1．（4分）直線y＝﹣x+2的傾斜角為（ ）
A．45°B．60°C．120°D．135°
2．（4分）已知向量，，則＝（ ）
A．B．14C．D．
3．（4分）兩個(gè)不同的平面α和β，平面α的一個(gè)法向量為，平面β的一個(gè)法向量，則平面α與平面β（ ）
A．平行B．垂直C．相交D．不能確定
4．（4分）已知圓M：x2+y2＝1與圓N：（x﹣2）2+y2＝9，則兩圓的位置關(guān)系是（ ）
A．相交B．相離C．內(nèi)切D．外切
5．（4分）若圖中的直線l1、l2、l3的斜率分別為k1、k2、k3，則（ ）
A．k1＜k2＜k3B．k2＜k1＜k3C．k2＜k3＜k1D．k1＜k3＜k2
6．（4分）已知橢圓上一點(diǎn)P到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離為4，則它到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離（ ）
A．6B．5C．4D．2
7．（4分）“a＝1”是“直線l1：ax+y+2＝0與直線l2：x+ay+2＝0平行”的（ ）
A．充要條件
B．充分不必要條件
C．必要不充分條件
D．既不充分也不必要條件
8．（4分）已知半徑為1的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，4），則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為（ ）
A．4B．5C．6D．7
9．（4分）過(guò)點(diǎn)A（1，2）且與原點(diǎn)距離最大的直線方程為（ ）
A．2x+y﹣4＝0B．x+2y﹣5＝0C．x+3y﹣7＝0D．3x+y﹣5＝0
10．（4分）已知MN是正方體內(nèi)切球的一條直徑，點(diǎn)P在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，正方體的棱長(zhǎng)是2，則的取值范圍為（ ）
A．[0，4]B．[0，2]C．[1，4]D．[1，2]
二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分．）
11．（5分）圓x2+y2+2y＝1的圓心坐標(biāo)為 ，半徑為 ．
12．（5分）一個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，則該橢圓的離心率為 ．
13．（5分）已知點(diǎn)P（x，y）在直線x+y﹣4＝0上，O是原點(diǎn)，則OP的最小值是 ．
14．（5分）試給出一組試兩條直線l1：2x﹣y＝0與l2：ax+by﹣3＝0互相垂直的實(shí)數(shù)a，b的值 ．
15．（5分）已知M為橢圓上一點(diǎn)，N為橢圓長(zhǎng)軸上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．給出下列結(jié)論：
①存在點(diǎn)M，N，使得△OMN為等邊三角形；
②不存在點(diǎn)M，N，使得△OMN為等邊三角形；
③存在點(diǎn)M，N，使得∠OMN＝90°；
④不存在點(diǎn)M，N，使得∠OMN＝90°．
其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是 ．
三、解答題（共6小題，共85分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程．）
16．（12分）已知△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（﹣1，5）、B（﹣2，﹣1）、C（4，3）．
（1）求BC邊的中線長(zhǎng)；
（2）求AB邊的高線所在直線方程．
17．（14分）求下列各圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（1）圓心在直線y＝﹣x上且過(guò)M（2，0）、N（0，﹣4）兩點(diǎn)的圓的方程；
（2）經(jīng)過(guò)A（﹣1，﹣1）、B（﹣8，0）、C（0，6）三點(diǎn)的圓的方程．
18．（15分）如圖，長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，點(diǎn)P為DD1的中點(diǎn)．
（1）求證：直線BD1∥平面PAC；
（2）求CP與平面BDD1B1所成的角大?。?br>（3）求點(diǎn)B1到平面PAC的距離．
19．（14分）設(shè)橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓C上，且PF1⊥F1F2，|PF1|＝3，|PF2|＝5．
（1）求橢圓C的方程；
（2）點(diǎn)M在橢圓C上，且△MF1F2的面積為2，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．
20．（15分）已知圓C：x2+y2﹣8y+12＝0，直線l：ax+y+2a＝0．
（1）當(dāng)直線l與圓C相交，求a的取值范圍；
