝1，則與已知矛盾，所以q2≥2，由此能證明S≥20．
（Ⅲ）設(shè)1，2，…，2022出現(xiàn)頻數(shù)依次為q1，q2，…，q2022．可得q1≥4，q2022≥4，q2≥2，q2021≥2，則n≥2030．取q1＝q2022＝4，q2＝q2021＝2，qi＝1，i＝3，4，5，…，2020，得到的數(shù)列為：Bn：1，1，1，1，2，2，3，4，…，2019，2020，2021，2021，2022，2022，2022，2022．由此能出n的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）∵數(shù)列An：a1，a2，…，an（n≥4）滿足：a1＝1，an＝2，ak+1﹣ak＝0或1（k＝1，2，…，n﹣1）．
對任意i，j，都存在s，t，使得ai+aj＝as+at，其中i，j，s，t∈{1，2，…，n}且兩兩不相等．
∴在①中，1，1，1，2，2，2，不符合題目條件；
在②中，1，1，1，1，2，2，2，2，符合題目條件；
在③中，1，1，1，1，1，2，2，2，2，符合題目條件．（3分）
注：只得到 ②或只得到 ③給（1分），有錯解不給分．
（Ⅱ）證明：當m＝3時，設(shè)數(shù)列An中1，2，3出現(xiàn)頻數(shù)依次為q1，q2，q3，
由題意qi≥1（i＝1，2，3）．
①假設(shè)q1＜4，則有a1+a2＜as+at（對任意s＞t＞2），
與已知矛盾，所以q1≥4．
同理可證：q3≥4．（5分）
②假設(shè)q2＝1，則存在唯一的k∈{1，2，…，n}，使得ak＝2．
那么，對?s，t，有a1+ak＝1+2≠as+at（k，s，t兩兩不相等），
與已知矛盾，所以q2≥2．（7分）
綜上：q1≥4，q3≥4，q2≥2，
所以．（8分）
（Ⅲ）設(shè)1，2，…，2022出現(xiàn)頻數(shù)依次為q1，q2，…，q2022．
同（Ⅱ）的證明，可得q1≥4，q2022≥4，q2≥2，q2021≥2，則n≥2030，
取q1＝q2022＝4，q2＝q2021＝2，qi＝1，i＝3，4，5，…，2020，
得到的數(shù)列為：Bn：1，1，1，1，2，2，3，4，…，2019，2020，2021，
2021，2022，2022，2022，2022．（10分）
下面證明Bn滿足題目要求．對?i，j∈{1，2，…，2030}，不妨令ai≤aj，
①如果ai＝aj＝1或ai＝aj＝2022，由于q1＝4，q2022＝4，所以符合條件；
②如果ai＝1，aj＝2或ai＝2021，aj＝2022，由于q1＝4，q2022＝4，q2＝2，q2021＝2，
所以也成立；
③如果ai＝1，aj＞2，則可選取as＝2，at＝aj﹣1；同樣的，如果ai＜2021，aj＝2022，
則可選取as＝ai+1，at＝2021，使得ai+aj＝as+at，且i，j，s，t兩兩不相等；
④如果1＜ai≤aj＜2022，則可選取as＝ai﹣1，at＝aj+1，
注意到這種情況每個數(shù)最多被選取了一次，因此也成立．
綜上，對任意i，j，總存在s，t，使得ai+aj＝as+at，其中i，j，s，t∈{1，2，…，n}且兩兩不相等．因此Bn滿足題目要求，所以n的最小值為2030．（13分）
【點評】本題考查滿足條件的數(shù)列的判斷，考查數(shù)列前n項和的證明，考查實數(shù)值的最小值的求法，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是難題．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/7/23 9:46:29；用戶：菁優(yōu)校本題庫；郵箱：2471@xyh.cm；學號：56380052

相關(guān)試卷

2021-2022學年北京市清華附中朝陽學校高二（上）期中數(shù)學試卷：

這是一份2021-2022學年北京市清華附中朝陽學校高二（上）期中數(shù)學試卷，共24頁。試卷主要包含了單選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2023-2024學年北京市清華附中高二（上）期中數(shù)學試卷：

這是一份2023-2024學年北京市清華附中高二（上）期中數(shù)學試卷，共26頁。

2022-2023學年北京市清華附中高二（上）期末數(shù)學試卷：

這是一份2022-2023學年北京市清華附中高二（上）期末數(shù)學試卷，共20頁。試卷主要包含了解答題共6小題，共85分等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

2022-2023學年北京市清華附中高一（上）期末數(shù)學試卷

2022-2023學年北京市清華附中高一（上）期末數(shù)學試卷
2022-2023學年北京市清華附中朝陽學校、望京學校高一（上）期中數(shù)學試卷(2)

2022-2023學年北京市清華附中朝陽學校、望京學校高一（上）期中數(shù)學試卷(2)
2020-2021學年北京市清華附中高二（上）期中數(shù)學試卷

2020-2021學年北京市清華附中高二（上）期中數(shù)學試卷
2017-2018學年北京市清華附中高二（上）期末數(shù)學試卷（理科）

2017-2018學年北京市清華附中高二（上）期末數(shù)學試卷（理科）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
期中專區(qū)
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部