2022-2023學(xué)年度下學(xué)期2021級(jí)5月月考數(shù)學(xué)試卷 考試時(shí)間：2023年5月11日一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，其導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)極小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（    ）A．1           B．2           C．3           D．42．若隨機(jī)事件，則（  ）A．  B．  C．    D． 3．“中國剩余定理”又稱“孫子定理”,1852年英國來華傳教士偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲. 1874年英國數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理,因而西方稱之為“中國剩余定理”,“中國剩余定理”講的是一個(gè)關(guān)于同余的問題.現(xiàn)有這樣一個(gè)問題: 將正整數(shù)中能被3除余1且被2除余1的數(shù)按由小到大的順序排成一列,構(gòu)成數(shù)列, 則（   ）A．55            B． 49            C．43            D．374．2023年4月世界大健康博覽會(huì)將在湖北武漢舉行.展會(huì)期間，需在廣場處布置一個(gè)如圖所示的圓形花壇，花壇分為5個(gè)區(qū)域．現(xiàn)有5種不同的花卉可供選擇，要求相鄰區(qū)域不能布置相同的花卉，且每個(gè)區(qū)域只能布置一種花卉，則不同的布置方案有（    ）A．120種        B．240種       C．420種      D．720種5．已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)為，過點(diǎn)作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則的最小值為（   ）A．1             B．           C．2              D．6．設(shè)表面積相等的正方體、正四面體和球的體積分別為、和，則（    ）A．    B．    C．     D．7．“楊輝三角”是中國古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，最早出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝于1261年所著的《詳解九章算法》一書中．“楊輝三角”揭示了二項(xiàng)式系數(shù)在三角形數(shù)表中的一種幾何排列規(guī)律，如圖所示．下列關(guān)于“楊輝三角”的結(jié)論正確的是（    ）A．B．第2023行中從左往右第1011個(gè)數(shù)與第1012個(gè)數(shù)相等C．記第n行的第i個(gè)數(shù)為，則D．第30行中第12個(gè)數(shù)與第13個(gè)數(shù)之比為13：188．已知向量，，與的夾角為，若對(duì)任意，，當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（    ）A．   　　　  B． 　　    C．   　  D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知的展開式中，只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則下列結(jié)論正確的是（ ）A．                          B．二項(xiàng)式系數(shù)之和為64C．展開式中的常數(shù)項(xiàng)為15  D．將展開式中的各項(xiàng)重新隨機(jī)排列，有理項(xiàng)相鄰的概率為10. 已知是數(shù)列的前n項(xiàng)和，．下列結(jié)論正確的是（    ）A．若是等差數(shù)列，則         B．若是等比數(shù)列，則C．若等差數(shù)列，則公差        D．若是等比數(shù)列，則公比是2或－211．有3臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件，第1，2，3臺(tái)加工的次品率分別為6%，5%，4%，加工出來的零件混放在一起．已知第1，2，3臺(tái)車床加工的零件數(shù)的比為5：6：9，現(xiàn)任取一個(gè)零件，記事件“零件為第i臺(tái)車床加工”（，2，3），事件“零件為次品”，則（    ）A．    B．     C．     D．12．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（    ）A．方程恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解B．函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)C．若關(guān)于x的方程恰有1個(gè)解，則D．若，且，則存在最大值三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．若，則__________.14. 如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長為3的正方形，，AP與AB，AD的夾角都是60°，若M是PC的中點(diǎn)，則直線MB與AP所成角的余弦值為_______.15．已知點(diǎn)P為拋物線C：上的動(dòng)點(diǎn)，直線l：，點(diǎn)為圓M：上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到直線l的距離為d，則的最小值為_____．16．若從數(shù)字1，2，3，4中任取一個(gè)數(shù)，記為，再從1，…，（按數(shù)字從小到大順序）中任取一個(gè)數(shù)記為.用數(shù)字1，2，3，4以及組成五位數(shù)，一共可以組成的五位數(shù)有     個(gè)；則       .四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．17．已知的展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為128，各項(xiàng)系數(shù)和為.（1）求和的值；（2）求的展開式中的常數(shù)項(xiàng). 18．已知等差數(shù)列滿足，且，，成等比數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，的前項(xiàng)和分別為，.若的公差為整數(shù)，且，求. 19．袋中裝有黑球和白球共7個(gè)，從中任取2個(gè)球都是白球的概率為，現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時(shí)終止，每個(gè)球在每一次被取出的機(jī)會(huì)是等可能的，用X表示取球終止時(shí)所需要的取球次數(shù)．　　（1）求袋中原有白球的個(gè)數(shù)；　　（2）求甲取到白球的概率．  20．如圖，三棱柱的體積為，側(cè)面是矩形，，，且已知二面角是鈍角.（1）求的長度；（2）求二面角的大小.   21．