1．（5分）已知A（1，﹣1，3），B＝（0，2，﹣1），則向量的坐標(biāo)是（ ）
A．（1，3，﹣4）B．（﹣1，3，﹣4）C．（1，﹣3，﹣4）D．（﹣1，﹣3，4）
2．（5分）已知長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，AA1＝1，則異面直線AB與CD1的距離是（ ）
A．B．1C．2D．3
3．（5分）已知，且∥，則x的值是（ ）
A．B．﹣2C．D．2
4．（5分）如果空間向量不共線，且，那么x，y的值分別是（ ）
A．x＝﹣1，y＝3B．x＝﹣1，y＝﹣3C．x＝1，y＝﹣3D．x＝1，y＝3
5．（5分）正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分別是線段BC、C1D的中點(diǎn)，則直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是（ ）
A．相交B．異面C．平行D．垂直
6．（5分）用a、b、c表示三條不同的直線，y表示平面，給出下列命題，其中真命題的是（ ）
①若a∥b，b∥c，則a∥c；
②若a⊥b，b⊥c，則a⊥c；
③若a∥y，b∥y，則a∥b；
④若a⊥y，b⊥y，則a∥b．
A．①②B．②③C．①④D．③④
7．（5分）設(shè)平面α與平面β相交于直線m，直線a在平面α內(nèi)，直線b在平面β內(nèi)，且b⊥m，則“α⊥β”是“a⊥b”的（ ）
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充分必要條件
D．既不充分也不必要條件
8．（5分）如圖，空間四邊形OABC中，．點(diǎn)M在OA上，且OM＝2MA，N為BC的中點(diǎn)，則＝（ ）
A．B．
C．D．
9．（5分）已知在四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AC，BD的中點(diǎn)，若AB＝2，CD＝4，EF⊥AB，則EF與CD所成的角的度數(shù)為（ ）
A．90°B．45°C．60°D．30°
10．（5分）正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段B1D1，BC1上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論中不正確的是（ ）
A．B1D⊥平面ACD1
B．平面A1C1B∥平面ACD1
C．點(diǎn)F到平面ACD1的距離為定值
D．直線AE與平面BB1D1D所成角的正弦值為定值
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。
11．（5分）已知空間向量，則＝ ．
12．（5分）若向量，，則＝ ．
13．（5分）設(shè)，分別是空間兩直線l1，l2的方向向量，則直線l1，l2所成角的大小為 ．
14．（5分）如果一條直線與一個(gè)平面垂直，則稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”．在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是 ．
15．（5分）已知平面α，β和直線m，給出條件：
①m∥α；
②m⊥α；
③m?α；
④α⊥β；
⑤α∥β．
（?。┊?dāng)滿足條件 時(shí)，有m∥β；
（ⅱ）當(dāng)滿足條件 時(shí)，有m⊥β．（填所選條件的序號(hào)）
16．（5分）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，BC＝1，點(diǎn)P在側(cè)面A1ABB1上．若點(diǎn)P到直線AA1和CD的距離相等，則A1P的最小值是 ．
三、解答題：本大題共5小題，每題14分，共70分。
17．（14分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，過(guò)BC的平面與側(cè)棱PD，PA的交點(diǎn)分別是E，F(xiàn)．
（Ⅰ）證明：EF∥BC；
（Ⅱ）若PD⊥底面ABCD，求證：AC⊥平面PBD．
18．（14分）在如圖所示的幾何體中，正方形ABCD與梯形ABEF所在平面相交，EB∥FA，F(xiàn)A＝AB＝EB．
（Ⅰ）證明：DF∥平面BCE；
（Ⅱ）若BE⊥平面ABCD，試求異面直線ED與CF所成角的余弦值．
19．（14分）如圖，矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別在線段BC和AD上，EF∥AB，將矩形ABEF沿EF折起．記折起后的矩形為MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF．
（Ⅰ）求證：CD⊥MD；
（Ⅱ）若EF＝EC，求證：平面NFC⊥平面NED．
20．（14分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD⊥平面ABCD，點(diǎn)M在線段PB上，PD∥平面MAC，，AB＝4．
（Ⅰ）求證：M為PB的中點(diǎn)；
（Ⅱ）求平面PAD與平面PBD所成角的大?。?br>21．（14分）如圖所示，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求直線BE與平面ABB1A1所成的角的正弦值；
（Ⅱ）在棱C1D1上是否存在一點(diǎn)F，使B1F∥平面A1BE？證明你的結(jié)論．
2022-2023學(xué)年北京市房山區(qū)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。
1．（5分）已知A（1，﹣1，3），B＝（0，2，﹣1），則向量的坐標(biāo)是（ ）
