1.[情境題航空航天]搭載神舟十八號載人飛船的運載火箭于2024年4月25日成功發(fā)射升空，3名航天員開啟了“太空出差”之旅，展現(xiàn)了中國航天科技的新高度.下列圖標(biāo)中，其文字上方的圖案是中心對稱圖形的是( )
A B C D
2.[2023·婁底]一個小組7名同學(xué)的身高(單位：cm)分別為：175，160，158，155，168，151，170.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是( )
A.151cmB.155cmC.158cmD.160cm
3.[母題教材P4習(xí)題T2]下列式子從左到右的變形是因式分解的是( )
A. a2＋4a－21＝a(a＋4)－21B. a2＋4a－21＝(a－3)(a＋7)
C.(a－3)(a＋7)＝a2＋4a－21D. a2＋4a－21＝(a＋2)2－25
4.如圖，四邊形EFGH是由四邊形ABCD平移得到的，若AD＝5，∠B＝70°，則( )
(第4題)
A. FG＝5，∠G＝70°B. EH＝5，∠F＝70°
C. EF＝5，∠F＝70°D. EF＝5，∠E＝70°
5.[2024·濟(jì)南歷下區(qū)期末]計算a2a－2－4a－4a－2的結(jié)果是( )
A. a＋2B. a－2C.1a－2D.1a+2
6.如圖，將?ABCD沿對角線BD折疊，使點A落在E處.若∠1＝56°，∠2＝42°，則∠A的度數(shù)為( )
(第6題)
A.108°B.109°C.110°D.111°
7.[2023·濱州]在某次射擊訓(xùn)練過程中，小明打靶10次的成績(環(huán))如下表所示：
則小明射擊成績的眾數(shù)和方差分別為( )
A.10環(huán)和0.1B.9環(huán)和0.1
C.10環(huán)和1D.9環(huán)和1
8.近年來，某市大力發(fā)展交通，建成多條快速通道，小張開車從家到單位有兩條路線可選擇，路線a為全程10km的普通道路，路線b包含快速通道，全程7km，走路線b比路線a平均速度提高40％，時間節(jié)省了10min，求走路線a和路線b的平均速度分別是多少？設(shè)走路線a的平均速度為xkm/h，依題意，可列方程為( )
A.10x－7(1+40%)x＝1060B.10x－7(1+40%)x＝10
C.7(1+40%)x－10x＝1060D.7(1+40%)x－10x＝10
9.如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，點D在BC上，且BD∶CD＝1∶3.連接AD，將線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，連接BE，DE，則△BDE的面積是( )
(第9題)
A.14B.38C.34D.32
10.如圖，△ABC的周長為a，以它的各邊的中點為頂點作△A1B1C1，再以△AB1C1各邊的中點為頂點作△A2B2C2……如此下去，則△AnBnCn的周長為( )
(第10題)
A.12naB.13naC.12n－1aD.13n－1a
二、填空題(每題3分，共18分)
11.[母題教材P45復(fù)習(xí)題T6]若分式x+2x2－1有意義，則x應(yīng)滿足的條件是 .
12.[2024·濰坊濰城區(qū)期末]如圖，?ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)都在AC上，添加一個條件使△BOE≌△DOF，這個條件可以是 (寫出一個即可).
(第12題)
13.已知ab＝2，a－b＝3，則代數(shù)式2a3b－4a2b2＋2ab3＝ .
14.某校為了選拔一名百米賽跑運動員參加市中學(xué)生運動會，組織了6次預(yù)選賽，其中甲、乙兩名運動員較為突出，他們在6次預(yù)選賽中的成績(單位：秒)如下表：
由于甲、乙兩名運動員的成績的平均數(shù)相同，學(xué)校決定依據(jù)他們成績的穩(wěn)定性進(jìn)行選拔，那么被選中的運動員是 .
15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A(3，0)，點B(0，2)，連接AB，將線段AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AC，連接OC，則線段OC的長度為 .
