一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 若，則（）
A. 6B. C. D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】先計算出，從而求出模長.
【詳解】，故.
故選：B
2. 一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列如下：，則該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)與分位數(shù)之和等于（）
A. 36B. 37C. 38D. 39
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)中位數(shù)和分位數(shù)的定義進行求解即可.
【詳解】該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為16，
因為
所以該組數(shù)據(jù)分位數(shù)，
所以該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)與分位數(shù)之和等于，
故選：C
3. 已知單位向量是平面內(nèi)的一組基底，且，若向量與垂直，則的值為（）
A. B. C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】運用數(shù)量積的定義和性質(zhì)即可得的值.
【詳解】為單位向量且，
所以，，，
向量與垂直，所以，
即，
即，
解得.
故選:A
4. 過點與圓相切的兩條直線垂直，則（）
A. B. -1C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)圓的切線性質(zhì)、正方形的判定定理進行求解即可.
【詳解】，
設該圓的圓心為，半徑為，設點為點，
如圖所示：過與圓相切的直線為，切點為，
連接，顯然，
由題意可知相切的兩條直線垂直，
所以四邊形是矩形，又因為，
所以四邊形是正方形，
因此有，
故選：D
5. 已知直線，若直線與圓交于兩點，則的最小值為（）
A. B. 2C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】先求出直線所過的定點，再根據(jù)時取得最小值結(jié)合圓的弦長公式即可得解.
【詳解】直線，即，
令，解得，
所以直線過定點，
圓的圓心，半徑，
因為，
所以點在圓內(nèi)，
則圓心到直線的距離（時取等號），
所以（時取等號），
所以的最小值為.
故選：C.
6. 如圖，在平行六面體中，，為中點，則點到直線的距離為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用空間向量基本定理、空間向量數(shù)量積的運算性質(zhì)和定義，結(jié)合空間向量夾角公式進行求解即可.
【詳解】設，
因為，
所以，
，，
因為，
所以，
因此，
所以點到直線的距離為，
故選：D
7. 若點在圓上運動，為的中點．點在圓上運動，則的最小值為（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】由題意可知，點的運動軌跡為圓，兩圓上動點距離最小值為圓心距減去兩圓半徑即可.
【詳解】∵點在圓上運動，，
∴中點到圓心的距離為，
由圓的定義可知，點的運動軌跡為以，半徑的圓，
又∵點在圓
∴的最小值為：.
故選：B.
8. 三棱錐中，，直線與平面所成的角為30°，直線與平面所成的角為，則三棱錐體積的最大值是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作出輔助線，設，表達出其他邊長，利用邊長關(guān)系得到，進而求出三棱錐的體積最大值.
【詳解】過點作⊥平面于點，連接，
則，
因為，所以，
設，則，
在平面上，且，
即，解得，
在中，，
即，解得，
綜上，，
故三棱錐體積.
故選：D
二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．
9. 在平面直角坐標系中，為坐標原點，，下列說法正確的是（）
A. 為等腰三角形
B. 中，邊上的中線所在的直線方程為
C. 重心的坐標為
D. 的重心到直線的距離為
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)兩點間距離公式、中點坐標公式、重心坐標公式，結(jié)合點到直線距離公式逐一判斷即可.
【詳解】A：因為，
所以，因此該三角形是等腰三角形，因此本選項正確；
B：中點的坐標為，
所以邊上的中線所在的直線方程為，故本選項正確；
C：因為，
所以的重心的坐標為，即，所以本選項正確；
D：直線的方程為，
所以的重心到直線的距離為，所以本選項不正確，
故選：ABC
10. 如圖，在正四棱柱中，為四邊形對角線的交點，點在線段上運動（不含端點），下列結(jié)論正確的是（）
A. 直線與直線所成角的余弦值為
B. 點到平面距離為
C. 線段上存在點，使得平面
D. 正四棱柱外接球的表面積為
【答案】AB
【解析】
【分析】構(gòu)建空間直角坐標系，向量法求線線角、點面距離，判斷線面位置關(guān)系，根據(jù)正四棱柱外接球半徑是體對角線的一半，應用球體表面積公式求表面積.