A．（1，3，﹣4）B．（﹣1，3，﹣4）C．（1，﹣3，﹣4）D．（﹣1，﹣3，4）
【分析】直接利用向量的線性運(yùn)算和坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用求出結(jié)果．
【解答】解：已知A（1，﹣1，3），B＝（0，2，﹣1），
故，，
所以．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量的線性運(yùn)算，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．
2．（5分）已知長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，AA1＝1，則異面直線AB與CD1的距離是（ ）
A．B．1C．2D．3
【分析】以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AD、AA1所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)锳B∥面CC1D1D，AB與CD1的距離等于AB與面CC1D1D的距離等于AD，所以，求出||即可得答案．
【解答】解：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AD、AA1所在直線分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0）、D（0，2，0），
如圖，因?yàn)锳B∥面CC1D1D，AB與CD1的距離就是AB與面CC1D1D的距離，
明顯可見(jiàn)，AD⊥面CC1D1D，所以，AB與面CC1D1D的距離為AD，又因?yàn)椋瑒t||＝，
則AB與面CC1D1D的距離為2，所以，AB與CD1的距離為2，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查異面直線之間的距離，屬于中檔題．
3．（5分）已知，且∥，則x的值是（ ）
A．B．﹣2C．D．2
【分析】利用空間向量共線性質(zhì)求解即可．
【解答】解：∵，且∥，
∴＝＝，∴x＝﹣，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量共線性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
4．（5分）如果空間向量不共線，且，那么x，y的值分別是（ ）
A．x＝﹣1，y＝3B．x＝﹣1，y＝﹣3C．x＝1，y＝﹣3D．x＝1，y＝3
【分析】利用空間向量的相等，列出方程即可求解．
【解答】解：∵空間向量不共線，且，
∴x＝1且﹣y＝3，
即x＝1且y＝﹣3，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量的相等，屬于基礎(chǔ)題．
5．（5分）正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分別是線段BC、C1D的中點(diǎn)，則直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是（ ）
A．相交B．異面C．平行D．垂直
【分析】直線AB與直線外一點(diǎn)E確定的平面為A1BCD1，EF?平面A1BCD1，且兩直線A1B與EF不平行，故兩直線相交．
【解答】解：如圖，在正方體AC1中：∵A1B∥D1C，
∴A1B與D1C可以確定平面A1BCD1，
又∵EF?平面A1BCD1，且兩直線A1B與EF不平行，
∴直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是相交，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，空間中直線與平面之間的位置關(guān)系，考查空間想象能力和思維能力，屬于中檔題．
6．（5分）用a、b、c表示三條不同的直線，y表示平面，給出下列命題，其中真命題的是（ ）
①若a∥b，b∥c，則a∥c；
②若a⊥b，b⊥c，則a⊥c；
③若a∥y，b∥y，則a∥b；
④若a⊥y，b⊥y，則a∥b．
A．①②B．②③C．①④D．③④
【分析】判斷線與線、線與面、面與面之間的關(guān)系，可將線線、線面、面面平行（垂直）的性質(zhì)互相轉(zhuǎn)換，進(jìn)行證明，也可將題目的中直線放在空間正方體內(nèi)進(jìn)行分析．
【解答】解：根據(jù)平行直線的傳遞性可知①正確；
在長(zhǎng)方體模型中容易觀察出②中a、c還可以平行或異面；
③中a、b還可以相交；
④是真命題，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】在判斷空間線面的關(guān)系，常常把他們放在空間幾何體中來(lái)直觀的分析，在判斷線與面的平行與垂直關(guān)系時(shí)，正方體是最常用的空間模型，大家一定要熟練掌握這種方法．
7．（5分）設(shè)平面α與平面β相交于直線m，直線a在平面α內(nèi)，直線b在平面β內(nèi)，且b⊥m，則“α⊥β”是“a⊥b”的（ ）
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充分必要條件
D．既不充分也不必要條件
【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合面面垂直的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵b⊥m，∴當(dāng)α⊥β，則由面面垂直的性質(zhì)可得a⊥b成立，
若a⊥b，則α⊥β不一定成立，