16.[2023·重慶]若關(guān)于x的一元一次不等式組x+32≤4，2x－a≥2至少有2個整數(shù)解，且關(guān)于y的分式方程a－1y－2＋42－y＝2有非負(fù)整數(shù)解，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是 .
三、解答題(共72分)
17.(6分)分解因式：
(1)x3－x；(2)2a2－4a＋2；
(3)m4－2m2＋1.
18.(6分)(1)化簡：m+2nm－n＋mn－m÷nm－n；
(2)先化簡，再求值：1－1a2－2a+1÷a－2a－1，其中a＝3.
19.(8分)如圖，在?ABCD中，點O為對角線BD的中點，EF過點O且分別交AB，DC于點E，F(xiàn)，連接DE，BF.求證：
(1)△DOF≌△BOE；
(2)DE＝BF.
20.(8分)[2024·濟(jì)南鋼城區(qū)期末]在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，△ABC是格點三角形(頂點在網(wǎng)格線的交點上).
(1)作出△ABC關(guān)于原點O成中心對稱的△A1B1C1，并寫出△A1B1C1三個頂點的坐標(biāo)；
(2)若(1)中的把△A1B1C1向上平移4個單位長度得到△A2B2C2，畫出△A2B2C2；
(3)若(2)中的△A2B2C2與△ABC成中心對稱，則對稱中心的坐標(biāo)為 .
21.(10分)[新考向傳統(tǒng)文化] “文房四寶”是中國獨有的書法繪畫工具，即筆、墨、紙、硯，文房四寶之名，起源于南北朝時期.某中學(xué)為了豐富學(xué)生的課后服務(wù)活動，開設(shè)了書法社團(tuán)，為學(xué)生購買A，B兩種型號“文房四寶”共40套，共花費4300元，其中B型號的“文房四寶”花費3000元，已知每套A型號的“文房四寶”的價格比B型號的“文房四寶”的價格高30％，求每套B型號的“文房四寶”的價格.
(1)某學(xué)習(xí)小組用表格的形式對本問題中的信息進(jìn)行了梳理，請你把表格內(nèi)容補充完整；
(2)請你完整解答本題.
22.(10分)[2024·青島萊西市期末]近年來，網(wǎng)約車給人們的出行帶來了便利，為了解網(wǎng)約車司機(jī)的收入情況，小飛和數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)從甲、乙兩家網(wǎng)約車公司分別隨機(jī)抽取10名司機(jī)的月收入進(jìn)行統(tǒng)計，并整理成如圖所示的統(tǒng)計圖.
根據(jù)以上信息，整理分析數(shù)據(jù)如表：
(1)表中a＝ ，b＝ ，c＝ ，d＝ .
(2)小飛的叔叔決定從兩家公司中選擇一家入職做網(wǎng)約車司機(jī)，如果你是小飛，你建議他選哪家公司？請簡述理由.
23.(12分)如圖，在?ABCD中，點E在邊AD上，連接EB并延長至點F，使BF＝BE，連接EC并延長至點G，使CG＝CE，連接FG，點H為FG的中點，連接DH，AF.
(1)若∠BAE＝70°，∠DCE＝20°，求∠DEC的度數(shù)；
(2)求證：四邊形AFHD為平行四邊形；
(3)連接EH，交BC于點O，若OC＝OH，求證：OE＝12BC.
24.(12分)[新視角條件探究題] (1)如圖①，O是等邊三角形ABC內(nèi)一點，連接OA，OB，OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，將△BAO繞點B順時針旋轉(zhuǎn)后得到△BCD，連接OD.
①旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為 ；
②線段OD的長為 ；
③求∠BDC的度數(shù).
(2)如圖②，O是等腰直角三角形ABC(∠ABC＝90°)內(nèi)一點，連接OA，OB，OC，將△BAO繞點B順時針旋轉(zhuǎn)后得到△BCD，連接OD，當(dāng)OA，OB，OC滿足什么條件時，∠ODC＝90°？請給出證明.