已知橢圓C：的焦距為，，分別為C的左，右焦點(diǎn)，過的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，的周長為8．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)且斜率不為零的直線與橢圓C交于E，F兩點(diǎn)，試問：在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)T，使得．若存在，求出定點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．    22．已知函數(shù)， .（1）試討論的單調(diào)性；（2）若對(duì)任意， 均有 ，求的取值范圍；（3）求證: .  高二年級(jí)5月月考數(shù)學(xué)答案1.A2.D  ，故  3.A 4.C5.B6.B【詳解】設(shè)正方體棱長為，正四面體棱長為，球的半徑為，面積為.正方體表面積為，所以，所以，；如圖，正四面體，為的中點(diǎn)，為的中心，則是底面上的高.則，，所以，所以，所以，正四面體的表面積為，所以.又為的中心，所以.又根據(jù)正四面體的性質(zhì)，可知，所以，所以，；球的表面積為，所以，所以，.因?yàn)?/span>，所以，，所以，.故選：B.7．【答案】C【解析】由可得，故A錯(cuò)誤；第2023行是奇數(shù)，中間兩項(xiàng)最大，即和，也就是第2023行中第1012個(gè)數(shù)和第1013個(gè)數(shù)相等，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；第n行的第i個(gè)數(shù)為，所以，故C正確；第30行中第12個(gè)數(shù)與第13個(gè)數(shù)之比為，故D錯(cuò)誤．故選C． 8．【答案】D【解析】由已知可求得，對(duì)任意的，，，又，∴，∴，即，，記，則．因此函數(shù)在上遞減，又，由，∴，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，∴．故選D．9.BC10.AB11．【答案】ACD【解析】事件“零件為第i臺(tái)車床加工”（，2，3），事件“零件為次品”，則，，，，，，故A正確，B錯(cuò)誤；，故C正確；，故D正確．故選ACD．12．【答案】ABD【解析】由已知由方程得或或，由圖可知，無解，無解，有3個(gè)解，故A正確；由圖可知，和是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，故B正確；若方程數(shù)恰有1個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)與的圖象僅有一個(gè)交點(diǎn)，可得或，故C錯(cuò)誤；由，則，，，則，設(shè)，則，設(shè)，顯然在上單調(diào)遞增，且，，所以存在，使，且當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以存在最大值，故D正確．故選ABD．13．28  【詳解】由，得或，解得，或舍去，. 【詳解】記，因?yàn)?/span>，所以.又因?yàn)?/span>，所以.易得，所以，,所以，又故答案為：15．【解析】拋物線C：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為直線l：，圓M：的圓心，半徑，由拋物線的定義知，，則，當(dāng)P，F，M三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值為．16.（1）  （2）解析：設(shè)事件=“取出數(shù)字i”，i＝1，2，3，4，易知P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(A4)＝，事件B=“取出y=2”則P(B|A1)＝0，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝，P(B|A4)＝，所以P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)＝＝.17.【答案】（1）    （2）448【解析】（1）∵由條件可得，∴解得.（2）.∵展開式的通項(xiàng)為：.∴①當(dāng)即時(shí)，；②當(dāng)即時(shí)，；∴所求的常數(shù)項(xiàng)為. 18.【答案】（1）或    （2）【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，∵，∴，∵，，成等比，∴，即，得，解得或，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；∴或.（2）因?yàn)榈炔顢?shù)列的公差為整數(shù)，由（1）得，所以，則，∴.①當(dāng)為偶數(shù)時(shí)②當(dāng)為奇數(shù)時(shí)所以19.【答案】（1）n＝3；（2）P(A)＝.解：(1)設(shè)袋中原有n個(gè)白球，由題意知＝＝，可得n＝3或n＝－2(舍去)，即袋中原有3個(gè)白球．(2)由題意，X的可能取值為1,2,3,4,5.P(X＝1)＝；P(X＝3)＝＝；P(X＝5)＝＝.因?yàn)榧紫热?，所以甲只有可能在?/span>1次，第3次和第5次取球，記“甲取到白球”為事件A，則P(A)＝P(X＝1)＋P(X＝3)＋P(X＝5)＝.20.（1） ；   （2）【解析】（1）側(cè)面是矩形，則，又∵且，平面，∴AC⊥平面，∵，∴平面，平面，∴，∴.∵可知二面角的平面角是鈍角，∴在平面中作垂直BC的延長線于H而平面，，，且，平面，∴平面ABC，，，則，，，∴，∴，∴中，，∴，∴.∵中，，，∴由余弦定理可求得，∴.（2）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CA、CB分別為x、y軸，過C作平面BAC的垂線作為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.∵，，，，∴，設(shè)平面的法向量為，則，則，令，則，∴可得平面的法向量為.又可知平面的法向量為.設(shè)所求角為θ，∵可知所求二面角為銳角，∴，，∴二面角為.21．【解析】（1）已知橢圓的焦距，則，……1分又的周長為8，∴，則，……3分所以，故橢圓C的方程為；……4分（2）證明：假設(shè)存在x軸上的定點(diǎn)，使得，則結(jié)合圖形可得，所以，……5分由題意，直線EF的斜率一定存在，設(shè)直線EF的方程為，由得，設(shè)，，則，∴且……7分直線ET的斜率為，直線FT的斜率為，由得，……8分∴，即，……10分∴，則，……11分所以在x軸上存在一個(gè)定點(diǎn)，使得．……12分22.【詳解】（1） ,        若 則， 在 上單調(diào)遞減；           若，則由,得,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,       當(dāng)時(shí),,在 上單調(diào)遞減.（2）當(dāng)時(shí),符合題意； 當(dāng)時(shí),由（1）知在 上單調(diào)遞減，而 ，不合題意；           當(dāng)時(shí),結(jié)合（1）得，，即，得， 綜上，的取值范圍是；（3）證明：由（2）知，當(dāng) 時(shí)，即           所以，所以，           所以 ，即得證.

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