故“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要條件，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用線面垂直的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
8．（5分）如圖，空間四邊形OABC中，．點(diǎn)M在OA上，且OM＝2MA，N為BC的中點(diǎn)，則＝（ ）
A．B．
C．D．
【分析】直接利用向量的線性運(yùn)算的應(yīng)用求出結(jié)果．
【解答】解：在△OBC中，利用△OBC中，＝，，
所以．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：向量的線性運(yùn)算，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．
9．（5分）已知在四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AC，BD的中點(diǎn)，若AB＝2，CD＝4，EF⊥AB，則EF與CD所成的角的度數(shù)為（ ）
A．90°B．45°C．60°D．30°
【分析】設(shè)G為AD的中點(diǎn)，連接GF，GE，利用三角形中位線定理，可證出EF⊥GF且∠FEG或其補(bǔ)角即為EF與CD所成角．最后在Rt△EFG中，利用正弦的定義算出∠GEF＝30°，即得EF與CD所成的角的度數(shù)．
【解答】解：設(shè)G為AD的中點(diǎn)，連接GF，GE，
則GF，GE分別為△ABD，△ACD的中線．
由此可得，GF∥AB且GF＝AB＝1，
GE∥CD，且GE＝CD＝2，
∴∠FEG或其補(bǔ)角即為EF與CD所成角．
又∵EF⊥AB，GF∥AB，∴EF⊥GF
因此，Rt△EFG中，GF＝1，GE＝2，
由正弦的定義，得sin∠GEF＝＝，可得∠GEF＝30°．
∴EF與CD所成的角的度數(shù)為30°
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題給出空間四邊形相對(duì)的棱長(zhǎng)，在已知對(duì)角線的中點(diǎn)連線與一條棱垂直的情況下求異面直線所成的角，著重考查了是異面直線所成的定義及其求法等知識(shí)，屬于中檔題．本題利用三角形中位線定理，平行線的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
10．（5分）正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段B1D1，BC1上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論中不正確的是（ ）
A．B1D⊥平面ACD1
B．平面A1C1B∥平面ACD1
C．點(diǎn)F到平面ACD1的距離為定值
D．直線AE與平面BB1D1D所成角的正弦值為定值
【分析】根據(jù)題意，畫出示意圖，根據(jù)線面垂直的判定，面面平行的判定，以及點(diǎn)面距離的求解和線面角的求解，逐項(xiàng)分析即可．
【解答】解：對(duì)A，作圖如下：
因?yàn)锳BCD﹣A1B1C1D1是正方體，故可得AC⊥BD，且AC⊥BB1，
故AC⊥平面DBB1，又DB1?平面DBB1，故DB1⊥AC；
同理可得DB1⊥D1C，
因?yàn)锳C，D1C?平面ACD1，故DB1⊥平面ACD1，故A正確；
對(duì)B，作圖如下：
因?yàn)锳BCD﹣A1B1C1D1，故容易得A1C1∥AC，A1B∥1C，
因?yàn)锳1C1，A1B?平面A1C1B，且A1C1∩A1B＝A1，
AC，D1C?平面ACD1，且AC∩D1C＝C，
故平面A1C1B∥面ACD1，故B正確．
對(duì)C，作圖如下：
因?yàn)锽1∥AD1，且AD1?平面ACD1，故可得BC1∥平面ACD1，
又點(diǎn)F在直線BC1上運(yùn)動(dòng)，故點(diǎn)F到平面的距離恒為定值，
不妨設(shè)點(diǎn)F與C1重合，求此時(shí)的點(diǎn)面距離即可．
設(shè)點(diǎn)C1到平面ACD1的距離為h，根據(jù)等體積法即可得：
，容易得，
解得h＝．故C正確；
對(duì)D，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OE作圖如下：
容易知直線AC⊥平面BB1D1D，故∠AEO即為所求．
在Rt△AEO中，因?yàn)锳O＝，但OE，AE的長(zhǎng)度均隨著E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而變化，
故該角度的大小不確定，故直線AE與面BB1D1D所成角的正弦值不是定值，
故D錯(cuò)誤．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間中直線與平面所成的角，屬于中檔題．
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。
11．（5分）已知空間向量，則＝ 3 ．
【分析】利用空間向量的求模公式求解即可．
【解答】解：∵，
∴＝＝3，
故答案為：3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量的求模公式，屬于基礎(chǔ)題．
12．（5分）若向量，，則＝ ﹣10 ．
【分析】利用空間向量的數(shù)量積運(yùn)算求解即可．
【解答】解：∵向量，，
∴＝﹣12+2＝﹣10，
故答案為：﹣10．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
13．（5分）設(shè)，分別是空間兩直線l1，l2的方向向量，則直線l1，l2所成角的大小為 ．