（2）當(dāng)直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且時(shí)，求直線l的方程．
21．（15分）如圖，在多面體ABCDEF中，梯形ADEF與平行四邊形ABCD所在平面互相垂直，AF∥DE，DE⊥AD，AD⊥BD，AF＝AD＝BD＝DE＝1．
（1）求證：DE⊥平面ABCD；
（2）求二面角B﹣EF﹣D的余弦值；
（3）判斷線段DE上是否存在點(diǎn)Q，使得直線CQ∥平面BEF？若存在，求出的值，若不存在，說(shuō)明理由．
2023-2024學(xué)年北京市育才學(xué)校高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．）
1．（4分）直線y＝﹣x+2的傾斜角為（ ）
A．45°B．60°C．120°D．135°
【分析】根據(jù)直線的斜率與傾斜角的關(guān)系進(jìn)行求解即可．
【解答】解：由y＝﹣x+2可知該直線的斜率為﹣1，
所以該直線的傾斜角135°．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線的傾斜角問(wèn)題，考查直線的斜率，是基礎(chǔ)題．
2．（4分）已知向量，，則＝（ ）
A．B．14C．D．
【分析】根據(jù)空間向量的加法運(yùn)算求得的坐標(biāo)，根據(jù)模的計(jì)算公式，即得答案．
【解答】解：由題意知向量，，
則，
故．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量坐標(biāo)的加法運(yùn)算，根據(jù)向量的坐標(biāo)求向量的長(zhǎng)度的方法，是基礎(chǔ)題．
3．（4分）兩個(gè)不同的平面α和β，平面α的一個(gè)法向量為，平面β的一個(gè)法向量，則平面α與平面β（ ）
A．平行B．垂直C．相交D．不能確定
【分析】根據(jù)的坐標(biāo)，判斷二者共線，即可判斷平面α與平面β的位置關(guān)系．
【解答】解：由題意知，，
則，即共線，則α∥β，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：法向量，平面間的位置關(guān)系，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．
4．（4分）已知圓M：x2+y2＝1與圓N：（x﹣2）2+y2＝9，則兩圓的位置關(guān)系是（ ）
A．相交B．相離C．內(nèi)切D．外切
【分析】根據(jù)兩圓的圓心距與半徑的關(guān)系，判斷兩圓的位置關(guān)系
【解答】解：圓M：x2+y2＝1的圓心為M（0，0），半徑為r1＝1；
圓N：（x﹣2）2+y2＝9的圓心為N（2，0），半徑為r2＝3；
|MN|＝2＝r2﹣r1，
∴兩圓的位置關(guān)系是內(nèi)切．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了兩圓位置關(guān)系的判斷問(wèn)題，是基礎(chǔ)題
5．（4分）若圖中的直線l1、l2、l3的斜率分別為k1、k2、k3，則（ ）
A．k1＜k2＜k3B．k2＜k1＜k3C．k2＜k3＜k1D．k1＜k3＜k2
【分析】由k＝tanα，并結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性，即可得解．
【解答】解：由k＝tanα知，當(dāng)α∈[0，90°）時(shí)，k＞0，且k隨α的增大而增大，
當(dāng)α∈（90°，180°）時(shí)，k＜0，且k隨α的增大而增大，
所以k1＜k2＜k3．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，正切函數(shù)的單調(diào)性，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
6．（4分）已知橢圓上一點(diǎn)P到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離為4，則它到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離（ ）
A．6B．5C．4D．2
【分析】由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程求得長(zhǎng)軸長(zhǎng)，再由橢圓定義得答案．
【解答】解：由橢圓，得a2＝25，a＝5．
設(shè)P到橢圓另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為d，
則由橢圓定義可得：4+d＝2a＝10，即d＝6．
∴P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為6．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓定義的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．