【詳解】構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標系，則，
所以，則，
所以直線與直線所成角的余弦值為，A對；
由，則，若是面一個法向量，
故，令，則，而，
所以點到平面的距離，B對；
由且，則，顯然不可能與平行，C錯；
由正四棱柱的外接球半徑為體對角線的一半，即為，故外接球的表面積為，D錯.
故選：AB
11. 某市教育局為了解該市高中各年級學生的文學經(jīng)典名著的年閱讀量，采用樣本比例分配的分層隨機抽樣抽取了一個容量為100的樣本．其中，從高三年級抽取容量為20的樣本，平均數(shù)為4，方差為9；從高二年級容量為40的樣本，平均數(shù)為7，方差為15；從高一年級抽取容量為40的樣本，平均數(shù)為9，方差為21，據(jù)此估計，三所學校的學生文學經(jīng)典名著的年閱讀量的（）
A. 均值為6.2B. 均值為7.2
C. 方差為19.56D. 方差為20.56
【答案】BC
【解析】
【分析】利用平均數(shù)公式和總體方差與部分方差的公式進行求解.
【詳解】AB選項，三所學校的學生文學經(jīng)典名著的均值為
，A錯誤，B正確；
CD選項，三所學校的學生文學經(jīng)典名著的方差為
，
C正確，D錯誤.
故選：BC
12. 在平面直角坐標系中，，點在圓上運動，下列說法正確的是（）
A. 點到直線的距離最大值是
B. 過直線上任意一點作圓的兩條切線，切點分別為，直線過定點
C. 的最小值為
D. 的最小值為10
【答案】BCD
【解析】
【分析】對A，求出直線的方程，算出圓心到該直線的距離，進而通過圓的性質(zhì)即可判斷；
對B，設為直線上任意一點，過點作圓的兩條切線，切點分別為，
先求出切點所在圓的方程，再與圓的方程聯(lián)立作差，得到直線的方程，即可求其定點,即可判斷；
對C，利用三角代換轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，通過三角函數(shù)求最值即可判斷；
對D，利用轉(zhuǎn)化思想，結(jié)合點在圓上，探求一定點，利用三點共線時取最值，即可判斷.
【詳解】由圓的方程可得，圓心，半徑，
由得，，所以直線的方程為，
即，
對選項A，圓心到直線的距離為：，
所以點到直線的距離最大值是，故選項A錯誤；
對選項B，設為直線上任意一點，過點作圓的兩條切線，切點分別為，連接，如圖所示：
由直線與圓相切性質(zhì)可知：，
所以在以為直徑的圓上，其圓心為的中點，設為，
設，
所以，，
半徑為，
所以所在圓的方程為：，
整理得，
將圓與圓的方程聯(lián)立，
作差得直線的方程，
因為點在直線上，
所以，，
代入直線的方程得，
整理得，
所以解得，
所以直線恒過定點，故選項 B正確；
對選項C，由在上，
所以可設，
所以，，
所以，
化簡可得，，
即，
所以，其中，
故當時，的最小值為，故選項C正確；
對選項D，，
設存定點，使得點在圓上運動時均有，
設，則有，
化簡可得，①
又因為，即，②
②代入①化簡可得，
即，
所以，所以，
因為，當三點共線，且在線段上時，，
所以，
所以的最小值為10，故選項D正確.
故選：BCD.
三?填空題：本題共4小題，每小題6分，共20分．
13. 甲?乙?丙三人參加一次面試，他們通過面試的概率分別為，所有面試是否通過互不影響．那么三人中恰有兩人通過面試的概率是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)事件獨立性和互斥性直接計算求解即可.
【詳解】三人中恰有兩人通過面試，可能情況為甲和乙通過、丙未通過；甲和丙通過、乙未通過；乙和丙通過、甲未通過.
