一、單選題（本大題共8小題）
1．復(fù)數(shù)滿足（i為虛數(shù)單位），則（ ）
A．2B．4C．D．
2．，，若//，則（ ）
A．0B．C．4D．2
3．甲、乙兩人獨(dú)自破譯密碼，兩個人都成功地破譯密碼的概率為0.3，甲成功且乙沒有成功破譯密碼的概率為0.2，則甲成功破譯密碼的概率為（ ）
A．0.5B．0.6C．0.06D．
4．已知m，n是空間兩條不重合的直線，是兩個不重合的平面，則下列命題錯誤的是（ ）
A．，，，則
B．，，，則
C．，，，則
D．，，，則
5．已知甲、乙兩位同學(xué)在一次射擊練習(xí)中各射靶10次，射中環(huán)數(shù)頻率分布如圖所示：

令，分別表示甲、乙射中環(huán)數(shù)的均值；，分別表示甲、乙射中環(huán)數(shù)的方差，則（ ）
A．，B．，
C．，D．，
6．如圖，在長方體中，，，，，，則直線與所成角的余弦值為（ ）

A．B．C．D．
7．已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，的面積為，，，則（ ）
A．B．C．D．
8．在直角梯形中，分別為 的中點(diǎn)，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓弧上運(yùn)動（如圖所示）．若，其中，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．質(zhì)地均勻的正四面體模型四個表面分別標(biāo)有四個數(shù)字，拋擲一次并記錄與地面接觸面上的數(shù)字，記事件“數(shù)字為2的倍數(shù)”為事件，“數(shù)字是5的倍數(shù)”為事件，“數(shù)字是7的倍數(shù)”為事件，則下列選項不正確的是（ ）
A．事件，，兩兩互斥
B．事件與事件對立
C．
D．事件，，兩兩獨(dú)立
10．某保險公司為客戶定制了5個險種：甲，一年期短險；乙，兩全保險；丙，理財類保險；丁，定期壽險：戊，重大疾病保險，各種保險按相關(guān)約定進(jìn)行參保與理賠．該保險公司對5個險種參?？蛻暨M(jìn)行抽樣調(diào)查，得出如下的統(tǒng)計圖例：
用該樣本估計總體，以下四個選項正確的是（ ）
A．54周歲以上參保人數(shù)最少B．18～29周歲人群參?？傎M(fèi)用最少
C．丁險種更受參保人青睞D．30周歲以上的人群約占參保人群
11．在直三棱柱中，，且，為線段上的動點(diǎn)，則（ ）

A．
B．三棱錐的體積不變
C．的最小值為
D．當(dāng)是的中點(diǎn)時，過三點(diǎn)的平面截三棱柱外接球所得的截面面積為
三、填空題（本大題共1小題）
12．已知數(shù)據(jù)，，，，的方差為，則數(shù)據(jù)，，，，的方差為 ；
四、單選題（本大題共1小題）
13．同時拋擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子，則兩顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為4的概率為 ；
五、填空題（本大題共1小題）
14．如圖，在棱長為2的正方體中，，分別為棱、的中點(diǎn)，為棱上的一點(diǎn)，且，設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，則點(diǎn)N到平面的距離為 .
六、解答題（本大題共5小題）
15．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱的長為2，且與、的夾角都等于60°，M在棱上，，設(shè)，，．