【分析】利用空間向量夾角公式計(jì)算即可．
【解答】解：cs＜，＞＝＝＝0，
∴，的夾角為，即直線l1，l2所成角的大小為．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．
14．（5分）如果一條直線與一個(gè)平面垂直，則稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”．在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是 36 ．
【分析】先考慮6個(gè)表面，每一個(gè)表面有四條棱與之垂直；再考慮6個(gè)對(duì)角面，每個(gè)對(duì)角面又有兩條面對(duì)角線與之垂直．
【解答】解：正方體中，每一個(gè)表面有四條棱與之垂直，六個(gè)表面，共構(gòu)成24個(gè)“正交線面對(duì)”；
而正方體的六個(gè)對(duì)角截面中，每個(gè)對(duì)角面又有兩條面對(duì)角線與之垂直，共構(gòu)成12個(gè)“正交線面對(duì)”，
所以共有36個(gè)“正交線面對(duì)”；
故答案為36．
【點(diǎn)評(píng)】畫出圖形，分類討論．
15．（5分）已知平面α，β和直線m，給出條件：
①m∥α；
②m⊥α；
③m?α；
④α⊥β；
⑤α∥β．
（?。┊?dāng)滿足條件 ③⑤ 時(shí)，有m∥β；
（ⅱ）當(dāng)滿足條件 ②⑤ 時(shí)，有m⊥β．（填所選條件的序號(hào)）
【分析】（i）要m∥β只需m在β的平行平面內(nèi)，m 與平面無(wú)公共點(diǎn)；
（ii）直線與平面垂直，只需直線垂直平面內(nèi)的兩條相交直線，或者直線平行平面的垂線；
【解答】解：若m?α，α∥β，則m∥β；
若m⊥α，α∥β，則m⊥β．
故答案為：（i）③⑤（ii）②⑤
【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面垂直的判定與性質(zhì)，考查邏輯思維能力，是基礎(chǔ)題．
16．（5分）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，BC＝1，點(diǎn)P在側(cè)面A1ABB1上．若點(diǎn)P到直線AA1和CD的距離相等，則A1P的最小值是 ．
【分析】如圖在面A1ABB1建立P面直角坐標(biāo)系，設(shè)P（x，y）．（0≤x≤2，0≤y≤2）可得點(diǎn)P到直線AA1和CD的距離相等，，即x2＝y(tǒng)2+1．即A1P＝＝
【解答】解：如圖在面A1ABB1建立P面直角坐標(biāo)系，設(shè)P（x，y）．（0≤x≤2，0≤y≤2）
∵點(diǎn)P到直線AA1和CD的距離相等，，即x2＝y(tǒng)2+1．
∴A1P＝＝
∴當(dāng)P（，1）時(shí)，A1P最小為，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查考查推理論證能力、空間想象能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．
三、解答題：本大題共5小題，每題14分，共70分。
17．（14分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，過(guò)BC的平面與側(cè)棱PD，PA的交點(diǎn)分別是E，F(xiàn)．
（Ⅰ）證明：EF∥BC；
（Ⅱ）若PD⊥底面ABCD，求證：AC⊥平面PBD．
【分析】（Ⅰ）根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理證明即可；
（Ⅱ）根據(jù)線面垂直的判定定理證明即可．
【解答】（Ⅰ）證明：因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，
所以BC∥AD，
又因?yàn)锽C?平面PAD，AD?平面PAD，
所以BC∥平面PAD．
又因?yàn)锽C?平面BCEF，平面BCEF∩平面PAD＝EF，
所以EF∥BC．
（Ⅱ）證明：因?yàn)镻D⊥底面ABCD，AC?底面ABCD，
所以PD⊥AC，
因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，
所以AC⊥BD，
因?yàn)镻D，DB?平面PBD，PD∩DB＝D，
所以AC⊥平面PBD．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間中線面位置關(guān)系，考查了推理能力，屬于中檔題．
18．（14分）在如圖所示的幾何體中，正方形ABCD與梯形ABEF所在平面相交，EB∥FA，F(xiàn)A＝AB＝EB．
（Ⅰ）證明：DF∥平面BCE；
（Ⅱ）若BE⊥平面ABCD，試求異面直線ED與CF所成角的余弦值．
【分析】（Ⅰ）根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理即可證明；
（Ⅱ）向量法求得與夾角的余弦值，即可求解異面直線ED與CF所成角的余弦值．
【解答】（Ⅰ）證明：取BE的中點(diǎn)G，并連接GF，GC，則．
又因?yàn)椋?br>所以FA＝GB，
又因?yàn)镋B∥FA，
所以FA∥GB，
所以四邊形ABGF為平行四邊形，
所以GF∥BA，GF＝BA，
因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，
所以BA∥CD，BA＝CD，
所以GF∥CD，GF＝CD，
所以四邊形CDFG為平行四邊形，
所以DF∥CG，
因?yàn)镈F?平面BCE，CG?平面BCE，
所以DF∥平面BCE．
（Ⅱ）解：因?yàn)锽E⊥平面ABCD，AB，BC?平面ABCD，