根據(jù)事件互斥性可知所求概率為.
故答案為：
14. 已知點在曲線上運動，則的最大值為__________．
【答案】##
【解析】
【分析】曲線以原點為圓心，2為半徑的上半圓，表示上半圓上的點與連線的斜率，作出圖形，可知當直線與半圓相切時的斜率即得結(jié)果.
【詳解】變形為，它是以原點為圓心，2為半徑的上半圓，
如圖，
在上半圓上，表示點與連線的斜率，
由題意得，當直線與半圓相切時斜率最大，
設直線與半圓相切時直線斜率為，直線方程，即，
因此，解得（由圖舍去），
所以的最大值為.
故答案為：
15. 正方體棱長為為平面的中心，點在側(cè)面內(nèi)運動且，則最小值是__________．
【答案】##
【解析】
【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量垂直的坐標表示公式，結(jié)合空間兩點間距離公式進行求解即可.
【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，
，
因為為平面的中心，所以，
，
因為，
所以，
，
當時，有最小值，
故答案為：
【點睛】關(guān)鍵關(guān)鍵：本題的關(guān)鍵是建立空間直角坐標系，利用配方法.
16. 若非零實數(shù)對滿足關(guān)系式，則__________．
【答案】或
【解析】
【分析】化簡轉(zhuǎn)化為點到直線的距離，利用直線的位置關(guān)系即可求解.
【詳解】由，
可得，
可以看成點到直線的距離，
可以看成點到直線的距離，
因為，
所以.
因為，，
所以當點，在直線同側(cè)時，直線與直線平行，
當點，在直線異側(cè)時，，關(guān)于直線對稱，
因為直線的斜率，
直線的斜率為，
所以或，
所以或.
故答案為：或.
四?解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟．
17. 已知直線過點．
（1）若直線與直線垂直，求直線的方程
（2）若直線在兩坐標軸的截距互為相反數(shù)，求直線的方程．
【答案】（1）；
（2）或．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)直線方程垂直設出方程求解未知數(shù)即可；
（2）根據(jù)截距的概念分類討論求方程即可.
【小問1詳解】
因為直線與直線垂直，
所以可設直線的方程為，
因為直線過點，所以，解得，
所以直線的方程為
【小問2詳解】
當直線過原點時，直線的方程是，即．
當直線不過原點時，設直線的方程為，
把點代入方程得，所以直線的方程是．
綜上，所求直線的方程為或
18. 已知的內(nèi)角的對邊分別為，且．
（1）求外接圓半徑.
（2）求周長的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理邊化角，結(jié)合余弦定理即可求解.
（2）由余弦定理結(jié)合基本不等式，即可求得周長的最大值.
【小問1詳解】
設外接圓半徑為，
因為，,，
所以，則，
即，整理得，
所以由余弦定理可得，，
因為，所以，
故外接圓半徑.
【小問2詳解】
因為，
所以，即，
又因為，，
所以，即，當且僅當?shù)忍柍闪?
又因為，，
故的周長的最大值為．
19. 如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面分別是中點．
（1）求證：平面；
（2）若與平面所成角為，求平面與平面夾角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）設為中點，連接，證明即可；
（2）利用向量法求出兩個平面的法向量，再利用平面與平面的夾角公式計算即可.
【小問1詳解】
設為中點，連接，
又分別是中點，
所以，，
又底面是正方形，
所以，，故四邊形為平行四邊形，則，
由平面平面，則平面.
【小問2詳解】
由題意知，以為原點，構(gòu)建空間直角坐標系，
令，則，
所以，
所以，
令為平面的一個法向量，則，
令，即，
令為平面的一個法向量，則，
令，即，
所以，
即平面與平面夾角的余弦值．
20. 已知定點，點B為圓上的動點．
（1）求AB的中點C的軌跡方程：
（2）若過定點的直線與C的軌跡交于M，N兩點，且，求直線的方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）設，由中點坐標公式得出點的坐標，代入，即可得到的軌跡方程；
（2）當直線的斜率不存在時，直線的方程為，驗證是否滿足題意，當直線的斜率存在時，設直線的方程為，利用圓心距，半徑，半弦長的關(guān)系，即可求解.