(1)試用，，表示出向量；
(2)求．
16．已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示．
(1)求的解析式：
(2)求的單調(diào)遞增區(qū)間；
(3)若將的圖象向右平移個單位，再向上平移1個單位得到的圖象，當(dāng)時，求的值域．
17．已知的內(nèi)角的對邊分別為，且．
(1)求角；
(2)設(shè)是邊上一點(diǎn)，為角平分線且，求的值．
18．某調(diào)研機(jī)構(gòu)為了了解人們對“奧運(yùn)會”相關(guān)知識的認(rèn)知程度，針對本市不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“奧運(yùn)會”知識競賽，滿分100分（95分及以上為認(rèn)知程度高），結(jié)果認(rèn)知程度高的有人，按年齡分成5組，其中第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有10人.
(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計這人的平均年齡；
(2)現(xiàn)從以上各組中用分層隨機(jī)抽樣的方法選取20人，擔(dān)任本市的“奧運(yùn)會”宣傳使者.若有甲（年齡38），乙（年齡40）兩人已確定入選，現(xiàn)計劃從第四組和第五組被抽到的使者中，再隨機(jī)抽取2名作為組長，求甲、乙兩人至少有一人被選上的概率；
(3)若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為36和，第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為42和1，據(jù)此估計這人中35~45歲所有人的年齡的方差.
19．已知平面四邊形，，，，現(xiàn)將沿邊折起，使得平面平面，此時，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．
(1)求證：平面；
(2)若為的中點(diǎn)
①求與平面所成角的正弦值；
②求二面角的平面角的余弦值．
參考答案
1．【答案】D
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則求得，再利用模長公式即可求解.
【詳解】由可得，
所以.
故選：D
2．【答案】B
【分析】根據(jù)向量共線的條件進(jìn)行求解
【詳解】由//，則，使得，即，解得.
故選：B
3．【答案】A
【分析】利用獨(dú)立事件，列概率的方程，利用解方程求解即可.
【詳解】因為甲、乙兩人獨(dú)自破譯密碼，故甲、乙兩人破譯密碼為獨(dú)立事件.
設(shè)甲?乙?兩人獨(dú)立破譯的事件分別記為A，B，則
則
解得：
故選：A.
4．【答案】C
【分析】對于由線面平行的性質(zhì)定理即可判定；對于,可利用排除的思想；
對于,根據(jù)條件可直接判定或者與相交，錯誤；
對于，通過構(gòu)造平面，利用平面與平面所成角的大小即可判定.
【詳解】對于由線面平行的性質(zhì)定理可知正確；
對于,，，或者，又則，故正確；
對于,由，，，則或者與相交或者異面，則不一定成立，故錯誤；
對于,若，，，則與一定不平行，否則有，與已知矛盾，
通過平移使與相交，設(shè)與確定的平面為，則與和的交線所成的角即為和所成的角，
又，所以與所成的角為，故正確.
故選:.
5．【答案】D
【分析】根據(jù)頻率分布圖分別計算，，比較大小可得.
【詳解】由圖可知，
，
，
所以，.
故選：D.
6．【答案】B
【分析】取上靠近的三等分點(diǎn)F，取上三等分點(diǎn)，可知直線與所成角即為直線與所成角，求出，在中，由余弦定理求解即可.
【詳解】取上靠近的三等分點(diǎn)F，取上三等分點(diǎn)，
連接，
因為，所以四邊形是平行四邊形，
所以，所以直線與所成角即為直線與所成角，
，
由正方體的性質(zhì)可得：平面，平面，
所以平面，所以，，
，，
，
在中，，
所以直線與所成角的余弦值為.
故選：B.