答案及點撥
一、1. C 2. D 3. B 4. B 5. B
6. C 【點撥】∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB∥CD，∴∠ABE＝∠1＝56°.
根據(jù)折疊可知∠ABD＝∠EBD，
∴∠ABD＝12∠ABE＝12×56°＝28°.
又∵∠2＝42°，
∴∠A＝180°－∠ABD－∠2＝110°.
7. C
8. A 【點撥】∵走路線b的平均速度比走路線a提高了40％，且走路線a的平均速度為xkm/h，
∴走路線b的平均速度為(1＋40％)xkm/h.
根據(jù)題意，得10x－7(1+40%)x＝1060.
9. B 【點撥】∵線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，∴AD＝AE，∠DAE＝90°，
∴∠EAB＋∠BAD＝90°.
∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠BAD＋∠CAD＝90°，∠C＝∠ABC＝45°，
∴∠EAB＝∠DAC，
∴△EAB≌△DAC(SAS)，
∴∠ABE＝∠C＝45°，CD＝BE，
∴∠EBC＝∠EBA＋∠ABC＝90°.
∵BC＝2，BD∶CD＝1∶3，
∴BD＝12，BE＝CD＝32，
∴S△BDE＝12BD·BE＝12×12×32＝38.
10. A 【點撥】∵點A1，B1，C1分別為BC，AC，AB的中點，
∴B1C1＝12BC，A1C1＝12AC，A1B1＝12AB，
∴△A1B1C1的周長＝12a，
同理，△A2B2C2的周長＝14a＝122a，….
∴△AnBnCn的周長＝12na.
二、11. x≠±1 12. OE＝OF(答案不唯一)
13.36 【點撥】2a3b－4a2b2＋2ab3＝2ab(a2－2ab＋b2)＝2ab(a－b)2，
把ab＝2，a－b＝3代入原式，
則原式＝2×2×32＝4×9＝36.
14.乙
15.34 【點撥】如圖，作CH⊥x軸于點H.
∵A(3，0)，B(0，2)，
∴OA＝3，OB＝2.
∵∠BAC＝∠AHC＝90°，
∴∠BAO＋∠HAC＝90°，
∠HAC＋∠ACH＝90°，
∴∠BAO＝∠ACH.
∵AB＝AC，∠AOB＝∠CHA＝90°.
∴△ABO≌△CAH(AAS)，
∴AH＝OB＝2，CH＝OA＝3，
∴OH＝OA＋AH＝3＋2＝5，
∴OC＝OH2＋CH2＝52＋32＝34.
16.4 【點撥】x+32≤4①，2x－a≥2②，
解不等式①，得x≤5，解不等式②，得x≥1＋a2.
∵不等式組至少有2個整數(shù)解，
∴不等式組的解集為1＋a2≤x≤5，
且1＋a2≤4，解得a≤6.
解分式方程a－1y－2＋42－y＝2，得y＝a－12.
∵分式方程的解為非負(fù)整數(shù)，∴a－12為不等于2的非負(fù)整數(shù).綜上，a可以取1，3，∴1＋3＝4.
三、17.【解】(1)x3－x＝x(x2－1)＝x(x＋1)(x－1).
(2)2a2－4a＋2＝2(a2－2a＋1)＝2(a－1)2.
(3)m4－2m2＋1＝(m2－1)2＝(m＋1)2(m－1)2.
18.【解】(1)原式＝m+2n－mm－n·m－nn
＝2nm－n·m－nn
＝2.
(2)原式＝a2－2a+1a2－2a+1－1a2－2a+1÷a－2a－1
＝a(a－2)(a－1)2·a－1a－2
＝aa－1，
當(dāng)a＝3時，原式＝33－1＝32.
19.【證明】(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，O是BD的中點，
∴AB∥DC，OB＝OD，∴∠OBE＝∠ODF.
