2022-2023學(xué)年北京市清華附中朝陽學(xué)校、望京學(xué)校高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題共10小題，每題4分，共40分，均為單選題．1．（4分）已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x|﹣1＜x＜3}，則A∩B＝（　?。?/span>A．{1，2，3} B．{x|1＜x＜3} C．{1，2} D．{x|1≤x≤2}2．（4分）命題“?x0∈R，”的否定是（　　）A．?x0∈R， B．?x0∈R， C．?x∈R，2x≤0 D．?x∈R，2x＞03．（4分）設(shè)a∈R，則“a＞1”是“a2＞a”的（　?。?/span>A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．（4分）函數(shù)y的定義域為（　?。?/span>A．（﹣3，1） B．[1，3] C．[﹣3，1] D．[0，1]5．（4分）已知函數(shù)f（x）＝x|x|﹣2x，則下列結(jié)論正確的是（　?。?/span>A．f（x）是偶函數(shù)，遞增區(qū)間是（0，+∞） B．f（x）是偶函數(shù)，遞減區(qū)間是（﹣∞，1） C．f（x）是奇函數(shù)，遞減區(qū)間是（﹣1，1） D．f（x）是奇函數(shù)，遞增區(qū)間是（﹣∞，0）6．（4分）如果x+y＜0，且y＞0，那么下列不等式成立的是（　?。?/span>A．y2＞x2＞xy B．x2＞y2＞﹣xy C．x2＜﹣xy＜y2 D．x2＞﹣xy＞y27．（4分）下列函數(shù)中，值域為[0，4]的是（　?。?/span>A．f（x）＝x﹣1，x∈{1，2，3，4，5} B．f（x）＝﹣x2+4 C．f（x） D．f（x）＝x2（x＞0）8．（4分）函數(shù)y的圖象大致為（　　）A． B． C． D．9．（4分）加工爆米花時，爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”，在特定條件下，可食用率p與加工時間t（單位：分鐘）滿足函數(shù)關(guān)系p＝at2+bt+c（a，b，c是常數(shù)），如圖記錄了三次實驗的數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和實驗數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時間為（　?。?/span>A．3.50分鐘 B．3.75分鐘 C．4.00分鐘 D．4.25分鐘10．（4分）如圖，點P在邊長為1的正方形的邊上運動，M是CD的中點，則當(dāng)P沿A﹣B﹣C﹣M運動時，點P經(jīng)過的路程x與△APM的面積y的函數(shù)y＝f（x）的圖象大致是如圖中的（　　）A． B． C． D．二、填空題共5小題，每題5分，共25分．11．（5分）若用列舉法表示集合，則A＝　           　．12．（5分）若冪函數(shù)y＝f（x）的圖象經(jīng)過點，則f（4）的值等于 　   　．13．（5分）已知奇函數(shù)f（x），當(dāng)x＞0時，f（x）＝x2+3x，那么f（﹣2）＝　      　．14．（5分）已知函數(shù)，則不等式f（x2+x+3）＞f（3x2﹣3）的x的解集是 　                  　．15．（5分）已知偶函數(shù)f（x）在[0，+∞）單調(diào)遞減，若f（﹣2）＝0，則滿足xf（x﹣1）＞0的x的取值范圍是 　                　．三、解答題共6小題，共85分，解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16．（14分）已知U＝R，A＝{x|2﹣a≤x≤2+a，a＞0}，B＝{x|x2+3x﹣4≤0}．求：（1）若a＝3，求A∪B，（?UB）∩A；（2）若B?A，求實數(shù)a的取值范圍．17．（14分）解關(guān)于x的不等式，并寫出解集：（1）；（2）ax2﹣2≥2x﹣ax（a∈R）．18．（14分）已知函數(shù)是定義在（﹣2，2）上的奇函數(shù)．（1）確定f（x）的解析式；（2）用定義證明：f（x）在區(qū)間（﹣2，2）上是減函數(shù)；（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．19．（14分）吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奧會強(qiáng)勢出圈，并衍生出很多不同品類的吉祥物手辦．某企業(yè)承接了“冰墩墩”玩具手辦的生產(chǎn)，已知生產(chǎn)此玩具手辦的固定成本為200萬元．