7．【答案】A
【分析】由面積公式得到，再將切化弦，結(jié)合兩角和的正弦公式、誘導(dǎo)公式得到，利用正弦定理將角化邊得到，由余弦定理得到，最后利用余弦定理計算可得.
【詳解】因為，又，
所以，又，所以，
所以，即，顯然，所以，
因為，，
又，所以，
所以，由正弦定理可得，
又由余弦定理，即，
所以，則，
由余弦定理，
又，所以.
故選A.
【思路導(dǎo)引】本題解答的關(guān)鍵是推導(dǎo)出、，再由余弦定理計算可得.
8．【答案】B
【詳解】
建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，
則，
設(shè)，
，
因為，所以，
可得，解得，
所以
，
因為，所以，
可得，
所以.
故選B.
【方法總結(jié)】向量平行(共線)、垂直、線性運(yùn)算與三角函數(shù)的綜合此類題型的解答一般是利用向量平行(共線)、垂直關(guān)系、線性運(yùn)算得到三角函數(shù)式，再利用三角恒等變換對三角函數(shù)式進(jìn)行化簡，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行求解．
9．【答案】ABC
【詳解】依題意拋擲一次可能出現(xiàn)的結(jié)果有，，，，
事件包含的基本事件有，，則；
事件包含的基本事件有，，則；
事件包含的基本事件有，，則；
顯然事件與事件，事件與事件，事件與事件均可以同時發(fā)生，
故事件與事件，事件與事件，事件與事件均不互斥，故A錯誤；
事件包含的基本事件有，，，
事件包含的基本事件有，
當(dāng)出現(xiàn)時事件與事件均發(fā)生，故事件與事件不互斥，
顯然不對立，故B錯誤；
又事件包含的基本事件有，所以，
所以，故C錯誤；
因為事件包含的基本事件有，所以，所以與相互獨(dú)立；
因為事件包含的基本事件有，所以，所以與相互獨(dú)立；
因為事件包含的基本事件有，所以，所以與相互獨(dú)立；
即事件，，兩兩獨(dú)立，故D正確.
故選ABC
10．【答案】AC
【分析】
根據(jù)選項逐一對相應(yīng)的統(tǒng)計圖進(jìn)行分析判斷即可.
【詳解】
解：對A：由扇形圖可知，54周歲以上參保人數(shù)最少，故選項A正確；
對B：由折線圖可知，18～29周歲人群人均參保費(fèi)用最少，但是由扇形圖知參保人數(shù)并不是最少的，所以參?？傎M(fèi)用不是最少，故選項B錯誤；
對C：由柱狀圖可知，丁險種參保比例最高，故選項C正確；
對D：由扇形圖可知，30周歲以上的人群約占參保人群，故選項D錯誤.
故選：AC.
11．【答案】ABD
【分析】由線面垂直證明線線垂直證明選項A；，由底面積和高判斷體積驗證選項B；轉(zhuǎn)化為點(diǎn)和點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和，計算驗證選項C；通過構(gòu)造直角三角形求截面半徑，計算體積驗證選項D.
【詳解】連接，如圖所示，