7．（4分）“a＝1”是“直線l1：ax+y+2＝0與直線l2：x+ay+2＝0平行”的（ ）
A．充要條件
B．充分不必要條件
C．必要不充分條件
D．既不充分也不必要條件
【分析】先根據(jù)兩直線平行求出a，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可得解．
【解答】解：因?yàn)橹本€l1：ax+y+2＝0與直線l2：x+ay+2＝0平行，
所以a2﹣1＝0，解得a＝±1，
經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)a＝1時(shí)，兩直線重合，
所以a＝﹣1，
所以“a＝1”是“直線l1與直線l2平行”的既不充分也不必要條件．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了兩直線平行時(shí)的斜率關(guān)系，是基礎(chǔ)題．
8．（4分）已知半徑為1的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，4），則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】結(jié)合題意畫(huà)出滿足條件的圖象，結(jié)合圖象求出答案即可．
【解答】解：如圖示：
半徑為1的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，4），可得該圓的圓心軌跡為（3，4）為圓心，1為半徑的圓，
故當(dāng)圓心到原點(diǎn)的距離的最小時(shí)，
連結(jié)OB，A在OB上且AB＝1，此時(shí)距離最小，
由OB＝5，得OA＝4，
即圓心到原點(diǎn)的距離的最小值是4，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合思想，是一道常規(guī)題．
9．（4分）過(guò)點(diǎn)A（1，2）且與原點(diǎn)距離最大的直線方程為（ ）
A．2x+y﹣4＝0B．x+2y﹣5＝0C．x+3y﹣7＝0D．3x+y﹣5＝0
【分析】過(guò)點(diǎn)A（1，2）且與原點(diǎn)距離最大的直線與OA垂直，再用點(diǎn)斜式方程求解．
【解答】解：根據(jù)題意得，當(dāng)所求直線與直線OA垂直時(shí)距離最大，
因直線OA的斜率為2，所以所求直線斜率為﹣，
所以由點(diǎn)斜式方程得：y﹣2＝﹣（x﹣1），
化簡(jiǎn)得：x+2y﹣5＝0，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線方程的求解，要數(shù)形結(jié)合先判斷什么時(shí)候距離最大才能求直線方程，屬基礎(chǔ)題．
10．（4分）已知MN是正方體內(nèi)切球的一條直徑，點(diǎn)P在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，正方體的棱長(zhǎng)是2，則的取值范圍為（ ）
A．[0，4]B．[0，2]C．[1，4]D．[1，2]
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的數(shù)量積求解即可．
【解答】解：以D1為坐標(biāo)原點(diǎn)，以D1A1，D1C1，D1D所在直線為x軸，y軸，z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示；
設(shè)正方體內(nèi)切球球心為S，MN是該內(nèi)切球的任意一條直徑，
則內(nèi)切球的半徑為1，
所以?＝（+）?（+）＝（+）?（﹣）＝﹣1∈[0，2]．
所以的取值范圍是[0，2]．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題以正方體為載體，考查了線面、面面位置關(guān)系，以及空間向量的數(shù)量積應(yīng)用問(wèn)題，是中檔題．
二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分．）
11．（5分）圓x2+y2+2y＝1的圓心坐標(biāo)為 （0，﹣1） ，半徑為 ．
【分析】將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，即可得答案．
【解答】解：由題意知圓x2+y2+2y＝1即圓x2+（y+1）2＝2，
故該圓的圓心為（0，﹣1），半徑為．
故答案為：（0，﹣1）；．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：圓的方程的轉(zhuǎn)換，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．
12．（5分）一個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，則該橢圓的離心率為 ．
【分析】由題意，a＝2b，再用平方關(guān)系算得c＝b，最后利用橢圓離心率公式可求出橢圓的離心率．
【解答】解：設(shè)橢圓的方程為，（a＞b＞0）
