班級：__________姓名：__________學(xué)號：__________
一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分?在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.已知向量，若，則（ ）
A. B.4 C. D.
2.直線的傾斜角等于（ ）
A. B. C. D.
3.與向量共線的單位向量可以為（ ）
A. B. C. D.
4.如圖，在平行六面體中，點分別為的中點，則（ ）
A. B.
C. D.
5.已知，且，則在上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
6.如圖，在三棱錐中，為等邊三角形，為等腰直角三角形，，平面平面為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A. B. C. D.
7.如圖，二面角等于是棱上兩點，分別在半平面內(nèi)，，且，則的長等于（ ）
A. B. C.4 D.2
8.如圖，在直三棱柱中，，已知與分別為和的中點，與分別為線和上的動點（不包括端點），若?則線段長度的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9.若向量與的夾角為銳角，則實數(shù)的值可能為（ ）.
A.4 B.5 C.6 D.7
10.下列命題是真命題的有（ ）
A.直線的方向向量為，直線的方向向量為，則與垂直
B.直線的方向向量為，平面的法向量為，則
C.平面的法向量分別為，則
D.平面經(jīng)過三點，向量是平面的法向量，則
11.如圖，棱長為2的正方體中，分別為棱的中點，為線段上的動點則（ ）
A.三棱錐的體積為定值
B.存在點，使得平面
C.為中點時，直線與所成角最小
D.點到直線距離的最小值為
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.已知向量，則向量與的夾角為__________.
13.已知空間向量，若，則__________.
14.如圖，棱長為2的正方體中，為的中點，點在底面上（包括邊界）移動，且滿足，則點在底面上運動形成的軌跡長度為__________.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15.（13分）已知三角形的頂點坐標(biāo)為.
（1）求過點且與邊平行的直線；
（2）求邊上的高所在的直線方程.
16.（15分）在中，角的對邊分別為，且.
（1）求：
（2）若，求的面積.
17.（15分）在正四棱柱中，，點在線段上，且，點為中點.
（1）求點到直線的距離；
（2）求證：面.
18.（17分）如圖，平面，點分別為的中點.
（1）求證：平面：
（2）求平面與平面夾角的正弦值：
（3）若為線段上的點，且直線與平面所成的角為，求到平面的距離.
19.（17分）如圖，在四棱錐中，平面平面，.
（1）求證：平面.
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
（3）在棱上是否存在點，使得平面若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
高二上9月月考數(shù)學(xué)卷答案
12. 13. 14.
8.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，設(shè)點坐標(biāo)為，
故，因為，
故可得，則，由可得，
又，故，
故當(dāng)時，取得最小值；又當(dāng)時，，但無法取到，則無法取到1；
綜上，線段長度的取值范圍為.故選：A
11.【詳解】
如圖，以點為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系.
則，
.
對于A項，在正方體中，平面平面平面，
由面面平行的性質(zhì)可得，平面，由點在線段上，
則到平面的距離，即點到平面的距離等于.
因為，所以則是個定值，故A項正確：
對于項，假設(shè)存在點，使得平面.設(shè).
，
則.所以，
，所以，滿足條件.
此時有平面平面，
所以，存在點，使得平面，故B項正確；
對于C項，設(shè)直線與所成角為.因為.
所以，
所以.因為，
所以當(dāng)時，有最小值，顯然有，則有最大值，
根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)時，有最小值，故C項錯誤；
對于D項，因為，
所以，在方向上投影向是的長度為，
由知，當(dāng)時，有最小值，則有最大值為，又，所以點到直線距離的最小值為，故D項錯誤.故選：AB.
14.【詳解】由正方體棱長為2，以為坐標(biāo)原點，分別以為軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系；設(shè)且，
易知，可得，
由可知，即，
即.
當(dāng)時，，即圖中的中點；當(dāng)時，，即圖中點；
即可得點在底面上運動形成的軌跡為線段，易知.故答案為：
15.【詳解】（1）因為，由直線的點斜式方程可得，化簡可得.
（2）由（1）可知，，則邊上的高所在的直線斜率為，
由直線的點斜式方程可得，化簡可得.
16.【詳解】（1）因為，所以.
因為，所以.因為，所以，所以由，得.
因為，所以.
（2）由余弦定理知.
因為，所以，所以，故的面積.
17.【詳解】（1）
如圖，以為原點，以分別為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，
正四棱柱為中點，
則點到直線的距離為：.
（2）由（1）可得，則，
由可得，又由可得，
又，故上面.
18.【詳解】（1）連接，因為，所以，又因為，所以為平行四邊形.
由點和分別為和的中點，可得且，
因為為的中點，所以且；
可得且，即四邊形為平行四邊形，
所以，又平面平面，所以平面.
（2）因為平面，可以建立以為原點，
分別以的方向為軸，軸，軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系.依題意可得，
.
，
設(shè)為平面的法向量，
則，即，不妨設(shè)，可得，
設(shè)為平面的法向里，則，即，不妨設(shè)，可得，.
，于是.所以，二面角的正弦值為.
（3）設(shè)，即，則.
從而.由（2）知平面的法向量為，
由題意，，即，
整理得，解得或，因為所以，所以則到平面的距離為.
19.【詳解】（1）平面平面，且平面平面，
且平面平面平面，
又，且平面平面；
（2）取中點為，連接，又.則，，則，
以為坐標(biāo)原點，分別以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，
則，
設(shè)為平面的一個法向量，
則由，得，令，則.
設(shè)與平面的夾角為，則；
（3）假設(shè)在棱上存在點點，使得平面.
設(shè)，由（2）知，，則，
，
由（2）知平面的一個法向量.若平面，則，
解得，又平面，故在棱上存在點點，使得平面，此時.題號
1
2
3
4
6
6
7
8
9
10
11
答案
A
D
D
A
C
D
C
A
CD
AD
AB

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