所以BE⊥AB，BE⊥BC，
因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，
所以BC⊥AB，
以B為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)BE＝2，則FA＝AB＝1，
所以E（2，0，0），F(xiàn)（1，1，0），D（0，1，1），C（0，0，1），
所以直線ED的方向向量為，
直線CF的方向向量為．
設(shè)異面直線ED與CF所成的角為θ，則，
所以異面直線ED與CF所成角的余弦值為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查異面直線所成角的大小及正弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．
19．（14分）如圖，矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別在線段BC和AD上，EF∥AB，將矩形ABEF沿EF折起．記折起后的矩形為MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF．
（Ⅰ）求證：CD⊥MD；
（Ⅱ）若EF＝EC，求證：平面NFC⊥平面NED．
【分析】（Ⅰ）根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明；
（Ⅱ）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理即可證明．
【解答】證明：（Ⅰ）∵四邊形ABCD為矩形，又EF∥AB，
∴由題意易得EF⊥FM，EF⊥FD，且FM∩FD＝F，
∴EF⊥平面MFD，又MD?平面MFD，
∴EF⊥MD，又易知EF∥CD，
∴CD⊥MD；
（Ⅱ）∵EF＝EC，又由（Ⅰ）可得四邊形EFDC為矩形，
∴四邊形EFDC為正方形，
∴FC⊥ED，
∵平面MNEF⊥平面ECDF，
又NE⊥EF，NE?平面MNEF，平面MNEF∩平面ECDF＝EF，
∴NE⊥平面ECDF，又FC?平面ECDF，
∴FC⊥NE，又FC⊥ED，且NE∩ED＝E，
∴FC⊥平面NED，又FC?平面NFC，
∴平面NFC⊥平面NED．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查據(jù)線面垂直的判定定理，面面垂直的性質(zhì)定理，線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，屬基礎(chǔ)題
20．（14分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD⊥平面ABCD，點(diǎn)M在線段PB上，PD∥平面MAC，，AB＝4．
（Ⅰ）求證：M為PB的中點(diǎn)；
（Ⅱ）求平面PAD與平面PBD所成角的大小．
【分析】（Ⅰ）設(shè)AC，BD交點(diǎn)為E，連接ME，由線面平行得PD∥ME，由O是BD中點(diǎn)可得結(jié)論；
（Ⅱ）取AD的中點(diǎn)O，連接OP，OE，證得OP，OE，AD兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求二面角．
【解答】證明：（Ⅰ）設(shè)AC，BD交點(diǎn)為E，連接ME．
因?yàn)镻D∥平面MAC，
平面MAC∩平面PDB＝ME，
所以PD∥ME．
因?yàn)锳BCD是正方形，
所以E為BD的中點(diǎn)．
所以M為PB的中點(diǎn)．
解：（Ⅱ）取AD的中點(diǎn)O，連接OP，OE．
因?yàn)镻A＝PD，
所以O(shè)P⊥AD．
又因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，且OP?平面PAD，
所以O(shè)P⊥平面ABCD，
因?yàn)镺E?平面ABCD，所以O(shè)P⊥OE，
因?yàn)锳BCD是正方形，所以O(shè)E⊥AD，
如圖建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，
則，D（2，0，0），B（﹣2，4，0），
，，
設(shè)平面PBD的法向量為n＝（x，y，z），則
即
令x＝1，則y＝1，，于是，
易知平面PAD的法向量為．
所以，
由題知平面PAD與平面平面PBD所成的角為銳角，
所以它的大小為．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二面角的平面角，屬于中檔題．
21．（14分）如圖所示，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求直線BE與平面ABB1A1所成的角的正弦值；
（Ⅱ）在棱C1D1上是否存在一點(diǎn)F，使B1F∥平面A1BE？證明你的結(jié)論．
【分析】（Ⅰ）先取AA1的中點(diǎn)M，連接EM，BM，根據(jù)中位線定理可知EM∥AD，而AD⊥平面ABB1A1，則EM⊥面ABB1A1，從而BM為直線BE在平面ABB1A1上的射影，則∠EBM直線BE與平面ABB1A1所成的角，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則EM＝AD＝2，BE＝3，于是在Rt△BEM中，求出此角的正弦值即可．
（Ⅱ）在棱C1D1上存在點(diǎn)F，使B1F平面A1BE，分別取C1D1和CD的中點(diǎn)F，G，連接EG，BG，CD1，F(xiàn)G，因A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1＝BC，所以四邊形A1BCD1為平行四邊形，根據(jù)中位線定理可知EG∥A1B，從而說(shuō)明A1，B，G，E共面，則BG?面A1BE，根據(jù)FG∥C1C∥B1G，且FG＝C1C＝B1B，從而得到四邊形B1BGF為平行四邊形，則B1F∥BG，而B1F?平面A1BE，BG?平面A1BE，根據(jù)線面平行的判定定理可知B1F∥平面A1BE．