每生產(chǎn)x萬盒，需投入成本h（x）萬元，當(dāng)產(chǎn)量小于或等于50萬盒時h（x）＝180x+100；當(dāng)產(chǎn)量大于50萬盒時h（x）＝x2+60x+3500，若每盒玩具手辦售價200元，通過市場分析，該企業(yè)生產(chǎn)的玩具手辦可以全部銷售完（利潤＝售價﹣成本，成本＝固定成本+生產(chǎn)中投入成本）（1）求“冰墩墩”玩具手辦銷售利潤y（萬元）關(guān)于產(chǎn)量x（萬盒）的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)產(chǎn)量為多少萬盒時，該企業(yè)在生產(chǎn)中所獲利潤最大？20．（14分）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)g（x）的解析式；（2）設(shè)，若存在x∈[2，3]使f（x）﹣kx≤0成立，求實數(shù)k的取值范圍．21．（15分）定義兩個非空數(shù)集A，B的“和集”為A+B＝{a+b|a∈A，b∈B}，對有限集合X，記card（X）＝|X|．（1）已知A＝{1，2，3}，B＝{﹣a|a∈A}，求出A+B與|A+B|；（2）任取非空有限數(shù)集A，B，證明：|A+B|≥|A|+|B|﹣1；（3）S＝{﹣2022，﹣2021，…，2021，2022}的非空子集T滿足：?a，b，c∈T，都有a+b+c≠0，求|T|max．
2022-2023學(xué)年北京市清華附中朝陽學(xué)校、望京學(xué)校高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題共10小題，每題4分，共40分，均為單選題．1．【解答】解：∵A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x|﹣1＜x＜3}，∴A∩B＝{1，2}．故選：C．2．【解答】解：因為特稱命題的否定是全稱命題，故命題“?x0∈R，”的否定是?x∈R，2x＞0．故選：D．3．【解答】解：由a2＞a，解得a＜0或a＞1，故“a＞1”是“a2＞a”的充分不必要條件，故選：A．4．【解答】解：由3﹣2x﹣x2＞0，可得﹣3＜x＜1，所以函數(shù)的定義域為（﹣3，1），故選：A．5．【解答】解：由函數(shù)f（x）＝x|x|﹣2x 可得，函數(shù)的定義域為R，且f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣2（﹣x ）＝﹣x|x|+2x＝﹣f（x），故函數(shù)為奇函數(shù)．函數(shù)f（x）＝x|x|﹣2x，如圖所示：故函數(shù)的遞減區(qū)間為（﹣1，1），故選：C．6．【解答】解：∵x+y＜0，且y＞0，∴x＜﹣y＜0．∴x2＞﹣xy，xy＜﹣y2，因此x2＞﹣xy＞y2．故選：D．7．【解答】解：選項A中，f（x）∈{0，1，2，3，4}；選項B中，f（x）∈（﹣∞，4]，選項C中，由﹣x2≤0，得16﹣x2≤16，則f（x）的值域為[0，4]；選項D中，f（x）＝x2，f（x）∈[0，+∞）．故選：C．8．【解答】解：函數(shù)y是奇函數(shù)，排除CD，x＞0時，y＞0，排除B；故選：A．9．【解答】解：將（3，0.7），（4，0.8），（5，0.5）分別代入p＝at2+bt+c，可得，解得a＝﹣0.2，b＝1.5，c＝﹣2，∴p＝﹣0.2t2+1.5t﹣2，對稱軸為t3.75．故選：B．10．【解答】解：當(dāng)點P在AB上時：，當(dāng)點P在BC上時：，當(dāng)點P在AB上時：，由函數(shù)可知，有三段直線，又當(dāng)點P在BC上時是減函數(shù)，故選：A．二、填空題共5小題，每題5分，共25分．11．【解答】解：由題意得：，則，∴A＝{（1，﹣1）}，故答案為：{（1，﹣1）}．12．【解答】解：設(shè)冪函數(shù)y＝f（x）＝xα，∴冪函數(shù)y＝f（x）的圖象經(jīng)過點（2，），∴f（2）＝2α，解得α，∴f（x），∴f（4）＝2，故答案為：2．13．【解答】解：∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（﹣2）＝﹣f（2）＝﹣（4+6）＝﹣10，故答案為：﹣10．14．【解答】解：作出函數(shù)的圖象如圖，由圖可知，函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)，則f（x2+x+3）＞f（3x2﹣3）?x2+x+3＞3x2﹣3，即2x2﹣x﹣6＜0，解得x＜2．∴不等式f（x2+x+3）＞f（3x2﹣3）的x的解集是（，2）．故答案為：（，2）．15．