【小問1詳解】
設點的坐標為，則點的坐標為，
點為圓上的動點，
化簡得，
故的軌跡方程為．
【小問2詳解】
由圓可得，圓心坐標為，半徑，
當直線的斜率不存在時，直線的方程為，
此時圓心到直線的距離是，
所以，滿足條件；
當直線的斜率存在時，設直線的方程為，
化簡得，
因為，故圓心到直線的距離，
由圓心到直線的距離公式得，
所以，即，平方得，
整理得，解得，
直線的方程為，即，
故直線的方程為或．
21. 為了模擬“田忌賽馬”故事中，雙方的對陣情況．甲?乙分別擁有3張寫有數(shù)字的卡片，甲的3張卡片上的數(shù)字分別為．乙的3張卡片上的數(shù)字分別為，已知．他們按“田忌賽馬”故事中規(guī)則做一個“出示卡片，比數(shù)字大小”的游戲：甲?乙各出示1張卡片，比較卡片上的數(shù)字的大小，然后丟棄已使用過的卡片．他們共進行了三次，直至各自用完3張卡片，且在出示卡片時雙方都不知道對方所出示的卡片上的數(shù)字，三次“出示卡片，比數(shù)字大小”之后，認定至少有兩次數(shù)字較大的一方獲得勝利．
（1）若甲，乙二人按照“田忌賽馬”故事中雙方第一次對陣出牌，即第一次甲出示的卡片上寫有數(shù)字X，乙出示的卡片上寫有數(shù)字z，后兩次則任意出牌，求甲最終獲得勝利的概率：
（2）記事件A=“第一次甲出示的卡片上的數(shù)字大”，事件B=“乙獲得勝利”，計算事件A和B的概率，并說明事件A與事件B是否相互獨立．
【答案】（1）
（2），，事件與事件不獨立．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)互斥事件與獨立事件概率公式求解即可；
（2）確定事件的樣本空間，利用古典概型計算即可.
【小問1詳解】
由于第一次甲出示的卡片上的數(shù)字較大，故第二次或第三次甲出示的卡片上的數(shù)字必須較大才能獲得勝利，即要對，甲才能獲得勝利．
所以甲獲得勝利為事件，則．
【小問2詳解】
在第一次出示的卡片中，樣本空間為第一次雙方出示的卡片上的數(shù)字匹配情況，則
所以．
記，，
則三次出示卡片甲?乙卡片上數(shù)字匹配情況的樣本空間為
B=“乙獲得勝利"，則，所以．
．故事件與事件不獨立．
22. 在平面直角坐標系中，圓為過點的圓．
（1）求圓的標準方程：
（2）過點作直線，交圓于兩點，不在軸上．
①過點作與直線垂直的直線，交圓于兩點，記四邊形的面積為，求的取值范圍：
②設直線相交于點，試討論點是否在定直線上，若是，求出該直線方程：若不是，說明理由．
【答案】（1）
（2）①；②點在定直線上.
【解析】
【分析】（1）設出圓方程，代入求解即可；（2）直線的方程為，分與兩種情形討論，，即計算弦長即可得；（3）聯(lián)立直線與圓的方程，進而求解直線，求出點G橫坐標，化簡即可.
【小問1詳解】
設圓的標準方程為
圓的標準方程為
【小問2詳解】
設直線的方程為，即．則圓心到直線的距離
（i）若，則直線為軸，此時，
則，
若，則直線為，即．
則圓心到直線的距離
，當且僅當時取等
綜上所述：
（ii）設，聯(lián)立方程組可得：
直線方程為，直線方程為，聯(lián)立可得的橫坐標
由①可知
點在定直線上.

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