直三棱柱中，，
為正方形，，
，平面，平面，，
平面，，平面，
平面，，A選項正確；
由直三棱柱的結(jié)構(gòu)特征，，故三棱錐的體積為定值，B選項正確；
設(shè)，，，
，
，
，其幾何意義是點(diǎn)和點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和，最小值為點(diǎn)到點(diǎn)的距離，為，C選項錯誤；
當(dāng)是的中點(diǎn)時，，，，
，
，，
，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，
得，，
直三棱柱是正方體的一半，外接球的球心為的中點(diǎn)，外接球的半徑，點(diǎn)到平面的距離為，
則過三點(diǎn)的平面截三棱柱外接球所得截面圓的半徑為，截面面積為，D選項正確.
故選：ABD
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：
對于線面位置關(guān)系的判定中，熟記線面平行與垂直、面面平行與垂直的定理是關(guān)鍵；與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，通過構(gòu)造直角三角形求半徑.
12．【答案】20
【分析】根據(jù)公式計算即可.
【詳解】因為數(shù)據(jù)，，，，的方差為，
所以數(shù)據(jù)，，，，的方差為.
故答案為：20
13．【答案】
【分析】按古典概型概率公式求解.
【詳解】同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，基本事件共有個；
設(shè)兩枚骰子點(diǎn)數(shù)之和為4為事件，則事件包含：，，共3個基本事件，
所以.
故答案為：
14．【答案】
【分析】以為原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法，即可求解點(diǎn)N到平面的距離，得到答案.
【詳解】由題意，以為原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
可得，
設(shè)平面的一個法向量為，
則，令，可得，
所以點(diǎn)N到平面的距離.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)到平面的距離的求法，以及空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系等知識的應(yīng)用，著重考查了空間想象能力，以及推理與運(yùn)算能力.
15．【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）由向量對應(yīng)線段的位置關(guān)系，結(jié)合向量加減、數(shù)乘的幾何意義用，，表示出即可；
（2）應(yīng)用數(shù)量積的運(yùn)算律及其定義求即可.
【詳解】（1）由圖知：，，
.
（2）
.
16．【答案】(1)
(2)單調(diào)遞增區(qū)間是，
(3)
【詳解】（1）由圖象可知：，解得：，，
又由于，可得：，所以，
由圖象知，，又因為，
所以，．所以．
（2）由，，得，．
函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，．
（3）依題可得，因為，
則，所以，
即的值域為．
【方法總結(jié)】根據(jù)圖象求函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的解析式:
(1)A=ymax-ymin2:振幅A可以利用圖象最高點(diǎn)與最低點(diǎn)縱坐標(biāo)的差來求;
(2)B=ymax+ymin2:B可以利用圖象最高點(diǎn)與最低點(diǎn)縱坐標(biāo)的和(或?qū)ΨQ中心的縱坐標(biāo))來求;
(3)ω=2πT:角頻率ω可以利用周期T來求,周期T的求法(觀察圖象):①相鄰對稱軸(最值)之間相距T2;②相鄰對稱中心之間相距T2;③相鄰對稱軸與對稱中心之間相距T4;④相鄰最高(低)點(diǎn)之間相距T;
(4)φ:初相φ可以通過特殊值(最大值,最小值,零點(diǎn)等)來求.
17．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)，利用正弦定理得到，再利用余弦定理求解；
（2）在中，，得到，再由為角平分線，得到，然后利用余弦定理求解.
【詳解】（1）解：由正弦定理得，
即，
利用余弦定理可知，
因為，所以；
（2）在中，，
所以，
即，
因為為角平分線，所以，所以，
由余弦定理，得，
則，
因此．
18．【答案】(1)歲；
(2)；
(3)10.
【分析】(1)由頻率分布直方圖的平均數(shù)算法可得；
(2)根據(jù)古典型概念公式可得；
(3)根據(jù)分層抽樣平均數(shù)和方差公式可得.
【詳解】(1)設(shè)這人的平均年齡為，則
(2)由題意得，第四組應(yīng)抽取人，記為（甲），，，，
第五組抽取人，記為（乙），，
對應(yīng)的樣本空間的樣本點(diǎn)為：
設(shè)事件為“甲、乙兩人至少一人被選上”，則
，
所以.
(3)設(shè)第四組、第五組的宣傳使者的年齡的平均數(shù)分別為，，方差分別為，，
則，，，，
設(shè)第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為，方差為，
則，
，
因此第四組和第五組所有宣傳使者的年齡方差為10.
據(jù)此估計這人中35~45歲所有人的年齡的方差為10.
19．【答案】(1)證明見解析
(2)①；②．
【分析】（1）利用面面垂直證明線面垂直，再證明線線垂直，從而可證明線面垂直；
（2）因為線面垂直可證明更多的空間垂直關(guān)系，所以本題的線面角和二面角都可以通過作圖，得到它們的平面角，從而解三角形即可得到平面角的三角函數(shù)值.
【詳解】（1）因為，，所以為等邊三角形，
因為為的中點(diǎn)，所以．
取的中點(diǎn)，連接，，則，
因為平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以．
因為，，，平面，所以平面，
因為平面，所以，
又因為,，，平面，所以平面．
（2）①過點(diǎn)作，垂足為．如圖所示，
由（1）知，平面．因為平面，所以．
，所以平面，
所以就是與平面所成角的平面角．
由（1）知，平面，平面，所以．
在中，，，，
因為為的中點(diǎn)，所以．
在中，，
在中，，
在中，，
所以由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得．
所以與平面所成角的正弦值為．
②取的中點(diǎn)為，連接，因為為線段的中點(diǎn)，
所以，
由（1）知，平面，所以平面，平面．
所以．
過點(diǎn)作，垂足為，連接，，，平面，
所以平面．平面，所以，
所以為二面角的平面角．
在中，，
由（1）知，為等邊三角形，為線段的中點(diǎn)，
所以
由（1）知，平面，平面．所以，
在中，，由（2）知，，
即，解得．
因為平面，平面，所以．
在中，．
，
所以二面角的平面角的余弦值為．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵是根據(jù)二面角的定義找出二面角，再利用勾股定理定義求出相關(guān)線段，最后根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到答案.

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