【解答】解：（I）如圖（a），取AA1的中點(diǎn)M，連接EM，BM，因?yàn)镋是DD1的中點(diǎn)，四邊形ADD1A1為正方形，所以EM∥AD．
又在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中．AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥面ABB1A1，從而BM為直線BE在平面ABB1A1上的射影，
∠EBM直線BE與平面ABB1A1所成的角．
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則EM＝AD＝2，BE＝，
于是在Rt△BEM中，
即直線BE與平面ABB1A1所成的角的正弦值為．
（Ⅱ）在棱C1D1上存在點(diǎn)F，使B1F平面A1BE，
事實(shí)上，如圖（b）所示，分別取C1D1和CD的中點(diǎn)F，G，連接EG，BG，CD1，F(xiàn)G，
因A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1＝BC，所以四邊形A1BCD1為平行四邊形，
因此D1C∥A1B，又E，G分別為D1D，CD的中點(diǎn)，所以EG∥D1C，從而EG∥A1B，這說(shuō)明A1，B，G，E共面，所以BG?平面A1BE
因四邊形C1CDD1與B1BCC1皆為正方形，F(xiàn)，G分別為C1D1和CD的中點(diǎn)，所以FG∥C1C∥B1B，且FG＝C1C＝B1B，因此四邊形B1BGF為平行四邊形，所以B1F∥BG，而B1F?平面A1BE，BG?平面A1BE，故B1F∥平面A1BE．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面所成的角，直線與平面平行，考查考生探究能力、空間想象能力．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/7/23 9:51:17；用戶：菁優(yōu)校本題庫(kù)；郵箱：2471@xyh.cm；學(xué)號(hào)：56380052

相關(guān)試卷

2022-2023學(xué)年北京市豐臺(tái)區(qū)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（A卷）：

這是一份2022-2023學(xué)年北京市豐臺(tái)區(qū)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（A卷），共22頁(yè)。試卷主要包含了解答題共6小題，共85分等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2022-2023學(xué)年北京市海淀區(qū)八一學(xué)校高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷：

這是一份2022-2023學(xué)年北京市海淀區(qū)八一學(xué)校高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷，共19頁(yè)。試卷主要包含了解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2024-2025學(xué)年北京市房山區(qū)高三（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含答案）：

這是一份2024-2025學(xué)年北京市房山區(qū)高三（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含答案），共10頁(yè)。試卷主要包含了單選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

2021-2022學(xué)年北京市房山區(qū)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷

2021-2022學(xué)年北京市房山區(qū)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷
北京市房山區(qū)2023-2024學(xué)年高二（上）期末考試數(shù)學(xué)試卷（含解析）

北京市房山區(qū)2023-2024學(xué)年高二（上）期末考試數(shù)學(xué)試卷（含解析）
2022-2023學(xué)年北京市房山區(qū)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷及答案

2022-2023學(xué)年北京市房山區(qū)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷及答案
北京市房山區(qū)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷(含答案)

北京市房山區(qū)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷(含答案)
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
期中專區(qū)
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部