在△BOE和△DOF中，∠OBE＝∠ODF，OB＝OD，∠BOE＝∠DOF，
∴△BOE≌△DOF(ASA).
(2)∵△BOE≌△DOF，∴EO＝FO.
又∵OB＝OD，
∴四邊形BEDF是平行四邊形，∴DE＝BF.
20.【解】(1)如圖，△A1B1C1為所求作的三角形，
A1(3，0)，B1(5，－3)，C1(1，－1).
(2)如圖，△A2B2C2為所求作的三角形.
(3)(0，2)
21.【解】(1)1 300；1.3x；13001.3x
(2)由題意，得13001.3x＋3000x＝40，解得x＝100，
經(jīng)檢驗，x＝100是原方程的解，
∴每套B型號的“文房四寶”的價格為100元.
22.【解】(1)6；6；4.5；7.6
(2)選甲公司，理由如下：
雖然兩家公司的司機(jī)月收入的平均數(shù)一樣，但是甲公司的司機(jī)月收入的中位數(shù)、眾數(shù)大于乙公司，且甲公司的司機(jī)月收入的方差小，更穩(wěn)定.
23.(1)【解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，∠BCD＝∠BAE＝70°.
∴∠DEC＝∠BCE＝∠BCD－∠DCE＝70°－20°＝50°.
(2)【證明】∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD＝BC，AD∥BC.
∵BF＝BE，CG＝CE，∴BC是△EFG的中位線，
∴BC∥FG，BC＝12FG，∴AD∥FH.
∵H為FG的中點，∴FH＝12FG，
∴BC＝FH，∴AD＝FH，
∴四邊形AFHD是平行四邊形.
(3)【證明】連接BH，CH.
∵CE＝CG，F(xiàn)H＝HG，
∴CH是△EGF的中位線.
∴CH＝12EF，CH∥EF.
∵EB＝BF＝12EF，∴BE＝CH，
∴四邊形EBHC是平行四邊形，∴OB＝OC，OE＝OH.
又∵OC＝OH，∴OE＝12BC.
24.【解】(1)①60° ②4
③∵△BCD是由△BAO繞點B順時針旋轉(zhuǎn)后得到的，
∴CD＝AO＝3，BO＝BD＝4，∠BOD＝60°，
∴△BOD為等邊三角形，∴∠BDO＝60°，OD＝OB＝4.
在△OCD中，CD＝3，OD＝4，OC＝5.
∵32＋42＝52，∴CD2＋OD2＝OC2.
∴△OCD為直角三角形，∠ODC＝90°.
∴∠BDC＝∠BDO＋∠ODC＝60°＋90°＝150°.
(2)當(dāng)OA2＋2OB2＝OC2時，∠ODC＝90°.
證明：∵△BCD是由△BAO繞點B順時針旋轉(zhuǎn)后得到的，
∴∠OBD＝∠ABC＝90°，BO＝BD，CD＝AO.
∴△OBD為等腰直角三角形.∴OD＝OB.
∵當(dāng)CD2＋OD2＝OC2時，△OCD為直角三角形，∠ODC＝90°，∴OA2＋2OB2＝OC2.
∴當(dāng)OA，OB，OC滿足OA2＋2OB2＝OC2時，∠ODC＝90°.
題 號
一
二
三
總 分
得 分
靶次
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
第6次
第7次
第8次
第9次
第10次
成績/環(huán)
8
9
9
10
10
7
8
9
10
10
運動員
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
第6次
甲
12.3
12.1
11.8
12.0
11.7
12.1
乙
12.0
12.0
12.2
11.8
12.1
11.9
總價/元
單價/(元/套)
購買套數(shù)
A型
B型
3000
x
3000x
平均數(shù)/千元
中位數(shù)/千元
眾數(shù)/千元
方差
甲公司
a
6
b
1.2
乙公司
6
c
4
d

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