【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，若f（﹣2）＝0，則有f（2）＝0，若函數(shù)f（x）在[0，+∞）單調(diào)遞減，則在[0，2）上，f（x）＞0，在（2，+∞）上，f（x）＜0，函數(shù)f（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞增，則在（﹣∞，﹣2）上，f（x）＜0，在（﹣2，0）上，f（x）＞0，f（x﹣1）是將函數(shù)f（x）的圖象向右平移1個單位，其草圖如圖：又由xf（x﹣1）＞0，則有或，解可得x＜﹣1或0＜x＜3；即x的取值范圍為（﹣∞，﹣1）∪（0，3）．故答案為：（﹣∞，﹣1）∪（0，3）．三、解答題共6小題，共85分，解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16．【解答】解：（1）若a＝3，則A＝{x|﹣1≤x≤5}，B＝{x|﹣4≤x≤1}，則A∪B＝{x|﹣4≤x≤5}，?UB＝{x|x＞1或x＜﹣4}，所以（?UB）∩A＝{x|1＜x≤5}；（2）若B?A，則且a＞0，解得a≥6，即實數(shù)a的取值范圍為[6，+∞）．17．【解答】解：（1）由得：（5﹣x）（x+3）＞0，解得：﹣3＜x＜5，即不等式的解集為（﹣3，5）．（2）由ax2﹣2≥2x﹣ax得：ax2+（a﹣2）x﹣2＝（ax﹣2）（x+1）≥0；①當(dāng)a＝0時，不等式可化為﹣2x﹣2≥0，解得：x≤﹣1，則不等式解集為（﹣∞，﹣1]；②當(dāng)a＞0時，由（ax﹣2）（x+1）≥0得：x≤﹣1或，則不等式解集為；③當(dāng)﹣2＜a＜0時，，由（ax﹣2）（x+1）≥0得：，則不等式解集為；④當(dāng)a＝﹣2時，，不等式可化為﹣2x2﹣4x﹣2≥0，解得：x＝﹣1，則不等式解集為{﹣1}；⑤當(dāng)a＜﹣2時，，由（ax﹣2）（x+1）≥0得：，則不等式解集為；綜上所述：當(dāng)a＝0時，不等式解集為（﹣∞，﹣1]；當(dāng)a＞0時，不等式解集為；當(dāng)﹣2＜a＜0時，不等式解集為；當(dāng)a＝﹣2時，不等式解集為{﹣1}；當(dāng)a＜﹣2時，不等式解集為．18．【解答】解：（1）由奇函數(shù)的性質(zhì)得，f（0）0，故m＝0，f（x），證明：（2）設(shè)﹣2＜x1＜x2＜2，則f（x1）﹣f（x2）0，所以f（x1）＞f（x2），故f（x）在區(qū)間（﹣2，2）上是減函數(shù)；（3）因為f（x）在區(qū)間（﹣2，2）上是減函數(shù)且為奇函數(shù)，由f（t﹣1）+f（t）＜0得f（t﹣1）＜﹣f（t）＝f（﹣t），所以2＞t﹣1＞﹣t＞﹣2，解得，，故不等式的解集（，2）．19．【解答】解：（1）當(dāng)產(chǎn)量小于或等于50萬盒時，y＝200x﹣200﹣180x﹣100＝20x﹣300，當(dāng)產(chǎn)量大于50萬盒時，y＝200x﹣200﹣x2﹣60x﹣3500＝﹣x2+140x﹣3700，故，（2）當(dāng)0≤x≤50時，y≤20×50﹣300＝700，當(dāng)x＞50時，y＝﹣x2+140x﹣3700，當(dāng)時，y＝﹣x2+140x﹣3700取到最大值，為1200，因為700＜1200，所以當(dāng)產(chǎn)量為70萬盒時，該企業(yè)所獲利潤最大．20．【解答】解：（1）解法一：∵，∴g（x）＝（x﹣1）2．又，∴g（x）＝（x﹣1）2（x≥2）．解法二：令，則x＝（t﹣2）2．由于，所以t≥2．代入原式有g（t）＝（t﹣2）2+2（t﹣2）+1＝（t﹣1）2，所以g（x）＝（x﹣1）2（x≥2）．（2）∵，∴．∵存在x∈[2，3]使f（x）﹣kx≤0成立，∴在x∈[2，3]時有解．令，由x∈[2，3]，得，設(shè)h（t）＝t2﹣4t+1＝（t﹣2）2﹣3．則函數(shù)h（t）的圖象的對稱軸方程為t＝2，∴當(dāng)時，函數(shù)h（t）取得最小值．∴k，即k的取值范圍為[，+∞）．21．【解答】解：（1）∵B＝{﹣a|a∈A}＝{﹣3，﹣2，﹣1}，∴A+B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，∴|A+B|＝5．（2）證明：設(shè)A＝{a1，a2，a3，???，an}，B＝{b1，b2，b3，???，bm}，則當(dāng)|A+B|最小時，A+B＝{a1+b1，a1+b2，a1+b3，???，a1+bm，a2+bm，a3+bm，???，an+bm}，∴|A+B|min＝m+n﹣1，又|A|＝n，|B|＝m，∴|A+B|≥m+n﹣1＝|A|+|B|﹣1．（3）∵?a，b，c∈T，都有a+b+c≠0，若0∈T，則a≠﹣b，若|T|最大，則T＝{﹣2022，﹣2021，???，﹣1，0}或T＝{0，1，2，???，2021，2022}，∴|T|max＝2023；若0?T，若a∈[﹣2022，﹣1]且a∈Z，則﹣（b+c）?T，∴|T|≤2022，綜上所述：|T|max＝2023．26 11:08:01

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