∵橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，
∴2a＝2×2b，得a＝2b
又∵a2＝b2+c2
∴4b2＝b2+c2，可得c＝b
因此橢圓的離心率為e＝＝＝
故答案為：
【點(diǎn)評(píng)】本題給出橢圓長(zhǎng)軸與短軸的倍數(shù)關(guān)系，求橢圓的離心率，考查了橢圓的基本概念和簡(jiǎn)單性質(zhì)的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．
13．（5分）已知點(diǎn)P（x，y）在直線x+y﹣4＝0上，O是原點(diǎn)，則OP的最小值是 ．
【分析】OP的最小值，就是兩點(diǎn)間的距離的最小值，轉(zhuǎn)化為原點(diǎn)的直線的距離．
【解答】解：因?yàn)辄c(diǎn)P（x，y）在直線x+y﹣4＝0上，O是原點(diǎn)，則OP的最小值，就是求原點(diǎn)O到直線x+y﹣4＝0的距離，
即|OP|＝．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】?jī)牲c(diǎn)間的距離公式轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離公式，是一種轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．學(xué)生要掌握．
14．（5分）試給出一組試兩條直線l1：2x﹣y＝0與l2：ax+by﹣3＝0互相垂直的實(shí)數(shù)a，b的值 a＝1，b＝2（滿足b＝2a且不為零的實(shí)數(shù)a，b的值均符合） ．
【分析】由直線相互垂直可得a，b滿足的等式關(guān)系，求符合條件的一組a，b的值即可．
【解答】解：兩條直線l1：2x﹣y＝0與l2：ax+by﹣3＝0互相垂直，
則有2a+（﹣1）×b＝0，即b＝2a．
故答案為：a＝1，b＝2（滿足b＝2a且不為零的實(shí)數(shù)a，b的值均符合）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線的垂直關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．
15．（5分）已知M為橢圓上一點(diǎn)，N為橢圓長(zhǎng)軸上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．給出下列結(jié)論：
①存在點(diǎn)M，N，使得△OMN為等邊三角形；
②不存在點(diǎn)M，N，使得△OMN為等邊三角形；
③存在點(diǎn)M，N，使得∠OMN＝90°；
④不存在點(diǎn)M，N，使得∠OMN＝90°．
其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是 ①④ ．
【分析】利用橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直接可判斷①正確②錯(cuò)誤，分情況討論點(diǎn)M，N的位置，利用余弦定理判斷cs∠OMN的取值范圍，即可確定③錯(cuò)誤，④正確．
【解答】解：∵過(guò)原點(diǎn)傾斜角為60°的直線一定與橢圓由交點(diǎn)，
∴假設(shè)y軸右側(cè)的交點(diǎn)是M，
在長(zhǎng)軸上取ON＝OM，
則△OMN就是等邊三角形．
故①正確，②錯(cuò)誤；
若點(diǎn)M和點(diǎn)N在y軸兩側(cè)，
則∠OMN一定是銳角；
若點(diǎn)M和點(diǎn)N在y軸同側(cè)，
不妨設(shè)為在y軸的右側(cè)．
設(shè)點(diǎn)M（x，y），
則，且0＜x＜2．
由橢圓性質(zhì)可知，
當(dāng)點(diǎn)N是長(zhǎng)軸短點(diǎn)時(shí)，∠OMN最大，
∵|OM|2＝x2+y2，
|MN|2＝（x﹣a）2+y2＝（x﹣2）2+y2，
|ON|2＝a2＝4
∴|OM|2+|MN|2
＝x2+y2+（x﹣2）2+y2
＝2x2﹣4x+4+2y2
＝，
在x∈（0，2）上上式恒大于4，
即|OM|2+|MN|2＜|ON|2，
∴∠OMN＜90°．
故③錯(cuò)誤，④正確．
故答案為：①④．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，直線與橢圓的位置關(guān)系，二次函數(shù)在固定區(qū)間上的最值等知識(shí)的綜合應(yīng)用．屬于難題．
三、解答題（共6小題，共85分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程．）
16．（12分）已知△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（﹣1，5）、B（﹣2，﹣1）、C（4，3）．
（1）求BC邊的中線長(zhǎng)；
（2）求AB邊的高線所在直線方程．
【分析】（1）根據(jù)中線的定義，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式和兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)互相垂直直線的斜率關(guān)系，結(jié)合直線點(diǎn)斜式方程進(jìn)行求解即可．
【解答】解：（1）設(shè)BC邊的中點(diǎn)為D，因?yàn)锽（﹣2，﹣1）、C（4，3），
所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為，即D（1，1），
所以BC邊的中線長(zhǎng)．
（2）因?yàn)?，所以AB邊的高線所在直線的斜率為，
因此AB邊的高線所在直線方程為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線的垂直關(guān)系，考查直線的一般方程，屬于中檔題．
17．（14分）求下列各圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（1）圓心在直線y＝﹣x上且過(guò)M（2，0）、N（0，﹣4）兩點(diǎn)的圓的方程；
（2）經(jīng)過(guò)A（﹣1，﹣1）、B（﹣8，0）、C（0，6）三點(diǎn)的圓的方程．
【分析】（1）直接利用圓的一般式求出圓的方程；
（2）直接利用圓的一般式求出圓的方程．
【解答】解：（1）由于M（2，0）、N（0，﹣4）
設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
所以，解得，
故圓的方程為x2+y2﹣6x+6y+8＝0；
（2）設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F＝0，由于圓經(jīng)過(guò)A（﹣1，﹣1）、B（﹣8，0）、C（0，6），
故，解得，故圓的方程為x2+y2+8x﹣6y＝0．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：圓的方程的求法．主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．
18．（15分）如圖，長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，點(diǎn)P為DD1的中點(diǎn)．
（1）求證：直線BD1∥平面PAC；
（2）求CP與平面BDD1B1所成的角大小；
（3）求點(diǎn)B1到平面PAC的距離．
【分析】（1）利用三角形中位線定理，給合線面平行的判定定理進(jìn)行證明即可；
（2）根據(jù)線面垂直的判定定理，結(jié)合線面角定義進(jìn)行求解即可；
（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間點(diǎn)到面距離公式進(jìn)行求解即可．
【解答】解：（1）證明：設(shè)AC∩BD＝O，顯然O是BD中點(diǎn)，連接OP，
因?yàn)辄c(diǎn)P為DD1的中點(diǎn)，
所以BD1∥OP，而B(niǎo)D1?平面PAC，OP?平面PAC，
所以直線BD1∥平面PAC；
（2）因?yàn)锳B＝AD＝1，
所以矩形ABCD是正方形，因此AC⊥BD，
又因?yàn)镈D1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
所以DD1⊥AC，而DD1∩DB＝D，DD1，DB?平面BDD1B1，
所以AC⊥平面BDD1B1，
所以∠CPO是CP與平面BDD1B1所成的角．
因?yàn)锳B＝AD＝1，AA1＝2，點(diǎn)P為DD1的中點(diǎn)．
所以，，
在直角三角形CPO中，sin∠CPO＝＝，即有∠CPO＝，
所以CP與平面BDD1B1所成的角大小為；
（3）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
P（0，0，1），A（1，0，0），C（0，1，0），B1（1，1，2），
設(shè)平面PAC的法向量為，
，
則有，
，
點(diǎn)B1到平面PAC的距離．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的判定、點(diǎn)到平面的距離和線面角的求法，考查轉(zhuǎn)化思想、運(yùn)算能力、推理能力，屬于中檔題．
19．（14分）設(shè)橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓C上，且PF1⊥F1F2，|PF1|＝3，|PF2|＝5．
（1）求橢圓C的方程；
（2）點(diǎn)M在橢圓C上，且△MF1F2的面積為2，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．
【分析】（1）由題意，根據(jù)橢圓定義以及勾股定理進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)三角形面積公式進(jìn)行求解即可．
【解答】解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓C上，
所以|PF1|+|PF2|＝3+5＝2a，
解得a＝4，
因?yàn)镻F1⊥F1F2，|PF1|＝3，|PF2|＝5，
所以，
此時(shí)，
解得|F1F2|＝4，
所以2c＝4，
解得c＝2，
又b2＝a2﹣c2＝12，
則橢圓C的方程為；
（2）不妨設(shè)M（x0，y0），
因?yàn)椤鱉F1F2 的面積為，
所以，
即，
解得，
因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓C上，
所以，
此時(shí)，
解得，
所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為或或或．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的方程，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力．
20．（15分）已知圓C：x2+y2﹣8y+12＝0，直線l：ax+y+2a＝0．
（1）當(dāng)直線l與圓C相交，求a的取值范圍；
（2）當(dāng)直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且時(shí)，求直線l的方程．
【分析】（1）根據(jù)圓心到直線的距離小于半徑可得a的范圍；
（2）根據(jù)圓中相交弦長(zhǎng)的一半與半徑和圓心到直線的距離構(gòu)成直角三角形，解出參數(shù)的值．
【解答】解：（1）圓C：x2+y2﹣8y+12＝0化成標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+（y﹣4）2＝4，則此圓的圓心為（0，4），半徑為2，
當(dāng)直線l與圓 C相交，則有，解得 ；
（2）過(guò)圓心C作CD⊥AB于D，則根據(jù)題意和圓的性質(zhì)，，∴，解得a＝﹣7或a＝﹣1，
故所求直線方程為7x﹣y+14＝0或x﹣y+2＝0．
【點(diǎn)評(píng)】考查圓的相交弦長(zhǎng)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．
21．（15分）如圖，在多面體ABCDEF中，梯形ADEF與平行四邊形ABCD所在平面互相垂直，AF∥DE，DE⊥AD，AD⊥BD，AF＝AD＝BD＝DE＝1．
（1）求證：DE⊥平面ABCD；
（2）求二面角B﹣EF﹣D的余弦值；
（3）判斷線段DE上是否存在點(diǎn)Q，使得直線CQ∥平面BEF？若存在，求出的值，若不存在，說(shuō)明理由．
【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理即可證明；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面BEF與平面DEF的法向量，利用向量計(jì)算二面角的余弦值；
（3）將線面平行轉(zhuǎn)化為直線方向向量與平面法向量垂直進(jìn)行計(jì)算可得．
【解答】解：（1）證明：由題意知：
平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，
DE⊥AD，DE?平面ADEF，
故DE⊥平面ABCD；
（2）由于DE⊥平面ABCD，DC?平面ABCD，
故DE⊥DC，而DE⊥AD，AD⊥BD，
故以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA，DB，DE所在直線為x軸，y軸，z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，，
則D（0，0，0），B（0，1，0），F(xiàn)（1，0，1），E（0，0，2），
則＝（0，﹣1，2），＝（1，﹣1，1），
設(shè)平面BEF的一個(gè)法向量為＝（x，y，z），
則，令z＝1，則＝（1，2，1），
平面DEF的一個(gè)法向量可?。剑?，1，0），
則cs＜＞＝＝，
由圖可知二面角B﹣EF﹣D為銳角，
故其余弦值為；
（3）假設(shè)線段DE上存在點(diǎn)Q，使得直線CQ∥平面BEF，又C（﹣1，1，0），
設(shè)Q（0，0，t），0≤t≤2，則CQ＝（1，﹣1，t），
則＝（1，﹣1，t）?（1，2，1）＝0，即1﹣2+t＝0，得t＝1，
即Q（0，0，1），此時(shí)＝1，
即線段DE上存在點(diǎn)Q，為DE中點(diǎn)，使得直線CQ∥平面BEF，則．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面垂直的判定，考查二面角的求法，考查線面平行的判定，屬中檔題．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書(shū)面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/7/17 10:05:57；用戶：笑涵數(shù)學(xué)；郵箱：15699920825；學(xué)號(hào)：36906111

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